I rischi aziendali e il processo di risk management

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1 ALBERTO FLOREANI ENTERPRISE RISK MANAGEMENT I rischi aziendali e il processo di risk management Pubblicazioni dell I.S.U. Università Cattolica

2 ALBERTO FLOREANI ENTERPRISE RISK MANAGEMENT I rischi aziendali e il processo di risk management Milano 2004

3 2004 I.S.U. Università Cattolica Largo Gemelli, 1 Milano ISBN

4 SOMMARIO CAPITOLO 1 IL RISCHIO E LA SUA MISURAZIONE Il rischio e i rischi aziendali La nozione di rischio e di variabile aleatoria I rischi aziendali Il valore atteso Le proprietà del valore atteso Lo scarto quadratico medio Le proprietà dello scarto quadratico medio La perdita massima potenziale e il value at risk La perdita massima potenziale Il value at risk La perdita massima potenziale e il value at risk su variabili aleatorie di stock L earning at risk (EaR) e il cash flow at risk (CFaR) Le proprietà del value at risk e della perdita massima potenziale Le altre misure di rischio Lo scarto quadratico medio downside e upside I momenti parziali inferiori e superiori Gli indicatori di simmetria La rappresentazione sintetica di una variabile aleatoria Il valore di una variabile aleatoria aziendale La misurazione dei rischi incrementali Parole chiave Note bibliografiche

5 CAPITOLO 2 APPROFONDIMENTI SU RISCHIO E INCERTEZZA Le nozioni alternative di rischio L approccio tradizionale-assicurativo L approccio statistico-finanziario L approccio manageriale L approccio matematico e le misure coerenti di rischio Le misure coerenti di rischio Esempi di misure coerenti di rischio Inapplicabilità delle misure coerenti di rischio alla gestione dei rischi Le misure coerenti di rischio e il valore aziendale Gli approcci statistico-finanziario e matematico: una sintesi Il rischio e l incertezza Parole chiave Note bibliografiche...61 CAPITOLO 3 IL SISTEMA DEI RISCHI AZIENDALI I rischi esterni e i rischi interni I rischi sistematici e i rischi diversificabili I rischi sistematici I rischi diversificabili Esempi di componente sistematica e diversificabile L additività dei rischi sistematici L atteggiamento degli individui nei confronti dei rischi sistematici e diversificabili e conseguenze macroeconomiche Un modello unifattoriale per la misurazione del rischio sistematico I rischi speculativi e i rischi puri I rischi ad asimmetria positiva

6 4. I rischi d impresa Rischi di business Rischi derivati I rischi puri L impatto dei rischi sull impresa Parole chiave Note bibliografiche...80 CAPITOLO 4 IL PROCESSO DI RISK MANAGEMENT L articolazione del processo di risk management Gli obiettivi strategici dell istituto e di risk management Il risk assessment Il risk reporting Il risk treatment Il monitoring L enterprise risk management e gli altri approcci al risk management L enterprise risk management Il project risk management Il risk management tradizionale Il financial risk management Il risk control La dimensione organizzativa del processo di risk management Le funzioni aziendali coinvolte nel processo di risk management Il risk management nelle imprese di piccole e medie dimensioni Il sistema informativo a supporto del processo di risk management Parole chiave Note bibliografiche

7 CAPITOLO 5 IL RISK ASSESSMENT. L IDENTIFICAZIONE DEI RISCHI AZIENDALI L identificazione dei rischi aziendali La mappatura dei rischi La descrizione dei rischi Cenni alle principali tecniche di supporto all identificazione dei rischi L analisi dell esperienza passata La prompt list L analisi della documentazione tecnica e/o contabile Le interviste Il brainstorming L individuazione dei principali rischi aziendali attraverso l analisi delle informazioni contabili La situazione economica e patrimoniale delle imprese non finanziarie I principali rischi che emergono dall analisi della situazione economica e patrimoniale di un impresa non finanziaria Parole chiave Note bibliografiche CAPITOLO 6 IL RISK ASSESSMENT. LA STIMA DEI RISCHI AZIENDALI Le tecniche di stima del rischio La scelta della tecnica di stima da utilizzare I benefici economici delle tecniche quantitative La stima qualitativa dei rischi puri tramite la matrice probabilità-impatto I limiti della tecnica probabilità-impatto La stima semiquantitativa dei rischi puri tramite la matrice probabilità-impatto La trasformazione della tecnica probabilità-impatto in stima semiquantitativa

8 3.2. Applicazioni delle tecniche semiquantitative I limiti delle tecniche semiquantitative Le tecniche qualitative e semiquantitative come strumento di comunicazione Le tecniche quantitative di stima Obiettivi e passi fondamentali della stima quantitativa Cenni alla tecnica di simulazione Monte Carlo La stima quantitativa di un rischio puro: i passi fondamentali La stima quantitativa del rischio di un portafoglio azionario Parole chiave Note bibliografiche CAPITOLO 7 INTRODUZIONE ALLA VALUTAZIONE E ALLA GESTIONE DEI RISCHI AZIENDALI La valutazione del rischio Dal risk assessment al risk treatment La valutazione quantitativa dei rischi d impresa e il valore creato dalle decisioni di risk management: cenni e rinvio Le modalità di gestione del rischio Le modalità di gestione ex-ante Il monitoraggio dell esposizione e dell andamento dei rischi Le modalità di gestione ex-post La classificazione delle operazioni di copertura I mercati in cui si negoziano le coperture e le tipologie di rischio coperte

9 3.2. Obiettivi di copertura e adeguatezza degli strumenti utilizzati Gli strumenti di copertura La variabile obiettivo oggetto di copertura e la frequenza delle negoziazioni delle operazioni di copertura Parole chiave Note bibliografiche RIFERIMENTI BIBLIOGRAFICI

10 CAPITOLO 1 IL RISCHIO E LA SUA MISURAZIONE Per affrontare compiutamente il processo di risk management le aziende devono disporre di conoscenze e competenze multidisciplinari. Il management, in particolare, deve modificare completamente la propria prospettiva con la quale guarda al futuro. I piani pluriennali e il budget, ad esempio, non possono essere più essere considerati come dei prospetti contenenti dei numeri rappresentativi delle aspettative o degli obiettivi aziendali. Questi documenti diventano più complessi in quanto devono rappresentare variabili aleatorie, cioè insiemi di scenari ciascuno dei quali si caratterizza per determinati risultati e probabilità. In questo contesto la comprensione del significato attribuito ai termini variabile aleatoria, valore atteso e rischio è essenziale. L obiettivo del presente capitolo e dei due successivi è proprio quello di definire il concetto di rischio, di introdurre alla sua misurazione e di delineare le principali tipologie di rischi aziendali. Inoltre si analizzano i diversi significati che in letteratura e nel linguaggio corrente sono attribuiti ai termini rischio, misura di rischio e incertezza. Tenuto conto che per chi non ha conoscenze statistiche di base il tema potrebbe risultare piuttosto ostico, si è cercato di esemplificare i diversi concetti con semplici applicazioni aziendali. 1. Il rischio e i rischi aziendali 1.1. La nozione di rischio e di variabile aleatoria Secondo l accezione utilizzata in questo lavoro il rischio riguarda la possibilità che una variabile aleatoria si realizzi in modo diverso rispetto al suo valore atteso. Un fenomeno quantitativo è dunque rischioso quando ha più di una realizzazione possibile ed è tanto più rischioso quanto più tali realizzazioni sono distanti rispetto alle aspettative. 9

11 CAPITOLO PRIMO Per le finalità del nostro lavoro una variabile aleatoria può essere vista come un insieme costituito da N coppie di elementi a ciascuna delle quali corrisponde uno scenario possibile. Più precisamente ad ogni scenario possibile vengono assegnati due numeri reali, uno rappresentativo delle probabilità di realizzazione dello scenario e l altro del valore assunto dalla variabile in quello scenario. In simboli la variabile aleatoria X può essere così rappresentata: X = (x 1, x 2,..., x i,..., x N ; p 1, p 2,..., p i,..., p N ) con p 1 +p p N =1 e dove N è il numero degli scenari, x i è il valore assunto della variabile aleatoria nello scenario i-esimo e p i è la corrispondente probabilità di realizzazione dello scenario. Al fine di distinguerle dai numeri, le variabili aleatorie verranno sempre indicate nel seguito con il carattere grassetto. Quando il numero degli scenari è numerabile si ha a che fare con variabili aleatorie discrete. In presenza di un numero di scenari molto elevato, si preferisce invece rappresentare il fenomeno sotto indagine come se fosse dotato di una continuità di scenari. In tal caso si parla di variabili aleatorie continue. Una variabile aleatoria continua X che può assumere tutti i valori reali compresi nell intervallo a e b può essere così rappresentata: X = {x; f(x)} con x [a,b] con f(x) dx = 1 e dove f(x) è la funzione di densità che associa ad ogni possibile realizzazione della variabile aleatoria un numero, detto densità. La densità non esprime una probabilità in quanto, esistendo un infinità di possibili realizzazioni, la probabilità che si realizzi esattamente un dato scenario è di fatto nulla. Tramite la funzione di densità è però possibile calcolare le probabilità che la realizzazione della variabile aleatorie cada in un determinato intervallo. Tale probabilità è determinata calcolando il volume dell area sottostante alla funzione di densità. Esempio 1. L utile futuro come variabile aleatoria. L utile del prossimo esercizio di un impresa è una variabile aleatoria. Consideriamo due imprese A e B e ammettiamo che il loro utile del prossimo esercizio possa essere così rappresentato: 10

12 IL RISCHIO E LA SUA MISURAZIONE U A = (50, 100, 150; 25%,50%,25%) U B = (-300, 100, 500; 25%,50%,25%) Le due imprese hanno evidentemente il medesimo valore atteso degli utili (100 milioni di euro). Entrambe le imprese hanno un utile rischioso (esistono diverse possibilità di realizzazione). L impresa A è però chiaramente meno rischiosa dell impresa B. Infatti A si scosterà al massimo di 50 milioni di euro rispetto al valore atteso mentre B potrà avere uno scostamento di 400 milioni di euro rispetto al valore atteso. Rappresentare l utile futuro di un impresa tramite 3 soli scenari può non essere realistico. Per quale motivo le imprese A e B non possono realizzare un utile di 60, 75 o 140 milioni di euro? Una rappresentazione più realistica si può ottenere considerando l utile di esercizio come una variabile aleatoria continua. Ad esempio si può pensare che U A e U B siano delle variabili aleatorie continue di tipo normale 1 con un valore atteso pari a 100 e uno scarto quadratico medio rispettivamente di 50 e 400 milioni di euro (si veda il successivo paragrafo per il significato dello scarto quadratico medio). La figura 1.1 rappresenta graficamente le due variabili aleatorie discrete (U A e U B ) e le due variabili aleatorie continue (U A e U B ). In questo secondo caso viene mostrato graficamente che la probabilità dell impresa A di ottenere un utile compreso tra 0 e 200 è del 95,45%, mentre per l impresa B la probabilità che l utile cada nel medesimo intervallo è solo del 19,74%. Infatti per l impresa A l area sottostante alla funzione di densità è quasi interamente compresa tra 0 e 200, mentre per l impresa B solo circa 1/5 dell area complessiva è compresa tra 0 e 200. L area complessiva sottostante alla funzione di densità di una variabile aleatoria continua è ovviamente pari a 1 (vi è la certezza, cioè il 100% di probabilità, che l utile assumerà uno dei valori possibili). 1 La normale è, tra tutte le distribuzioni continue, la più ampiamente utilizzata. Essa è simmetrica, unimodale, dipende da due soli parametri (il valore atteso e lo scarto quadratico medio) e ha la forma campanulare rappresentata nella figura 1.1. La funzione di densità di una distribuzione normale con valore atteso µ e scarto quadratico medio σ è: f ( x) = 1 e 2 Πσ ( x µ ) 2 2 σ 2 I valori assunti dalla funzione di densità, dalla densità cumulata e dall inversa della funzione di densità cumulata della normale possono essere facilmente calcolati con l ausilio delle funzioni statistiche di un qualsiasi foglio elettronico. 11

13 CAPITOLO PRIMO Figura 1.1. Rappresentazione grafica di variabili aleatorie aziendali discrete e continue Parte A Variabili aleatorie discrete Parte B Variabili aleatorie continue L effettiva stima della variabile aleatoria utile del prossimo esercizio di un impresa è compito della fase tecnica del risk management (risk assessment) che sarà affrontata successivamente. Caratteristica fondamentale della nozione di rischio ora introdotta è quella di considerare non soltanto le conseguenze negative di un evento (minacce o downside risk), ma anche quelle positive (opportunità o upside risk). Il termine rischio assume però una molteplicità di significati a seconda dell ambito in cui è inserito. Anche solo limitando il campo d indagine alle scienze economiche è possibile individuare almeno quattro diversi approcci 12

14 IL RISCHIO E LA SUA MISURAZIONE (tradizionale-assicurativo, statistico-finanziario, manageriale e matematico). In questo volume si accoglie l approccio statistico-finanziario. Degli altri si dirà sinteticamente nel secondo capitolo I rischi aziendali In questo volume ci si occupa esclusivamente di rischi aziendali. L azienda è la componente economica di un istituto. Trattare di rischi aziendali significa così riferirsi esclusivamente alle conseguenze dell aleatorietà sui valori economici, finanziari e patrimoniali dei diversi istituti oggetto di indagine (imprese, famiglie, organizzazioni no-profit, enti pubblici,...). Esistono due elementi fondamentali che caratterizzano i rischi aziendali rispetto al concetto generale di rischio introdotto nel precedente paragrafo: la natura monetaria delle variabili aleatorie aziendali; l unicità degli eventi aziendali e la conseguente incertezza sulle caratteristiche delle variabili aleatorie che li rappresentano. Su questo secondo aspetto, che rende più complessa l analisi dei rischi aziendali rispetto ad altre tipologie di variabili aleatorie, si dirà nel secondo capitolo. La natura monetaria delle variabili aleatorie aziendali permette invece di semplificare il processo di risk management. Più specificamente è possibile introdurre dei criteri decisionali collaudati e scientificamente fondati (quali il criterio del valore attuale netto) che permettono di affrontare le decisioni aziendali di risk management con razionalità. Si sottolinea inoltre che trattare di rischi aziendali non significa trasformare in quantità monetarie grandezze non monetarie (es. vita umana), ma considerare esclusivamente gli effetti dei rischi sulla componente economica dell istituito in esame. Questo permette, almeno per il momento, di trascurare le problematiche etiche connesse ai rischi e alla loro gestione. 2. Il valore atteso La maggiore rischiosità di una variabile aleatoria rispetto ad un altra è immediatamente percepibile solo se le due variabili aleatorie che si 13

15 CAPITOLO PRIMO confrontano sono semplici e molto simili (stesso numero di scenari possibili, distribuzione simmetrica e unimodale e uguale valore atteso come nel caso dell esempio 1 del precedente paragrafo). Nelle situazioni reali il confronto tra i rischi di due o più variabili aleatorie viene effettuato calcolando opportuni indicatori sintetici. Prima di esporre le principali misure di rischio è utile sottolineare che per descrivere una variabile aleatoria attraverso indicatori sintetici (cioè dei numeri) è necessario seguire un ordine di priorità. Nell ambito del risk management le tre principali classi di indicatori sono, in ordine di importanza: indicatori di posizione; indicatori di rischio (o di dispersione); indicatori di simmetria. Il principale indicatore di posizione è il valore atteso. Intuitivamente esso indica il risultato medio che si otterrebbe se fosse possibile ripetere indefinitamente l esperimento che coinvolge la variabile aleatoria in esame. Il valore atteso rappresenta il primo e principale parametro a cui guardare per avere una prima idea delle caratteristiche della variabile aleatoria. Questo aspetto deve essere sottolineato perché talvolta vi può essere la tendenza a soffermarsi esclusivamente sui rischi di un fenomeno. Detta X una generica variabile aleatoria, il valore atteso di X viene indicato con E(X) ed è pari a: E( X) = p N 1 x1 + p 2 x p N x N = p i x i i= 1 in caso di una variabile aleatoria discreta e: + E( X) = x f(x) dx in caso di variabile aleatoria continua dotata di una funzione di densità f(x) Le proprietà del valore atteso Il valore atteso è dotato di due importanti proprietà: additività; 14

16 IL RISCHIO E LA SUA MISURAZIONE linearità. L additività afferma che il valore atteso della somma di due variabili aleatorie è pari alla somma dei valori attesi delle variabili aleatorie di partenza. Date due variabili aleatorie X e Y si ha: E(X+Y) = E(X) + E(Y) Esempio 2. Additività del valore atteso (l utile atteso di una holding). Si consideri una holding (H) che possiede le partecipazioni totalitarie di 3 imprese (A, B e C) e non svolge alcuna attività operativa. L utile di esercizio del prossimo anno di ciascuna delle 3 imprese è rappresentabile come una variabile aleatoria (U A, U B, U C ). L utile della holding è anch essa una variabile aleatoria ottenuto come la somma algebrica degli utili delle 3 imprese si ha cioè che: U H = U A + U B + U C L additività del valore atteso ci dice, com è intuitivo, che il valore atteso degli utili della holding è pari alla somma dei valori attesi degli utili delle singole società. Si ha cioè che: E(U H )= E(U A ) +E(U B)+E(U C ) La linearità afferma che il valore atteso di una trasformazione lineare di una variabile aleatoria è pari alla trasformazione lineare del valore atteso della variabile aleatoria originaria. Data una variabile aleatoria X e due scalari a e b: E(a + b X) = a + b E(X) Esempio 3. Linearità del valore atteso (la relazione tra vendite attese e utili attesi). Si consideri un impresa che deve valutare l utile atteso del prossimo anno. L unica fonte di aleatorietà è costituita dalle quantità vendute dell unico prodotto dell impresa. Si ha invece perfetta conoscenza dei prezzi di vendita unitari (10 ), dei costi unitari variabili (6 ) e dei costi fissi complessivi ( ). Sapendo che: U = (p cv) Q CF 15

17 CAPITOLO PRIMO dove U è l utile dell impresa, p è il prezzo unitario, cv sono i costi variabili unitari, CF sono i costi fissi complessivi e Q è la variabile aleatoria espressiva delle quantità vendute, si ha U =(10 6 ) Q = 4 Q Applicando la linearità si ottiene che E(U) = 4 E(Q) Se, ad esempio, E(Q) = unità si ha che E(U) è pari a Lo scarto quadratico medio Gli indicatori di rischio rappresentano la seconda classe di indicatori sintetici per ordine di importanza. Essi esprimono, come già sottolineato, una misura della possibilità che le realizzazioni della variabile aleatoria si discostino dal valore atteso. Le misure di rischio più comunemente utilizzate nell ambito del risk management sono lo scarto quadratico medio e il value at risk (VaR). Lo scarto quadratico medio rappresenta di quanto mediamente le realizzazioni della variabile aleatoria (X) si scosteranno dal valore atteso. Esso viene solitamente indicato con σ(x) ed è così determinato: σ N 2 ( X) = [x E( X)] i i= 1 p i nel caso di una variabile aleatoria discreta e: σ( X) = + [x E( X)] 2 f(x) dx nel caso di una variabile aleatoria continua. Il quadrato dello scarto quadratico medio è denominato varianza e viene solitamente indicata con σ 2 (X). Anche la varianza è ovviamente una misura 16

18 IL RISCHIO E LA SUA MISURAZIONE di rischio. Rispetto allo scarto quadratico medio, però, la varianza non è espressa nella stessa unità di misura della variabile aleatoria originaria. Per tale motivo nel seguito si farà esclusivo riferimento allo scarto quadratico medio Le proprietà dello scarto quadratico medio Lo scarto quadratico medio non è additivo. Più precisamente il rischio della somma di due variabili aleatorie è inferiore alla somma dei rischi delle variabili aleatorie singolarmente considerate tranne nel caso in cui vi sia una perfetta correlazione tra esse (proprietà di subadditività). Date due variabili aleatorie X e Y e indicando con ρ X,Y il coefficiente di correlazione tra le due variabili si ha: In generale vale che: σ(x+y) < σ(x) + σ(y) se ρ X,Y <1 σ(x+y) = σ(x) + σ(y) se ρ X,Y =1 σ 2 (X+Y) = σ 2 (X) + σ 2 (Y) + 2 ρ X,Y σ(x) σ(y) [1.] La subadditività dello scarto quadratico medio quale misura di rischio ha importanti implicazioni. In generale questa proprietà può essere vista positivamente. Il rischio complessivo di un azienda è inferiore alla somma dei rischi delle singole variabili aleatorie aziendali (le fonti di rischio). Questa proprietà è alla base del principio di diversificazione che è estremamente importante nel risk management. Per chi deve prendere decisioni razionali la non additività dei rischi determina invece un notevole incremento della complessità. Implica in particolare la non separabilità delle decisioni dal contesto aziendale di riferimento e determina, nella sostanza, la subottimalità di tutte le decisioni aziendali che sono prese senza considerare l impatto che esse hanno sulla specifica situazione aziendale in cui sono collocate. Lo scarto quadratico medio gode delle proprietà di omogeneità e di invarianza a traslazioni. In particolare si ha che data X una variabile aleatoria e a e b due scalari: 17

19 CAPITOLO PRIMO σ(a + b X) = b σ(x) Il fatto che lo scarto quadratico medio non sia influenzato dall aggiunta (o la sottrazione) di quantità non aleatorie (proprietà di invarianza a traslazioni) è evidentemente una proprietà desiderabile per una misura di rischio. Detto in altri termini lo scarto quadratico medio non dipende in alcun modo dal valore atteso della variabile aleatoria, ma esclusivamente dalla dispersione dei possibili risultati. Esempio 4. Calcolo dello scarto quadratico medio. Riprendiamo l esempio 1. I due seguenti prospetti mostrano la determinazione del valore atteso e dello scarto quadratico medio degli utili delle imprese A e B. Calcolo valore atteso e scarto quadratico medio utile impresa A Scenario Probabilità Utile impresa A Utile x probabilità Prob x [Utile-Valore atteso]2 Negativo 25% 50 mil 12,5 mil 625 Normale 50% 100 mil 50,0 mil 0 Positivo 25% 150 mil 37,5 mil 625 Valore atteso 100 mil Varianza 1250 Scarto quadratico medio (radice varianza) 35,4 mil Calcolo valore atteso e scarto quadratico medio utile impresa B Scenario Probabilità Utile impresa A Utile x probabilità Prob x [Utile-Valore atteso] 2 Negativo 25% -300 mil -75,0 mil Normale 50% 100 mil 50,0 mil 0 Positivo 25% 500 mil 125,0 mil Valore atteso 100 mil Varianza Scarto quadratico medio (radice varianza) 282,8 mil 18

20 IL RISCHIO E LA SUA MISURAZIONE Esempio 5. Subadditività dello scarto quadratico medio. Si riprenda l esempio 2. Mentre la determinazione dell utile atteso della holding era del tutto banale, la determinazione del rischio (misurato dallo scarto quadratico medio) richiede di conoscere lo scarto quadratico medio degli utili attesi delle singole società e i coefficienti di correlazione tra gli utili delle singole società. Se le correlazioni non sono tutte pari a 1, il rischio associato agli utili della holding sarà inferiore alla somma dei rischi degli utili delle singole società. Ad esempio se lo scarto quadratico medio delle 3 società è di e i coefficienti di correlazione tra A e B, tra A e C e tra B e C sono tutti pari a 0,8, si può determinare 2 che il rischio della holding è pari a di oltre inferiore alla somma dei rischi delle singole società. Esempio 6. Omogeneità e invarianza traslazionale dello scarto quadratico medio. Si riprenda l esempio 3 in cui l utile del prossimo esercizio è una variabile aleatoria che dipende dai volumi di vendita espressi da Q. Più precisamente si ha: U = (p cv) Q CF U = 4 Q Tenuto conto che σ(a + b X) = b σ(x), lo scarto quadratico medio degli utili è: σ(u) = (p cv) σ(q) Se, ad esempio, σ(q)= unità, si ha che lo scarto quadratico medio degli utili è pari a La perdita massima potenziale e il value at risk Nel risk management allo scarto quadratico medio viene spesso preferito il value at risk (VaR) in quanto quest ultimo indicatore è ritenuto più semplice ed intuitivo. 2 Indicando con X i una generica variabile aleatoria, con σ(x i ) il suo scarto quadratico medio, con ρ i,j il coefficiente di correlazione tra X i e X j si ha che la varianza delle variabili aleatorie X 1, X 2,... X N è pari a: σ 2 (X 1 +X X N ) = σ 2 (X 1 )+ σ 2 (X 2 )+...+ σ 2 (X N )+ 2 Σi>j ρ i,j σ(x i ) σ(x j ) 19

21 CAPITOLO PRIMO Il value at risk (VaR) applicato a variabili aleatorie monetarie fornisce un indicazione probabilistica delle perdite a cui si può andare incontro mantenendo una determinata esposizione al rischio. In effetti nella maggior parte delle applicazioni concrete la conoscenza dell ammontare massimo che è possibile perdere è di poco ausilio tenendo conto che lo scenario peggiore possibile ha probabilità infinitesime di realizzarsi. Il value at risk fornisce una più adeguata misura del downside risk facendo riferimento a scenari che sono effettivamente in grado di realizzarsi La perdita massima potenziale Secondo un approccio alternativo a quello seguito in questo volume la nozione di value at risk coincide con quella di perdita massima potenziale (PMP) 3. Più precisamente se si considerano delle variabili aleatorie di flusso (ad esempio il risultato di esercizio di un azienda o la variazione di valore nel portafoglio d investimenti di un risparmiatore in un periodo prefissato), la perdita massima potenziale è definita dall opposto del percentile della distribuzione a cui corrisponde un livello di confidenza prefissato. Se, ad esempio, si desidera un livello di confidenza del 95% (o 99%), si prenderà l opposto del 5 (o del 1 ) percentile della distribuzione 4. Se al percentile prescelto corrisponde un valore positivo allora, per evitare confusione, si potrà denominare questo valore come minimo guadagno potenziale. Intuitivamente dire che la massima perdita potenziale con un livello di confidenza dell x% è pari a Y, significa affermare che esiste solo l (1-x%) di probabilità di ottenere una perdita superiore a Y. È del tutto evidente che se si definisce il value at risk come perdita massima potenziale non ci si trova di fronte ad una misura di dispersione in senso statistico e dunque ad una misura di rischio secondo la definizione 3 Tale approccio, denominato matematico, sarà esaminato nel successivo capitolo. 4 Tutte le definizioni introdotte in questa sede presuppongono che i valori positivi della variabile aleatoria sono interpretabili come flussi in entrata, ricavi o utili mentre i valori negativi come flussi in uscita, costi o perdite. In alcune circostanze si preferisce considerare la variabile aleatoria perdite derivanti dal rischio X (valori positivi della variabile aleatoria indicano perdite e valori negativi indicano guadagni). In questo caso le definizioni andrebbero riformulate opportunamente. 20

22 IL RISCHIO E LA SUA MISURAZIONE accolta in questo lavoro. In effetti i percentili sono degli indicatori di posizione che non sono indipendenti dal valore atteso della distribuzione. Una variabile aleatoria può essere più rischiosa di un altra ma avere una minore perdita massima potenziale per effetto di un maggior valore atteso. Si è già sottolineato che il valore atteso di una variabile aleatoria è estremamente importante. È però opportuno che il rischio non ne sia dipendente al fine di evitare inutili confusioni Il value at risk Una più corretta definizione del value at risk è da riferire alla distanza tra la perdita massima potenziale e il valore atteso. Secondo questa seconda e più corretta definizione il value at risk di una variabile aleatoria monetaria di flusso è la differenza tra il valore atteso della variabile aleatoria e il percentile a cui corrisponde il livello di confidenza prefissato. La prima parte della figura 1.2 illustra graficamente il concetto di perdita massima potenziale (opposto del percentile corrispondente al grado di confidenza prefissato) e di value at risk (differenza tra valore atteso e percentile) determinato su variabili aleatorie di flusso. La confusione tra la definizione di value at risk come perdita massima potenziale e come distanza tra perdita massima potenziale e valore atteso è dovuta al fatto che nelle prime applicazioni del VaR (la misurazione di esposizione al rischio di portafogli di investimenti su orizzonti temporali di breve periodo) il valore atteso della variabile aleatoria di riferimento (la variazione attesa del valore del portafoglio) era trascurabile rispetto alla dimensione del portafoglio ed alla sua rischiosità. In questi casi il value at risk tende a coincidere con la perdita massima potenziale anche nel caso in cui si utilizzi la definizione più corretta La perdita massima potenziale e il value at risk su variabili aleatorie di stock La perdita massima potenziale e il VaR possono essere determinati anche su grandezze di stock come, ad esempio, il valore di un portafoglio di investimenti o il patrimonio netto di un impresa. La perdita massima potenziale è determinata dalla differenza tra il valore corrente della grandezza di riferimento e il percentile a cui corrisponde il grado di 21