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1 Indice 1 Introduzione Unpo distoria:glialbori La probabilitàcomefrequenza La probabilitàclassica IlparadossodiBertrand La teoria della probabilità diventa una scienza matura Il concetto di indipendenza Unaltroassioma Probabilitàemondoreale Esercizi Lettureconsigliate Qualche risultato con un po di formalismo Probabilitàcondizionata Finti paradossi: basta saper usare la probabilità condizionata Funzioni generatrici: come contare senza sbagliare Funzioni generatrici e processi di ramificazione Qualche risultato facile ma utile Comecambiarevariabile Cosa fare se alcune variabili non interessano Applicazioni in Meccanica Statistica Dall insieme microcanonico a quello canonico Densità di probabilità marginali meccanica statistica Esercizi Lettureconsigliate Teoremi Limite: il comportamento statistico di sistemi con tante variabili Laleggedeigrandinumeri Qualcosa meglio di Chebyshev: la disuguaglianza di Chernoff... 38

2 x Indice 3.2 Teoremadellimitecentrale Cosa succede se le variabili non sono indipendenti? GrandiDeviazioni Oltre il limite centrale: la funzione di Cramer Grandi e piccole fluttuazioni in meccanica statistica Teoria di Einstein delle fluttuazioni Qualche applicazione dei teoremi limite oltre la fisica Legge dei grandi numeri e finanza Non sempre tante cause indipendenti portano alla gaussiana: la distribuzione lognormale Esercizi Lettureconsigliate Il moto Browniano: primo incontro con i processi stocastici Leosservazioni La teoria: Einstein e Smoluchowski La derivazione di Langevin ed il Nobel a Perrin Un semplice modello stocastico per il moto browniano Un modello ancora più semplice: il random walk Esercizi Lettureconsigliate Processi stocastici discreti: le catene di Markov LecatenediMarkov La distribuzione di probabilitàstazionaria Il ruolo delle barriere: il giocatore in rovina ProprietàdellecatenediMarkov CatenediMarkovergodiche Catene di Markov reversibili Il modello di Ehrenfest per la diffusione Come usare le catene di Markov per scopi pratici: il metodo MonteCarlo Processi a tempo continuo: la master equation Un esempio: processi di nascita e morte Esercizi Lettureconsigliate Processi stocastici con stati e tempo continui Equazione di Chapman-Kolmogorov per processi continui L equazionedifokker-planck Alcunicasiparticolari Soluzioni col metodo delle trasformate di Fourier L equazione di Fokker-Planck con barriere Soluzioni stazionarie dell equazione di Fokker-Planck Tempi di uscita per processi omogenei

3 Indice xi 6.4 Equazioni differenziali stocastiche LaformuladiIto Dalla EDS all equazione di Fokker-Planck Il processo di Ornstein-Uhlenbeck Il moto browniano geometrico Sulla struttura matematica dei processi Markoviani Un applicazione delle equazioni differenziali stocastiche allo studiodelclima Le EDS come modelli efficaci Un semplice modello stocastico per il clima Il meccanismo della risonanza stocastica Esercizi Lettureconsigliate Probabilità e sistemi deterministici caotici La scoperta del caos deterministico L approccio probabilistico ai sistemi dinamici caotici Ergodicità Sistemi caotici e catene di Markov Trasporto e diffusione nei fluidi Ergodicità, meccanica statistica e probabilità Ipotesi ergodica e fondamenti della meccanica statistica Il problema ergodico e la meccanica analitica Unrisultatoinaspettato Teoremiesimulazioni L ergodicità è veramente necessaria? Osservazioni finali su caos, ergodicità ed insiemi statistici Esercizi Lettureconsigliate Oltre la distribuzione Gaussiana Qualcheosservazione Distribuzioni di probabilità infinitamente divisibili e distribuzioni stabili Unesempiodallafisica Non sempre i processi di diffusione hanno distribuzione gaussiana Dispersione relativa in turbolenza Diffusione anomala in presenza di correlazioni temporali lunghe Diffusione anomala in una schiera di vortici Appendice: la trasformata di Laplace nel calcolo delle probabilità..168 Esercizi Lettureconsigliate...170

4 xii Indice 9 Entropia, informazione e caos Entropia in termodinamica e meccanica statistica Principio di massima entropia: cornucopia o vaso di Pandora? EntropiaedInformazione EntropiadiShannon Teorema di Shannon-McMillan Entropiaecaos Osservazioniconclusive Esercizi Lettureconsigliate Appendice. Qualche risultato utile e complementi A.1 Densità di probabilità marginali e condizionate A.1.1 Densità di probabilitàcondizionata A.1.2 Tre o piùvariabili A.2 Valorimedi A.2.1 Una disuguaglianza spesso utile A.2.2 Valorimedicondizionati A.2.3 Dai momenti alla densità di probabilità A.2.4 Cumulanti A.3 Qualche distribuzione notevole A.3.1 Distribuzionebinomiale A.3.2 DistribuzionediPoisson A.3.3 Distribuzione χ 2 dipearson A.3.4 Ancora sulla distribuzione di Poisson A.3.5 Distribuzione multidimensionale di variabili gaussiane A.4 Funzione gamma di Eulero ed approssimazione di Stirling A.4.1 IlmetododiLaplace A.5 Il contributo di un grande matematico alla probabilità in genetica Il contributo di un grande matematico alla probabilità in genetica: un calcoloelementare A.6 Statisticadeglieventiestremi A.7 Distribuzione dei numeri primi: un applicazione (al limite del consentito) della teoria della probabilità Lettureconsigliate Soluzioni Indice analitico...229

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