TECNICHE DI ANALISI DEI DATI MODELLI LINEARI

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1 TECNICHE DI ANALISI DEI DATI AA 017/018 PROF. V.P. SENESE Quest materal sono dsponbl per tutt gl student al seguente ndrzzo: Unverstà della Campana Lug Vanvtell Dpartmento d Pscologa TECNICHE DI ANALISI DEI DATI Prof. V.P. Senese MODELLI LINEARI LA REGRESSIONE LA REGRESSIONE SEMPLICE (E MULTIPLA) L ANALISI DELLA VARIANZA DISEGNI UNIVARIATI (DISEGNI FATTORIALI SEMPLICI E MISTI) 1

2 MODELLI LINEARI Quando n una rcerca è possble dstnguere (n base alla teora) tra varabl ndpendent e varabl dpendent l rcercatore può essere nteressato a verfcare la presenza della relazone causale supposta (tra le varabl) ne dat raccolt (osservazon camponare). Prma d nzare un qualsas dscorso sulle relazon d causaltà tra varabl dobbamo rbadre la dstnzone tra covarazone e causazone. MODELLI LINEARI COVARIAZIONE (Covaranza, Correlazone o Assocazone): quando semplcemente osservamo che due varabl presentano varazon concomtant. CAUSAZIONE: quando pensamo che sano propro le varazon della varable X a determnare le varazon della varable Y. Identfchamo la DIREZIONALITÀ e l esstenza del LEGAME DIRETTO tra le due varabl. Mentre la covarazone è osservable la causazone appartene al domno della teora!!!

3 REGRESSIONE LINEARE Quando la relazone s rfersce a due varabl d tpo quanttatvo (I o R) l anals che può essere mpegata è l anals della regressone lneare. In questo caso l obettvo è quello d voler verfcare se la capactà d prevedere valor d una data varable Y, E(Y), aumenta conoscendo valor assunt da una data varable X. REGRESSIONE LINEARE PREVISIONE DEI PUNTEGGI Sappamo che quando non conoscamo l punteggo Y d un soggetto, la mglore prevsone che possamo fare è usare come valore d rfermento l punteggo medo n Y: Y Y Y E Y Ipotes: Questo modello assume che tutt le osservazon vengono dalla stessa popolazone e che le dfferenze osservate sono dovute solo all errore. 3

4 REGRESSIONE LINEARE Se supponamo che l punteggo Y dpende dal punteggo X del soggetto, possamo provare a prevedere l valore d Y n base alla seguente formula: E Y X Y In pratca, potzzamo che (mantenendo la componente stocastca) se la teora è vera, allora l valore atteso d Y è funzone lneare d X. REGRESSIONE LINEARE L anals d regressone (lneare) è una tecnca d anals de dat che esamna la relazone tra una (o pù) varabl esplcatve (VI o predttor) e una varable crtero (o VD). Lo studo della relazone può avere un duplce scopo: ESPLICATIVO es. sottoporre a verfca un modello teorco PREDITTIVO es. ndvduare la combnazone lneare d varabl che consentono d stmare n modo ottmale la VD 4

5 VotoM REGRESSIONE LINEARE La regressone lneare s dce semplce quando abbamo una sola VD (o crtero) e una sola VI (o predttore). L potes che vene formulata rguarda l nfluenza della VI sulla VD. frustrazone predttore aggressvtà crtero crtero Yˆ coeffcente errore x costante predttore REGRESSIONE LINEARE Da un punto d vsta grafco vene ndvduata quella retta che, data la relazone tra le varabl, consente d prevedere al meglo puntegg nella varable dpendente a partre da quell nella varable ndpendente. Dagramma d dspersone TestA 5

6 VotoM REGRESSIONE LINEARE Dato un dagramma d dspersone tra due varabl, la retta d regressone è la mglore delle rette nel senso che è quella retta che passa pù vcna a tutt punt (mnmzza tutte le dstanze tra punt e la retta). S scegle n base al metodo de mnm quadrat. S defnsce mglore la retta che rende mnma la somma de quadrat degl error, coè: ( Y Yˆ ) pù pccolo possble Dagramma d dspersone testa

7 VotoM VotoM Dagramma d dspersone testa ( Y Yˆ) Dagramma d dspersone testa ( Y Yˆ) 7

8 VotoM Dagramma d dspersone (ntercetta) valore d y predetto quanto x è zero 0 Dx Dy y' x testa (coeffcente d regressone ) ncremento d y quando aumenta x ndca l angolo che la retta forma con l asse delle ascsse, coè l nclnazone COEFFICIENTE DI REGRESSIONE Esprme la relazone tra X e Y ne termn delle untà d msura delle due varabl. Non è standardzzato (± ) e s nterpreta solo l segno. se = 1 per ogn ncremento untaro d X c è un ncremento untaro d Y (45 ) ; y' x se = per ogn ncremento untaro d X c è un ncremento doppo d Y ( untà) ; se = 0.5 per ogn ncremento untaro d X c è un ncremento d mezza untà d Y. 8

9 COEFFICIENTE DI REGRESSIONE STANDARDIZZATO Il coeffcente d regressone standardzzato ( ± 1) esprme la relazone tra la varable dpendente (Y) e la varable ndpendente (X) n untà d msura standard (punt z). N.B. Solo nella regressone semplce corrsponde al coeffcente d correlazone. COEFFICIENTE DI DETERMINAZIONE Il coeffcente d determnazone (r ) ndca la proporzone d varanza (%) della varable crtero (Y) spegata da quella del predttore (X). Il valore è compreso tra 0 e 1. predttore crtero REGRESSIONE LINEARE I coeffcent d regressone e della popolazone vengono stmat a partre da coeffcent d regressone camponar a e b: POPOLAZIONE Y 0 1x1 CAMPIONE Y a0 b1 x1 e 9

10 COEFFICIENTE DI REGRESSIONE Il coeffcente d regressone è smboleggato come: (beta) quando c s rfersce al coeffcente non standardzzato della popolazone; b quando c s rfersce al coeffcente non standardzzato calcolato nel campone; (beta) quando c s rfersce al coeffcente standardzzato (punt z) calcolato nel campone. PARAMETRI Nella regressone semplce le formule per l calcolo de parametr sono le seguent: b n 1 ( X n 1 X )( Y ( X X ) Y ) a Y bx 10

11 Y depresson e 61; ds DEPRESSIONE Y o E ANSIA ( Y j ) Y depresson e 61; ds 13 DEPRESSIONE Y Y ANSIA '

12 Y depresson e 61; ds 13 DEPRESSIONE ANSIA Yˆ SIGNIFICATIVITÀ DELLA PREVISIONE Scomposzone Devanza totale, nelle component d errore e d effetto : SQ tot SQ reg SQ err La somma de quadrat totale (SQ tot ) è data da una componente d errore (SQ err ) e da una componente spegata dalla regressone (SQ reg ) 1

13 SIGNIFICATIVITÀ DELLA PREVISIONE SQ tot SQ reg SQ err DEVIANZA SPIEGATA SQ reg Y Y Yˆ Y Y Yˆ SQ tot DEVIANZA TOTALE SQ err DEVIANZA NON SPIEGATA o RESIDUA SIGNIFICATIVITÀ DELLA PREVISIONE Per verfcare la sgnfcatvtà della prevsone, s confrontano le due varanze. La prevsone è sgnfcatva se la varanza spegata dalla regressone è maggore d quella resdua. Le varanze s calcolano dvdendo le devanze per grad d lbertà opportun. GDL tot GDL reg GDL err N 1 ( k) ( N k 1) N = numero d osservazon k = numero d predttor 13

14 SIGNIFICATIVITÀ DELLA PREVISIONE Per confrontare la due varanze e verfcare se quella spegata dalla regressone è maggore d quella resdua, s calcola la statstca F. La varanza spegata dalla regressone va al numeratore, quella resdua al denomnatore. var spegata F var errore F Var Var reg res Dev k Dev N k reg res 1 H 0 :la varanza spegata è uguale a quella resdua (casuale) H : F 1 H : F k gdl F n k 1 SIGNIFICATIVITÀ DELLA PREVISIONE La verfca dell potes nulla (H 0 ) fatta utlzzando la statstca F rguarda l modello complessvo; s assume che tutte le k varabl ndpendent non nfluenzno n modo sgnfcatvo la varable dpendente: H k 0 H o o o... o k 0 14

15 SIGNIFICATIVITÀ DELLA PREVISIONE Se la F è sgnfcatva (H 1 ) allora l anals prosegue per verfcare quale predttore ha determnato l effetto. Vene qund defnta una specfca potes nulla (H 0 ) per cascun predttore. H 0 0 H 1 0 Solo nella regressone semplce questo test è rdondante dal momento che c è un solo predttore. Il test statstco approprato per la verfca è l valore t (un campone): t b H0 s b b s b gdl t n k 1 BONTÀ DI ADATTAMENTO La statstca maggormente mpegata per la valutazone della bontà d adattamento del modello (goodness-of-ft) è l R (effect sze) che vene stmato con la seguente formula: dev spegata R dev totale R n j1 n j1 ( Yˆ ( Y j j Y Y ) ) Il coeffcente d determnazone (R ) ndca la proporzone d varanza (%) della varable crtero (Y) spegata da quella del predttore (X). Il valore è compreso tra 0 e 1. 15

16 ASSUNZIONI Oltre all assunzone d lneartà la regressone multpla s basa sulle seguent assunzon: Nessun errore d specfcazone (no varabl rrlevant, s varabl rlevant); Nessun errore d msurazone della/e varable/ ndpendente/; La meda degl error d predzone (e) attorno ad ogn valore (Y ) predetto deve essere uguale a 0; Gl error d predzone (e) attorno ad ogn valore (Y ) predetto debbono essere ndpendent e dstrbut normalmente; La varanza degl error d predzone (e) attorno ad ogn valore (Y ) predetto deve essere uguale (omoschedastca). (e) (e) (e) OK (Y ) Non Normaltà (Y ) (Y ) Non Omoschedastctà POWER (k = 1) 16

17 POWER (k = 3) ESEMPIO #1 Il voto medo n matematca predce l voto al test d statstca? MBQ sqz Regressone semplce con una varable ndpendente (MBQ; VI-I) e una varable dpendente (sqz; VD-I). H 0 0 H

18 ESEMPIO #1 Anals grafca della relazone Correlazone ESEMPIO #1 R F test a e b t test CI 95% 18

19 ESEMPIO #1 ESEMPIO #1 Questo rsultato c porta a respngere l potes nulla e a supportare l potes alternatva. H H 1 Il voto medo n matematca (MBQ) nfluenza sgnfcatvamente l voto al test d statstca (sqz), F(1,83) = 8.85, p <.001, R =.58. In partcolare, dat evdenzano una relazone postva tra le due varabl, b = 0.093, =.508, 95%CI b [0.059;0.17], ovvero coloro che hanno un voto n matematca pù alto hanno un voto maggore al test d statstca. 19

20 ESEMPIO # L età nfluenza la capactà d copare la fgura d Rey? Età ROCF Regressone semplce con una varable ndpendente (Età; VI-R) e una varable dpendente (ROCF; VD-R). H 0 0 H ESEMPIO # Dat real N = 17 0

21 ESEMPIO # ESEMPIO # 1

22 ESEMPIO #