Analisi dei flussi 182

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1 Programmazone e Controllo Anals de fluss Clent SERVIZIO Uscta Quanto al massmo produce l mo sstema produttvo? Quanto al massmo produce la ma macchna? Anals de fluss 82

2 Programmazone e Controllo Teora delle Code Erlang, 97 s propone d svluppare modell per lo studo de fenomen d attesa che s possono manfestare n presenza d una domanda d un servzo Quando la domanda stessa e/o la capactà d erogazone del servzo sono soggett ad aleatoretà, s possono nfatt verfcare stuazon temporanee n cu ch fornsce l servzo non ha la possbltà d soddsfare mmedatamente le rcheste. Trova applcazone nel settore ndustrale e de servz Dal punto d vsta fsco un sstema coda è un sstema composto da un nseme non vuoto d servtor, capac d fornre un servzo mprecsato, e da un nseme non vuoto d aree d attesa (buffer) capac d accoglere clent che non possono essere servt mmedatamente. I clent che non trovano un servtore lbero al loro arrvo s dspongono n modo ordnato, coè n coda, e vengono servt n accordo a determnate dscplne d servzo. Dal punto d vsta dnamco una coda è costtuta essenzalmente da due process stocastc: l processo d'arrvo de clent e l processo d servzo. Anals de fluss 83

3 Programmazone e Controllo Anals de fluss 84

4 Programmazone e Controllo Gl element che permettono d defnre completamente l fenomeno d attesa sono: la popolazone de clent l processo d'arrvo la coda (n senso stretto) servtor l processo d servzo la dscplna d servzo. Anals de fluss 85

5 Programmazone e Controllo la popolazone de clent l processo d'arrvo la coda (n senso stretto) servtor l processo d servzo la dscplna d servzo. La popolazone è l nseme da cu arrvano clent e a cu tornano dopo essere stat servt. Essa può essere fnta o nfnta. In ambente manfatturero spesso le part per essere lavorate devono essere poste su opportun pallet. Il processo d arrvo, che descrve l modo secondo cu clent s presentano, è n generale un processo stocastco. Esso è defnto n termn della dstrbuzone dell'ntertempo d'arrvo, coè dell'ntervallo d tempo che ntercorre tra l'arrvo d due clent successv. Per ottenere modell analtcamente trattabl d solto s assume che sa l processo d arrvo che quello d servzo sano stazonar, ovvero che le loro propretà statstche non varno nel tempo. Tale assunzone n cert ambt può essere molto lmtatva Anals de fluss 86

6 Programmazone e Controllo la popolazone de clent l processo d'arrvo la coda (n senso stretto) servtor l processo d servzo la dscplna d servzo. La coda (n senso stretto) è formata da clent present nel buffer n attesa d essere servt. La capactà del buffer può essere nfnta o fnta. Nel caso n cu è fnta essa lmta d conseguenza la capactà del sstema, coè l numero de clent n attesa nel buffer pù quell che correntemente sono servt. I clent che arrvano dopo che sa saturata quest'ultma capactà sono respnt. I servtor sono n numero noto e costante fssato a lvello d progetto. Usualmente ess hanno caratterstche dentche, possono sempre lavorare n parallelo, vceversa non possono ma rmanere nattv n presenza d clent n coda. Anche se v sono pù servtor n una coda, n generale, s assume l'esstenza d un unco buffer comune, quando nfatt ogn servtore ha l suo buffer separato s prefersce pensare ad un nseme d code. Può però essere comodo ntrodurre, almeno logcamente, pù buffer n presenza d clent provenent da popolazon dverse. Anals de fluss 87

7 Programmazone e Controllo la popolazone de clent l processo d'arrvo la coda (n senso stretto) servtor l processo d servzo la dscplna d servzo. Il processo de servz descrve l modo secondo cu cascun servtore eroga l servzo. Esso è defnto n termn delle dstrbuzon de temp d servzo de dvers servtor. Il processo de servz è almentato dal processo d'arrvo. Il processo d'arrvo è ndpendente e condzona l processo de servz. Un clente, nfatt, può essere servto solo se è gà arrvato. Quando non c è nessuno, l servtore è nattvo e qund non può avvantaggars n vsta d'mpegn futur. Non può esstere una coda negatva. La dscplna d servzo specfca quale sarà l prossmo clente servto fra quell n attesa al momento n cu s lbera un servtore. Le dscplne d servzo usualmente consderate, poché sa molto comun nella realtà che matematcamente trattabl, sono: servzo n ordne d arrvo FCFS (frst-come frst-served) o FIFO (frst-n frst-out), servzo n ordne nverso d arrvo LCFS (lastcome frst-served) o LIFO (last-n frst-out), servzo n ordne casuale SIRO (servce n random order), servzo basato su class d prortà Anals de fluss 88

8 Programmazone e Controllo La notazone d Kendall numero d servtor dmensone della popolazone sorgente dstrbuzone degl ntertemp d'arrvo A / B/ c /K/m /Z la dscplna d servzo (default: FCFS) dstrbuzone de temp d servzo capactà massma del sstema In partcolare ad A e B possono essere sosttute le seguent lettere: M : dstrbuzone esponenzale (Markovana) D : dstrbuzone costante (Degenere) Ek : dstrbuzone d Erlang d ordne k G : dstrbuzone generca GI : dstrbuzone generca d event ndpendent (per gl arrv) Esempo: M/M/ sta per M/M// / /FCFS coda con processo degl arrv e de servz markovan, un servtore, capactà del sstema nfnta e arrv provenent da una popolazone nfnta che vengono servt su base FCFS. Anals de fluss 89

9 Programmazone e Controllo la Teora delle Code ndvdua alcun ndc d prestazone drettamente legat a cost che, quando valgono alcune potes, sono faclmente calcolabl: L s : numero medo d clent nel sstema (sa n attesa d servzo e che rcevent servzo); L q : numero medo d clent n attesa d servzo; W s : tempo d attesa medo de clent nel sstema (sa n attesa d servzo e che rcevent servzo); W q : tempo d'attesa medo de clent prma d essere servt; p n : probabltà che v sano a regme n clent nel sstema; ρ: fattore d utlzzazone de servtor (rapporto tra tempo mpegato n servzo e tempo dsponble complessvo). Anals de fluss 90

10 Programmazone e Controllo CODA D / D / Gl stant d arrvo de clent ed temp d espletamento de servz rchest sono not a pror. Se la dscplna d servzo è FCFS, per ogn clente, l stante d uscta dal sstema è dato dalla somma del suo tempo d servzo e del massmo tra l suo stante d arrvo e l stante d uscta del clente precedente. a(): stante d arrvo del clente s(): durata del servzo del clente x(): stante d uscta dal sstema del clente w(): tempo d attesa del clente Posto x(0) = 0, s ottene n(t): numero d persone nel sstema all stante t x() = s() + max{x(-), a()} =,2,3,... w() = x() - s() - a() =,2,3,... Qund, per calcolare l numero d clent nel sstema all stante t, basta contare l numero d valor d clent per cu a() t < x(), dal momento che un clente è nel sstema nell stante n cu entra, non v è pù nell stante n cu esce. Il caso totalmente determnstco è però dffcle che occorra nella realtà. Anals de fluss 9

11 Programmazone e Controllo Ne cas pratc s possono trovare code con ntertemp d'arrvo de clent e temp d servzo soggett a dstrbuzon probablstche d quas qualunque tpo. Tra le tante, la dstrbuzone esponenzale è forse quella che trova maggore applcazone e che noltre presenta mglore trattabltà dal punto d vsta matematco. X ha dstrbuzone esponenzale con parametro > 0 quando la sua denstà p(x) è: E[x]=/ Var[x]=/ 2 - la probabltà un evento occorra n un ntervallo d tempo nfntesmo dx è proporzonale a dx, con come costante d proporzonaltà - la probabltà d avere pù d un evento n un ntervallo d tempo nfntesmo dx è nulla; - la probabltà che l prossmo evento rtard oltre un dato lmte non dpende da quanto tempo s è verfcato l evento precedente. Il processo non deve avere qund memora (propretà markovana). La mancanza d memora della dstrbuzone esponenzale rende la stessa ragonevole per modellare gl nter-temp d'arrvo che non sano correlat, coè tal per cu l'arrvo d un clente non favorsca o sfavorsca altr arrv Anals de fluss 92

12 Programmazone e Controllo Processo d Posson Quando gl ntertemp sono esponenzal l numero d event N(t) che s verfca n un dato tempo t è un processo d Posson: E[x]= t Ove esprme l n medo d event nell untà d tempo la frequenza meda. Anals de fluss 93

13 Programmazone e Controllo Processo d nascte - mort N(t) numero d element d una popolazone che può aumentare, per effetto d una nascta, o dmnure, per effetto d una morte, d un untà alla volta 0 2 n- 0 2 n μ μ 2 μ 3 μ n p n (t) valore della probabltà che al tempo t l processo nascte-mort s trov nello stato n probabltà che al tempo t sano n vta n persone sstema d equazon dfferenzal Anals de fluss 94

14 Programmazone e Controllo t l tasso delle mort supera l tasso delle nascte processo stazonaro le sue propretà statstche non varano pù nel tempo l sstema d equazon dfferenzal dventa un sstema d equazon lnear omogeneo Soluzone: Osservazone: Da quest rsultat è possble rcavare le dstrbuzon d probabltà d tutte le code possonane (M/M/ ) Anals de fluss 95

15 Programmazone e Controllo CODA M / M / La coda M/M/ può essere consderata un processo nascte - mort con: Una coda M/M/ è fscamente composta da un buffer e da un solo servtore; n essa l ntertempo tra due arrv successv e l tempo d servzo sono due varabl aleatore markovane, coè con dstrbuzone esponenzale. Il tasso medo d nterarrvo e l tasso medo d servzo sono usualmente ndcat con e µ fattore d utlzzazone esprme l rapporto tra l tempo medo d servzo e l tempo medo tra due arrv. p 0 esste se e solo se ρ < condzone d stabltà Anals de fluss 96

16 Programmazone e Controllo tasso d occupazone del servtore ρ = -p 0 frazone d tempo n cu l servtore lavora La probabltà che c sa almeno un clente nel sstema numero medo d ngress durante un servzo. Una volta note le probabltà p n possono essere calcolat valor delle altre grandezze d'nteresse. numero medo d clent nel sstema varanza numero medo d clent n attesa Lq = Ls [n. medo d clent correntemente servt] = Ls ρ = ρ 2 / (-ρ) Anals de fluss 97

17 Programmazone e Controllo formula d Lttle: Se una coda è stable, qualunque essa sa, n meda devono uscre dal sstema tant clent quant entrano. tempo meda d attesa de clent nel sstema tempo medo d attesa n coda Anals de fluss 98

18 Programmazone e Controllo Fattore d utlzzazone ρ aumenta Cresce l occupazone del servtore Aumenta la permanenza meda Cresce numero medo de clent nel sstema Cresce l numero medo e l tempo medo de clent n attesa ρ aumenta maggore arrvo d clent utlzzo d servtor meno veloc maggore utlzzazone delle rsorse dsponbl mnore costo d acqusto delle rsorse mpegate Anals de fluss 99

19 Programmazone e Controllo CODE M / M / s s servtor n parallelo cascuno con tasso d servzo µ per le propretà dell esponenzale: Il fattore d utlzzazone vale ρ = / (sμ): Coda M / M / n cu v sono nfnt servtor ne self-servce: ogn clente serve se stesso. Anals de fluss 200

20 Programmazone e Controllo CODE M / M / / K La coda M/M//K ha capactà fnta Κ nel sstema non possono essere present pù d K clent La coda M/M//K è sempre stable per defnzone s s tasso d ngresso effettvo: Anals de fluss 20

21 Programmazone e Controllo Programmazone e Controllo Anals de fluss 202 CODE M / M / / K / N ha capactà fnta Ν ma anche popolazone fnta Ν è sempre stable s s s tasso d ngresso effettvo: ) ( ) ( ' s N n n N n n N n n n L N np p N p n N = = = = = = N N

22 Programmazone e Controllo CODE M / G / ha arrv possonan, ma temp d servzo qualunque, purché ndpendent e omogene (con la stessa dstrbuzone), con meda / µ e varanza σ 2 note condzone d stazonaretà formula d Pollaczek-Khntchne) varanza del tempo d servzo L q cresce con σ e qund un servtore regolare ha prestazon mglor Anals de fluss 203

23 Programmazone e Controllo CODE M / D / arrv possonan e tempo d servzo costante è un caso partcolare d M/G/ con σ=0 la formula d Pollaczek - Khntchne s rduce a: La varanza del tempo d servzo è 0 per M/D/ mentre è /µ 2 per M/M/. Il numero medo de clent n attesa d servzo è per una coda M/D/ la metà che per M/M/. Anals de fluss 204

24 Programmazone e Controllo CODE M / E k / è utlzzata per modellare cas ntermed n cu, oltre che la meda e la varanza, è nota anche la forma della dstrbuzone degl ntertemp d servzo. dstrbuzone d Erlang d ordne k dove k è un ntero postvo ed è detto fattore d forma La dstrbuzone d Erlang d ordne k ha meda / µ e varanza / kµ 2. E k è qund una varable aleatora non negatva che dpende da due parametr: µ e k dove µ determna la meda k determna la varanza. La somma d k varabl aleatore ndpendent esponenzal cascuna con meda / kµ: T = T + T T k è una v.a. con dstrbuzone d Erlang d ordne k e parametr µ e k. per k che tende all'nfnto la dstrbuzone d Erlang tende alla a dventare la dstrbuzone normale Anals de fluss 205

25 Programmazone e Controllo la dstrbuzone d Erlang può essere nterpretata come la dstrbuzone del tempo d servzo d un sstema n cu v sano k servtor esponenzal n sere, n cu però l prmo servtore non può nzare un nuovo servzo se l'ultmo non ha concluso l propro Anals de fluss 206

26 Programmazone e Controllo CODE M / H R / è utlzzata quando le varanze de temp d servzo sono maggor d /µ2 dstrbuzone peresponenzale d ordne R può essere nterpretata come la dstrbuzone del tempo d servzo d un sstema n cu v sano R servtor esponenzal con prestazon dfferent Il clente scegle con probabltà α servtore l -mo un clente non può nzare ad essere servto prma che l clente che lo precedeva non sa uscto dal sstema servtor sono n parallelo ma non possono lavorare contemporaneamente Anals de fluss 207

27 Programmazone e Controllo varanza del tempo d servzo Pollaczek - Khntchne Anals de fluss 208

28 Programmazone e Controllo Anals de fluss produttv Qual è la capactà produttva del mo sstema? (Macchna, lnea, mpanto, processo) Sstema a cadenza costante n ngresso: μ C pot = 300s / pz T max = = 2 pz / h C 750 = 750 = 350 = 5 5 = 350s / / pz pezzo μ eff eff 750 = = 350s / pz = = 0.3pz / h 350 Sstema a cadenza stocastca n ngresso: μ C pot = 300s / pz T max = = 2 pz / h μ C 750 = = = 350s / pezzo eff eff 750 = = 437.5s / pz 4 = = 8.3pz / h -9.4% Anals de fluss 209

29 Programmazone e Controllo Anals d un centro d lavorazone n cu pezz arrvano a lott e partono a lott Spessssmo nell ndustra manfatturera, l problema del trasporto de pezz fa sì che non sa convenente spostare un pezzo alla volta Trasporto a lott b dmensone del lotto ρ = μ b b = μ ρ L s = b ρ W s = b μ ρ Numero d pezz nel sstema Tempo d attraversamento Anals de fluss 20

30 Programmazone e Controllo Anals d un centro d lavorazone n cu pezz arrvano a lott e partono sngolarmente Grafo degl stat: 0 μ μ 2 b μ b+ μ b+2 n μ p ( 2) = ( + μ) p( ) Eq. D blanco per l nodo ρ + b L s = ρ 2 + b W s = μ ρ 2 È evdente che è sempre pù favorevole rspetto a prma per b > Anals de fluss 2

31 Programmazone e Controllo Ret d Code Nelle ret d Jackson ad ogn coda è assocato un nseme d probabltà tempo nvarant, una per ogn altra coda del sstema e una per l'unverso esterno. In base a tal probabltà ogn clente, una volta termnato l servzo n una coda, è ndrzzato o fuor dal sstema o verso un'altra coda. la generca coda -ma osserva un processo d'arrvo d clent possonano d parametro tasso d arrv alla coda de clent che provengono dall'esterno del sstema probabltà che un clente n uscta dalla coda j-ma sa ndrzzato verso la coda -ma tasso complessvo d arrvo de clent alla coda j-ma Anals de fluss 22

32 Programmazone e Controllo Conservazone de fluss In una rete d code dal comportamento stable, fluss s conservano sa consderando l ntero sstema che ogn sotto sstema uscta ngresso X = I M uscta Probabltà d nstradamento X j M 2 M 3 M X M e = + j= I p X = j j X M j Flusso entrante dall esterno EQUAZIONI DI FLUSSO Verfcando che ogn pezzo deve andare da qualche parte: M j= p j + p uscta, j = Anals de fluss 23

33 Programmazone e Controllo Caso nteressante e frequente: un solo ngresso dall esterno ES: Tutta la merce che entra dall esterno deve passare per l montaggo su support M X j M X j M 2 M 2 M 3 M X M 3 M X M j M j Sstema d equazon lnear: M X = + p j= j X j X M = p j= j X j Dato e le probabltà d nstradamento ho una soluzone unca se esprmo: N d volte che un pezzo passa sotto la macchna X = V Anals de fluss 24

34 Programmazone e Controllo M V = + p M j= j= V = pjv j jv j Sstema d equazon d blancamento de fluss personalzzate per un solo ngresso nel sstema ESEMPIO: p probabltà che l pezzo debba essere rlavorato μ V = + pv V = p Anals de fluss 25

35 Programmazone e Controllo CAPACITÀ DEL SISTEMA Posso defnre l utlzzo della rsorsa -esma X = M V ρ = X μ S X X V = S μ S μ Numero d servtor Nessuna macchna può superare la capactà massma teorca ρ < V < S μ È un sstema d dsequazon Il massmo possble per l mo centro d lavoro è: È la CAPACITÀ MASSIMA = mn S μ V L elemento connesso con questo numero è l collo d bottgla Anals de fluss 26

36 Programmazone e Controllo DIMENSIONAMENTO DEL SISTEMA PRODUTTIVO Supponamo ora d voler produrre con una capactà d: X * < Allora: X * S μ < mn V S μ X * V Condzon affnché o possa produrre con quella capactà ESEMPIO: SISTEMA DI TRASPORTO μ 2 MACCHINA 2 Dmensonare l numero d carrell not: MACCHINA μ μ T X* = 0.6 pz/mn μ = μ 2 = pz/mn μ T = /5 pz/mn V = V 2 = V T = V p + V 2 p 2 = + = 2 M: 0.6 M2: 0.6 T: S / S = 6 carrell Anals de fluss 27

37 Programmazone e Controllo Programmazone e Controllo Anals de fluss 28 = S V V S μ μ max mn Il mo scopo è quello d far dventare mnmo l denomnatore = S V Z μ mn max Questo valore è quello che m massmzza la produttvtà n base alle scelte mpantstche e d lnea qual passagg de pezz sulle macchne, l numero d servtor, e la capactà produttva massma de centr La CAPACITÀ MASSIMA sarà allora: = = S V Z μ mn max max MASSIMIZZAZIONE DELLA CAPACITÀ PRODUTTIVA

38 ESEMPIO: Programmazone e Controllo è una funzone della veloctà produttva μ: p μ Caso pù reale n cu la veloctà mpostata sulla macchna ncde sulla quanttà d pezz da rlavorare p = μ + μ 2 3 p Se la veloctà mpostata è molto bassa la dfettostà è quas nulla. Se aumentamo la veloctà la dfettostà aumenta fno all untà m Anals de fluss 29

39 Programmazone e Controllo Z V V mn max = mn S μ μ = = Z m Veloctà produttva della macchna cu corrsponde la massma produttvtà Capactà produttva massma Anals de fluss 220

40 Programmazone e Controllo Caso d macchne n parallelo p p 2 p 3 p 4 p n μ μ 2 μ 3 μ 4 μ n S dmostra che la probabltà d nstradamento ottma per ogn macchna è: Il numero d pezz n ngresso ad ogn macchna sarà proporzonale alla corrspondente probabltà d nstradamento: ottma p ( n pezz) = n μ = μ ottma p μ eq In questo caso allora l sstema è equvalente ad una sola macchna con: μ eq = n = μ Anals de fluss 22

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