QUANTIZZAZIONE diverse fasi del processo di conversione da analogico a digitale quantizzazione

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1 QUANTIZZAZIONE Di seguito lo schema che illustra le diverse fasi del processo di conversione da analogico a digitale. Dopo aver trattato la fase di campionamento, occupiamoci ora della quantizzazione. La grandezza campionata, a partire dal segnale originario, è ancora una grandezza analogica, cioè che può assumere infiniti valori. Rispetto al segnale originario la differenza è che la grandezza campionata può cambiare valore solo in corrispondenza di multipli interi del periodo di campionamento. La quantizzazione consiste nel limitare il numero di valori che la grandezza può assumere. Questa operazione introduce un errore, che sarà però tanto più piccolo quanto maggiori saranno i valori usati. A differenza del campionamento (dove, almeno in teoria, è possibile ricostruire sotto certe condizioni esattamente il segnale), la quantizzazione introduce sempre un'approssimazione e dunque un errore sul segnale.

2 VFSR, quanto e numero di intervalli di quantizzazione I valori che una grandezza analogica può assumere sono infiniti, ma questi possono essere in generale delimitati all'interno di un certo intervallo. In generale, volendo digitalizzare una grandezza analogica, occorre definire preliminarmente l'intervallo massimo di variazione della grandezza stessa, il quale deve essere sufficientemente ampio da comprendere tutti i valori possibili. Dato che, parlando di conversione AD, la grandezza analogica è alla fine sempre una tensione, senza perdere in generalità possiamo considerare una tensione che può assumere infiniti valori all'interno di un intervallo. Tale intervallo viene detto Voltage Full Scale Range (intervallo di tensione di fondo scala), abbreviato in VFSR. Esempio Se la nostra tensione analogica varia fra -2 e +10V, il VFSR sarà pari a 12V. I casi più frequenti nella pratica sono quelli in cui il segnale da quantizzare sia unipolare (cioè vari fra 0 e un valore massimo, es. fra 0 e 5V) oppure bipolare (cioè variabile all'interno di due valori simmetrici, negativo e positivo, es. fra -5V e +5V). La quantizzazione riduce gli infiniti valori della grandezza analogica a un numero finito di valori N. Si dice quanto il rapporto fra il VFSR e il numero N di valori di quantizzazione: Q = VFSR/N. Esempio Supponiamo di voler quantizzare una tensione bipolare compresa fra -8V e +8V con 8 valori discreti (il numero dei valori possibili è normalmente una potenza di 2, dato che il processo di digitalizzazione usa di solito la codifica binaria). In questo caso il quanto vale: Q = VFSR/N = 16/8 = 2 V In pratica l'intervallo di valori viene suddiviso in un numero N di intervalli uguali (detti intervalli di quantizzazione) tutti di ampiezza uguale a un quanto. Errore di quantizzazione Per comprendere l'errore di quantizzazione occorre considerare il processo di conversione da analogico in digitale e quindi nuovamente da digitale in analogico nel suo complesso. Infatti l'errore di quantizzazione è quell'errore introdotto dalla quantizzazione, il cui effetto è quello di produrre una tensione analogica "riconvertita" di valore differente rispetto a quello

3 originario. Per comprendere meglio il discorso si consideri il seguente ipotetico collegamento in cascata di un ADC e di un DAC: Si ha un errore di quantizzazione se la tensione analogica ricostruita dal DAC differisce dalla tensione in ingresso all'adc. L'entità di tale differenza costituisce appunto il valore dell'errore introdotto dalla quantizzazione. Come si vede, l'errore ha senso solo se si pensa al procedimento completo che, da una tensione di partenza, ricostruisce una tensione di arrivo. Il DAC deve riconvertire in tensione i valori prodotti in uscita dall'adc, cioè in sostanza deve, dall'intervallo di quantizzazione, tentare di ricostruire il valore della grandezza originaria. La scelta più logica è quella di assegnare alla grandezza il valore centrale dell'intervallo di appartenenza. Supponiamo per esempio di voler quantizzare, usando la quantizzazione descritta nel precedente paragrafo, una tensione per esempio pari a 3,5 V. Tale valore cade nell'intervallo compreso fra 2 e 4V. Di conseguenza verrà approssimata per mezzo del valore centrale dell'intervallo, cioè in questo caso 3 V.

4 La scelta di utilizzare il valore centrale dell'intervallo per l'approssimazione è motivata dal fatto che in questo modo si riduce l'errore dovuto all'approssimazione stessa. Infatti, nel caso peggiore possibile (quello di un valore da quantizzare che "cade" proprio in corrispondenza di uno degli estremi dell'intervallo di quantizzazione) l'errore nel nostro caso sarà pari a 1 V. Facendo un esempio, se la tensione da quantizzare valesse 2V, sarebbe approssimata ancora col valore 3V e questa è la situazione peggiore dal punto di vista dell'errore di quantizzazione. Di definisce errore massimo di quantizzazione come il massimo errore di approssimazione dovuto al solo processo di quantizzazione. Non è difficile rendersi conto che tale errore (scegliendo di approssimare i valori con il punto centrale di ogni intervallo) è pari alla metà del quanto: E max quantizzazione = Q/2 Errore di quantizzazione, tensione di fondo scala e numero di livelli Abbiamo visto che il quanto Q è legato all'intervallo di tensione di fondo scala VFSR e al numero di livelli N dalla formula: Q = VFSR/N Siccome l'errore di quantizzazione massimo è dato da, E max quantizzazione = Q/2 mettendo insieme le due formule precedenti abbiamo che, E max quantizzazione = VFSR/2N. Dalla formula precedente è evidente che per ridurre l'errore di quantizzazione è possibile agire in due modi: aumentare il numero di livelli N; ridurre l'intervallo di tensione di fondo scala VFSR.

5 Ridurre VFSR in pratica significa fare in modo che l'intervallo di fondo scala usato nella quantizzazione corrisponda il più possibile con l'intervallo effettivo di variazione della grandezza da quantizzare. Scegliere un VFSR troppo grande comporta un aumento dell'errore di quantizzazione. In pratica è la stessa cosa che avviene quando si effettua una misura con uno strumento, ad esempio una misura di tensione con un tester: la misura è tanto più precisa quanto più piccolo è il fondo scala dello strumento. Occorre osservare che E max quantizzazione è un errore assoluto, il cui effetto è dunque percentualmente più rilevante sulle tensioni di piccola ampiezza, rispetto a quelle grandi.

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