( X, Y ) che danno un livello costante di utilità (curva di livello). Fissando per esempio il valore U 0 per

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1 Funzioni di utilità (finlmente un po di geroglifici, dopo i grffiti) NB: non fte leggere queste pgine un mtemtico, ltrimenti mi msscr!. Definizione e proprietà Considerimo due eni e di interesse per un consumtore, e supponimo che le preferenze del consumtore sui pnieri di quei eni sino en definite. Usimo le scritture (, ) f (, ) oppure (, ) (, ) per dire, rispettivmente, che il pniere (, ) è preferito l pniere (, ), oppure che il pniere (, ) è indifferente l pniere (, ) U,, un funzione che ssegn un v- Ciò posto, si dice funzione di utilità dei due eni e, e si scrive ( ) lore numerico d ogni pniere, cioè d ogni coppi (, ), con le seguenti proprietà: U U (, ) > U (, ) se e solo se (, ) f (, ) (, ) = U (, ) se e solo se (, ) (, ) Un funzione di utilità è un modo lterntivo per rppresentre le preferenze del consumtore, e i suoi vlori non vnno interpretti come misure di qulche grndezz psicologic: sono semplicemente numeri che rppresentno un grdo di preferenz. Il vntggio è che l usule ordinmento sui numeri ( mggiore oppure ugule ) ci è più fmilire dell ordinmento di preferenz definito direttmente sui pnieri ( f oppure ). Inoltre, tle rppresentzione consente di usre un poco di nlisi mtemtic. Il grfico dell funzione di utilità è un superficie nello spzio tridimensionle, dove il pino di se contiene tutte le coppie (, ) e l sse verticle misur l utilità. Si deve trttre, ovvimente, di un funzione crescente, per vi dell ipotesi di non szietà: se ument un delle due quntità, o entrme umentno, l utilità ument. Inoltre, in genere si ssume che il grfico si concvo, cioè l crescere delle quntità è sì vero che l utilità ument, m ess ument sempre più lentmente ( sturzione ). Dt un funzione di utilità, è fcile definire un qulsisi curv di indifferenz: si trtt di tutte le coppie (, ) che dnno un livello costnte di utilità (curv di livello). Fissndo per esempio il vlore U per l utilità, l curv di indifferenz corrispondente è costituit dl seguente insieme: {(, ): U (, ) = U }, che si legge l insieme di tutte le coppie (, ) tli che U (, ) è pri ll costnte U. L intuizione grfic è dt dll figur pg. 9 del vostro liro. 2. Rppresentre in geroglifici il sggio mrginle di sostituzione Ricordte che il sggio mrginle di sostituzione è, prte il segno, l inclinzione di un curv di indifferenz in un punto: il suo significto è qunto sono disposto cedere di per ottenere un unità di, che imo nche chimto il eneficio mrginle di. In geroglifici, è l derivt dell curv di indifferenz, ovvero l inclinzione dell rett d ess tngente in un punto, sempre trlscindo il segno. Per cpire come rppresentre il sggio mrginle di sostituzione in termini nlitici, doimo fre un intermezzo. Intermezzo: uso opertivo delle derivte Ricordimo che l derivt di un funzione in un punto è dt dll inclinzione dell rett tngente l grfico in quel punto. Qundo conoscimo il vlore dell derivt di un funzione in un punto, cos ci serve? L rispost è: ci serve stimre di qunto vrieree l vriile dipendente se quell indipendente si modificsse di un qulsisi (piccolo) mmontre; cioè: ditemi di qunto si muove l, e io vi stimo come cmi l di conseguenz. Il ftto che si un stim deriv dll not circostnz che l rett tngente è un pprossimzione (l primo ordine) ll curv del grfico, e quindi occorre nche premurrsi di effetture piccole vrizioni. Si consideri il grfico seguente. Si trtt di un funzione di un singol vriile = f(). Come

2 vedete, se prtire d imprimimo un piccolo umento pri d, l vrizione dell vlutt sull rett tngente l punto di prtenz pprossim stnz ene l vrizione dell lungo l curv del grfico di f. Per vlutre l vrizione d lungo l rett st moltiplicre l vrizione in sciss, d, per il coefficiente ngolre, che però è l derivt di f, chimt D nell figur (è un numero!). d= D d d +d ( ) Bene, immginte or di vere invece un funzione di due vriili, come l nostr funzione di utilità U = U,. Spete che in questo cso esistono due derivte przili, indicte rispettivmente con i sim- oli e. Il significto delle derivte przili è: di qunto vri l vriile dipendente U se un delle due vriili, per esempio, ument di un unità mentre l ltr,, non si muove (stimo dunque prlndo di ). Or, ciscun delle due derivte, clcolte in un punto, è un numero, e lo si utilizz esttmente come prim: possimo stimre di come vrieree U se si muovesse di un (piccolo) mmontre d mentre st ferm, e l stim è semplicemente du = d ; nlogmente, possimo stimre di come vrieree U se si muovesse di un (piccolo) mmontre d mentre st ferm, e l stim è semplicemente du = d. Cos ccde se entrme le vriili si muovono? Un fmoso risultto reltivo i differenzili totli dice che l vrizione dell U, in questo cso, è semplicemente l somm dei contriuti seprti delle due vrizioni: ovvero du = d + d (NB: è di nuovo un pprossimzione che vle per piccole vrizioni). Fine dell intermezzo Indovinte un po come gli economisti chimno le derivte dell funzione di utilità? Siccome si trtt di vrizioni di utilità in seguito cmimenti unitri delle quntità e, si chimno utilità mrginli. Avremo l utilità mrginle di, cioè, che il vostro liro indic (dll inglese mrginl utility) con, e l utilità mrginle di, cioè, che il liro indic con. Le utilità mrginli devono essere in generle positive, in qunto imo supposto che l funzione di utilità si crescente. Cerchimo or di cpire come si possono usre queste nozioni per rppresentre il sggio mrginle di sostituzione. Ricordimo che si trtt dell inclinzione di un curv di indifferenz, cioè il rpporto fr l vrizione di (d) e l vrizione dell (d) lungo l rett tngente ll curv di indifferenz in un punto, che ene pprossim le vrizioni lungo l curv stess ( ptto che le vrizioni sino piccole). Dunque il sggio d mrginle si sostituzione si può esprimere come per piccoli movimenti lungo l curv di indifferenz. Si d consideri il seguente grfico: 2

3 d d + Or, ricordte dll intermezzo di prim che noi possimo stimre l vrizione dell utilità in seguito qulsisi piccolo movimento delle due quntità e trmite l uso del differenzile, cioè clcolndo l espressione du = d + d. Ricordimo che imo convenuto di utilizzre l nozione di utilità mrginle: = e =. Dunque l nostr espressione di prim divent du = d + d Cos signific, però, muoversi d un punto ll ltro lungo une medesim curv di indifferenz? Signific che l e l non si possono muovere liermente, m si devono muovere proprio in modo tle d lscire invrit l utilità. M dire che l utilità non vri signific dire che l su vrizione ( du ) è pri zero [qulche volt mi stupisco delle nlità che dico]: cioè, se le vrizioni d e d sono proprio tli d frci rimnere sull curv di indifferenz, doimo vere du =! Sostituimo nell precedente espressione: ottenimo d + d =. A prole: le due vriili devono muoversi in modo che l somm dei due loro contriuti ll vrizione dell utilità si null: solo così simo sicuri di rimnere sull medesim curv di indifferenz. Dopo due semplici pssggi (che ho ftto lezione e che or lscio voi) ottenimo d d =. Infine, ricordimo che il sggio mrginle di sostituzione (MRS secondo il liro) è espresso trscurndo il segno; dunque imo: MRS = 3. Tre funzioni di utilità 3.. Co-Dougls (esempio del cso generle) Prende il nome di Co-Dougls l seguente funzione di utilità: U (, ) = A A lezione vevo trlscito l costnte moltiplictiv A; or l uso, nche se le cose cmino di poco. Si suppone che gli esponenti e sino positivi (tlor conviene ssumere che essi sino nche minori di uno, m non sempre vle l pen di frlo). Comincimo con il trovre l espressione nlitic per un curv di indifferenz corrispondente l livello di utilità U. Bst porre A = U e risolvere in (visto che, nel grfico di un curv di indifferenz, ppre come vriile dipendente ). U U Prim ottenimo = (che volendo fre i sofisticti si potree scrivere come = ). A A 3

4 Poi elevimo tutto ll esponente, ottenendo ( ) U =. NB: lezione vevo posto A=). A U Finito: l funzione che esprime un curv di indifferenz è =. A U = = (che si può scrivere nche come A Or, il termine tr prentesi è un costnte, e dunque se viene elevto d un potenz rimne costnte. Siccome poi i due prmetri e sono positivi, lo è nche il loro rpporto, per cui cresce l crescere di, d zero infinito. Poiché, infine st l denomintore di un frzione, l frzione tende infinito per che tende zero, e tende zero per che tende infinito, rimnendo sempre positiv. Il grfico non può llor che essere quello tipico delle curve di indifferenz decrescenti e convesse. Procedimo or clcolre le utilità mrginli (ssumo che vi ricordite le regole di derivzione!): = A = A = A = A Chirmente, le utilità mrginli sono positive. Si noti inoltre l seguente cos: se supponimo che i prmetri e sino inferiori uno, gurdndo le espressioni che stnno nell prte medi delle precedenti definizioni cpite che, nell utilità mrginle di (rispettivmente ), (rispettivmente ) è elevto d un numero negtivo. Dunque, se l quntità di (rispettivmente ) st ferm, llor l utilità mrginle di (rispettivmente ) diminuisce l crescere di (rispettivmente ). In ltri termini: se l quntità che ho già di è piccol (grnde) l incremento di utilità che consegue ll incremento di un unità di è grnde (piccolo): solit ide di sturzione. Pssimo infine l sggio mrginle di sostituzione, che come visto sopr vle MRS = cso di funzione di utilità Co-Dougls, il sggio mrginle di sostituzione vle:. Quindi, nel MRS = A A =. Il sggio mrginle di sostituzione in ogni punto di un curv di indifferenz, llor, è pri l rpporto fr i due prmetri e (l numertore l esponente dell prim vriile) moltiplicto per il rpporto fr il vlore delle due vriili (l numertore l second vriile). Se i due prmetri sono tr loro uguli, o ddirittur se entrmi vlgono, imo come cso prticolre MRS =. In generle, però, si vede che il sggio mrginle di sostituzione diminuisce ll umentre di ( prità di ): solit ide di sturzione Funzione linere (sostituti perfetti) Considerte l seguente funzione di utilità linere: dove si suppone che i prmetri e sino positivi. (, ) = U + 4

5 Curve di indifferenz. Come prim, fissimo un livello di utilità U, e risolvimo in. Dunque, prtire d U = + ottenimo fcilmente: U =. Siccome le curve di indifferenz sono decrescenti e lineri, simo nel cso dei sostituti perfetti. Notre che l inclinzione ( prte il segno) ument qundo ument il rpporto fr i due prmetri. Ovvio: se il contriuto del ene ll utilità ument rispetto quello del ene (cioè se ument), signific che il ene diviene più prezioso, e in questo cso, come sppimo in generle, le curve di indifferenz diventno più verticli. Utilità mrginli. Bnle: =, e =. In questo cso le utilità mrginli sono costnti l vrire dei livelli delle quntità dei due eni (non vle più l ide di sturzione ). Sggio mrginle di sostituzione. Di nuovo nle: MRS = =, che è costnte come già spevmo dll nlisi purmente grfic. Notte che, siccome il MRS è l inclinzione delle curve di indifferenz trscurndo il segno, potevte ottenere questo risultto direttmente dll espressione dell curv di indifferenz, dove il coefficiente ngolre è ppunto, prte il segno, pri d Complementi perfetti Considerte quest strn funzione di utilità: U (, ) = min(, ) che signific: l utilità derivnte dlle quntità e dei due eni è pri l minimo fr i due numeri e. Si suppone che e sino positivi. Scordtevi di procedere come nei csi precedenti, perché in questo cso non esistono espressioni esplicite per le intere curve di indifferenz, per le utilità mrginli, e per i sggi mrginli di sostituzione (o meglio, esistereero m sreero noiose d scrivere; lcune indiczioni per i più curiosi sono riportte nell not più vnti). Procedimo invece come segue. Per prim cos individuimo le coppie, o pnieri, (, ) tli per cui i due termini dentro l funzione min di cui sopr sono uguli tr loro. D = ottenimo = : si trtt di un rett crescente di inclinzione pri /, che cioè contiene tutti i pnieri che, per ogni unità di, contengono / unità di. Considerimo uno qulsisi dei pnieri che stnno su quell rett, dicimo (, ), con =. Se, prtire d quel punto del pino, fccimo umentre prità di, llor ument m no: questo signific che min(, ) continu essere ugule, visto che è umentto m non è umentto. In ltri termini, muovendosi orizzontlmente destr prtire d (, ) l utilità rest costnte; m ciò signific, per definizione, che rimnimo sull medesim curv di indifferenz. Dunque l semirett orizzontle che st destr del punto (, ) è un pezzo dell curv di indifferenz che include (, ). In modo nlogo, se prtire d (, ) fccimo umentre senz che umenti, trovimo che l utilità non ument, e dunque l semirett verticle che st sopr il punto (, ) è un ltro pezzo dell curv di indifferenz che include (, ). è un ngolo retto che h per vertice il pun-. Simo dunque nel cso dei complementi perfetti. Solo umentndo entrme le quntità potremo Concludimo che l curv di indifferenz che contiene (, ) to (, ) 5

6 umentre l utilità: in prticolre, se ci muovimo su un nuovo punto lungo l rett sul vertice di un nuovo ngolo retto. = ci troveremo Lscio voi fre il grfico, che perltro ho ftto lezione. Per i più curiosi, riportimo lcune delle crtteristiche dell funzione di utilità sotto esme. Utilità mrginli. Tenete en presente dvnti i vostri occhi il grfico di un curv di indifferenz d ngolo retto; se simo sinistr del vertice, cioè se <, un umento di prità di f umentre l utilità, perché il minore fr i due termini st umentndo; siccome l utilità ument in questo cso secondo l funzione, l utilità mrginle di è pri l prmetro. Se invece simo nel cso, cioè destr del vertice, un umento di prità di non f umentre l utilità, visto che il minore dei due termini () rimne invrito. Ne segue:, se < =, se Con un rgionmento nlogo trovimo che, se < =, se Sggio mrginle di sostituzione. Le curve di indifferenz hnno trtti orizzontli (inclinzione pri zero) destr di un qulsisi vertice, cioè nell zon dove vle >, ed hnno trtti verticli (inclinzione pri sopr un qulsisi vertice, cioè nell zon dove vle >. Ne segue:, se > MRS =, se > Infine, se simo esttmente in un vertice (punto ngoloso) il sggio mrginle di sostituzione non è definito. 6

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