Università degli studi di Cagliari. Corso di aggiornamento. Unità 4 PIASTRE IN C.A. E INSTABILITÀ. - Analisi Limite: Metodo delle Linee di rottura

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1 Università degli studi di Cagliari Dipartimento di Ingegneria Strutturale Corso di aggiornamento Unità 4 PIASTRE IN C.A. E INSTABILITÀ RELATORE: Ing. Igino MURA imura@unia.it -6 Giugno 00 - Analisi Limite: Metodo delle Linee di rottura

2 METODO DELLE LINEE DI ROTTURA ( Yield Line ) Premesse L appliazione del teorema inematio ondue in genere a una agevole valutazione del limite superiore del ario di ollasso. Numerosi risultati sono ontenuti nei lavori di Johansen he per primo ha elaborato la teoria delle linee di rottura e in suessive opere di altri Autori. Si onsiderano a tale sopo una o più famiglie di meanismi, definite da settori rigidi di piastra e da linee di rottura (erniere ilindrihe plastihe formatesi a seguito dello snervamento dell aiaio e del raggiungimento del momento plastio limite). Per determinare il ario he ha trasformato la piastra in meanismo si utilizza normalmente il Prinipio dei lavori Virtuali, on il quale si eguaglia il lavoro fornito dai arihi esterni a quello dissipato nelle linee di rottura (erniere plastihe ilindrihe). In alternativa è anhe possibile utilizzare il osiddetto Metodo delle Forze Nodali (metodo peraltro obsoleto e poo utilizzato). Linee di rottura Linee di rottura

3 Definizione della famiglia di meanismi La definizione delle famiglie di meanismi riveste una importanza fondamentale per l appliazione del metodo inematia, he su di esso si fonda. Lo sopo è quello di individuare la famiglia he ontenga il meanismo he fornise il più piolo valore del ario di ollasso. Non esistono regole preise per la individuazione dei meanismi: l esperienza e l intuito ingegneristio devono essere di guida. Tuttavia il disegno del meanismo deve soddisfare alle seguenti presrizioni: la figura del meanismo deve suddividere la piastra in settori rigidi, he si assume restino piani anhe a ollasso, mentre tutte le deformazioni sono onentrate nelle erniere ilindrihe; le erniere ilindrihe sono segmenti di retta; una erniera ilindria he separa due settori rigidi a ollasso deve passare per il punto di intersezione degli assi di rotazione dei settori rigidi medesimi; una erniera ilindria non può separare più di due settori rigidi; gli assi di rotazione sono in numero pari a settori rigidi e sono fisiamente definiti da bordi appoggiati, da erniere ilindrihe in orrispondenza a bordi inastrati ovvero ad appoggi puntuali (pilastri).

4 Esempi di famiglie di meanismi

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6 - Caratteristihe delle armature Nelle piastre le armature, inferiori e superiori, sono disposte seondo le direzioni degli assi prinipali. A e A- indiano l area, per unità di lunghezza di piastra, delle sezioni di armatura disposte parallelamente a, inferiori e superiori. A y e A- y rappresentano le analoghe sezioni di armature, disposte parallelamente a y, inferiori e superiori. k = A y / A = A- y / A- è il oeffiiente di ortotropia, rapporto tra le aree delle armature disposte in un medesimo lembo, inferiore o superiore, per unità di lunghezza della piastra. g = A- / A = A- y / A y è il oeffiiente di anisotropia, rapporto tra le aree delle armature, superiori ed inferiori, he hanno la medesima orientazione, per unità di lunghezza della piastra.

7 Momenti plastii Si india poi on d il braio di leva della oppia interna, he si pone ostante sia per la flessione he tende le fibre inferiori he superiori, indipendentemente dalla direzione delle armature (risulta d d essendo il rapporto (/d) 0. ) Nelle piastre in emento armato di spessore ostante, ammettendo he il momento limite ui possono attingere dipenda dalla sola armatura tesa, i momenti limite per unità di lunghezza sono dati da: M = A d Fsy, ( momento limite relativo alle armature inferiori dirette ome ), M y = k M (idem, dirette ome y), M- = g M ( momento limite relativo alle armature superiori dirette ome ), M- y = g k M (idem, dirette ome y).

8 6 Criterio di plastiità y Mp y M - p M ϕ M - ϕ My Cerniera plastia positiva M - y Cerniera plastia negativa In una retta d artiolazione inlinata di un angolo ϕ rispetto alla direzione dell asse, i momenti limite per flessione positiva Mp (snervamento delle sole armature inferiori) e per flessione negativa M-p (snervamento delle sole armature superiori) possono sriversi, relativamente alla lunghezza unitaria, in base al riterio di plastiità di Johansen: Mp = M ( sen ϕ k os ϕ ) M-p = M ( sen ϕ k os ϕ ) g Se la piastra è isotropa e le armature nelle due direzioni ortogonali hanno la stessa sezione per strise di uguale larghezza (k = ), le preedenti diventano: Mp = M M-p = M g E i momenti plastii risultano ostanti ed indipendenti dalla orientazione.

9 7 PRINCIPIO DEI LAVORI VIRTUALI L appliazione del Prinipio dei Lavori Virtuali neessita del alolo del lavoro We fornito dai arihi esterni, del lavoro interno Wi dissipato dai momenti plastii agenti nelle erniere plastihe e infine del lavoro Wϕ dissipato negli eventuali meanismi a ventaglio formatisi negli spigoli delle piastre. Il PLV assume la seguente forma: 7. Lavoro dissipato nelle erniere La dissipazione W i si srive: W i W ϕ = W e W i = Σ D i Σ D - i on: Di= M p l Θ Nella preedente espressione di Di, M p è il momento plastio della generia artiolazione (per un tratto di lunghezza unitaria), l è la sua lunghezza e Θ è il modulo del vettore rotazione relativa fra le porzioni rigide separate dall'artiolazione, ome rappresentato in figura: erniera positiva () erniera negativa (-) L espressione del lavoro per le erniere he snervano rispettivamente le armature inferiori () e superiori (-) si srive: Di = M p l Θ D-i = M p - l Θ Le preedenti relazioni possono essere rese non dimensionali ponendo: l = l L w i = Di L M

10 7. Lavoro dissipato nei ventagli Nelle piastre ortotrope, l espressione del lavoro Dϕ j dissipate nello j mo ventaglio assume la forma: k Wϕ = j M [( g ) os( α j k ( g) Ψ j ] δv j β ) sin Ψ dove, ome risulta nella figura suessive δ V j è lo spostamento virtuale del vertie V dello j mo ventaglio, Ψ j è l angolo al entro del ventaglio, α j e β j sono gli angoli dei raggi di periferia del ventaglio rispetto all asse delle. Le preedenti relazioni possono essere rese non dimensionali δ j ponendo: vj V Dϕ j δ =, wϕ j = L L M y V r Ψ β - α dφ dφ Nelle piastre isotrope, indiando on Mp and M-p i momenti delle erniere plastihe relativi alle armature rispettivamente inferiori e superiori, l espressione Wϕ j assume la forma più semplie: φ j j Wϕ = j ( Mp M-p) δvj ϕ j dove δv j è lo spostamento virtuale del vertie dell j mo ventaglio e ϕ j è l angolo al entro del ventaglio.

11 7. Lavoro fornito dai arihi Detto C un punto della piastra sul quale agise il ario per unità di superfiie P(,y), se da è un areola infinitesima he ontiene C e V(,y) è il spostamento trasversale a ollasso, il lavoro fornito dai arihi esterni vale: W e = A P(, y) V (, y) da Le preedenti relazioni possono essere rese non dimensionali ponendo: we De L M =, V v =, L A a =, L p = P L 6 M

12 Calolo del limite superiore del ario Consideriamo il meanismo di ollasso rappresentato e definito dai inque parametri,,... La piastra è supposta ortotropa on oeffiiente k, on momenti plastii per le armature inferiori e superiori uguali. y 4 O bordo appoggiato bordo inastrato

13 Si ottiene l equazione del prinipio dei lavori virtuali in forma adimensionale: ( ) ( ) ( ) 4 aros π ( ) ( ) aros π π = { ( ) [ ] ( ) = 6 p ( ) ( ) ( ) ( ) aros 4 π ( ) ( ) ( ) aros π ( ) } 4 π

14 Riera dei parametri he minimizzano p on il metodo Simulated Annealing (metodo euristio). 0. X X X X4 X movese-0 Convergenza dei parametri alla soluzione per i parametri,,.. ( = 0. )..0 ps movese-0 Convergenza di p s.