SCRITTO 02/07/18 - ANALISI MATEMATICA I

Transcript

1 SCRITTO 02/07/18 - ANALISI MATEMATICA I Esercizio 1. Determinare tutte le coppie z, w) C C tali che { zw = z 3 w 2 zw = 1 Soluzione: Dalla seconda equazione otteniamo che sia z che w non sono zero. Quindi possiamo dedurre dalla stessa che w = z 1 e sostituendo nella prima dato che 1/w = 1/ w ) 1) w w = w2 w 3. Prendendo i moduli di entrambi i membri abbiamo w = w w w = 1 = w 2 w 3 = 1 w da cui chiaramente w = 1; inserendo questa informazione in 1) e moltiplicando per w 2 abbiamo 1 = w 2 w w = w4 e quindi w è una delle quattro radici quarte dell unità: ±1, ±i. Quindi le soluzioni del sistema sono 1, 1), 1, 1), i, i), i, i). Altra soluzione: una volta che sapete che w = 1, ponete w = e iϑ e dalla seconda equazione z = e iϑ. Quindi la prima equazione si riscrive come e si conclude alla stessa maniera. e 2iϑ = e 2iϑ e 4iϑ = 1 Esercizio 2. Si disegni approssimativamente il grafico della funzione fx) = x x 2 6x + 7 dopo aver trovato il dominio massimale e le intersezioni con gli assi, studiato continuità e derivabilità, individuato gli intervalli di positività, monotonia e convessità per questo punto non è possibile trovare esplicitamente gli intervalli di convessità/concavità ed è necessario uno studio qualitativo della derivata seconda). Si trovino inoltre massimi e minimi locali e globali ed eventuali asintoti. Facoltativo: a) Rappresentare graficamente la funzione gx) = x x 2 6x + 7. b) Determinare la parte intera dello/degli zero/i della funzione f. Soluzione: Per il dominio massimale, dobbiamo trovare solo gli x per cui il radicando è maggiore o uguale a zero. Quindi, dobbiamo risolvere la disequazione x 2 6x Dato che le soluzioni dell equazione di secondo grado associata sono 3 ± 2, la disequazione è soddisfatta in, 3 2] [3 + 2, + ), che è il dominio massimale della

2 funzione. Le intersezioni con l asse delle x avvengono chiaramente quando x = 3 ± 2 e inoltre per x = 0. Dato che la radice è positiva, la funzione è strettamente) positiva nei punti del suo dominio intersecato con 0, ). La funzione è continua nel suo dominio in quando composizione di funzioni continue; inoltre è derivabile nei punti del dominio tali che la radice non si annulli. Quindi è derivabile in, 3 2) 3 + 2, + ). Calcoliamo la derivata: dato che nel suo dominio [ x 2 6x + 7] 2 = x 2 6x + 7 d dx x x 2 6x + 7 = x 2 2x 6 6x x 2 x 2 6x + 7 = x2 6x x 2 3x x2 6x + 7 = 2x2 9x + 7 x2 6x + 7. Tale frazione è strettamente positiva, nei punti del dominio, per gli x tali che 2x 2 9x+7 > 0, cioè per Dom f) [, 1) 7/2, + )], visto che le due soluzioni dell equazione associata sono 1 e 7/2. Quindi in tale intervallo la funzione è strettamente crescente. Osserviamo che se x 3 2), f x), dato che il denominatore tende a zero da sopra e il numeratore tende a un numero negativo. Quindi la funzione si attacca all asse delle x con pendenza verticale. Analogamente per x 3 + 2) +. Da queste informazioni abbiamo che x = 3 ± 2 sono due minimi locali dove la funzione vale 0 e x = 1 dove vale 2 osservate che 7/2 non appartiene a Dom f)). Per la convessità, dato che la funzione è derivabile due volte dove è derivabile, proviamo a studiare il segno della derivata seconda. Abbiamo d 2 dx 2 x x 2 6x + 7 = d dx 2x 2 9x + 7 x2 6x + 7 = 4x 9) x 2 6x + 7 2x 2 9x + 7)2x 6)/[2 x 2 6x + 7] x 2 6x + 7 = 4x 9)x2 6x + 7) 2x 2 9x + 7)x 3) = x2 4x 9 2x 3)) 3x24x 9) 3x 3)) + 74x 9 x + 3) = x2 2x 3) 3x5x 9) + 73x 6) = 2x3 18x x 42 = 2 x3 9x x 21. La derivata seconda è quindi positiva se il polinomio di terzo grado al numeratore è positivo. Dato che non si fattorizza in maniera elementare, e dato che vogliamo solo qualitativamente studiarne il segno, analizziamolo con le tecniche che conosciamo. In particolare a ± tende a ± e per capire se è positivo solamente in una semiretta oppure in un intervallo limitato e in una semiretta cioè per capire quanti zeri abbia), studiamone la derivata p x) = 3x 2 18x + 24 = 3x 2)x 4) 0 se e solo se x 2 o x 4. Quindi il massimo locale di p è in x = 2 dove il polinomio vale p2) = = 3 < 0. Quindi esiste un unica radice reale x > 4. Per localizzarla usiamo il metodo di bisezione: proviamo a calcolare p6) = = 366 9) ) = ) > 0; quindi lo zero appartiene all intervallo [4, 6]. Per essere più precisi calcoliamo p5) = = = 1 < 0; quindi lo zero appartiene all intervallo 5, 6) ed in particolare la sua parte intera

3 è 5. Quindi la funzione è strettamente) concava negli intervalli di Domf), x] e strettamente convessa in [ x, ). Infine vediamo se troviamo asintoti: gli unici limiti che dobbiamo fare sono quelli a ± e abbiamo che valgono rispettivamente ±, dato che x2 6x per x ±. Infine fx) lim x ± x = lim x2 6x + 7 = + x ± quindi non ci sono asintoti obliqui. Questi limiti ci dicono che non ci sono né massimi né minimi globali. Il grafico della funzione lo allego in ultima pagina. Il grafico di x x 2 6x + 7 = fx) dato che la radice è positiva) si ottiene ribaltando i valori negativi di fx) Esercizio 3. a) Si calcoli il polinomio di Taylor di ordine 4 centrato in zero della funzione sinπx 2 ) 1 + cos 6x) e si usi tale risultato per studiare la convergenza della serie sinπ/n 4 ) 1 + cos 6/n 2 ) + α/n 4 al variare dei parametri α, β R. b) Si determinino i valori del parametro α R per i quali la serie n tan kπ + 1) k 1 ) k α n β converge e quelli per cui converge assolutamente. Soluzione: a) Dagli sviluppi di seno e di coseno sin y = y y3 6 + oy4 ) cos y = 1 y2 2 + y oy4 ) sostituendo opportunamente y e non calcolando i termini di ordine superiore al quarto, abbiamo sinπx 2 ) 1 + cos 6x) = πx x) 2 = π 3)x x4 + ox 4 ) e quindi il polinomio di Taylor al quart ordine cercato è Sostituendo x = 1/n 2 abbiamo π 3)x x x) ox 4 ) sinπ/n 4 ) 1 + cos 6/n 2 ) + α/n 4 n β = π 3 + α)n n 8 + on 8 ) n β ; quindi se π 3 + α 0, allora sinπ/n 4 ) 1 + cos 6/n 2 ) + α/n 4 n β 1 n 4+β

4 e la serie di quest ultimo termine generico converge se e solo se 4+β > 1, cioè se β > 3; la serie iniziale, per il criterio del confronto asintotico ha lo stesso comportamento. Se invece π 3 + α = 0, allora sinπ/n 4 ) 1 + cos 6/n 2 ) + α/n 4 n β 1 n 8+β che converge se e solo se β > 7. b) Per la seconda serie, dato che la tangente è π-periodica e dispari, abbiamo tan kπ + 1) k 1 ) k α = tan 1) k 1 ) ) 1 k α = 1) k tan k α. Per la convergenza semplice possiamo appellarci al criterio di Leibnitz: se α > 0, allora 0 a k = tan1/k α ) tende a zero ed è decrescente, quindi la serie converge. Per la convergenza assoluta abbiamo n tan kπ + 1) k 1 ) n ) 1 k α = tan k α che converge se e solo se α > 1, dato che tan1/k α ) lim k 1/k α = 1.

5