RICHIAMI di CALCOLO delle PROBABILITA

Transcript

1 Facoltà di Ingegneria - Università di Bologna Anno Accademico: 00/ TECNICA ED ECONOMIA DEI TRASPORTI Docente: Marino Lui RICHIAMI di CALCOLO delle PROBABILITA

2 PROBABILITA Ci sono fenomeni che non si osso quantificare a riori, ma si devono revedere su basi robabilistiche. Eserimento: è una oerazione di cui non si uò revedere, con sicurezza, il risultato. Un eserimento è definito quando sono definiti: - l evento semlice. Per esemio, lancio un dado, gli eventi semlici sono due: esce un numero ari, esce un numero disari. Oure lancio un dado e vedo il numero che comare sulla faccia orizzontale: in questo caso gli eventi semlici sono 6. - L insieme dei risultati che è detto sazio delle rove. Per esemio, nel caso recedente, : ari, disari, er il rimo eserimento; i numeri:,,,,5,6, er il secondo eserimento.

3 Probabilità secondo imostazione frequentistica Secondo l imostazione frequentistica la robabilità che si verifichi un evento è data da: ne E lim n n n E Dove raresenta la frequenza relativa del verificarsi n dell evento E Esemio. Evento, indicato con E, esce un numero disari : n n. di volte in cui esce il numero + n n + n lim lim ( E + n n n n numero di rove n n n n M.Lui,"Tecnica ed Economia dei Trasorti" - A.A. 00/-Università di Bologna

4 Lancio tre monete: l evento semlice è costituito da una sequenza (ordinata di teste e di croci. Sazio delle rove: T T T T T C T C T T C C C T T C C T C T C C C C Evento A: escono meno di due teste, è un evento comosto costituito da questi eventi semlici T T T T T C T C T T C C C T T C C T C T C C C C M.Lui,"Tecnica ed Economia dei Trasorti" - A.A. 00/-Università di Bologna A + + +

5 Evento B: esce semre la stessa faccia T T T T T C T C T T C C C T T C C T C T C C C C B + Evento A UB: escono meno di due teste, oure esce semre la stessa faccia A U B T T T T T C T C T T C C C T T C C T C T C C C C AUB ( ( + A + 5 B AIB

6 Evento C: escono teste T T T T T C T C T T C C C T T C C T C T C C C C C Evento A C: escono meno di due teste oure escono tre teste. U T T T T T C T C T T C C C T T C C T C T C C C C A U C AUC A + C AIC ( M.Lui,"Tecnica ed Economia dei Trasorti" - A.A. 00/-Università di Bologna 6

7 PROBABILITA CONDIZIONATA Probabilità che si verifichi un evento dato che se ne è verificato un altro (l insieme degli eventi semlici che costituiscono il rimo evento diventa il nuovo sazio delle rove Esemio. Evento A: escono meno di due croci Evento B: non esce nessuna croce B ( B A Probabilità che si verifichi B dato che si è verificato A T T T T T C T C T T C C C T T C C T C T C C C C M.Lui,"Tecnica ed Economia dei Trasorti" - A.A. 00/-Università di Bologna 7 A

8 Esemio: Evento A: escono meno di due croci Evento C: Tutte le facce sono uguali ( C A C Probabilità che si verifichi C dato che si è verificato A T T T T T C T C T T C C C T T C C T C T C C C C A M.Lui,"Tecnica ed Economia dei Trasorti" - A.A. 00/-Università di Bologna

9 ( C A n( AI C lim n n( A (Definizione di robabilità come limite della frequenza relativa * n( AI C / n lim n n( A / n n( AI C lim n n( n A lim n n rob( AI C rob( A ( C A rob( AI C rob ( AI C ( C A rob( A rob( A rob( AI C ( A C rob( C rob ( AI C ( A C rob( C * n( AI C : Numero di volte che si verifica l evento AI C n(a : Numero di volte che si verifica l evento A M.Lui,"Tecnica ed Economia dei Trasorti" - A.A. 00/-Università di Bologna 9

10 Nell esemio che era stato visto rima: rob( AI C / ( C A rob( A / EVENTI INDIPENDENTI A e C sono indiendenti se: ( C A rob( C o rob ( CI A ( C rob( A Con riferimento al recedente esemio: rob( C A e C sono indiedenti rob( C A M.Lui,"Tecnica ed Economia dei Trasorti" - A.A. 00/-Università di Bologna 0

11 rob( C rob( A rob( AI C A e C sono indiedenti A Esemio Evento D: esce una sola croce Evento A: escono meno di due croci D T T T T T C T C T T C C C T T C C T C T C C C C M.Lui,"Tecnica ed Economia dei Trasorti" - A.A. 00/-Università di Bologna

12 rob( D A rob( D D e A sono eventi diendenti rob( DI A rob( D rob( A D e A sono eventi diendenti Non valgono le uguaglianze e quindi gli eventi sono diendenti M.Lui,"Tecnica ed Economia dei Trasorti" - A.A. 00/-Università di Bologna

13 VARIABILI ALEATORIE Def. : è una funzione definita su uno sazio delle rove robabilizzato è il numero delle teste: ( ( ( ( 0 T T T T T C T C T T C C C T T C C T C T C C C C 0 M.Lui,"Tecnica ed Economia dei Trasorti" - A.A. 00/-Università di Bologna

14 è il numero di variazioni nella sequenza: ( ( ( 0 T T T T T C T C T T C C C T T C C T C T C C C C 0 M.Lui,"Tecnica ed Economia dei Trasorti" - A.A. 00/-Università di Bologna

15 0 F F FUNZIONE DI DISTRIBUZIONE DI UNA VARIABILE ALEATORIA Def.: ( t rob( t F ( t F Prorietà Se ( t 0 ( t a ovvero b er t - er t allora F + ( a F ( b la funzione di distribuzione è non decrescente : F ( b F ( a rob( a < b M.Lui,"Tecnica ed Economia dei Trasorti" - A.A. 00/-Università di Bologna 5

16 Una variabile aleatoria è continua quando la sua funzione di distribuzione è una funzione continua F (t F (t Variabile aleatoria continua Una variabile aleatoria è discreta quando la sua funzione di distribuzione è una funzione discontinua ( F t ( (t ( F ( t Variabile aleatoria discreta t M.Lui,"Tecnica ed Economia dei Trasorti" - A.A. 00/-Università di Bologna 6 t

17 Esemio: è il numero delle teste: ( ( ( ( 0 F (t T T T T T C T C T T C C C T T C C T C T C C C C 0 ( / ( / ( / F ( ( 0 / 0 t M.Lui,"Tecnica ed Economia dei Trasorti" - A.A. 00/-Università di Bologna 7

18 F ( rob( rob( 0 + rob( + rob( PROBABILITA SECONDO IMPOSTAZIONE ASSIOMATICA Si basa su tre assiomi - La robabilità di un evento è un numero maggiore di 0 e minore di - La robabilità di un evento comosto è ari alla somma delle robabilità degli eventi semlici che lo comongono - La robabilità dello sazio delle rove è ari a M.Lui,"Tecnica ed Economia dei Trasorti" - A.A. 00/-Università di Bologna

19 FUNZIONE DI PROBABILITA E la legge di robabilità er la variabile aleatoria discreta Prorietà: 0 ( t (dall assioma rob( ( t (dall assioma t t ( t (dall assioma M.Lui,"Tecnica ed Economia dei Trasorti" - A.A. 00/-Università di Bologna 9

20 FUNZIONE DI DENSITA DI PROBABILITA E la legge di robabilità er la variabile aleatoria continua f df ( t ( t dt Prorietà: f ( t 0 t F ( t f ( d Se a b rob(a b rob ( a b f ( d b a F ( b F ( a e erciò : M.Lui,"Tecnica ed Economia dei Trasorti" - A.A. 00/-Università di Bologna 0

21 f ( rob( + f ( rob ( a b f ( d b + a b a M.Lui,"Tecnica ed Economia dei Trasorti" - A.A. 00/-Università di Bologna

22 MEDIA DI UNA VARIABILE ALEATORIA Per una variabile aleatoria discreta: E[ ] µ ( Per una variabile aleatoria continua: [ ] E + µ f ( d Esemio: Variabile aleatoria vista recedentemente ( è il numero delle teste. E [ ] , 5 M.Lui,"Tecnica ed Economia dei Trasorti" - A.A. 00/-Università di Bologna

23 M.Lui,"Tecnica ed Economia dei Trasorti" - A.A. 00/-Università di Bologna VARIANZA DI UNA VARIABILE ALEATORIA La media è un oeratore lineare Esemio momento del ordine ( ( ( 0 (,5 µ ( ( ( (0 ( ( σ µ σ m µ [ ] [ ] [ ] [ ] + + E E E E µ µ µ µ [ ] ( E µ σ [ ] m E µ µ [ ] + E µ µ µ

24 M.Lui,"Tecnica ed Economia dei Trasorti" - A.A. 00/-Università di Bologna FUNZIONE DI VARIABILE ALEATORIA ( ( g con robabilità con robabilità 0 con robabilità con robabilità 0 ( ( (0 0 (

25 MEDIA DELLA VARIABILE ALEATORIA g( [ ] ( E [ ] E[ g( ] g( ( E E dunque: [ ] E[ g ] E ( g( ( Per variabile aleatoria discreta + [ ] E[ g ] g( f ( d E ( Per variabile aleatoria continua M.Lui,"Tecnica ed Economia dei Trasorti" - A.A. 00/-Università di Bologna 5

26 La media è un oeratore lineare Per renderci conto di questo valutiamo la media della funzione di variabile aleatoria a + b (sfruttiamo i risultati recedenti Ammettiamo che sia una variabile aleatoria discreta: [ ] ( a + b ( a + b a + b E a + b E E[ ] + E dunque la media è un oeratore lineare Ammettiamo che sia una variabile aleatoria continua (otteniamo lo stesso risultato: + + [ ] a + b f ( d a f ( d + + b f ( d + ( + a f ( d + b f ( d a + be[ ] 6

27 MOMENTO DI ORDINE K m k [ ] k k ( E Per variabile aleatoria discreta + [ ] k k f ( d mk E Per variabile aleatoria continua M.Lui,"Tecnica ed Economia dei Trasorti" - A.A. 00/-Università di Bologna 7

28 PERCENTILE Si definisce k-esimo ercentile il valore della variabile aleatoria, k indichiamola con tk, tale che F ( tk 00 5 t5 è il valore della variabile aleatoria tale che F ( t t50 è il valore della variabile aleatoria tale che F ( t50 00 (Vi è una robabilità ari al 50% che la variabile aleatoria t stia al di sotto di t50 : t50 è detta mediana della variabile aleatoria t t è il valore della variabile aleatoria tale che F ( t M.Lui,"Tecnica ed Economia dei Trasorti" - A.A. 00/-Università di Bologna

29 0,9 F (t F ( t 90 0,9 t 90 t M.Lui,"Tecnica ed Economia dei Trasorti" - A.A. 00/-Università di Bologna 9

30 FUNZIONI DI VARIABILI ALEATORIE DISTRIBUITE CONGIUNTAMENTE numero delle teste numero di variazioni nella sequenza T T T T T C T C T T C C C T T C C T C T C C C C M.Lui,"Tecnica ed Economia dei Trasorti" - A.A. 00/-Università di Bologna 0

31 M.Lui,"Tecnica ed Economia dei Trasorti" - A.A. 00/-Università di Bologna ( ( ( 0 ( ( ( (0 0 Funzione di robabilità congiunta (, (, rob I, (,,

32 FUNZIONE DI PROBABILITA MARGINALE (si ottiene facendo la somma sulle righe e sulle colonne 0 0 / 0 0 / 0 / / / 0 / / / / 0 0 / / / / M.Lui,"Tecnica ed Economia dei Trasorti" - A.A. 00/-Università di Bologna

33 FUNZIONE DI PROBABILITA CONDIZIONATA Rietendo il il concetto di robabilità condizionata visto er gli eventi, la funzione di robabilità di dato è data da: rob ( I ( rob( (, ( La funzione di robabilità di dato che è uguale a, / ( /, è data da: rob( 0I 0 / (0 / 0 rob( M.Lui,"Tecnica ed Economia dei Trasorti" - A.A. 00/-Università di Bologna, rob( I (/ / rob( rob( I 0 rob( I 0 / ( / / (/ rob( rob(

34 Le variabili e sono indiendenti quando: rob( I, (, / ( / ( rob( ( In modo analogo a quanto visto a roosito degli eventi: rob ( B A ( B E semre in modo analogo a quanto visto er gli eventi ( rob ( AI B ( A ( B rob( I, (, ( ( Per esemio con riguardo al caso recedente: rob(, ( ( M.Lui,"Tecnica ed Economia dei Trasorti" - A.A. 00/-Università di Bologna Le variabili e non sono indiendenti

35 6 5 0, 0, 0, 0, 0 0,5 0, 0,5 0,6 0,5 0,50 0,5 rob( 5I 0, 0, (5/ oure in entrambi i casi 0, rob( 0,5 0,5 / rob( 0I 0,5 0, (0/ oure in entrambi i casi 0,6 rob( 0,5 0,5 / Se è indiendente da, anche sarà indiendente da rob ( I 0, 0,5 ( / oure in entrambi i casi 0,5 rob( 0, 0,6 rob ( I 0, 0, ( / oure in entrambi i casi 0,50 rob( 0, 0,6 / / rob ( I 6 0, 0,5 (6 / oure in entrambi i casi 0,5 rob( 0, 0,6 / (5 ( ( (0 (6 5

36 Si oteva anche verificare che er ogni coia (,: rob (, ( ( Per esemio: rob ( 5, 0, ( 5 ( 0, 0,5 0, rob ( 5, (5 ( Per dire che le variabili sono indiendenti devo verificare che er ogni coi, si verifichi la eguaglianza. In ratica sesso l indiendenza si assume er iotesi (dalla conoscenza degli eserimenti su cui si basano le variabili aleatorie e. Ossia si assume che sia: rob (, ( ( L iotesi di indiendenza semlifica molto sesso i calcoli ed è quindi una iotesi conveniente che si adotta se non ci sono chiare ragioni contrarie. 6

37 Nel caso le variabili aleatorie siano continue si definisce la funzione di densità di robabilità condizionata di dato ( o viceversa. (, ( (, f f f Se le due variabili sono indiendenti: ( ( f f ( (, (, f f f

38 FUNZIONE DI VARIABILI ALEATORIE CONGIUNTE Consideriamo due variabili aleatorie, e, e la funzione somma S che sarà anche essa una variabile aleatoria essendo somma di due variabili aleatorie: T T T T T C T C T T C C C T T C C T C T C C C C 0 S ( S ( S ( S ( S 0 M.Lui,"Tecnica ed Economia dei Trasorti" - A.A. 00/-Università di Bologna

39 La media della somma di due variabili aleatorie osso ricavarla come media della variabile aleatoria S E [ S] S s S ( s Oure la osso ricavare attraverso la tabella della slide in cui ho la robabilità del verificarsi di ciascuna coia,: (, E [ ] + ( + + ( +, ( + + ( + + ( + ( ( + 0 0, ( M.Lui,"Tecnica ed Economia dei Trasorti" - A.A. 00/-Università di Bologna 9

40 E E [ g, ] ( g(, Per variabile discreta, + [ g, ], (, ( g(, f, (, dd Per variabile continua La media è un oeratore lineare. Infatti dimostriamo che: [ a ' + b '] ae[ '] be[ '] E + Pongo: a ' e [ a '+ b '] E[ ] E + b' Dimostriamo che è uguale: [ ] E[ ] E + M.Lui,"Tecnica ed Economia dei Trasorti" - A.A. 00/-Università di Bologna 0

41 E [ ] ( + (, (, + (, +,,,,,,,, +, (,, (, + (, [ ] E[ ] ( ( E + + [ a '+ b '] E[ + ] E[ ] E[ ] E + (, D altra arte avevamo già dimostrato che: E ( a ' ae( ' Quindi: [ a ' + b '] ae[ '] be[ '] E + M.Lui,"Tecnica ed Economia dei Trasorti" - A.A. 00/-Università di Bologna

42 COVARIANZA DI DUE VARIABILI ALEATORIE E data dalla media del rodotto degli scarti delle due variabili aleatorie (ciascun scarto risetto alla risettiva media. [, ] E[ ( µ µ ] E[ µ µ + µ µ ] cov σ (, [ ] µ E[ ] µ E[ ] + µ µ E[ ] µ E µ [ ] σ E µ µ Prorietà: se le due variabili aleatorie e sono indiendenti cov, risulta: [ ] 0 M.Lui,"Tecnica ed Economia dei Trasorti" - A.A. 00/-Università di Bologna

43 Ricordiamo che la media di una funzione di due variabili aleatorie è data da: E cov [, ] E[ ] µ µ ( (, µ µ σ ( ( ( µ µ ( ( ( ( µ µ µ µ µ µ [ g(, ] g(, (, [ µ ( ] E µ ( Facciamo ora alcune osservazioni a roosito del segno della covarianza tenendo conto della definizione: 0 M.Lui,"Tecnica ed Economia dei Trasorti" - A.A. 00/-Università di Bologna

44 µ µ Cosa vuol dire se ho una covarianza ositiva alta? Se è sueriore alla media, anche è sueriore alla media. Se è inferiore alla media, anche è inferiore alla media. Le due variabili non sono indiendenti. Covarianza ositiva: Cov (, > 0 E[ ( µ ( µ ] Si uò anche dire che le due variabili aleatorie variano congiuntamente nello stesso senso. + + M.Lui,"Tecnica ed Economia dei Trasorti" - A.A. 00/-Università di Bologna

45 µ µ Covarianza negativa ed alta (in valore assoluto. Se è sueriore alla media, è inferiore alla media. Se è inferiore alla media, è sueriore alla media. Le due variabili non sono indiendenti. Covarianza negativa: Cov (, < 0 E[ ( µ ( µ ] Si uò anche dire che le due variabili aleatorie variano congiuntamente, ma in senso oosto. + + M.Lui,"Tecnica ed Economia dei Trasorti" - A.A. 00/-Università di Bologna 5

46 Covarianza 0 µ µ Saere qualcosa sulla (er esemio che è sueriore alla media non mi dà informazioni sulla. In media i rodotti ositivi si elidono con quelli negativi. Covarianza 0 Cov (, 0 E[ ( µ ( µ ] Si uò anche dire che le due variabili aleatorie non tendono a variare congiuntamente. 6

47 Doo aver visto la covarianza di due variabili aleatorie vediamo ora la varianza della somma di due variabili aleatorie Se due variabili aleatorie e sono DIPENDENTI: [ + ] var [ ] + var[ ] + cov[ ] Var, Se la covarianza diventa varianza cov [ ] [ ] [ ] [ ], E ( µ ( µ E ( µ ( µ E ( µ Se varianza Dimostriamo ora la formula M.Lui,"Tecnica ed Economia dei Trasorti" - A.A. 00/-Università di Bologna 7

48 Var + E E [ ] [ ] [ ] + E ( + ( µ + E + + [ ] E[ ] + + E[ ] µ µ µ µ [ ] E[ ] µ + µ + ( E[ ] µ µ var [ ] + var[ ] + cov[, ] ( µ + µ E dunque: Se le variabili sono indiendenti allora: cov [, ] 0 Var [ + ] var [ ] + var[ ] Si uò estendere il risultato ad una combinazione lineare: Var [ a + b ] a var[ ] + b var[ ] + abcov[, ] M.Lui,"Tecnica ed Economia dei Trasorti" - A.A. 00/-Università di Bologna