Geometria 1 a.a. 2011/12 Esonero del 15/11/11

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1 Geometria a.a. 0/ Esonero del 5// () Determinare una base ortonormale del piano π di R 3 di equazione x + y z 0 (rispetto al prodotto scalare standard di R 3 ). Soluzioni. È sufficiente determinare una base qualunque di π e poi ortonormalizzarla mediante il procedimento di Gram-Schmidt. Una base di π è, ad esempio, e ; e 0. 0 La matrice che rappresenta il prodotto scalare standard rispetto alla base {e, e } è e, e B e, e e, e e, e Il primo cambio di base per portarla in forma canonica è dunque rappresentato dalla matrice / P 0 Dopo il cambio di coordinate la matrice che rappresenta il prodotto scalare è B t 0 / 0 P B P / 0 0 3/ Rimane da normalizzare questa matrice, ovvero da fare il cambio di coordinate rappresentato dalla matrice ( ) / 0 P 0 /3 Il cambio complessivo di coordinate è dunque rappresentato dalla matrice ( ) ( ) / / 0 P P / / 6, 0 0 /3 0 /3 ovvero una base ortonormale di π è data dai due vettori e / / 0 e / 6 e + e / / 6 () Sia f : R 4 R la forma quadratica f(x, y, z, w) : x + 4xy + xz + yz + z. Determinate indice di nullità e segnatura di f.

2 Soluzione. La matrice associata alla forma quadratica data è 0 Q Calcolando i minori principali troviamo da cui n + ; da cui n + e n ; det det() > 0 4 < 0 0 det 0 < 0, da cui n + e n, ed infine 0 det Q det da cui concludiamo n +, n e n 0. Alternativamente si può calcolare il polinomio caratteristico di Q ed applicare la regola di Cartesio, arrivando alla stessa conclusione. (3) Sia V R[t] lo spazio vettoriale dei polinomi di grado minore o uguale a a coefficienti in R e sia, l applicazione V V R definita da p(t), q(t) p(0)q(0) p()q() + p()q(). (a) Verificare che, è una forma bilineare simmetrica (un prodotto scalare) (b) Stabilire se, sia non degenere (c) Determinare la segnatura di,. Soluzione. Che, sia una forma bilineare segue immediatamente dal fatto che il prodotto di polinomi R[t] R[t] R[t] è bilineare e la valutazione di un polinomio in un punto x 0 è un applicazione lineare δ x0 : R[t] R. Che sia simmetrica segue dalla commutatività del prodotto in R (o in R[t], a seconda che si voglia prima valutare nei punti e poi moltiplicare o viceversa). Per rispondere ai punti (b) e (c) basta scrivere la matrice che rappresenta la forma bilineare, rispetto ad una base di R[t] ed operare come nell esercizio precedente. Ad esempio, si può prendere come base di R[t] la base canonica {, t, t }. Una soluzione più brillante si ottiene osservando che δ 0, δ e δ sono una base del duale di R[t] e scegliendo come base di R[t] la base {p 0, p, p } duale di questa (cioè p 0 (t) è l unico polinomio di grado al più due con la proprietà che p 0 (0), p 0 () 0 e p 0 () 0; analogamente per p e p ). La matrice che rappresenta, rispetto alla base {p 0, p, p } è , 0 0 dal che si vede subito che, è non degenere e ha segnatura n +, n e n 0 0.

3 (4) Sia V R e sia S (a) Verificare che la forma bilineare su R rappresentata dalla matrice S rispetto alla base canonica è un prodotto scalare definito positivo. (b) Determinare una base dello spazio vettoriale degli endomorfismi ϕ : R R che risultano essere simmetrici rispetto al prodotto scalare definito da S. Soluzione. Per mostrare che la forma bilineare rappresentata dalla matrice S è definita positiva basta calcolare il segno dei minori principali. Si ha det() > 0 e det > 0, dunque S è definita positiva. Equivalentemente, si può calcolare il polinomio caratteristico di S ed usare la regola di Cartesio, o addirittura calcolare gli autovalori di S ed osservare che sono entrambi positivi. Per la seconda parte dell esercizio, ricordiamo che un endomorfismo ϕ di R è simmetrico rispetto al prodotto scalare, S definito da S se e solo se ϕ(v), w S v, ϕ(w) S per ogni v, w in R. Se indichiamo con a b A c d la matrice che rappresenta ϕ rispetto alla base canonica si R, la condizione di simmetria diventa l equazione t (Av)Sw t vs(aw) per ogni v, w, ovvero t v( t AS)w t v(sa)w per ogni v, w, il che equivale all equazione matriciale t AS SA 3 ovvero all equazione (a cioè all equazione b ) c d Questo si risuce all unica equazione ( ) a b c d a + c b + d a + c a + c. a + c b + d b + d b + d a b + c d 0 da cui d a b + c. Ne segue che a b 0 A a c a b + c 0 e { 0 0,, b + c 0 } rappresenta una base dello spazio vettoriale degli endomorfismi ϕ : R risultano essere simmetrici rispetto al prodotto scalare definito da S. R che

4 4 (5) Sia ϕ : C 3 C 3 l endomorfismo rappresentato dalla matrice 0 0 rispetto alla base canonica di C 3. (a) Determinare la forma di Jordan di ϕ. (b) Determinare una base di Jordan di ϕ. Soluzione. Determiniamo per prima cosa la decomposizione di C 3 in autospazi generalizzati di ϕ. Il polinomio caratteristico di ϕ è det t 0 t t ( t). t Abbiamo dunque due autovalori, 0 ed, con molteplicità algebrica rispettivamente e. Si ha pertanto C 3 V0 V. Determiniamo ora i diagrammi di Young relativi agli autovalori 0 ed. Per l autovalore dobbiamo semplicemente determinare la dimensione di ker(ϕ Id); per l autovalore 0 dobbiamo invecee determinare la dimensione di ker(ϕ 0Id) e quella di ker((ϕ 0Id) ). Cominciamo dall autosalone. Si ha dim(ker(ϕ Id)) 3 rango 0 3. Il diagramma di Young corrispondente all autovalore è dunque e il blocco di Jordan corripondente è pertanto J (). Passiamo ora all autosalone 0. Si ha dim(ker(ϕ 0Id)) 3 rango La prima riga del diagramma di Young corrispondente all autovalore 0 è quindi e dunque il diagramma di Young corrispondente all autovalore 0 è necessariamente (infatti da dim(v ( )) dim(v ) sappiamo che dim(v ( ) 0 ) dim(v () 0 ) ). Il blocco di Jordan corripondente all autovalore 0 è pertanto 0 J La forma di Jordan di ϕ è quindi J ϕ , 0 0

5 dove abbiamo messo prima il blocco relativo all autovalore 0 e poi quello relativo all autovalore. Per determinare una base di Jordan di ϕ basta determinare una base di Jordan di V () 0 ed una base di Jordan di V. Per determinare la prima base numeriamo il diagramma di Young relativo all autovalore 0: Dobbiamo dunque prendere come vettore e un rappresentante per una base di ker((ϕ 0Id) )/ ker(ϕ 0Id)). Per far questo, dato che dim(ker((ϕ 0Id) )/ ker(ϕ 0Id))), basta prendere un vettore e che stia in ker((ϕ 0Id) ) ma non stia in ker(ϕ 0Id). Si ha (ϕ 0Id) ϕ e dunque una base di ker((ϕ 0Id) ) è data dai due vettori Si ha 0 0 e 0 (ϕ 0Id)( 0 ) dunque il vettore (, 0, 0) non appartiene a ker(ϕ 0Id)) e possiamo prendere e (, 0, 0). Come e prenderemo allora e (ϕ 0Id)(e ). Infine come e 3 si prende un qualunque vettore che sia una base di ker(ϕ Id). Ad esempio, si può prendere e 3 (,, 3). I tre vettori {e, e, e 3 } sono una base di Jordan per ϕ. Come verifica possiamo calcolare (6) E possibile determinate x, y, z in R in modo tale che la matrice /3 /3 x /3 /3 y /3 /3 z rappresenti la proiezione ortogonale su un piano di R 3? Se sì determinarli, altrimenti dimostrare che non esistono. Soluzione. Una matrice A 3 3 a coefficienti reali rappresenta la proiezione ortogonale su un piano di R 3 se e solo se A soddisfa le tre condizioni seguenti: A è simmetrica; A A;

6 6 rango(a). La prima condizione ci dice che deve essere x y /3. Imponendo /3 /3 /3 /3 /3 /3 /3 /3 /3 /3 /3 /3 /3 /3 z /3 /3 z troviamo il sistema di equazioni z z z la cui unica soluzione è z /3. Poiché la matrice /3 /3 /3 /3 /3 /3 /3 /3 /3 ha effettivamente rango abbiamo finito.