Quarta Lezione. Il prospettografo. Il vetro è dotato di una griglia che permette al pittore di riportare il punto traguardato su un foglio di carta.

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1 Quarta Lezione I prospettografo La ezione inizia facendo e prime esperienze pratiche co prospettografo. I prospettografo è uno strumento di uso rinascimentae che aiuta a studiare a geometria dea proiezione centrae. Consiste di un vetro e di un mirino: viene messo occhio ne mirino e si traguarda un punto posto otre i vetro, si segna poi su vetro a sua immagine. La geometria dea visione ipotizza che a visione (monocuare) avvenga attraverso un fascio di raggi visivi che ha i centro ne occhio, e che due punti che si trovano suo stesso raggio visivo vengano visti come un soo punto. La figura seguente è presa da un disegno di Dürer I vetro è dotato di una grigia che permette a pittore di riportare i punto traguardato su un fogio di carta. Abrecht Dürer ( ) Underweysung der Messung, Norimberga, 1525 Pag. 1

2 Materiae Prospettografo Sagoma circoare e supporto Pennareo per vetro Descrizione attività Attività sperimentae con i prospettografo Si posiziona a sagoma in direzione paraea a piano de prospettografo. Si invitano gi studenti a traguardare a figura da mirino e riportare su vetro acuni punti corrispondenti a bordo dea sagoma. Unendo i punti gi studenti osserveranno che a figura ottenuta è una circonferenza. Si chiede agi studenti di dire perché 'immagine in questo caso è una circonferenza. Si porta gi studenti a pensare a cono che ha i vertice ne mirino formato da tutti i raggi visivi che traguardano i punti dea circonferenza. I piano de vetro è paraeo aa base de cono. Successivamente a sagoma viene posizionata ungo una direzione non paraea a piano de vetro. E' importante che i raggio che va da mirino a da piano dea sagoma sia perpendicoare a que piano in modo che i cono formato dai raggi visivi che cogono a circonferenza sia un cono retto de tipo di quei trattati in questo aboratorio. Per fare questo occorre che i mirino e i centro dea circonferenza siano aa stessa atezza e che i piano de disco sia disposto come in figura. Pag. 2

3 Viene ripetuta operazione di rievamento dei punti de bordo quando a sagoma è di scorcio. Si apre una discussione con gi studenti sue caratteristiche dea figura tracciata su vetro. La figura può essere definita matematicamente come a sezione di un cono circoare retto con un piano obiquo rispetto a vetro. Si cercano e caratteristiche di simmetria dea figura. Si ripete attività posizionando a sagoma in una posizione non più perpendicoare a raggio che unisce i mirino a centro dea circonferenza. Si verifica che e proprietà geometriche dea proiezione de cerchio su vetro sono e stesse riscontrate prima. Si descrive con gi studenti a forma de cono formato dai raggi visivi che cogono a circonferenza. Coni circoari non retti Sono stati studiati da Apoonio. Apoonio (c a.c.) nacque a Perga, città de Asia Minore governata da Pergamo. In giovinezza si recò ad Aessandria ed imparò a matematica dai successori di Eucide. Sappiamo che vi rimase associandosi ai grandi matematici che vi avoravano. Le sue doti matematiche erano così straordinarie che divenne noto come i grande geometra ed anche come astronomo a sua reputazione era ata. Seppur atri prima di ui affrontarono argomento, Apoonio diede aa teoria dee sezioni coniche un aspetto sistematico. La sua opera più importante infatti è Sezioni coniche ma scrisse anche su atri argomenti. Sono 8 ibri e contenevano 487 proposizioni. Di questi ibri abbiamo soo i primi 4 conservati in manoscritti greci de XII e XIII sec e i tre successivi in una traduzione araba de L ottavo ibro è perduto anche se ne XVIII sec ne è stata fatta una ricostruzione sue indicazioni date da Pappo. Dato un cerchio e un punto V esterno a piano de cerchio, un cono circoare è 'insieme dee rette che uniscono V a un punto variabie su cerchio. Se C è i centro de cerchio, a retta VC si chiama asse de cono. Pag. 3

4 I piano perpendicoare a piano di base passante per 'asse de cono (piano rosso), se i cono non è retto esiste ed è unico. Si chiama piano principae (vedi Apoonio). Teorema Piani paraei a piano di base intersecano i cono in circonferenze che hanno i centro su'asse. Dimostrazione Si considerino i cono, i piano principae e un piano paraeo aa base de cono, a oro intersezione sarà i segmento A B, che interseca asse de cono ne punto C ; poiché i triangoi VAC, VA C sono simii, così come VCB, VC B, si ha che A C = C B. La costruzione si può ripetere scegiendo un quasiasi piano passante per asse de cono e per un punto quasiasi dea circonferenza di base. Un piano obiquo che interseca tutte e generatrici de cono definisce una curva che si chiama eisse. Otteniamo ancora un eisse ne caso particoare in cui i cono è retto (quando i mirino e i centro de cerchio sono aineati ungo una retta perpendicoare a piano de cerchio), ponendo a circonferenza di scorcio. I Museo Si presentano acuni dipinti in cui compaiono curve che assomigiano a cerchi e a eissi. Questi dipinti si trovano nea cartea I museo che può essere scaricata. Come fare a verificare se queste curve sono effettivamente cerchi? Come fare a verificare se queste curve sono immagini prospettiche di un cerchio, se sono cioè dee eissi? Si può coinvogere in questa parte de aboratorio 'insegnante di Storia de'arte per approfondire i percorso storico che ha portato aa rappresentazione prospettica de cerchio e seezionare i dipinti da presentare agi studenti. Cominciamo con o studiare i cerchi usando Geogebra. Le aureoe di Cimabue sono circoari? Le aureoe di Duccio da Buoninsegna sono circoari? Si importa in una pagina geogebra un dipinto che si trova nea cartea I museo. Si seezionano tre punti A,B,C su una aureoa e si costruisce (usando gi assi dei segmenti AB e BC) i centro dea circonferenza che passa per quei tre punti. Si costruisce infine a circonferenza che ha que centro e che passa per i tre punti per vedere se si sovrappone a quea dipinta eventuamente modificando a posizione dei tre punti iniziai. Si consigia di non usare i comando geogebra "circonferenza per tre punti" ma di costruira direttamente come intersezione degi assi. Abbiamo aegato, a titoo d'esempio, i caso de dipinto di Cimabue. Seguendo a costruzione passo passo si vede i procedimento. Si possono dividere anche gi studenti in due gruppi e avorare contemporaneamente su dipinto di Duccio e su queo di Cimabue. Nea seconda parte dea ezione cercheremo dee proprietà de'eisse che ci permettano di costruira con geogebra per poter anaizzare con questo software dei dipinti dove i pittore rappresenta o scorcio di un cerchio. Pag. 4

5 Costruzione de eisse secondo Apoonio Per trovare una proprietà caratteristica de'eisse seguiamo o stesso procedimento che abbiamo seguito per a paraboa. Diamo agi studenti come in que caso (vedi prima ezione) un cono di pastica trasparente ne quae si evidenzino tre piani: i piano α obiquo che interseca tutti i raggi de cono in una curva ('eisse che vogiamo descrivere), i piano β passante per 'asse e perpendicoare a piano α de eisse che o incontra ne segmento OT e i piano γ paraeo aa base de cono che interseca i piano de'eisse α ne segmento PP' e i piano β ne segmento AB Si discute su fatto che PP' è perpendicoare a segmento AB e che quindi i piano β divide a curva in due parti uguai. La situazione è simie a quea riscontrata per a paraboa e, se necessario, conviene rivedere a scheda I.2 dove sono espicitati tutti i passaggi geometrici. Come per a paraboa, dunque, 'eisse ha un asse di simmetria OT ottenuto intersecando i piano α con i piano β. Tae asse si chiama asse trasverso de'eisse. Per studiare queo che avviene su piano de'eisse, consideriamo separatamente ciò che risuta su piano β e su piano γ. Indichiamo con M a unghezza de segmento TT', con m quea de segmento OO' e con quea de ato trasverso OT. Queste tre grandezze non dipendono daa posizione de punto X ma soo da'apertura de cono e daa posizione de piano secante. Indichiamo invece con x a unghezza de segmento OX e con -x quea de segmento XT. Queste grandezze dipendono invece daa posizione variabie di X. In ogni caso, quaunque sia a posizione di X abbiamo che i triangoi OAX e OT T sono simii quindi AX:OX=M: da cui AX = M x Situazione su piano β Uguamente i triangoi OO T e XBT sono simii quindi XB:XT=m: da cui XB = m ( " x) Pag. 5

6 Appicando i II teorema di Eucide e chiamando con y a distanza XP, otteniamo, come ne caso dea paraboa, AXxXB=XP 2 = y 2 e quindi, tenendo conto de cacoo precedente, troviamo a reazione fondamentae y 2 = mm x( " x) 2 Situazione su piano γ. Posto seguendo Apoonio, p=mm/, 'equazione diventa y 2 = p x( " x) I parametro p si chiama ato retto e i parametro ato trasverso. Ne caso più interessante quando p< i ato trasverso si chiama anche asse maggiore de'eisse. Questa equazione, fissati i due parametri p ed, che dipendono soo da tipo di cono e daa posizione de piano de'eisse, ci permette di cacoare per ogni vaore di x (0 < x < ) un corrispondente vaore di y e quindi di disegnare 'eisse per punti. Apoonio chiama, come per a paraboa, i segmento OX ascissa de punto P e i segmento XP ordinata. Se prendiamo gi assi cartesiani in modo che O sia 'origine e OT (i ato trasverso) su'asse dee ascisse, i nomi di Apoonio coincidono con i nomi moderni e 'equazione precedente è 'equazione cartesiana dea eisse. Questa equazione è equivaente aa equazione seguente y 2 + px 2 = p x Tavoa IV.1 Costruzione di una eisse per punti noto i ato trasverso e un suo punto. Tavoa IV.2 Costruzione di una eisse per punti noto i ato retto e un suo punto. Caratterizzazione (compicata) dea Eisse Una data curva è una eisse se esiste un numero p e un segmento AB tae che, per ogni punto T di AB, esiste un punto P e un punto P' (simmetrico rispetto ad AB), sua retta perpendicoare ad AB passante per T, tai che (posto =AB, x= AT, y=pt=p't) risuta y 2 = p x( " x) Troveremo più avanti atre caratterizzazioni più sempici di questa curva, questa ha tuttavia i vantaggio di rendere facie a sua costruzione per punti e poi come uogo e inotre permette di verificare se una data inea è o non è una eisse. Pag. 6

7 Se disponibie, prima di iniziare a avorare sua Tavoa IV.3, conviene dare agi studenti un ciindro di egno tagiato con un piano incinato rispetto a'asse de ciindro. Si possono indirizzare gi studenti su come trovare i ato trasverso. Tavoa IV.3 La sezione di un ciindro con un piano è una eisse. Tavoa IV.3 Souzione Costruzione de eisse con geogebra AB =, BC = p, AT = x TD è perpendicoare ad AB e paraea a BC quindi i triangoo ATD è simie a triangoo ABC. Dunque TD : TA = BC : AB cioè TD = TE = p x I rettangoo BD ha area p x( " x) e quindi, appicando i II teorema di Eucide abbiamo che PT 2 = y 2 = p x( " x) L'eisse come uogo con geogebra La pagina animata Costruzione Eisse.ggb permette, con questa costruzione di disegnare i uogo dei punti P a variare de punto T su segmento AB. Si ottiene così una mezza eisse 'atra mezza si potrà disegnare per simmetria. Variando i parametri p ed è possibie vedere come cambia a forma de'eisse. Si può discutere con gi sudenti e chiedere oro quai osservazioni possono fare. Ad esempio come è a forma quando p > e viceversa. L' eissi con =2 e p=1 ha a stessa forma di quea con p=2 e =1? Cosa succede se p=. Perché i caso interessante è quando p <? Quai possibii simmetrie si possono immaginare. Dato 'asse trasverso e un punto P de'eisse possiamo ora costruire i ato retto ripercorrendo a'inverso a costruzione precedente e di conseguenza costruire uno strumento virtuae che a partire da'asse de'eisse e da un suo punto disegna tutta a curva. Tavoa IV.4 Si costruisce con riga e compasso (e quindi con geogebra) i ato retto di una eisse dea quae è noto 'asse trasverso e un suo punto. Tavoa IV.4 Souzione.ggb Facendo scorrere passo passo a costruzione si ha a souzione Pag. 7

8 Unendo a costruzione Tavoa IV.4 Souzione.ggb con a Costruzione Eisse.ggb si può costruire un nuovo strumento geogebra che, dato 'asse AB e un punto P, disegna 'eisse che passa per P e ha AB come asse. Pag. 8 Strumento Eisse.ggb Caravaggio1.ggb Si apre a pagina animata Strumento Eisse.ggb si importa come immagine uno dei quadri nea cartea Museo e si verifica se a curva rappresentata è una eisse cioè 'immagine prospettica di un cerchio. Ne'esempio che abbiamo riportato abbiamo sceto i dipinto di Caravaggio dove a ruota di scorcio è piuttosto grande. L'aureoa è moto precisa e sembra difficie che Caravaggio sia riuscito a fare una eisse così perfetta senza usare uno strumento. Gi studenti divisi in gruppi possono anaizzare neo stesso modo atri dipinti. Acune proprietà notevoi dee eissi. Ricordiamo che a forma di una eisse dipende da due parametri: i ato trasverso e i ato retto p. Assumendo p < i ato trasverso AB è 'asse maggiore de'eisse. 1. L'eisse come contrazione di una circonferenza Consideriamo una eisse di asse maggiore AB e una circonferenza di dimetro AB, sia T un quaunque punto de'asse AB, e P e Q i punti su'eisse e sua circonferenza di ascisse AT. In queste condizioni i rapporto TP:TQ è costante cioè non dipende daa sceta di T. Dimostrazione Sia =AB i ato trasverso de'eisse e p i suo ato retto. Sia x= AT e -x=tb Considerando a circonferenza di diametro AB, abbiamo per i II teorema di Eucide TQ 2 = x(-x), mentre, essendo P un punto de'eisse risuta TP 2 = p x( " x) Passando ai rapporti abbiamo In particoare PT è massimo quando Q è massimo cioè quando T coincide con i punto medio de'asse maggiore. Più in generae possiamo osservare che i centro di simmetria de'eisse coincide con i centro di simmetria dea circonferenza.l'ordinata b de punto medio M si chiama semiasse minore de'eisse, i suo doppio è 'asse minore. TP TQ = 2. Lunghezza de'asse minore di una eisse. L'asse minore di una eisse è i medio proporzionae tra i ato retto p 'asse maggiore. Dimostrazione L'ascissa de punto medio M è /2 e quindi a sua ordinata b vae b 2 = p 2 ( " 2 ) = p 4 p

9 pertanto (2b) 2 = p. Tavoa IV.5 A partire dagi assi cacoare i ato retto. L'eissografo Per disegnare eisse esiste uno strumento, chiamato eissografo, a cui meccanica si basa sue proprietà che abbiamo visto sopra. Si mostra o strumento in egno agi studenti e si cerca di capire e sue caratteristiche e i suo funzionamento. Ci sono due binari perpendicoari che corrispondono agi assi de'eisse, c'è a possibiità di modificare i rapporto tra e oro unghezze e c'è un meccanismo che muove una punta scrivente. Discutere come si possa descrivere matematicamente o strumento. Gi studenti dispongono anche di un eissografo virtuae che può descrivere e eissi sia come traccia che come uogo. Eissografo.ggb Dopo questa indagine, discutere come si possa descrivere matematicamente o strumento. Pag. 9 Sia MA i raggio di una circonferenza e M i suo centro. Consideriamo ora su un segmento KP di unghezza uguae a raggio AM dea circonferenza. Su questo segmento fissiamo un punto H che ha una data distanza da K. Si faccia scorrere i segmento KP mantenendo i punti H e K su due diametri perpendicoari come in figura. L insieme dei punti P descrive un eisse. Dimostrazione Per ogni posizione deo strumento e de punto P consideriamo a retta orizzontae passante per P paraea a KM e siano T e Q rispettivamente e intersezioni con AM e con a circonferenza. Dimostriamo che i quadriatero KPQM è un paraeogramma. Per costruzione sappiamo che PQ è paraeo a KM e KP =AM. I triangoi PKL e QMN, nei quai L e N sono rispettivamente e proiezioni di P e di Q sua retta KM, sono congruenti perché risutano rettangoi per costruzione,

10 PK = QM perché raggi dea circonferenza e PL = QN perché distanza di rette paraee. Ne segue che angoo PKL è congruente a angoo QMN e PKL congruente a HPT perché aterni interni. Segue che angoo KPQ è congruente a QMK perché suppementari di angoi congruenti, poiché angoo PQM è congruente a QMN in quanto aterni interni, si ha che angoo PKM è congruente a angoo PQM. Essendo e coppie di angoi de quadriatero congruenti, si tratta di un paraeogramma. I triangoi TPH, TQM sono dunque simii e, ricordando che PK=MQ si ha: TQ : TP = QM : PH = PK:PH, da cui TQ : TP = PK:PH = costante Da questo segue che a curva disegnata dao strumento è una contrazione dea circonferenza di raggio AM di un rapporto fisso ed è dunque una eisse i cui semi-asse maggiore MA è verticae. Sitografia Pag. 10

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