Università degli studi di Padova SCHEDULING SU MACCHINE PARALLELE CON ALTA MOLTEPLICITÀ

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1 Università deli studi di Padova Dipartiento di Tecnica e Gestione dei Sistei Industriali Tesi di Laurea Triennale in Ineneria Gestionale SCHEDULING SU MACCHINE PARALLELE CON ALTA MOLTEPLICITÀ RELATORE: CH.MO PROF. Giorio Roanin Jacur LAUREANDO: Giacoo Vettore MATRICOLA: ANNO ACCADEMICO:

2 INDICE Soario... 3 Introduzione... 4 Capitolo 1: Lo schedulin Lo schedulin Problei di schedulin Classificazione e notazione dei problei di schedulin Le acchine (paraetro α) I lavori (paraetro β) I criteri di valutazione (paraetro γ) Tepi di setup Funzione obiettivo Problei di schedulin trattati ed alta olteplicità Coplessità coputazionale di un alorito Problei P, NP, NP-copleti e NP-hard Capitolo 2: Schedulin su acchine identiche Introduzione al problea Schedulin su acchine parallele identiche senza preeption Alorito P-HM Altro alorito Esepio Schedulin su acchine parallele identiche con preeption Capitolo 3: Schedulin su acchine non correlate Introduzione al problea Schedulin su acchine parallele non correlate senza preeption Alorito risolutivo Esepio Alorito R-HM Coplessità coputazionale alorito R-HM

3 Capitolo 4: Schedulin su acchine proporzionali Introduzione al problea Schedulin su acchine parallele proporzionali senza preeption Alorito risolutivo Coplessità coputazionale dell alorito Schedulin su acchine parallele proporzionali con preeption Capitolo 5: Cenni di schedulin con tepi di setup Introduzione al problea Il odello ateatico Conclusioni Bibliorafia

4 SOMMARIO In questa tesi si affronta il problea dello schedulin su acchine parallele considerando lotti caratterizzati dall alta olteplicità. I problei di schedulin riuardano l uso nel tepo di risorse liitate per le quali esiste una doanda di utilizzazione. Coe vedreo in seuito l approccio che considera l alta olteplicità consente di ridurre la ole di dati in input così da creare un odello eno coplesso e di conseuenza più flessibile. Per quanto riuarda l ipostazione del proetto verrà fatta un introduzione enerale sullo schedulin e sul concetto di alta olteplicità. A seuire verranno trattate tre tipoloie di problea di schedulin su acchine parallele. Il prio problea si concentrerà nel definire lo schedulin su acchine identiche, il secondo su acchine parallele non correlate ed il terzo su acchine proporzionali. Tali problei saranno trattati nel duplice caso: con e senza interruzioni (preeption). In tutti i problei l obiettivo della schedulazione sarà di iniizzare la soa dei tepi di copletaento dei lavori. Si utilizza la soa dei tepi di copletaento dei lavori perché può essere usata coe indicatore per valutare le prestazioni del sistea, che risulteranno iliori in corrispondenza di un valore inore. 3

5 INTRODUZIONE Un processo di produzione si copone di operazioni per effettuare le quali è necessario l ipieo di risorse (anodopera, acchinari). Si pone, pertanto, il problea di allocare le operazioni alle risorse disponibili (loadin), di deterinare la sequenza secondo la quale le operazioni vanno eseuite (sequencin) ed infine di definire, per ciascuna operazione, una schedulazione ossia l individuazione deli istanti di inizio e di copletaento di ciascuna operazione (schedulin). I terini schedulin o schedulazione possono essere utilizzati indifferenteente per indicare la tepificazione secondo la quale le operazioni devono essere realizzate e il processo che conduce alla individuazione di tale tepificazione. Diversi problei possono essere ricondotti a problei di schedulin: la disciplina di accesso di utenti ad un qualsiasi servizio, l assenazione di operazioni a stazioni di lavoro durante il processo di trasforazione di un prodotto, la tepificazione di attività da svolere all interno di un proetto coplesso, la forulazione di procedure che devono essere sottoposte ad una serie di verifiche, l utilizzazione di piste e/o ates da parte di aerei in arrivo o in partenza da un aeroporto. La definizione di uno schedulin può essere olto coplicata per la presenza di vincoli relativi alle attività da svolere ed alle risorse a disposizione. Possono esistere, ad esepio, relazioni di precedenza tra le operazioni (ad esepio la trasforazione di un prodotto avviene secondo una sequenza ordinata di lavorazioni), vincoli sui tepi di realizzazione (ad esepio una deterinata procedura deve copletarsi entro un tepo stabilito) e/o sui tepi necessari per il sequenziaento di attività su una certa risorsa (ad esepio due aerei che decollano in successione devono rispettare una distanza di sicurezza), sull uso siultaneo di risorse (ad esepio due treni non possono sostare nello stesso tepo sullo stesso binario), sui tepi di disponibilità delle risorse (ad esepio le aule a disposizione possono essere usate soltanto in certi orari della iornata), sulla continuità nell uso delle risorse (ad esepio dopo un certo periodo di utilizzazione le risorse vanno sottoposte a anutenzione), sui tepi di attesa per l effettuazione di un operazione (ad esepio un utente che accede ad un servizio non può rianere in attesa più di un certo periodo assio). Per definire la schedulazione efficiente è necessario individuare opportuni paraetri di valutazione che possono far riferiento all uso delle risorse a disposizione, alla capacità di assicurare una risposta alle richieste in aniera rapida e soddisfacente, al conteniento dei costi di estione. La scelta dell obiettivo da perseuire dipende dalle applicazioni, dai casi particolari e dalle scelte del decisore. I problei di schedulin possono essere rappresentati attraverso opportuni odelli. La difficoltà nella risoluzione di questi odelli dipende dalle risorse a disposizione, dalla tipoloia dei vincoli presenti, dalla scelta deli obiettivi. Nel seuito si illustrano i fondaentali odelli per la descrizione dei problei di schedulin 4

6 CAPITOLO 1 Lo schedulin 5

7 1.1 Lo Schedulin Con il terine schedulin si intende una vasta classe di problei, olto diversi tra loro per coplessità e struttura. Nel ondo industriale, si cerca sepre di iunere ad una produzione rapida ed efficiente. Per ottenere ciò bisona definire in aniera ottiale l ipeno delle risorse produttive, persone e acchine nel tepo, cercando di soddisfare allo stesso tepo le esienze del cliente e quelle produttive (leate all utilizzo più appropriato deli ipianti). Ciò che, tenendo conto di questi due obiettivi, dà la priorità ali ordini in base a delle reole e crea allo stesso tepo delle sequenze operative in rado di ridurre i tepi di set-up tra le varie fasi di lavorazione è la schedulazione. Per poter essere veraente efficace ed usato nel odo iliore, uno struento di schedulazione, deve distinuere le cose da fare nel edio-luno terine da quelle da fare a breve, il che coporta dei cabiaenti nell approccio: Nel edio-luno terine si opererà prevalenteente a capacità infinita al fine di poter analizzare, a luna scadenza, il rispetto dell equilibrio aziendale fra la capacità delle risorse produttive ed i carichi dei sinoli reparti. Quasi sepre in questa situazione si prendono in considerazione soltanto le risorse critiche (i cosiddetti colli di bottilia ) proprio perché si opera su prospettive a edio-luno terine. Nel breve terine dovreo operare invece con il concetto di capacità finita, quindi assenare a tutte le sinole risorse la corretta disponibilità ed utilizzare i tepi di ciclo reali e considerare anche tutte le coponenti del sistea. Lo schedulin quindi consiste nell associare fra loro attività e risorse in aniera tale da portare a copiento tutte le attività nel iliore dei odi, secondo un prefissato tepo di perforance, e nello stabilire i tepi di inizio e fine di oni attività. Di fondaentale iportanza risulterà anche la scelta dello schedulatore, il quale dovrà tener conto che i condizionaenti ed i liiti sono tutti quei paraetri volutaente forzati o ereditati dalla pianificazione dei ateriali (dall MRP, Master Requireent Plannin), o conseuenza di una particolare situazione di ercato, che obbliano lo schedulatore ad ottiizzare la produzione nel rispetto di una certa priorità di produzione. In questa tesi di laurea affrontereo problei di achine schedulin, terine utilizzato quando si va ad affrontare problei in cui ci siano n attività (lotti o lavori) che devono essere eseuiti su acchine. Oni attività viene processata una sola volta e oni acchina eseue una sola attività alla volta. L esecuzione di un attività richiede un certo tepo chiaato processin tie (tepo di processo); oni attività può essere costituita da un insiee di operazioni che rispettano vincoli di precedenza o che sono indipendenti tra loro. Nel caso che noi prendiao in esae, ossia con acchine in parallelo, per risolvere un problea di schedulin bisona associare ad oni operazione un processore ed un tepo di inizio. In letteratura sono stati affrontati olti problei di schedulin da svariati autori, e le ipotesi eneralente adottate in tutte le risoluzioni sono le seuenti: 1. il problea è deterinistico, non ci sono incertezze sui dati di input ne sui paraetri di funzionaento; 2. Il problea è statico, ossia l insiee dei lotti da lavorare è noto a onte del processo di schedulin e riane iutato durante lo stesso, così coe l insiee di acchine disponibili all assenazione; 3. Non si considera il problea della ovientazione dei ateriali; 6

8 4. Non è previsto che una acchina, considerata disponibile all inizio di un processo di schedulin, divena non disponibile durante il processo stesso; 5. Si considerano problei caratterizzati da un unico obiettivo; 6. I lavori hanno tepi di produzione su tutte le acchine, e sono noti a priori; 7. Tutti i vincoli, che sono iposti dal sistea produttivo, sono noti a priori e rianono iutati per l intera durata del processo di schedulin. Quindi in poche parole un problea di achine schedulin consiste nell assenare i lavori alle acchine e nel definire una sequenza che identifichi l istante di inizio e fine di oni lavoro. A differenza di quanto accade per altre aree dell ottiizzazione cobinatoria, a tutt oi per i problei di schedulin più difficili non è possibile indicare un unico approccio nettaente preferibile per la loro soluzione, a di volta in volta può essere più appropriato utilizzare euristiche, aloriti di enuerazione, aloriti approssiati. 1.2 Problei di schedulin Con il terine schedulin, coe abbiao visto, si intende l attività di assenazione alle risorse disponibili e di tepificazione di un certo nuero di lavori che devono essere eseuiti. Tale attività deve essere eseuita tenendo presente l obiettivo di perforance che ci si è prefissato. In abito produttivo eneralente si identificano le risorse con le acchine. Si parla dunque di achine schedulin coe del processo con cui ciascuna acchina è destinata all esecuzione di un deterinato lavoro, definendo li istanti di inizio e fine di tale esecuzione. Nei problei di schedulin possiao quindi parlare di tre eleenti fondaentali: le risorse, i lavori e li obiettivi. Le risorse sono caratterizzate in terini delle loro capacità, così che in un problea di schedulin esse sono descritte dal loro tipo e dalla loro quantità. Oni lavoro è invece descritto da inforazioni che riuardano i tepi di esecuzione, di inizio e di consena. Alcuni lavori inoltre possono essere sottoposti a vincoli di precedenza. Nei problei di schedulin, risorse ed attività venono indicate con i terini acchina e task, entre con il terine job ci si riferisce in enere a insiei di task eneralente leati tra loro. L obiettivo di un problea di schedulin, è di iliorare la isura di una deterinata quantità. Alcuni tra li obiettivi più couni riuardano il ilioraento del tepo di copletaento totale (akespan) e del assio tepo di ritardo (lateness) Classificazione e notazione dei problei di schedulin In questa tesi verranno considerati i diversi problei con e senza preeption (interruzione dei lavori). In presenza di questa c è la possibilità di interropere un lavoro e riprenderlo su un altra acchina. I vari problei di schedulin venono calssificati seuendo la notazione utilizzata da Graha. Supponiao che acchine M i (i = 1,.,), debbano processare n lavori J j ( j=1,,n). Un allocazione di uno o più intervalli di tepo su una o più acchine, per oni lavoro, è couneente detto schedule. Uno schedule si dice aissibile se, ad oni istante di tepo, oni lavoro è processato esattaente da una acchina. Uno schedule è detto ottiale se iniizza (o assiizza) un dato criterio. Uno dei problei più diffusi è definire l ordine di elaborazione dei job su una o più acchine, in odo da ottiizzare una qualche isura di prestazione. Esponiao i quattro fattori che servono a definire i problei di schedulin: 7

9 1. La confiurazione deli arrivi dei job. Questa può essere: Statica: i job arrivano tutti siultaneaente in uno shop. Dinaica: i job arrivano in oenti diversi, eventualente seuendo un processo stocastico. 2. Il nuero di acchine nello shop. 3. Il flusso di job sulle acchine. Ovvero: Flow shop: stesso ordine di elaborazione sulle acchine per tutti i job; Open shop: i job non seuono una sequenza di operazioni coune; Job shop: la sequenza delle operazioni che dovranno essere svolte è definita a priori, a può radicalente cabiare da lotto a lotto. 4. Il criterio di valutazione delle prestazioni dello shop (ovvero la funzione obiettivo). Tali problei possono essere descritti utilizzando la notazione a tre capi α β γ, dove: α rappresenta il nuero di acchine; β descrive le caratteristiche dei lavori; γ il criterio da ottiizzare (o funzione obiettivo). Analizziao ora tutti i tre paraetri così da vedere coe avviene la classificazione Le acchine (paraetro α) Si possono incontrare diversi tipi di sistei produttivi che variano a seconda della nuerosità delle acchine e dal tipo di precedenza tra le operazioni. Una acchina è definita dedicata se può svolere solo deterinate operazioni, entre è detta non dedicata o parallela se può effettuare tutte le possibili operazioni. Per quanto riuarda il paraetro α, questo può essere duplice: α 1 indica la odalità di produzione adottata, entre α 2 indica il nuero delle acchine considerate. Alcuni esepi per entrabi i paraetri sono: α 1=1: Macchina sinola. Si ha a disposizione una sola acchina su cui poter eseuire i lavori. Ad oni lavoro quindi corrisponde un operazione che va eseuita necessariaente su tale acchina. α 1=P: Macchine parallele identiche. Si hanno a disposizione diverse acchine poste in parallelo, onuna delle quali può eseuire più lavori. Le acchine sono identiche tra loro e quindi i tepi necessari ad eseuire i sinoli lavori sono indipendenti dalla particolare acchina utilizzata (stessa velocità di lavorazione). α 1=Q: Macchine parallele proporzionali unifori. Si hanno a disposizione più acchine parallele diverse tra loro, le cui velocità di esecuzione sono rappresentate da un paraetro proprio della sinola acchina e indipendenteente dal lavoro. Ne seue che, se una acchina è più veloce di un altra a copletare un particolare lavoro, essa lo sarà per qualsiasi lavoro considerato nella stessa proporzione; la velocità è quindi differente a costante ed indipendente dall operazione. α 1=R: Macchine parallele non correlate. Si hanno a disposizione più acchine parallele diverse tra loro, le cui velocità di esecuzione dipendono dalla particolare accoppiata acchina-lavoro. Due acchine si dicono non correlate se non sono né identiche né proporzionali. α 1=F: Flow Shop. Ciascun lavoro attraversa tutte le acchine secondo una sequenza, uuale per tutti i lavori, deterinata dalla disposizione delle stesse. α 1=J: Job Shop. Ciascun lavoro prevede una particolare sequenza di operazioni da portare a terine e attraversa solo le acchine che eseuono tali operazioni. α 1=O: Open Shop. È siile al caso di Job Shop a non esistono vincoli di precedenza fra le operazioni che un lavoro deve portare a terine. α 2=1,2,3,.. indica che il nuero di acchine è fissato in partenza. 8

10 α 2= indica che il nuero di acchine è arbitrario e vine fissato contestualente alla definizione del problea. α 2= Ø indica che il nuero di acchine viene fissato contestualente alla definizione della particolare istanza del problea I lavori (paraetro β) Nel caso si abbia una liitata disponibilità di risorse uane o si volia iliorare il livello di perforance, si può iporre che un lavoro sia interrotto o sia prodotto conteporaneaente su più acchine. Elenchiao alcune delle proprietà che il etodo di lavorare i prodotti può presentare. Nessuna di queste condizioni deve essere necessariaente presente. β 1 indica il tipo di frazionaento dei lavori consentiti. β 1=ptn: è consentita la preeption. Vale la condizione che un lavoro può essere eseuito da una sola acchina per volta. L esecuzione di un lavoro può essere interrotta in qualsiasi oento ed essere ripresa più tardi sulla stessa acchina o su un altra. β 1= Ø: non è consentita la preeption. Un lavoro non può essere interrotto per essere poi ripreso su un altra acchina. β 1=ss: è consentito lo splittin on the sae achine. Un lavoro può essere eseuito da una sola acchina alla volta. La lavorazione può essere interrotta in qualsiasi oento, per poi essere ripresa sulla stessa acchina. Questa proprietà è particolarente utile nel caso in cui ci sia una liitata disponibilità di risorse uane o eneretiche, oppure di utensili, cosicché solo un nuero liitato di acchine può essere attivo in oni istante: potrebbe ad esepio accadere che sia necessario iporre la lavorazione di un prodotto su una certa acchina, per consentire al personale tecnico di spostarsi su un altra acchina. β 1=bpp: è consentita la batch parallel production. Viene tralasciata la condizione che oni lavoro possa essere eseuito da una sola acchina alla volta, quindi un lotto può sia essere frazionato e lavorato su più acchine siultaneaente, che interrotto per essere ripreso sulla stessa acchina. β 2 infora sui vincoli di precedenza. β 2= Ø non esistono vincoli di precedenza per quanto riuarda le operazioni che devono essere eseuite sui prodotti. β 2=tree i vincoli di precedenza possono essere rappresentati traite alberi: oni lavoro richiede più operazioni, la cui sequenza è riidaente ordinata. β 2=prec i vincoli di precedenza possono essere rappresentati traite rafici acilici orientati. Oni lavorazione è caratterizzata da un rafo orientato in cui oni nodo corrisponde ad un operazione e ha al più un successore. β 3 infora sulle release date, ossia sulla data che ipone di non avviare la produzione di un lotto specifico pria del raiuniento di deterinate condizioni. Queste possono derivare, ad esepio, da problei loistici quali la ancata disponibilità di spazio a aazzino per lo stoccaio deli iballi, oppure l indisponibilità di aterie prie necessarie alla produzione del lotto. β 3=Ø tutte le release date sono identiche e possono essere assiilate all istante iniziale. β 3=r j le release date possono differire da lavoro a lavoro e devono essere rispettate. β 4 infora sui tepi di set up. β 4= Ø i tepi di set up dipendono solo dal prodotto e venono direttaente conteiati nei tepi di produzione (si considera solo nel caso in cui non c è preeption) 9

11 β 4=snsd i tepi di set up dipendono sia dal prodotto, sia dalla particolare acchina su cui il lavoro viene eseuito. Caso particolare è quello in cui c è dipendenza solo dalla acchina. β 4=ssd i tepi di set up non solo dipendono dalla specifica coppia lavoroacchina a anche dalla particolare sequenza di lavorazione. Questo caso si verifica quando i prodotti possono essere raruppati in failie. β 5 infora sulle due dates. Ad oni lotto è associata una data relativa al copletaento della produzione. β 5= Ø le due dates sono diverse: ad oni lotto è associata una data di copletaento. β 5=(d j=d) tutte le due dates sono identiche. β 5=A j le due dates sono sostituite da dead lines fissate (indica la data entro cui il lotto deve essere tassativaente copletato). β 6 infora dell esistenza di vincoli di risorsa. β 6=res esistono vincoli sull utilizzo conteporaneo di più acchine derivanti dalla criticità di risorse liitate, quali per esepio il lavoro uano o l eneria. β 7 indica la presenza dell alta olteplicità e quindi si può utilizzare la relativa codifica dei dati. β 7=M j questa notazione indica la presenza di un problea ad alta olteplicità in cui soltanto i lavori hanno una codifica HM. β 7=M in questo caso l alta olteplicità si applica sia ai lavori che alle acchine I criteri di valutazione (paraetro γ) Al fine di valutare la schedulazione ottenuta, si utilizzano vari indicatori di perforance, di cui i più couni sono: 1. Copletion Tie (C j): istante di tepo in corrispondenza del quale terina l esecuzione del lavoro j. 2. Lateness (L j): è la differenza tra il tepo di copletaento e il tepo di scadenza del lavoro. Se è aiore di zero sinifica che l operazione è stata copletata in ritardo rispetto la scadenza; se è inore di zero vuol dire che è stata copletata in anticipo. 3. Tardiness (T j): è il ritardo con cui si copleta un lavoro; è uuale a L j se L j>0, o è pari a 0 se L j<0. 4. Earliness (E j): è l anticipo con cui si copleta un lavoro; è uuale a L j se L j<0, o è pari a 0 se L j>0. Tipicaente la funzione obiettivo di un problea di schedulin consiste nel assiizzare o iniizzare uno di questi indicatori. In questa tesi ci occupereo della iniizzazione del tepo di copletaento Tepi di set up Tutte le acchine, pria di iniziare una lavorazione, richiedono un certo tepo di attrezzaio la cui durata non è trascurabile rispetto ai tepi di produzione, quindi bisona tenerne conto in fase di schedulazione. Il set up deve essere effettuato sia all avviaento della acchina, sia nel passaio da un lavoro ad un altro. I tepi di set up possono dipendere da diversi fattori: Set up dipendente dal prodotto: il tepo di set up dipende solo dal lavoro, e quindi può essere incluso nel tepo di lavorazione del prodotto. Set up di acchina: il tepo di set up dipende dalla cobinazione di un lavoro con una acchina, cioè oni lavoro ha un tepo di set up diverso dali altri. 10

12 Un caso particolare di set up acchina è il set up dipendente solo dalla acchina: oni acchina ha dei propri tepi di set up, che non dipendono dal lavoro ad essa assenato. Set up di sequenza: i tepi di set up dipendono non solo dalla acchina, a anche dalla sequenza dei lavori che si susseuono su di essa. In altre parole, il tepo di attrezzaio di una acchina è leato al lavoro che è stato appena eseuito. Un caso particolare di set up di sequenza è dato dalla presenza di ajor e inor set up: i lotti siili si sono raruppati in failie. Quando si passa da un lotto ad un altro della stessa failia si ha un tepo di set up inore, che dipende solo dal lotto che verrà lavorato. Se si passa a lavorare un lotto di un altra failia si ha un tepo di set up aiore, che dipende solo dalla nuova failia. Coe vedreo in seuito in letteratura la aior parte delle volte il tepo di setup non viene considerato Funzione obiettivo Gli obiettivi della schedulazione possono essere diversi e dipendono dali scopi che si voliono raiunere. Tra li obiettivi iportanti in azienda ci sarà sicuraente il rispetto delle date di consena, la iniizzazione dei tepi di ozio delle acchine, iniizzazione dei costi di produzione e iniizzazione del tepo di copletaento dei lavori. Al variare di tali obiettivi si considerano delle diverse funzioni obiettivo. Le più couni sono: Funzione obiettivo basata sul tepo di copletaento: l obiettivo è la iniizzazione del tepo di produzione totale (o akespan), ed è indicato coe in C ax. Funzione obiettivo basata sul flow tie: il flow tie del lavoro j-esio (F j) è il tepo totale che tale lavoro trascorre all interno del sistea produttivo. Anche in questo caso l obiettivo è la iniizzazione del assio flow tie (in F ax). Funzione obiettivo basata sulle due dates: se venono fissate delle date di consena e queste non sono rispettate, si dovrà sostenere un costo proporzionale al ritardo. I criteri di isura della perfoance in questo caso possono essere due: axiu lateness (L ax) e axiu tardiness (T ax). Conviene iniizzare L ax quando si ottiene un copenso per aver terinato un lavoro in anticipo. Conviene invece iniizzare T ax quando i lavori copletati in anticipo non enerano copenso, ed allo stesso tepo si ricevono penalità per il copletaento dei lavori in ritardo. Possono inoltre essere presenti anche dei vincoli sulle risorse disponibili. Ad esepio se non si dispone di un nuero sufficiente di operatori tale da poter far funzionare tutte le acchine conteporaneaente, bisonerà porre un liite alle acchine attive nello stesso oento Problei di schedulin trattati e alta olteplicità I problei di schedulin che verranno trattati in questa tesi saranno caratterizzati da una produzione a lotti, dove ciascun lotto è costituito da un insiee di lavori da eseuire identici tra loro. L obiettivo dei problei presi in esae sarà di iniizzare il tepo di copletaento. Poiché i problei trattati riuardano acchine parallele, oltre al tepo di sequenziaento dei lavori si ha anche il problea di allocazione dei lavori alle acchine disponibili (che non è presente nel caso di acchina sinola). Coe si è detto verranno trattati problei di schedulazione con lotti caratterizzati dall alta olteplicità. Questo vuol dire essere in presenza di una ran quantità di lavori (job) che possono essere ripartiti su un nuero relativaente piccolo di ruppi, all interno dei quali 11

13 i lavori sono identici tra loro. È proprio questo odo di raruppare i lavori che rende la ole di dati associati ai lavori decisaente inferiore, poiché consente di non dover più considerare oni sinolo lavoro, a poter raionare a livello di ruppi. Tale etodoloia coe vedreo potrà essere applicata non solo ai lavori a anche alle acchine, così da trarne un ulteriore vantaio in terini di codifica dei dati. 1.3.Coplessità coputazionale di un alorito Dato un problea, è possibile deterinare un insiee, eneralente finito, di aloriti in rado di risolverlo. La scelta di un alorito piuttosto che un altro può essere basata su differenti fattori, coe il tepo di esecuzione, le risorse necessarie alla sua esecuzione, ecc. Tra questi il fattore che ioca un ruolo essenziale è la coplessità coputazionale che può essere isurata coe tepo necessario all esecuzione dell alorito su un coputer di architettura tradizionale. La valutazione della coplessità coputazionale deve soddisfare due requisiti: 1. Non deve dipendere da una particolare acchina o copilatore: il tepo di esecuzione di oni istruzione in un qualunque linuaio non è uuale per tutti i calcolatori a varia in funzione della frequenza di lavoro della CPU, dell architettura del calcolatore o dal set di istruzioni di cui la acchina dispone. Inoltre il nuero di istruzioni in linuaio acchina che venono enerate in corrispondenza ad un proraa scritto in alto livello, dipende dal particolare copilatore. È possibile quindi che uno stesso proraa vena tradotto in prorai in linuaio acchina di lunhezza differenti. 2. Deve essere espressa in funzione dei dati di inresso: poiché un alorito elabora dei dati in inresso per fornirne altri che rappresentano la soluzione del problea, quello che interessa sapere è coe il tepo di esecuzione dell alorito varia al variare dei dati in inresso. In particolare, la dipendenza del tepo di esecuzione dai dati in inresso può essere relativa sia alla diensione dei dati (ossia il nuero di dati che devono essere elaborati dall alorito) che al loro valore. Per quanto detto, lo studio della coplessità coputazionale di un alorito consiste nell individuare una relazione tra il tepo di esecuzione T(n), la diensione dei dati (n), e la dipendenza dal particolare valore del dato o dei dati di inresso. Vista la coplessità di quest ultio leae, olto spesso si preferisce seplificare la relazione da individuare, considerando solo il leae tra il tepo di esecuzione e la diensione dei dati in inresso. Tra tutti li scenari leati ai valori dei dati in inresso, si considera quello caratterizzato dal caso peiore. In oni caso però la relazione che si vuole individuare deve prescindere sia dalla particolare acchina che dal copilatore utilizzato. Per esplicitare il leae tra il tepo di esecuzione e la diensione dei dati in inresso utilizzereo la notazione O ( o rande). La notazione O fornisce una deliitazione superiore al tepo di esecuzione di un alorito, ossia fornisce una valutazione approssiata per eccesso. La definizione di tale notazione è la seuente: sia f(n) una funzione definita suli interi non neativi n. Diciao che T(n) è O(f(n)), se T(n) è al più una costante oltiplicativa per f(n), fatta al più eccezione per valori piccoli di n. Più foralente direo che T(n) è O(f(n)) se, nel caso peiore relativaente ai valori di inresso, esiste un nuero n 0 e una costante c, tale che T(n) c f(n) n n 0, ossia se n 0, c: T(n) c f(n) n n 0. 12

14 Alcuni valori di O(n) possono essere: O(1) = costante O(n) = lineare O(n 2 ) = quadratica O(nlon) = n loarito di n Problei P, NP, NP-copleti e NP-hard È possibile effettuare una classificazione dei problei in base alla coplessità deli aloriti di soluzione. Definiao inizialente i problei di tipo P (polinoiali) e NP (Nondeterinistic Polynoial Tie-problei non deterinistici a tepo polinoiale). Un problea si dice polinoiale se è O(f(n)), dove f(n) è un polinoio (oppure è liitato superiorente da un polinoio), quindi un problea appartiene alla classe P se esiste un alorito di soluzione la cui coplessità è polinoiale nelle diensioni dell input). L insiee di tutti i problei polinoiali è rappresentato da P. L afferazione che un problea è polinoiale riuarda il tepo che è necessario per risolverlo, ovvero che può essere risolto in un tepo polinoiale (oppure che ha una soluzione polinoiale nel tepo). È iportante identificare problei polinoiali poiché questi hanno soluzioni praticabili. Un problea si dice invece appartenente alla classe NP se, data un istanza afferativa di tale problea, è possibile fornire un certificato dal quale si possa verificare in tepo polinoiale che tale istanza è afferativa. L appartenenza a NP quindi richiede eno rispetto all appartenenza a P. Perché un problea sia NP quindi non è necessario che sia risolvibile in tepo polinoiale, a che se l istanza è afferativa, ciò sia verificabile in tepo polinoiale. Questo fa capire che quindi i problei P sono un sottoinsiee dei problei NP (P NP): se un problea è polinoiale allora senz altro appartiene a NP. L iportanza della classe NP è quindi leata al fatto che tutti (o quasi) i problei decisionali di qualche interesse pratico fanno parte di questa classe. I problei NP-copleti sono invece i problei più difficili della classe NP: un problea A si dirà NP-copleto se A NP e se, preso un qualunque problea B NP, B si riduce polinoialente ad A. Questo vuol dire che se si trovasse un alorito in rado di risolvere in tepo polinoiale un qualsiasi problea NP-copleto, allora lo si potrebbe usare per risolvere oni problea in NP. I problei NP-hard (NP-ardui) sono problei non necessariaente decisionali, che venono definiti aleno difficili coe i più difficili problei della classe NP: questo vuol dire che questi problei sono aleno coplicati quanto un qualunque problea NP, anche se potrebbero esserlo di più. Quindi un alorito per risolvere uno di questi problei può essere convertito in un alorito per risolvere un qualunque problea NP. È possibile dare una definizione più forale per quanto riuarda i problei NP-hard: un problea P è NP-hard se e solo se esiste un problea NP-copleto L che è polinoialente riducibile a P, ovvero tale che L P. Da tale definizione possiao ricavare che i problei NP-hard sono non eno difficili dei problei NP-copleti, che a loro volta sono per definizione più difficili delle classi P/NP. 13

15 CAPITOLO 2 Schedulin su acchine identiche 14

16 2.1 Introduzione al problea Considerare acchine parallele identiche vuol dire considerare acchine che hanno li stessi tepi di lavorazione. L obiettivo che ci prefiiao è quello di iniizzare la soa dei tepi di copletaento. Seuendo la notazione di Graha il problea che andiao a trattare sarà quindi P M ΣC j: dati n lavori ed acchine, siano i tipi di lavoro e h i tipi di acchina. Oni tipo di lavoro j ha n j lavori e questo vale per oni j = 1, 2,,. Allo stesso odo oni tipo di acchina i avrà i acchine per i = 1, 2,, h. Si dovranno rispettare inoltre i due vincoli: n j = n e i = j=1 Le notazioni che verranno utilizzate nella trattazione del problea considerato coprendono: = nuero delle acchine in parallelo; 15 h i=1 n = nuero totale dei lavori da schedulare; = nuero totale dei tipi di lavoro considerati; h = nuero totale dei tipi di acchina considerati; nj = nuero totale di lavori di tipo j per j = 1, 2,, ; j = nuero totale di acchine di tipo i per i = 1, 2,, h; Jj = insiee di tutti i lavori di tipo j per j = 1, 2,, ; Mi = insiee di tutte le acchine di tipo i per i = 1, 2,, h; Pij = tepo totale richiesto per copletaento di un lavoro di tipo j su una acchina di tipo i; sij = tepo di set-up richiesto per attrezzare la acchina i alla lavorazione del lavoro di tipo j. 2.2.Schedulin su acchine parallele identiche senza preeption Alorito P-HM Una possibile soluzione a tale problea è l alorito P-HM (Clifford and Posner,2001). La caratteristica principale di tale alorito è che evita dipendenze sia dal nuero di acchine che da quello dei lavori. Questo perché questa procedura non considera le acchine ed i lavori sinolarente, infatti non fornisce una soluzione acchina per acchina o lavoro per lavoro, a cerca di riordinare e ridefinire acchine e lavori in ruppi ooenei all interno dei quali la schedulazione sia identica. Questo fa sì che la procedura lavori con un tepo polinoiale che dipende soltanto dal nuero di ruppi presenti nel problea invece che dal nuero di tutte le acchine e lavori coinvolti. Possiao espriere l alorito P-HM attraverso cinque passai: 1. Ordinare i tipi di lavoro in odo che sia p 1<p 2< <p. Si pona μ 1= e j=k=1. 2. Aiunere un ruppo di lavoro di tipo j di diensioni [n j/] (arrotondato all intero inferiore) a tutte le acchine. Porre ň=n j-[n j/], che rappresenta tutti i lavori di tipo j ancora da schedulare. Nel caso ň=0, andare al punto Ordinare i ruppi di acchine in base al tepo totale di processo e selezionare il più rande sottoinsiee possibile F di {1, 2,, k} in cui sia ň Σ k F μ k.

17 Increentare di una unità il lavoro di tipo j processato sui ruppi associati al sottoinsiee F. Porre ň= ň - Σ k F μ k. Nel caso ň=0, andare al punto Prendere il ruppo di acchine con SPT (shortest processin tie), cioè il inor tepo di processo, chiaiaolo s, e dividerlo in due ruppi s e s le cui diensioni siano rispettivaente μ s = ň e μ s =μ s -μ s. Si aiune un lavoro di tipo j al ruppo s e si pona k=k In caso j<, porre j=j+1 e ritornare al punto 2. Altrienti i lavori sono finiti e ci feriao. Riuardo la coplessità coputazionale di tale alorito vediao che il tepo di risoluzione dell alorito dipende dal nuero di ruppi-acchina necessari a copletare la schedulazione del problea. Oni volta che un lavoro viene assenato, viene creato al più un nuovo ruppo-acchina al punto 4. Questo vuol dire che, al assio, ci saranno +1 ruppi-acchine. Inoltre, il nuero di ruppi è liitato dal nuero totale di acchine, e per questo il nuero totale di acchine sarà inore o uuale a in {+1, }. I punti 2 e 3 richiedono O(k) assenazioni di ruppi di lavoro, dove k è il nuero di ruppi di acchine (vale quindi k +1). Per l ordinaento delle acchine del punto 3 basta un tepo O(), e se ripetiao i prii tre passi dell alorito per tutti i tipi di lavori otteniao che il tepo coputazionale di questa iterazione è O( 2 ). Quindi, dato che il nuero di operazioni eleentari e la lunhezza della descrizione di tutti i valori è leato alla diensione dell input attraverso una funzione polinoiale, possiao concludere che l alorito P-HM si chiude in tepo polinoiale Altro alorito Per risolvere P M ΣCj è possibile utilizzare un altro alorito (Roanin-Jacur e Filippi, 2009). L approccio al problea è innanzitutto trovare una soluzione ottia all istanza con k t=[n t/] lavori per tutti i tipi di lavoro t, per poi applicare l alorito SL all istanza residua con h t=n t- k t lavori per tutti i tipi di lavoro t, ed infine cobinare le due soluzioni. Un ipleentazione di questo tipo dipenderebbe linearente dal nuero di acchine, quindi risulterebbe un alorito non polinoiale. Per arantire che sia polinoiale, si ricorre al raruppaento delle acchine. Dalla definizione di ruppo di acchine (è il ruppo che include tutte le acchine dove è assenata la stessa sequenza di ruppi di lavori), è possibile considerare un ruppo di acchine coe un insiee di acchine consecutive aventi lo stesso tepo di copletaento. Un ruppo di acchine γ è identificato da una coppia (f(γ), (γ)), dove f(γ) è l indice della pria acchina del ruppo e (γ) è la cardinalità del ruppo. Questo vuol dire che le acchine in γ sono (f(γ),,f(γ)+(γ)-1). La procedura dell alorito è la seuente. 1. Classificare i tipi di lavoro in ordine SPT; lasciare γ =(1,). 2. Per tutti i t=1,..,: (a) assenare k t = n t / lavori di tipo t ad oni acchina in ultia posizione. Porre h t = n t n t / (b) finché h t>0: se h t (γ) aiunere un job di tipo t a tutte le acchine in γ, fissare h t=h t-(γ), e sostituire γ con il suo successore; inoltre (se h t<(γ)) fissare γ = (f(γ) + h t, (γ) h t ), γ = (f(γ), h t ), aiunere un lavoro di tipo t a tutte le acchine in γ, fissare h t=0, ed infineγ = γ. 3. Restituire i ruppi di acchine ottenuti, ciascuno associato alla propria sequenza di ruppi di lavori. Rispetto all alorito P-HM, in quest ultio non è necessario antenere una lista ordinata dei ruppi di acchine. 16

18 2.2.3.Esepio Consideriao un caso con =4 acchine identiche e i seuenti dati riportati in tabella: Il ruppo di acchine iniziale γ è caratterizzato da f(γ) = 1 e (γ) = 4. Procedendo alla pria iterazione, n 1 = k 1 + h 1 = 2 + 2, quindi asseniao k 1 = 2 lavori di tipo 1 a tutte le acchine (in corrispondenza con il passo 2(a) della procedura descritta sopra). Finchè k 1 = 2 lavori di tipo 1 rianono da essere assenati e h 1 < (γ), poniao γ = (3,2), γ = (1,2), e asseniao un lavoro di tipo 1 a tutte le acchine in γ (passo 2(b)). Il risultato di tale iterazione è riportato anche in fiura (a). Nella seconda iterazione, n 2 = k 2 + h 2 = 1 + 3, quindi asseniao k 2 = 1 lavori di tipo 2 a tutte le acchine (passo 2(a)). Finché h 2 = 3 > (γ), asseniao un lavoro di tipo 2 ad oni acchina del ruppo γ (passo 2(b)). Ora γ = (1,2) è il ruppo di acchine corrente e riane da assenare un lavoro di tipo 2. Finché 1 < (γ), poniao γ = (2,1), γ = (1.1), e asseniao un lavoro di tipo 2 alla acchina in γ. Il risultato è riportato anche in fiura (b). 17

19 2.3.Schedulin su acchine parallele identiche con preeption Quando è consentita la preeption, un lavoro può essere eseuito su acchine diverse a solo da una acchina alla volta. Questo sta a sinificare che può essere interrotto per poi essere ripreso su un altra acchina differente da quella iniziale. Il problea di schedulin su acchine parallele identiche con preeption (con obiettivo la iniizzazione dei tepi di copletaento) si definisce P M,ptn ΣC j. L alorito risolutivo per tale problea è ancora l alorito P-HM ià esposto nel pararafo Anche in questo caso tale alorito produce una schedulazione ottia per il problea considerato in un tepo O( 2 ). 18

20 CAPITOLO 3 Schedulin su acchine non correlate 19

21 3.1 Introduzione al problea In questo pararafo trattiao il problea di schedulin su acchine parallele non correlate, quindi seuendo la notazione di Graha sarà del tipo: R M j snsd ΣC j. Il fattore M j sta ad indicare che verrà utilizzata l alta olteplicità per i soli lavori, non utilizzando la stessa anche per le acchine. L obiettivo sarà di iniizzare la soa dei tepi di copletaento. Le acchine non correlate sono caratterizzate da tepi di lavorazione differenti una dall altra. La notazione che usereo sarà: p i[t] = tepo di processo del t-esio più veloce tipo di lavoro sulla acchina i; quindi si ha p i[1] p i[2] p i[] ; x it = nuero di lavori di tipo t da processare dalla acchina i; x i[t] = nuero di lavori del t-esio più veloce tipo da processare sulla acchina i; x i0 = nuero di lavori fittizi da processare sulla acchina i; n 0 = nuero totale di lavori fittizi= ( 1) n. 3.2 Schedulin su acchine parallele non correlate senza preeption In letteratura si trova la soluzione a tale problea anche senza l ausilio dell alta olteplicità. Tale soluzione è stata data da Horn (1973), che ha presentato una procedura per risolvere il problea R ΣC j. La procedura sviluppata da Horn riconduce tale problea ad un problea di assenazione, risolvibile in tepo polinoiale; consideriao acchine e q lavori. È necessario aiunere ( 1) q posti di lavoro fittizi nuerati (q 1, q 2,, q) caratterizzati da un tepo nullo di lavorazione sulle acchine. Tali posti di lavoro sono creati per poter occupare li slot acchina vuoti, così da poter afferare che ciascuna acchina processi esattaente q posti di lavoro. Se il lavoro j è assenato alla acchina i nell ultia posizione k-esia, il suo costo di assenazione sarà C ijk = k pij (i=1,,; j=1,, q; k=1,,q). Secondo Horn una soluzione ottia per il problea R ΣC j si ottiene risolvendo il seuente odello: Soetti a: q q q in c ijk q i=1 j=1 k=1 x ijk = 1, i=1 k=1 x ijk = 1, j=1 x ijk j = 1,2,, q i = 1,2,, ; k = 1,2,, q. x ijk 0; i=1,2,,; j=1,2,,q ; k=1,2,,q. (1) Nel odello è fattibile oni ordine di lavori su una deterinata acchina, a solo un ordinaento SPT (SPT order =shortest processin tie) può renderlo ottiale. Nel caso R M ΣC j si ha q=n, quindi le diensioni di (1) non risultano polinoiali nella diensione dell input. Per questo, Clifford e Posner (2001) forulano R M j ΣC j coe un problea di trasporto quadratico. Esattaente coe Horn, anche in questo caso creiao ( 1) n lavori fittizi (che occupano li slot delle acchine vuote in odo che oni acchina i 20

22 processi esattaente n lavori). Su ciascuna acchina i lavori saranno processati secondo l ordine dei tepi di processaento più brevi. Clifford e Posner forulano quindi il problea R M j snsd ΣC j coe un problea di trasporto quadratico, in cui si vuole iniizzare la funzione obiettivo: 1 in [ 1 2 x i[t](x i[t] + 1)p i[t] + (p i[t] x i[t] ) x i[h] ] i=1 t=1 che sarà sottoposta ai seuenti vincoli: x it = n t i=1 x it = n t=0 t=1 h=t+1 t = 0,1,., i = 1,2,, 0 x it n t ; x it Z; i = 1,2,., ; t = 0,1,,. Siilente alla forulazione fatta da Horn, il costo del tepo di copletaento totale associato ad un lavoro su una data acchina è pari al tepo di processo del lavoro oltiplicato per il nuero di lavori che verranno processati su tale acchina dopo la conclusione di tale lavoro. Per un dato lavoro ed una data acchina, il prio terine in (2) ostra il contributo di ciascun lavoro all interno del proprio ruppo di lavori. Per una data acchina, il secondo terine è il contributo del tipo di lavoro al tepo totale di copletaento dei lavori nei tipi di lavoro che lo seuono. Per trovare una soluzione polinoiale al problea viene utilizzato il etodo di Granot e Skorin-Kapov (1993) con la finalità di trasforare tale problea di trasporto quadratico (non separabile) in un problea di proraazione intero quadratico, separabile con un vincolo a atrice totalente uniodulare (una atrice A si dice totalente uniodulare (TU) se oni sua sottoatrice quadrata ha deterinante pari a 0, +1, -1. Una atrice TU può avere coe eleenti solo i valori 0, +1, -1 poiché oni suo eleento è una particolare sottoatrice quadrata di ordine 1x1). Fatto ciò si risolve il problea convertito con il etodo di Granot e Skorin-Kapov, che utilizza il lavoro di Hochbau e Shanthikuar (1990). Questi ultii deterinano una soluzione ottia per un problea di proraazione intero, convesso e separabile con una costrizione a atrice totalente uniodulare dei vincoli risolvendo i prorai lineari lou, dove U è un liite superiore al valore delle variabili. L alorito polinoiale risultante risulta essere piuttosto coplicato e poco pratico da ipleentare. Roanin-Jacur e Filippi proponono quindi un seplice approccio a due fasi, che può essere ipleentato usando un software standard di ottiizzazione. Nella pria fase si ottiene una soluzione ottia del rilassaento continuo del problea (2). Da questa soluzione si è in rado di fissare, per oni acchina i ed oni tipo di lavoro t, un intero x it tale che esiste una soluzione ottiale del problea oriinale R M j snsd ΣC j, dove aleno x it lavori di tipo t sono processati dalla acchina i. Nella seconda fase si utilizza tale soluzione per risolvere il problea (1), in una diensione polinoiale e ridotta, ottenendo quindi una soluzione copleta ottiale al problea oriinale. Analizziao tale approccio a due fasi nel dettalio. Notiao che le variabili fantasa possono essere riosse dalla forulazione (2). Infatti non appaiono nella funzione obiettivo e non ci sono particolari necessità di iporre che esattaente n lavori siano assenati ad oni acchina. (2) 21

23 Quindi si può utilizzare la seuente forulazione seplificata: 1 in [ 1 2 x i[t](x i[t] + 1) p i[t] + (p i[t] x i[t] ) x i[h] i=1 t=1 t=1 h=t+1 ] (3) Sottoposta ai vincoli: x it = n t (t = 1,., ) i=1 x it 0 x it Z (i=1,.,; t=1,,) Si può notare un evidente corrispondenza uno a uno tra le soluzioni praticabili dei problei (2) e (3), e tale corrispondenza preserva i valori obiettivo. Utilizzando la stessa tecnica utilizzata da Cifford e Posner (2001), riscriviao la funzione obiettivo del problea (3) nel seuente odo: 1 2 p i[t]x i[t] + 1 (p 2 i[t] p i[t 1] ) ( x i[h] ) i=1 t=1 i=1 t=1 Introducendo delle nuove variabili y i[t] = ( riscrivere il problea (3) nel seuente odo: Soetta ai vincoli: h=t x i[h] h=t 2 (4) ) 2 con i=1,, e t=1,,, possiao in 1 2 p i[t]x i[t] (p i[t] p i[t 1] ) (y i[t] ) 2 i=1 t=1 x it = n t i=1 i=1 t=1 x i[h] y i[t] = 0 h=t (t = 1,, ) (i = 1,, ; t = 1,, ), x it 0, x it Z Da notare che le variabili y i[t] sono intere e non neative in oni soluzione possibile. Il problea ora risulta essere intero, quadratico e separabile, e la atrice dei vincoli risulta essere totalente uniodulare Alorito risolutivo I concetti espressi sopra ci conducono alla seuente procedura per risolvere il problea R M j ΣC j: 1. Risolvere il rilassaento continuo del problea (3); poniao X = [x it ] essere la soluzione ottenuta. 2. Porre X = [x it ] coe la atrice x definita coe: x it = ax{ x it 2; 0} per i=1,, e t=1,,; porre poi n r t = n t inore di 2 2 ). i=1 x it per oni t=1,, (da notare che n t r è un intero ed è 22

24 3. Risolvere l istanza del problea (1) costruito sui lavori residui, usando la atrice C = [c i[j]k ], definita da: c i[j]k = b i[t] + p i[t] (a i[t] + k) per oni i=1,,, t=1,, e k=1,..,n r (dove c i[j]k è l increento che si ha nella soluzione del tepo totale di copletaento dei lavori se un lavoro di tipo t è inserito nella k-esia posizione della schedulazione della acchina i). Inoltre se il lavoro inserito è un lavoro fittizio (quindi di tipo 0), l increento nel tepo totale di copletaento nella soluzione sarà c i[0]k = 0. In accordo con la soluzione ottenuta, poniao x it uuale al nuero di lavori residui di tipo t che asseniao ulteriorente alla acchina i, per i=1,, e t=1,,; fissiao X = [x it ]. 4. Fissare X = X + X e restituire i ruppi di lavoro definiti da X, sequenziati seuendo l ordine SPT. Tale alorito risolve il problea R M j ΣC j in un tepo polinoiale. Infatti l onere coputazionale più rilevante corrisponde al trovare la soluzione rilassata del problea (3) e la soluzione di (1), colleato ai lavori residui. Il prio è un problea con variabili e vincoli lineari, entre il secondo è un problea di assenazione con diensioni qxq, dove q < Dato che entrabi i problei hanno una diensione polinoiale allora sono risolvibili in un tepo polinoiale Esepio Per illustrare elio quanto appena descritto consideriao il seuente esepio in cui abbiao =2, =3 ed i seuenti tepi di lavorazione: Assuiao che, dopo aver trovato la soluzione rilassata al problea (3), otteniao la atrice: I lotti assenati corrispondenti a X sono ostrati nella seuente fiura, dove i nueri all interno dei riquadri indicano il tipo di lavoro: 23

25 Notiao che i lavori sono stati ordinati secondo l ordine SPT. Le frecce in fiura indicano le posizioni in cui i lavori residui di oni tipo devono essere inseriti. Le atrici A e B risultano quindi essere le seuenti: Per seplicità assuiao che ci siano 2 lavori residui di tipo 1, 1 lavoro residuo di tipo 2 e 3 lavori residui di tipo 3. Allora, n r = 6 e necessitiao quindi di n r ( 1) = 6 lavori fittizi. Seue che la atrice C dei costi delle assenazioni ha 12 rihe e 12 colonne. Non considerando i lavori fittizi (che sarebbero corrispondenti a 6 colonne di zeri), la atrice C sarà la seuente: Alorito R-HM Una procedura per trovare una soluzione ottia al problea R M j ΣC j è l alorito R- HM. Tale alorito ha olte differenze rispetta all alorito P-HM trattato in precedenza. Infatti quando abbiao trattato quest ultio avevao considerato acchine identiche, che quindi potevano essere raruppate tra loro; ora trovandoci di fronte a acchine non correlate (quindi non uuali), viene eno la possibilità di rarupparle tra loro. Nella procedura R-HM si riuscirà quindi a diinuire la ole dei dati in input ricorrendo al raruppaento dei soli lavori: diretta conseuenza sarà che l alorito avrà una rossa dipendenza dal nuero di acchine considerate. Questo però non ipedirà all alorito stesso di lavorare in tepo polinoiale. Riassuendo il problea che stiao affrontando, abbiao di fronte la seuente situazione: dati n lavori e acchine, siano i tipi di lavoro e h i tipi di acchina. Oni tipo di lavoro j ha n j lavori (per oni j=1,,). Oni tipo di lavoro avrà un deterinato tepo di processazione su oni sinola acchina per cui, dato un lavoro j e una acchina i, il tepo di lavorazione del tipo di lavoro j sulla acchina i sarà pari a p ij. Dovrà risultare i=1 x ij = n j per oni lavoro j=0,1,,. Siilente per oni acchina i=1,2,.., dovrà 24

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