La serie numerica di Fibonacci

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1 1 La serie numerica di Fibonacci il sistema di numerazione e sviluppo della natura 2 Nato a Pisa Fibonacci ( ) 1240) Visse la sua giovinezza in Algeria dove imparò le cifre indo-arabiche, elaborò l aritmetica l che conosciamo e introdusse lo 0. Risolse molti problemi matematici legati alla riproduzione e all evoluzione di un fenomeno 3 La successione si compone di una serie di numeri nella quale ognuno di essi è la somma dei due numeri precedenti Cos è? = = = = = =21 21.

2 4 Esempi di applicazione La riproduzione dei conigli In condizioni ideali una coppia di conigli è in grado di riprodursi già da un mese dopo la nascita. La femmina è in grado di generare una seconda coppia di conigli già un mese dopo l accoppiamento l con il maschio. Prendiamo una coppia di conigli e mettiamola in un recinto. Supponiamo che i nostri conigli non muoiano mai. Quante coppie di conigli ci sono dopo 1, 2, 3, 4, 5.. mesi? 5 Albero genealogico di un fuco In uno sciame di api ci sono le api (femmine) e i fuchi (maschi). Le api femmine si dividono in operaie e regine. Le api regine sono api operaie nutrite con pappa reale e, diversamente dalle operaie semplici, sono in grado di produrre uova. Le api femmine sono tutte generate dall unione dell ape regina con un fuco (uova fecondate) Le api maschio nascono dalle uova dell ape regina non fecondate. Quindi possiamo dire che le femmine hanno 2 genitori: l ape l regina e un fuco, mentre i fuchi hanno un solo genitore: l ape l regina. Quanti nonni, bisnonni, trisnonni hanno i fuchi? 6 La strada delle api Salire le scale giochini Alcuni giochini Costruisci il muretto Fai il dolce!

3 La 7 strada delle api Un ape per muoversi nel suo alveare può spostarsi solamente per celle contigue. Si contino quanti possibili itinerari ci sono per raggiungere la cella 1, quelli per raggiungere la cella 2, la 3..sapendo che l ape l deve sempre spostarsi da una cella con numero inferiore ad un altra con numero maggiore Per raggiungere la cella 1 1 Per raggiungere la cella 2 si può: andare direttamente in 2 tragitto Per raggiungere la cella 3 si può: Per raggiungere la cella 4 si può: TORNA INDIETRO N itinerari possibili 8 Costruisci il muretto Si hanno a disposizione un certo numero di mattoni tutti uguali aventi spessore pari alla metà dell altezza.. Per costruire un muretto i mattoni possono essere disposti o in verticale o in orizzontale in due file f come in figura. Avendo a disposizione 1, 2, Mattoni in quanti modi si può costruire tale muretto alto un mattone? n possibilità 1 mattone 1 2 mattoni 2 3 mattoni 3 4 mattoni 5 TORNA INDIETRO 5 mattoni 8 9 Salire le scale TORNA INDIETRO Gradini della scala Immaginiamo che per salire una rampa di scale sia possibile o salire un gradino per volta o al massimo due insieme. Se la scala è costituita da 1, 2,3.. scalini, in quanti modi diversi è possibile arrivare in cima? N possibilità (1+1, 1 da due gradini) 2 3 (1+1+1, 1+2, 2+1) 3 4 ( , 1+2+1, 2+1+1, 1+1+2, 2+2) 5 5 ( , , , , 2+2+1, 1+2+2, 2+1+2, ) 8

4 10 Fai il dolce! Un azienda produce solamente due tipi di dolci. Uno richiede un tempo si preparazione di 1 ora e l altro l di due ore. In base al tempo a disposizione si trovino le diverse possibilità di produzione dei due dolci Tempo in ore N pos. 1 (solo dolce1) 1 2 (dolce1+dolce1 o dolce2) 2 3 (d1+d1+d1 o d2+d1 o d1+d2) 3 4 (d1+d1+d1+d1 o d1+d2+d1 o d2+d1+d1 o d1+d1+d2 o d2+d2) 5 5 (d1+d1+d1+d1+d1 o d2+d1+d1+d1 o d1+d2+d2+d1 o d1+d1+d2+d1 o d1+d1+d1+d2 o d1+d2+d2 o d2+d1+d2 o d2+d2+d1) 8 TORNA INDIETRO 11 C è molto di più La successione di Fibonacci non è solamente un modello matematico per risolvere teorici problemi di evoluzione ma è ravvisabile in tutto ciò che ci circonda. E un caso? La Natura conosce la matematica? Il creato è regolato da una legge superiore? 12 in natura Piante Fiori Frutta Verdura Corpo umano Animali e altro

5 La 13 Nelle piante successione numerica di Fibonacci La ramificazione La ramificazione e il fogliame La fillotassi 14 La ramificazione delle piante Lo sviluppo di una pianta, ammesso che non venga potata o in qualche modo controllata da azioni esterne, avviene secondo fasi, di durata diversa, dipendenti dalla stagione e dalle condizioni climatiche in genere. Un tronco può dar vita ad un ramo solo se è maturo ovvero a partire dalla propria seconda fase di crescita. Inoltre, un tronco non potrà generare più di un ramo per ogni fase altrimenti rischierebbe di indebolire troppo la pianta compromettendone la salute. 15 La ramificazione delle piante Analogamente un ramo può generare solamente dalla seconda fase del proprio sviluppo e dar vita unicamente ad un ulteriore ramo per ogni fase. Lo schema in figura illustra schematicamente la crescita di una pianta e la ramificazione. In ogni fase di crescita è ravvisabile la serie di Fibonacci contando il numero di rami posseduti dalla pianta.

6 16 La ramificazione e il fogliame Un esempio di quanto precedentemente detto in merito alla ramificazione degli alberi e delle piante in genere è dato dalla pianta del biancospino In essa la serie di Fibonacci non solo è ravvisabile dal numero di rami presenti ad ogni fase della crescita della pianta ma anche dal numero delle foglie che la pianta stessa fa germogliare ogni qual volta si ramifica. 17 La fillotassi Molte piante mostrano i numeri di Fibonacci anche nella disposizione ione occupata dalle foglie intorno allo stelo. Osservando una pianta dall alto alto ci si accorge, infatti, che le foglie non sono disposte casualmente ma secondo una sorta di spirale: ogni foglia tende ad occupare una posizione tale da non nascondere le compagne sottostanti. Grazie a questo ordine ogni foglia può ricevere la quantità di luce sufficiente per compiere il proprio ciclo vitale regolarmente e l acqua l della pioggia può raggiungere rapidamente, attraverso lo stelo, le radici. Quando la pianta è provvista di molte foglie capita inevitabilmente che ci siano foglie dispose sopra ad altre. Il fatto curioso è che la spirare della disposizione delle foglie lungo uno stelo compie sempre un numero di giri intorno allo stelo stesso prima che una foglia si sovrapponga ad un altra pari ad un numero di Fibonacci (solitamente 5 o 8 ). E ancora: contando le foglie sistemate sullo stelo tra due che si sovrappongono.se ne trovano sempre una quantità pari ad un numero di Fibonacci 18 La fillotassi Circa il 90% delle piante presenta la disposizione delle foglie come descritto, e anche molte piante grasse tra le quali anche i cactus hanno le spine disposte seguendo la legge dei numeri di Fibonacci anche se non sempre è palesemente riscontrabile. P I A N T A D I G I R A S O L E

7 Esempi di piante grasse 19 I fiori 20 Anche i fiori presentano la successione di Fibonacci come ottimizzazione ottimizzazione del numero di petali posseduti. Esistono infatti pochissime specie di di fiori che non hanno un numero di petali pari ad un numero della successione di Fibonacci. Del resto resto è assai raro trovare un quadrifoglio! (4 non è un numero di Fibonacci) Una fucsia con 4 petali Un quadrifoglio I fiori 21 Alcuni esempi di fiori 1 petalo 2 petali 3 petali 5 petali 8 petali 13 petali 34 petali 55 petali petali

8 22 Gladioli Viola del pensiero Fiore di ibisco Alcuni fiori commestibili con un numero di petali pari ad un numero di Fibonacci Violette Borragine 23 Malva Fiore di zucca Calendula Pimpinella 24 I fiori La passiflora : esempio splendido di come i numeri di Fibonacci ricorrono anche nei fiori 2 insiemi di 5 foglioline verdi Sopra i sottilissimi petali viola- bianchi un insieme di 5 stami a forma di T, e sopra ancora altri 3 a forma di chiodi. DIETRO: 3 verdi foglioline che proteggono il germoglio 5 foglie verdi Altre 5 foglie verdi

9 25 I fiori Nelle margherite (ma anche nei girasoli ed altri fiori simili) al centro della corolla si possono notare semini disposti secondo due ordini di spirali: le spirali che si avvolgono in senso antiorario sono 21 e quelle in senso orario sono I fiori 27 La frutta Non potevano mancare i numeri di Fibonacci nella frutta: sezionando trasversalmente una noce, una banana, una mela, una pera si ottengono NOCE: 2 parti BANANA: 3 parti MELA: 5 parti

10 28 La frutta Osservando la buccia dell ananas si possono notare che le placche esagonali formano tre diverse tipologie di spirali che, con diverse inclinazioni, dalla base risalgono il frutto. 29 La frutta Analogamente anche una pigna è costituita da scaglie disposte lungo due insiemi di spirali come mostrato in figura, di 8 e 13 involuzioni 30 La verdura E gli ortaggi non sono da meno in quanto a sfoggiare i numeri di Fibonacci nelle sezioni o nelle spirali che descrivono la crescita del vegetale

11 31 Le verdure 32 Il corpo umano Anche l uomo l presenta i numeri di Fibonacci in numerosi elementi un naso, una bocca, due occhi, due orecchie, due braccia, cinque dita I denti? I denti non sono un numero di Fiboncacci! Le falangi della mano sono in proporzione tra loco come 2:3:5:8 33 Gli animali Alcuni esempi di animali di Fibonacci La forma del Nautilus si ottiene collegando semicirconferenze di diametro crescente pari ogni volta ad numero di Fibonacci

12 34 altro Uragano Linda Una Galassia Tutti i pianeti interni distano dal Sole nelle proporzioni della successione (Sole 1, Mercurio 1, Venere 2, Terra 3, Marte 5); e quelli esterni distano ugualmente da Giove (Giove 1, Saturno 1, Urano 2, Nettuno 3, Plutone 5); La successione di Fibonacci è intimamente legata alla spirale logaritmica, modello matematico che descrive una vastissima gamma di fenomeni a spirale 35 altro Un vastissimo numero di artisti, affascinati dalla successione di Fibonacci e dal suo riscontro nella creazione, sono stati ispirati nel creare alcune delle proprie opere, durante l arco l di secoli MUSICA: compositori come Bach, Bartók, Debussy,, Schubert, Satie, Beethoven, Mozart, ma anche molte Band contemporanee come i Mercury Rev, i Tools. ARTE FIGURATIVA: uno sposo dei numeri di Fibonacci è sicuramente Mario Merz, ma nei secoli molti sono coloro che nei propri quadri o nelle sculture hanno utilizzato questa successione per rappresentare la crescita e l evoluzione l della vita degli elementi rappresentati. Diversi Film Cinematografici sono ispirati a questi numeri Alcuni modelli finanziari che descrivono la crescita e l andamento l economico sono basati sulla successione di Fibonacci e tanto altro ancora Mario Merz Volo di Numeri Mole Antonelliana (Torino) 36 Compito Si realizzi un piatto ispirato ai numeri di Fibonacci e si compili una scheda tecnica evidenziando gli aspetti dove tale successione è presente In particolare non dovranno mancare: - nome ricetta - ingredienti (grammatura, numero, tipologia ) - attrezzature - tempi di preparazione e, eventualmente, di cottura - presentazione del piatto - breve descrizione sulla scelta di quanto sopra indicato in relazione ai numeri di Fibonacci e alla sua presenza in natura Si alleghino foto o quanto altro possa essere utile per una migliore valutazione del lavoro

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