UNIVERSITÀ DEGLI STUDI ROMA TRE Corso di Laurea in Matematica GE110 - Geometria 1 a.a Prova scritta del TESTO E SOLUZIONI

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1 UNIVERSITÀ DEGLI STUDI ROMA TRE Corso di Laurea in Matematica GE110 - Geometria 1 a.a Prova scritta del TESTO E SOLUZIONI Svolgere tutti gli esercizi. 1. Determinare per quali valori k R è (o no) compatibile il seguente sistema lineare e calcolarne esplicitamente le soluzioni. X 1 + (k 1)X + X 4 = 1 X 1 + X + kx 4 = 0 X 1 kx + X 4 = 0 X 1 + (k 1)X + kx + X 4 = SOLUZIONE: Calcoliamo il rango della matrice dei coefficienti A e della matrice orlata (A b) per poi applicare il Teorema di Kronecker-Rouchè-Capelli. Si ha k k 0 (A b) = 1 0 k k 1 k 1 Si ha det A = k(k ), quindi det A = 0 se e solo se k = 0, ± seguente minore di (A b): k k 0 m = = k k 1 1. Consideriamo il Se k 0, ± si ha r(a) = r(a b) = 4 e il sistema è compatibile. Invece se k = 0, ± si ha r(a) mentre m 0, quindi r(a b) = 4. Pertanto il sistema è compatibile se e solo se k 0, ± 1.

2 Per calcolare le soluzioni nel caso k 0, ± X = 1 k k 0 0 k 1 k 1 k 1 X 1 = k(k = ) k k k 1 1 k(k ) k k, X = = k k(k ), X 4 =, applichiamo la regola di Cramer: k 1 0 k 1 1 k 1 k(k ) k k 0 1 k 1 k k(k ) = k k, = k.. Siano k un numero reale, sia W k R 4 il sottospazio vettoriale delle soluzioni del sistema lineare omogeneo { X Y = 0 Y + kw = 0 e sia U k R 4 il sottospazio vettoriale delle soluzioni del sistema lineare omogeneo { X + ky + Z = 0 Y W = 0 (a) Determinare una base di U k e una di W k ; (b) Determinare le dimensioni di U k + W k e di U k W k ; (c) Sia v = (0, 1, 1, 1). Determinare (se esistono) tutti i valori di k per i quali U k W k, v = R 4.. SOLUZIONE: (a) Il rango della matrice delle equazioni di W k ( ) k è e il minore = 1 0 e quindi possiamo porre Z = u, W = v e ottenere X = kv, Y = kv. Allora i vettori di W k sono tutti del tipo ( kv, kv, u, v) = u(0, 0, 1, 0) + v( k, k, 0, 1) pertanto una base di W k è {(0, 0, 1, 0), ( k, k, 0, 1)} e dim W k = per ogni k.

3 Il rango della matrice delle equazioni di U k ( 1 k 1 0 ) è e il minore 1 k 1 0 = 1 0 e quindi possiamo porre Z = s, W = t e ottenere X = s kt, Y = t. Allora i vettori di U k sono tutti del tipo ( s kt, t, s, t) = s( 1, 0, 1, 0) + t( k, 1, 0, 1) pertanto una base di U k è {( 1, 0, 1, 0), ( k, 1, 0, 1)} e dim U k = per ogni k. (b) Consideriamo la matrice che ha per righe i generatori di U k e W k, cioè k A =. k k Si ha det A = k + 1 = 0 se e solo se k = 1. Ora, se k = 1 il minore = 1 0 { 4 se k 1 pertanto dim(u k + W k ) = r(a) =. Con la formula di Grassmann si trova se k = 1 dim(u k W k ) = dim U k + dim W k dim(u k + W k ) = { { 4 se k 1 0 se k 1 = + se k = 1 = 1 se k = 1. (c) Si vede subito che v W k dato che le coordinate di v non soddisfano le equazioni di W k. Allora dim W k, v = e quindi non esistono valori di k per i quali U k W k, v = R 4.. Sia k R. Sia A uno spazio affine di dimensione 4 e sia {O, e 1, e, e, e 4 } un riferimento affine con coordinate X, Y, Z, W. Sia T k il sottospazio di equazioni cartesiane { X Y = 0 T k : X kz = 1 X ky + W = 0 e sia S il sottospazio di equazioni parametriche X = t s Y = 1 + t + s S :, s, t R. Z = kt W = s

4 (a) Determinare per quali valori di k si ha che T k è un sottospazio e calcolare le dimensioni di T k e S. (b) Determinare per quali valori di k (se esistono) si ha che S è parallelo a T k. (c) Determinare (se esistono) tutte i piani p di A tale che p è parallelo a T k ed è sghembo con S. SOLUZIONE: (a) Dalle equazioni parametriche si deduce che S è il piano passante per il punto Q = Q(0, 1, 0, 0) e di giacitura < e 1 + e + ke, e 1 + e e 4 >. La matrice del sistema di T k è (A b) = k k Dato che k 1 = 1 0 si ha che r(a) = r(a b)) = e quindi T k è un sottospazio di dimensione 1 per ogni k. (b) La giacitura di T k è data dalle soluzioni del sistema omogeneo { X Y = 0 X kz = 0 X ky + W = 0 che si vede subito avere soluzioni (kt, kt, t, (k k)t, t R. Dunque giac(t k ) =< ke 1 + ke + e + (k k)e 4 >. Quindi S è parallelo a T k se e solo se la matrice B = 1 1 k k k 1 k k ha rango. Dato che = 0 per il principio dei minori orlati si ha che r(b) = se e solo se 1 1 k k k 1 = ( k ) = 0, = k(k 1) = 0 k k k k ovvero se e solo se k = 1. Dunque S è parallelo a T k se e solo se k = 1. 4

5 (c) Un piano p parallelo a T k deve contenerne la sua giacitura, quindi la giacitura di p sarà per α, β, γ, δ R tali che αe 1 + βe + γe + δe 4, ke 1 + ke + e + (k k)e 4 ( ) α β γ δ r( k k 1 k ) =. k Allora per trovare p parallelo a T k e sghembo con S basterà scegliere un punto R = R(a, b, c, d) A tali che p S = e, se k = 1, p non è parallelo ad S. condizione è r( α β γ δ ) > Per verificare la prima condizione troviamo le equazioni cartesiane di S. parametri dalle equazioni parametriche si trova s = W t = X W Z = k(x W ) Y = 1 + X W dunque le equazioni cartesiane di S sono { k(x W ) Z = 0 X Y W 1 = 0. Ora un punto di p ha coordinate X = a + ku + αv Y = b + ku + βv, u, v R Z = c + u + γv W = d + (k k)u + δv e quindi p S = se e solo se il sistema { k(a + ku + αv) (c + u + γv) k(d + (k k)u + δv) = 0 (a + ku + αv) (b + ku + βv) (d + (k k)u + δv) + 1 = 0 non ha soluzioni in u e v. Riscrivendolo si ottiene { ( k + k 1)u + (kα γ kδ)v + ka c kd = 0 ( k + k)u + (α β δ)v + a b d + 1 = 0 La seconda Eliminando i e quindi la condizione è ( k r( + k 1 kα γ kδ k + k α β δ ) ) 5

6 ( ) k r( + k 1 kα γ kδ ka c kd k ). + k α β δ a b d Sia k R. Siano v 1 = (1, 0, 1, 0), v = (0, 0, 0, 1) R 4 e sia F : R 4 R 4 un applicazione lineare tale che v 1, v N(F ), F (E 1 ) = ke E, F (E + E ) = ke + (1 + k)e ke 4 dove {E 1, E, E, E 4 } è la base canonica di R 4. (a) Determinare una matrice di F, il polinomio caratteristico e gli autovalori di F. (b) Trovare le dimensioni degli autospazi di F ; inoltre, individuato un autovalore λ di F con molteplicità algebrica 1, trovare una base per l autospazio di F associato a λ. (c) Determinare i valori di k per i quali F è diagonalizzabile. SOLUZIONE: (a) Osserviamo che e = {v 1, v, E 1, E + E } è una base di V in quanto = Per ipotesi sappiamo che F (v 1 ) = F (v ) = 0. Per determinare la matrice associata ad F nella base e, esprimiamo F (E 1 ) = ke E, F (E + E ) = ke + (1 + k)e ke 4 nella base e. Si ha av 1 + bv + ce 1 + d(e + E ) = (a + c, d, d a, b) = (0, k, 1, 0) se e solo se a + c = 0 d = k d a = 1 b = 0 che ha soluzione a = 1 k, b = 0, c = k 1, d = k. Pertanto F (E 1 ) = (1 k)v 1 + 0v + (k 1)E 1 k(e + E ). 6

7 Analogamente se e solo se av 1 + bv + ce 1 + d(e + E ) = (a + c, d, d a, b) = (0, k, 1 + k, k) a + c = 0 d = k d a = 1 + k b = k che ha soluzione a = 1, b = k, c = 1, d = k. Pertanto Ne segue che F (E + E ) = v 1 + kv + E 1 + k(e + E ) k k M e (F ) =. 0 0 k k k Allora il polinomio caratteristico di F è (sviluppando con la formula di Laplace) T 0 1 k 1 0 T 0 k P F (T ) = = T (T + (1 k)t + k ). 0 0 k 1 T k k T Le radici reali di T (T + (1 k)t + k ) = 0 sono 0 (con molteplicità algebrica almeno ) e, se k 1 4, k 1± 1 4k. Osserviamo che k 1± 1 4k = 0 se e solo se k = 0. Quindi gli autovalori di F sono Autovalori di F e loro molteplicità algebrica (m.a.) k < 1 4, k 0 λ 1 = 0 (m.a. ), λ = k 1 1 4k (m.a. 1), λ = k k (m.a. 1) k = 0 λ 1 = 0 (m.a. ), λ = 1 (m.a. 1) k = 1 4 λ 1 = 0 (m.a. ), λ = 1 4 (m.a. ) k > 1 4 λ 1 = 0 (m.a. ) (b) Prendiamo λ 1 = 0 come autovalore da considerare e calcoliamo la base di V 0 (F ). Come sappiamo tutti gli autovettori di F con autovalore 0 sono soluzioni del sistema (M e (F ) 0I 4 )X = 0 dove X = t (x, y, z, w). Si ottiene (1 k)z w = 0 kw = 0 (k 1)z + w = 0 kz + kw = 0 7

8 da cui: - se k = 0 ha soluzioni (x, y, z, z) e quindi gli autovettori di F associati all autovalore 0 sono tutti del tipo xv 1 +yv +ze 1 +z(e +E ) e una base di V 0 (F ) è {v 1, v, E 1 +E +E } e dim V 0 (F ) = ; - se k 0 ha soluzioni (x, y, 0, 0) e quindi gli autovettori di F associati all autovalore 0 sono tutti del tipo xv 1 + yv e una base di V 0 (F ) è {v 1, v } e dim V 0 (F ) =. (c) Osserviamo che se k < 1 4 la somma delle molteplicità geometriche degli autovalori è 4, mentre se k > 1 4 la somma delle molteplicità geometriche degli autovalori è. Se k = 1 4 calcoliamo 1 m.g.( ) = 4 r( ) = e la somma delle molteplicità geometriche degli autovalori è. Se ne conclude che F è diagonalizzabile se e solo se k <

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