2.1 f : 6 π, 5 ] 2.2 f : [1, 4) R definita da f(x) = x f : [0, 2) [ 1, 1] definita da. 3.1 f 1 (x) = f( x). 3.2 f 2 (x) = f(3 x).

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1 c Adrea Dall Aglio - Esercizi di Aalisi Matematica - October, 6 Avverteze Questi esercizi soo i gra parte tratti da testi di esame di vari corsi Aalisi Matematica I per Matematica, Fisica, Iformatica, Igegerie. Pertato si tratta di esercizi di livello estremamete disomogeeo, che o soo particolarmete idicati come primi esercizi da svolgere su ogi sigolo argometo. Si cosiglia quidi di affrotare prima esercizi itroduttivi dai vari testi cosigliati, e di svolgere i problemi qui presetati solo i u secodo mometo. U asterisco * deota e- sercizi particolarmete impegativi. U triagolio deota esercizi il cui svolgimeto richiede l uso di ozioi o acora svolte el corso. Domii di fuzioi di ua variabile Determiare l isieme di defiizioe delle segueti fuzioi:. f = + 4 +/ 4. f = log log f = arccos log se e π.4 f = f = log log / f = log se4 l 4+.7 f =.8 f = + 4 log se l 4 + log/π arccos log / log se cos.9 f = log arcse tg + cos se +. f = log 4 log + cos 4 se cos 4 se +. f = arcse log se + cos. f = arccos log cos log 4 se +. f = log.4 f = log tg se e log cos se π 9 arctg + Iiettività e suriettività Dire se le segueti fuzioi soo iiettive e/o suriettive. Se o soo suriettive, cercare di restrigere appropriatamete il codomiio i modo da rederle tali. Se o soo iiettive, cercare di restrigere il domiio i modo da rederle iiettive. [ 7. f : 6 π, 5 ] π R defiita da f = cos +.. f : [, 4 R defiita da f =.. f : [, [, ] defiita da f = se [, ], se,. Maipolazioi di grafici di fuzioi Si parta da u grafico già oto di ua fuzioe f, ad esempio prededolo da u libro di esercizi sullo studio di fuzioi. Seza svolgere calcoli, disegare i grafici delle segueti fuzioi. Successivamete si usi u programma su PC per disegare il vero grafico e verificare il risultato.. f = f.. f = f.. f = f +..4 f 4 = f..5 f 5 = f..6 f 6 = f..7 f 7 = f..8 f 8 = f.

2 c Adrea Dall Aglio - Esercizi di Aalisi Matematica - October, 6.9 f 9 = f.. f = f.. f = f.. f = + f.. f = f..4 f 4 = f..5 f 5 = farctg..6 f 6 = arctg f..7 f 7 = fse..8 f 8 = se f..9 f 9 = l f.. f = fl.. f = fl. 4 Estremo superiore e iferiore Calcolare estremo superiore ed iferiore dei segueti isiemi di umeri reali, e dire se si tratta rispettivamete di u massimo o di u miimo: 4. E = = se t, t π 6, ]} π 4. E = = }, N 4. E = = + }, N } 4.4 E = = +, N, 4.5 E = 4.6 E = 4.7 E = = }, N } = arctg, N, = } + 5, N } 4.8 E = = m },, m N 4.9 E = } = m,, m N } + 4. * E = = se, N} 4. E = 4. E = } = t t +, t R + } } 5 + 7, N +, N 4. Data la successioe a =!, dimostrare per iduzioe che a < per ogi 4. Calcolare estremo iferiore ed estremo superiore della successioe a }. Calcolare l estremo superiore e l estremo iferiore delle segueti successioi e dire se soo rispettivamete massimo e miimo =,,..., se o precisato diversamete 4.4 a = 4.5 a = 4.6 a = e e 5 se è pari, se è pari, se è dispari; cos π a = arctg + + se è dispari; [ 4.8 a = + ] arcse ep π cos, + dove ept = e t, [t] deota la parte itera di t, cioè il più grade k Z tale che k t; 4.9 a = cosπ + 4. a = cosπ + arcse + + l + e +

3 c Adrea Dall Aglio - Esercizi di Aalisi Matematica - October, 6 5 Limiti di fuzioi Verificare, usado la defiizioe di ite, che 5. 4 = = = 5.4 tg = + π = = = + Calcolare i segueti iti: log a + log a log 5. e se e tg 5. cos e e + / 5. Nota: per questo esercizio è ecessario l uso della formula di Taylor. 5.4 log + arctg e e cos se α / al variare di α > 5.6 cos ta, e 5.8 e si log cos si si log + e e 4 log si 5.4 π ta arcta log + c 5.6 Determiare c i R tale che = 4. + c 5.7 Mostrare che la fuzioe f = + se se è ifiitesima di ordie superiore a k per, qualuque sia k >. 5.8 Ordiare per ordie decrescete di ifiito, per +, le segueti fuzioi: f = e + 4 cos/, g = l+ 7/, h =, k = Ordiare i segueti ifiiti, per + : f = l tg + π, g = log /, h = π arctg se Ordiare per ordie crescete di ifiito per + le segueti fuzioi: f = + π, g = l + 5, h = arctall, k = [ + l ] 5 ep cos. Sia α R; calcolare l ordie di ifiitesimo per delle segueti fuzioi: α f = arctg arctg + tg Calcolare l ordie di ifiitesimo, per +, delle segueti fuzioi: 5. f = si + si 5.4 g = arcta + + arcta

4 c Adrea Dall Aglio - Esercizi di Aalisi Matematica - October, Cotiuità Determiare il domiio delle segueti fuzioi e dire, giustificado la risposta, se soo estedibili co cotiuità ei puti ei quali o soo defiite 6. f = arcta cos 4 6. f = arcta 6. f = e se 6.4 f = + e 6.5 f = se cos 6.6 f = g = + 4 se h = l se l 6.9 Sia f = e se <, a + b se. Che relazioe devoo soddisfare i umeri reali a e b affiché f sia cotiua? Che relazioe devoo soddisfare a e b affiché f sia ivertibile? 6. Sia seπ + l se,, l f = a se =, b se =. Determiare a e b affiché f sia cotiua. 6. * Sia se f = se [, ] \ Q, se [, ] Q. Determiare l isieme di cotiuità di f. Determiare b i R i modo che le segueti fuzioi siao cotiue:, 6. f = b + 5 >. b cos <, 6. g = se, + b, 6.4 h = se4 8 b b >, 6.5 Sia λ ep se, f = se =. Studiare la discotiuità al variare di λ i R. 7 Limiti di successioi ep = e Applicado la defiizioe di ite di successioe, verificare ciascua delle segueti uguagliaze: =. 6 = 4. 6 = = = =. Calcolare, se esistoo, i segueti iti di successioi tg + si

5 c Adrea Dall Aglio - Esercizi di Aalisi Matematica - October, cos +! 7. +! log se log log e se cos se + 7. tg tg π tg π + 5 π se cos π se log se si cos 7. + cos 7. + si se cos + e + e log log 5 +!! 7.7 +! e + 4 log log log 5 7.9! +! log + log se cos cos / + log log log log log log e! + si! e log log + e + log e e log log + e + 5 se

6 c Adrea Dall Aglio - Esercizi di Aalisi Matematica - October, ! π se *! e + log f = se Sia f : R R tale che f per ogi R. f è cotiua i =? E derivabile i =? 8.5 Stabilire l isieme di defiizioe e calcolare la derivata della fuzioe log π arcsi 8.6 Disegare il grafico di f, se f ha il seguete grafico: + cos log log Suppoiamo che a a. Cosa + + si può cocludere su a? Suppoiamo che a } e a } siao cresceti. Si può cocludere che a esiste? Suppoiamo che + a = l R. Quali delle segueti affermazioi sulla successioe a } soo vere, e perché? a a + = l; b a + = l ; c o ecessariamete esiste, ma se esiste è pari a l; + a d + a o ecessariamete esiste, e se esiste può assumere ache valori distiti da l Data la successioe a = [ + ] log,, determiare l estremo superiore e iferiore e stabilire se ammette ite. 8 Derivate 8. Scrivere l equazioe della retta tagete al grafico della fuzioe y = + el puto,. Studiare la derivabilità delle segueti fuzioi 8. f = se 4/ Grazie al Prof. R. Magaii Uiv. Fireze per il grafico. 9 Massimi e miimi assoluti Trovare, se esistoo, massimo e miimo assoluti delle segueti fuzioi ell isieme a fiaco idicato 9. f = i [, ]. 9. f = + + i [ /4, ]. 9. f = i [, ] 9.4 f = + Studi di fuzioi i [, ] Studiare le segueti fuzioi iclusi: domiio, evetuale periodicità, evetuali simmetrie, iti, cotiuità, derivabilità, cresceza, decresceza, estremi relativi ed assoluti, asitoti obliqui, cocavità e covessità, flessi, e disegare approssimativamete il grafico.. f = se e cos

7 c Adrea Dall Aglio - Esercizi di Aalisi Matematica - October, 6 7. f = ep l. f = l.4 f = l.5 f = / /.6 f = l le 5e f = si cos +.8 f =.9 f = 4 t 4 t4 + t + dt l. f = /. f = +. f = f = e +.4 f = e.5 f = /.6 f = l + l +.7 f = 8 /.8 f = e / +.9 Determiare il umero e il sego delle soluzioi dell equazioe + cos 4 = Formula di Taylor. Trovare la derivata sesta, el puto =, della fuzioe f = + si cos. Fare la stessa cosa per la derivata 5-esima. Calcolare i segueti iti: e si cos ta e + cos.4 si cos e.5 si e e si.6 ta log + + log.7 + cos π.8 arctg + log + e log se + cos.9 l + l +. e + cos e cos log +. + se cos [. + + l ], [ l + si cotg ].. 5 e log log + [arctg + arctg ].6 f, f = f, dove π Itegrali π tg tg + π tg Calcolare i segueti itegrali idefiiti: d cos + 6 si cos + si + si d l + l d cos si + cos + cos d + / d

8 c Adrea Dall Aglio - Esercizi di Aalisi Matematica - October, e + e e + d ta si d Calcolare i segueti itegrali defiiti:..4 + cos log d d.8 + arcta + d.5 e / d.9 π π/ cos + si si + d si.6 + log + d. e e / d l l l e cos d. π/ cos t + si t + si t dt 4 Serie π/ π/4 π/ cosh e t + e t e t + dt si t lsi t dt + si t dt t 9 dt.6 Calcolare, se esiste, / se t t dt. Studiare la covergeza delle segueti serie: 4. = = = = ta + si = e d π arcta/ Itegrali impropri Stabilire il carattere dei segueti itegrali impropri:.. + d + 8 d = = cos!! l = = l + si π +

9 c Adrea Dall Aglio - Esercizi di Aalisi Matematica - October, = = = = = = = = = = = = = = = = + cos + + ta e + e! 5 + cos e e 4 e 4 log cos log + si log + + log log + e + 8 log = h i cos / + α ma Z : s} α > = = 4.9 +, dove [s] = ta α [ ] log α + α + = Suggerimeto: si scriva l arcotagete come u itegrale = = = = = = arcta dt + si + t l t + cos t dt si + arcta π ta ta l si 4 +. α + α α = = = = 4.4 * si [ cosh + + = ] Al variare del parametro reale idicato, studiare il carattere delle segueti serie: 4.4 = l + + si

10 c Adrea Dall Aglio - Esercizi di Aalisi Matematica - October, = = = = = = = = = = + siπ + π +, [, ] + + l + + l l l! + l Numeri complessi Porre i forma trigoometrica i segueti umeri complessi i 5. i i Calcolare 5.5 i 5.6 i i i i 7 5. Sia z = i +. Calcolare, i forma trigoometrica, z e 4 z. Risolvere le segueti equazioi o sistemi el campo complesso: 5. z iz = = = = arcta * Dimostrare che = si si... si + cos + cos... + cos coverge se < < * Sia f u poliomio di terzo grado, i cui il coefficiete del termie di grado massimo è positivo. Dire per quali valori del parametro la serie + = f si l +. coverge semplicemete e per quali valori coverge assolutamete. 5. z + i = 4 z 8Imz 5. z + z + i = 5.4 z z + z 4 = 5.5 z 4 = z z z = i 5.7 z + iz = i 5.8 z + zz = + i 5.9 z z z = 5. z + z Imz = z + z 5. z z + z z zz = i z + = 5. Rez = z

11 c Adrea Dall Aglio - Esercizi di Aalisi Matematica - October, 6 5. Trovare le radici oe di che hao parte reale positiva; 5.4 Per quali valori di a R l equazioe z+ z = i+a ha soluzioi z C? Trovare tali soluzioi, se esistoo. 5.5 Provare che l isieme delle soluzioi del sistema z z = argz π è costituito dall uioe di tre semirette, e determiarle. 6 Fuzioi di più variabili Studiare l isieme di defiizioe i R delle segueti fuzioi, e dare ua rappresetazioe el piao: 6. f, y = arccos + y 6. f, y = y log5 y 6. f, y = siπ + y 4 y 6.4 f, y = log + y y 6.5 f, y = + y 6.6 f, y = log logy 6.7 f, y = + y + y 6.8 f, y = log arcsi + y y 6.9 f, y = y 6. f, y = + y y l + y 6. f, y = arcsi + y 9 + 9y 6. f, y = arccos[ta4y + π/4] [ π ] 6. f, y = ta arcsi + y Calcolare, se esistoo, i segueti iti di fuzioi di due variabili: 4 6.4,y, + y 6.5,y, y cos y y 6.6,y, + y y *,y, + y + y y + y 6.8 *,y, + y y 6.9,y π, cos y 6. *,y, 4 + y log + y 6.,y, + y Calcolare le derivate parziali o dimostrare la loro o esisteza per le segueti fuzioi: 6. f, y = + y 6. f, y = y 6.4 f, y = y + y 6.5 Trovare estremi relativi ed assoluti el piao della fuzioe f, y = si y si y. 6.6 Determiare il massimo ed il miimo assoluti della fuzioe f, y = y + y ell isieme D =, y R : + y, + y }. 6.7 Trovare se esistoo il massimo e il miimo assoluti el piao della fuzioe y f, y = ep 4. + y 6.8 Calcolare miimo e massimo assoluto della fuzioe f, y = e +y el cerchio di cetro, e raggio. l origie è u estremo relativo per f. Mostrare che

12 c Adrea Dall Aglio - Esercizi di Aalisi Matematica - October, Si trovio estremi relativi e assoluti della fuzioe f, y = e y 4 y 4 el cerchio di cetro l origie e raggio. 6. Si trovio estremi relativi e assoluti della fuzioe f, y = y el domiio D =, y :, y }. 6. Trovare massimi e miimi locali della fuzioe f, y = [ 9y 5] ep + +9y 4 6. Data la fuzioe di due variabili a determiare il domiio; f, y = l8y y, b idividuare i puti critici; c idividuare evetuali puti di massimo o miimo relativi. 6. Data la fuzioe di due variabili f, y = e + l + y +, a idividuare i puti critici; b idividuare evetuali puti di massimo o miimo relativi.

13 c Adrea Dall Aglio - Esercizi di Aalisi Matematica - October, 6 7 Risposte ad alcui esercizi.: log 4 ;.:, 6 6, +, co ±;.: l π 6 + kπ l π 4 + kπ, oppure l 4 π + kπ l 5 6 π + kπ, co k N;.6: π < e + 4; π.8: + kπ < π + kπ, oppure π + kπ < π + kπ, oppure π + kπ < 4π + kπ, oppure π + kπ < 5π + kπ, k Z; 4.: ma E =, if E = ; 4.: sup E =, if E = ; 4.: ma E = 5, mi E = ; 4.4: ma E =, if E = ; 4.5: ma E = 7, 9 if E = ; 4.6: ma E = arctg, if E = π 4 ; 4.7: sup E =, mi E = ; 4.8: sup E =, 5 if E = ; 4.9: sup E = +, mi E = ; 4.: sup E =, if E = ; 4.: sup E =, mi E = ; 4.: ma E = 4, mi E = ; 4.: ma a = a = 6, if a = ; 5.8: ; 5.9: ; 5.: l a ; 5.: l ; 5.: ; 5.4: e ; 5.5: se α >, e se α =, + se < α < ; 5.6: ; 5.7: + ; 5.8: ; 5.9: 4 ; 5.: ; 5.: e ; 5.: ; 5.: ; 5.4: ; 5.5: e; 5.6: c = l ; 5.: g, k, h, f; 5.: f per ; 6.9: f cotiua a + b = ; f ivertibile a > e a + b, oppure a < e a + b ; 6.: a =, b = π; 6.: = π 6 + kπ, = 5π 6 + kπ, k Z; 6.: b = ; 6.: b = ; 6.4: b = ; 7.47: + ; 7.48: ; 7.49: ; 7.5: e 6 5 ; 7.5: + ; 7.5: ; 7.5: ; 7.54: ; 7.55: ; 7.56: π; 7.57: + ; 7.58: e; 7.59: ; 7.6: ; qquad 7.6: + ; 7.6: che o esiste l; 7.6: o, ad esempio a + = +, a = ; 7.64: a i geerale è falso; b i geerale è falso; c vero; d falso; 7.65: sup a = +, if a =, o ammette ite; 9.: ma f = f.7; ; mi f = f 8.: ;.: ;.4: 7 ;.5: ;.6: ;.7: ;.8: ;.9: ;.: ;.: ;.: 5 l ;.: 7 6 ;.4: 4;.5: ;.6: π ; π ;.: coverge;.: coverge;.: coverge;.4: o coverge;.5: o coverge;.6: coverge;.7: coverge; 4.: diverge positivamete si oti che è ua serie a sego costate; 4.: diverge positivamete; 4.4: covergete; 4.5: divergete; 4.6: covergete; 4.7: divergete; 4.8: divergete; 4.9: covergete; 4.: covergete; 4.: divergete; 4.: divergete; 4.: covergete; 4.4: covergete; 4.5: divergete; 5.: z =, z = ± i ; 7.7: tg ; 7.8: ; 7.9: + ; 7.: ; 7.: ; 7.: ; 7.: ; 7.4: + ; 7.5: ; 7.6: ; 7.7: ; 7.6: e ; 7.4: ; 7.7: ; 7.8: ; 7.: ; 7.5: ; 7.6: + ; 7.7: + ; 7.8: ; 7.9: ; 7.4: ; 7.4: ; 7.4: e ; 7.44: ; 7.45: ; 7.46: ;