Il modello markoviano per la rappresentazione del Sistema Bonus Malus. Prof. Cerchiara Rocco Roberto. Materiale e Riferimenti

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1 Il modello marovano per la rappresentazone del Sstema Bonus Malus rof. Cercara Rocco Roberto Materale e Rferment. Lucd dstrbut n aula. Lemare 995 (pag.6- e pag Galatoto G. 4 (tt del VI Congresso Nazonale d Scenza e Tecnca delle sscurazon, Bologna.

2 . SUCCSSION LTORI Sa S un sstema ce evolve nel tempo n manera aleatora. d ogn stante, s può assocare una varable casuale ce va a descrvere lo stato n cu s trova l sstema n quell stante, assocazone possble percé tale stato è a pror, ovvero prma dell osservazone aleatoro. S denota con: { t,t є T} t dove T è un nseme dscreto d possbl valor d t, la successone d varabl aleatore dpendent dal tempo t e ce assumono valor n un nseme fnto, cu element sono appunto gl stat del sstema. In partcolare, s suppone ce ognuna delle varabl t può assumere solo queste m determnazon: = {,,.., m } dove è denomnato spazo degl stat. er descrvere come evolve l sstema nel corso del tempo, s necessta della defnzone delle probabltà d transzone da uno stato all altro. Innanztutto, s ndca genercamente con la probabltà ce l sstema s trov al tempo nello stato, ovvero è : rob( con ce prende ovvamente valor da a m. S può qund rappresentare medante S veda n proposto Galatoto G. (4.

3 un vettore rga d dmensone m, camato vettore nzale, la dstrbuzone d probabltà al tempo nzale : L [,,..., m ] Conoscendo e L, s costrusce l nseme delle m probabltà condzonate d transzone tra gl stant e, l cu generco elemento è dato da: rob(, (o, rob( / rob(, ( con, =,,r. Questa legge condzonale d evoluzone s ndca con La legge per le m 3 probabltà d transzone tra gl stant e, not gl stat T. precedent del sstema e è rappresentata da: (, rob( /, rob( rob(,,,,,,, con,, =,,r. La legge s ndca con (, T. S procede n manera analoga consderando tutte le coppe d stant successv a. Così tra - e s avranno m + probabltà condzonate: (,,..., -,,,...,,,,...,

4 e la legge d probabltà sarà, per analoga, L nseme delle legg: (,,...,- T. Modulo I ( T (, T... (,,...,- T s defnsce sstema delle legg condzonate fondamental.. DFINIZION DI CTN DI MRKOV S consdera ora la generca legge condzonata T tra gl stant (,,..., -, e + e s suppone ce vale la seguente condzone : (,,...,- rob( /,,..., rob( / per ogn ( e, -,...,,. Tenendo conto d questa nformazone, s può scrvere pù semplcemente: (,,...,- (, In questo caso, la successone { t } t è denomnata catena d Marov. In altre ssa mplca ce le probabltà d transzone tra due stant successv sono n numero par a m. 4

5 parole, la catena d Marov è una partcolare successone aleatora a parametro t dscreto caratterzzata da probabltà condzonate d transzone (ossa le probabltà ce regolano l passaggo da uno stato all altro ce dpendono uncamente dallo stato assunto dal sstema nell stante precedente a quello consderato e non ance dalla stora passata: è per tale ragone, ce s dce ce l processo d Marov è un processo senza memora. Le probabltà d transzone, vengono raccuse n una matrce del tpo: M ( [ (, avente dmensone m * m, essendo m possbl stat del sstema. Ne consegue ce l sstema delle legg condzonate fondamental dventa un sstema d matrc m * m. ] 3. L DU RINCILI RORITÀ DLL SUCCSSION DI MRKOV:L OMOGNITÀ L RGOLRITÀ 3. OMOGNIT Se le probabltà d passaggo sono stazonare nel senso ce dpendono dagl stat e e non dall stante n cu avvene la transzone, allora la catena d Marov vene detta omogenea nel tempo; n questa crcostanza, le 5

6 probabltà (, s denotano soltanto con e le matrc Modulo I M sono ( ovvamente tutte ugual ad un unca matrce M denomnata matrce d evoluzone. In formule è: ( M M [ ] N e la struttura della matrce M è rportata n tabella: Stat del sstema.... m.... m.... m m m m m.. m.. mm La suddetta matrce gode delle seguent propretà: è quadrata d dmenson m * m; ogn valore è compreso tra e ; la somma degl element d ogn rga è uguale a. questo punto, nota la dstrbuzone d probabltà nzale ce è rappresentata dal vettore L e nota la matrce d evoluzone M, s può studare l evoluzone del sstema, trascorso un stante (qund al tempo, moltplcando 6

7 l vettore nzale per la matrce d transzone 3. Qund è: Modulo I L LM er gl stant successv ad, con analogo procedmento moltplcatvo, s costruscono le relazon rportate d seguto: L LM LMM LM.. L L - M L M dove evdentemente L rproduce l evoluzone del sstema dopo stant. S sottolnea noltre ce M rappresenta la potenza d ordne della matrce d ( transzone M e suo element sono le probabltà d transzone n pass. Da quanto fn qu esposto derva ce: M M (t t t l ce asscura l omogenetà del sstema S. 3. RGOLRIT er completare l dscorso sulle catene d Marov, s rende opportuno defnre una seconda propretà la quale rsulterà utle nel seguto denomnata d regolartà 4. S dce ce l sstema S è regolare se per t ce tende a nfnto, le potenze successve della matrce M tendono verso una matrce composta d r 3 Le moltplcazon sono effettuate secondo le comun regole del calcolo matrcale. 4 Cfr., Galatoto G. (4. 7

8 rge tutte dentce della forma: Modulo I [a,a,...,a m ] n cu alcune component sono nulle 5. Il vettore è detto legge lmte degl stat ed è tale ce vale la seguente relazone: M S rporta n ultmo un teorema ce fornsce una condzone necessara e suffcente affncé una successone d Marov omogenea sa regolare. Teorema: Condzone necessara e suffcente percé una successone d Marov omogenea sa regolare è ce tra dfferent stat possbl d un sstema S oggetto d studo ne essta uno, s, tale ce prendendo t molto grande s abba: t s, t / s dove t s è la probabltà d transtare dallo stato allo stato s n t operazon. 4. IL SISTM DI TRIFFZION BONUS-MLUS INTRRTTO COM UN CTN DI MRKOV degl element ce vanno a defnre l sstema Bonus-Malus quattro sono quell ce permettono d nquadrarlo correttamente nell ambto della teora sulle 5 Se nvece, l vettore a tutte component postve (a > per ogn l sstema è detto postvamente regolare. sstono due teorem ce asscurano questa condzone. S veda n proposto Galatoto G. (4. 8

9 catene d Marov 6 : Modulo I In prmo luogo, esso realzza la suddvsone delle polzze appartenent ad una prefssata classe tarffara ndvduata sulla base delle caratterstce del rsco rlevate a pror n un numero fnto d class d merto, n manera tale ce l premo dpenda solo dalla classe; La classe d Bonus-Malus d appartenenza nel perodo corrente dpende soltanto dalla classe del perodo precedente e dal numero de snstr con responsabltà causat dall asscurato nello stesso perodo: l passato, ovvero la completa stora d snstro e le class occupate ne var ann, non contano per determnare la classe presente raggunta; La presenza d regole d evoluzone per ndvduare la classe d arrvo, una volta not due precedent fattor; Infne, l esstenza d una classe fnale ce tutt gl asscurat possono raggungere, dopo un perodo alquanto lungo, non dando orgne ad alcun snstro. uò n defntva drs ce l sstema Bonus-Malus forma una catena d Marov e ce questa è ance omogenea e regolare, cu stat sono le dfferent class d merto. 6 Cfr., Galatoto G. (4. 9

10 5. L MTRIC DI VOLUZION er quanto rguarda le regole d evoluzone del sstema Bonus-Malus, lo strumento utle per rappresentarle è costtuto da una partcolare operazone cosddetta trasformazone o traslazone 7 : T ( con, =,,..,m ce assoca alla classe d merto la classe n dpendenza dal numero de snstr con responsabltà, rportat dall asscurato. In base ad essa, s va a strutturare la matrce quadrata d evoluzone d ordne m percé m sono le class del sstema Bonus-Malus ce vene denotata con T : T [ e l cu generco elemento t ( è defnto nel modo seguente: t ( ] t ( se T ( se T ( per cu valgono le relazon sotto: e t t ( Caramente s costruscono un numero d matrc d evoluzone matrc d sol uno e zero una per ogn possble valore d (con =,,,.. 7 S veda n proposto Lomaranta (97 e Lemare J. (995.

11 6. L MTRIC MRKOVIN DI TRNSIZION NLL MBITO DL SISTM BM Defnto cò, l obettvo ce ora c s propone d raggungere è quello dell ndvduazone e qund della costruzone d una matrce d transzone tra le class del sstema Bonus-Malus, la quale contene appunto le probabltà d passaggo ce sono funzone della frequenza d snstro. Rprendendo n consderazone ~ t, la varable aleatora ce descrve l numero de snstr nell anno d contratto t e la frequenza d snstro, sa p* ( ~ rob( / p t ~ rob( / t K p se se K K la probabltà d un gudatore con frequenza d snstro, d dar luogo almeno a K snstr nel suddetto perodo d osservazone e p ( è la probabltà ce l asscurato denunc esattamente snstr. Sulla base d * (, ovvamente varable al varare d, e sotto l potes d p ndpendenza d dal tempo, s costrusce la probabltà d transzone da una classe all altra del sstema Bonus-Malus (per esempo dalla alla per l perodo mmedatamente successvo a t la quale è uguale a: p ( p* ( t (

12 Caramente sono valde le seguent: Modulo I p ( e p ( Le m probabltà d transzone rsultato d tutte le possbl combnazon delle class d partenza con le class d arrvo (con, =,,.,m e ognuna delle qual è calcolata nella manera ndcata dalla relazone precedente possono essere sstemate n una matrce M detta matrce marovana d transzone 8 : K M( [ p ( ] p* ( T coè meda delle matrc T ponderate con le probabltà d snstro. Come preannuncato la matrce d transzone è ndpendente dal tempo e qund ottenamo una catena omogenea. 8 Cfr., Grasso F. (4.

13 La matrce delle regole evolutve del sstema BM talano secondo una rappresentazone alternatva (s veda Lemare. 3