Carlo Marchini Dipartimento di Matematica dell Università di Parma

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1 Carlo Marchini Dipartimento di Matematica dell Università di Parma Presento qui alcuni esempi citati da libri di testo italiani per la scuola Primaria 1: Si consideri il testo di Figura 1 (Esercizio 5). In esso si presenta l addizione come operatore, ed assieme ad esso la composizione di funzioni. Il testo omette il segno di uguaglianza, sostituendolo con frecce, (in puro stile funzionale): le frecce orizzontali possono essere tradotte con la scrittura più consueta f(x) = ; ad esempio nel primo a sinistra in alto, con la +6 scrittura si denota +6(30) =; in esso l etichetta della Fig. 1 freccia è il nome della funzione (+6). Gli argomenti delle funzioni (ovvero delle frecce orizzontali) sono posti nei riquadri a sinistra, il risultato nei riquadri a desta; inoltre il colore rosso è indicato per indicare il punto di partenza, il colore verde per i risultati intermedi ed il blu per i risultati finali. Due frecce orizzontali consecutive vengono utilizzate per indicare una addizione multipla o iterata: = 40; si può tradurre la scrittura con frecce orizzontali nel linguaggio funzionale +4(+6(30)) = 40, oppure ((+4) (+6))(30) = 40. Questa scelta di utilizzare la composizione di funzioni può presentare dei problemi. Infatti l addizione è un operazione commutativa, mentre la composizione di funzioni, anche qualora sia eseguibile scambiando le funzioni, in generale non è commutativa. Le freccie oblique sono molto difficili da interpretare. Esse non hanno etichette. La notazione sarebbe più coerente se invece di due frecce oblique si scrivesse: Devo ringraziare Achille Maffini per avermi suggerito gli esempi presentati qui e tratta da manuali scolastici.

2 E possibile che il costo tipografico abbia influenzato la scelta grafica dell autore. La presenza di un riquadro blu attorno all etichetta (complessiva) +10 è veramente controproducente, infatti altrove il blu è usato per indicare il numero risultato finale e qui è il nome di una freccia suddivisa in due parti. Per un adulto non dovrebbero esserci problemi ad interpretare correttamente ciò che l autore vorrebbe che gli allievi comprendessero, sulla base di un esperienza matematica, ma i bambini non hanno la protezione data dall esperienza e dalla pratica matematica. La traduzione freccia = funzione, o meglio, freccia = procedura, non è applicabile per le frecce oblique. La freccia obliqua destra potrebbe essere interpretata come il segno di uguaglianza. Gli altri esercizi nella stessa pagina, indicati per bambini di terza classe, sono problemi, poiché gli allievi non hanno gli strumenti algebrici utili per risolvere equazioni (alcune indeterminate come la quarta e l ottava). Questa pagina ha un titolo che può essere desunto da quanto appare a destra): Numeri: addizione e sottrazione. Anche se i bambini hanno ormai acquisito competenze nello svolgimento di addizioni e sottrazioni, potrebbero non padroneggiare in modo soddisfacente il ruolo di queste due operazioni nella procedura risolutiva delle equazioni algebriche di primo grado. Tuttavia potrebbero risolvere mediante altre tecniche, ad esempio quelle indicate (Marchini, 2002) 2. La seconda parte della stessa pagina (Figura 2) suggerisce quest ultima interpretazione 3. In essa è attribuita grande importanza all addizione. Le soluzioni delle equazioni assegnate nell Esercizio 5 possono essere ottenute tramite attenta ispezione dell Esercizio completato, 6, delle tavole dopo averlo mediante determinazione delle intestazioni Fig. 2 di righe e colonne individuate dalle celle in cui sono collocati specifici numeri assegnati. Si osservi che non si fa uso di parentesi tonde. La paura delle parentesi sembra essere una malattia sociale assai diffusa nelle scuola primaria, ed anche oltre (Figura 3), malattia che pare contagiare insegnanti, libri di testo e allievi. L autore del testo in Figura 1 preferisce introdurre un nuovo 2 Marchini, C.: 2002, Instruments to detect variables in Primary School, in Novotna, J. (Ed.) Cerme 2 Proceedings, Part 1, L autore ha qualche problema con la numerazione, dato che le due tavole da completare sono tre!

3 simbolo, ambiguo, la freccia, invece di parentesi ed uguaglianze; inoltre preferisce confondere l operazione (binaria) con l operatore (funzione unaria) Un altro esempio dello stesso testo di Figura 1 è presentato nella Figura 4. In esso si può osservare che si tratta di una pagina precedente a quella di Figg. 1 e 2, dato che per svolgere l Esercizio 5 si i bambini devono avere fatto precedente esperienza dell addizione multipla. L Esercizio 1 ha connotati linguistici. L Esercizio 2 fa riferimento implicito ad Fig.3 un introduzione dei numeri naturali fatta in precedenza (non presente in figura) Così si spiega la richiesta di rappresentare l addizione con un disegno che credo potrebbe mettere in difficoltà chi leggesse solo la Figura 4. Tuttavia non mi è chiaro quale disegno si aspetti l autore, forse qualcosa nello stile dei diagrammi di Eulero-Venn, come suggerito da e poi in un altra pagina (Figura 5) in cui le parentesi rotonde sono sostituite con ellissi colorate. Fig. 5 Si osservi inoltre che nella Figura 4 Fig. 4 vengono richiesti tre addendi. Moreover, remark that in the example of addition in columns, there are three addends. Lo stesso avviene anche nella seconda parte dell Esercizio 4.

4 Mi sembra che l Esercizio 3 abbia un importante ruolo nella creazione di misconcezioni evitabili, soprattutto nelle tre domande successive: «Qual è il minimo numero di addendi necessari per eseguire un addizione? Qual è il numero massimo? Il risultato, rispetto agli addendi, è sempre maggiore o minore?» Come rispondere a queste domande? Sicuramente la nostra risposta alla prima è due, entrando così in conflitto con quanto appare nella figura 1, in cui si indica in riquadro blu +10! LA seconda domanda è sorprendente. Una risposta strutturale è due, ma credo che l autore non l accetterebbe, forse si aspetta infinito! La risposta alla terza domanda è univocamente individuata dal contratto didattico: più grande. Questo è un tipico esempio di misconcezione ben noto in letteratura e che ha gravi conseguenze in seguito (Vergnaud, Fischbein). La presenza contemporanea di almeno tre addendi (senza parentesi) è assai frequente in molti manuali per la scuola primaria ed anche in quelli per gli ordini scolastici successivi. Un esempio è offerto dal testo per la scuola media, riportato nella Figura 3, e dal testo di Figg. 1,2,4,5. Nella seguente Figura 6 si chiarisce come il testo presenti l addizione (o meglio il concetto di addizione). L esempio introduttivo della partita di calcio presenta ed indica l addizione con due termini. Le successiva definizione, su fondo rosa, specifica che l addizione si applica a due numeri, dando traccia del modo di procedere Fig. 6 (con un approccio tipicamente ordinale). C è poi una parte terminologica, addendi e somma. Nell Esempio successivo si presentano due casi: uno con due addendi e subito dopo uno con gtre addendi. Questo testo sembra ispirato ad un approccio di tipo strutturale, ma si smentisce immediatamente dimenticandosi la proprietà associativa nel caso con tre addendi. Lo studente deve aver chiaro che quanto si specifica nella Definizione sul numero degli addendi si può tranquillamente dimenticare due righe dopo! In tutti questi casi sembra che la proprietà (strutturale) associativa sia ignota, oppure che sia inutile!! A questa conclusione si giunge analizzando le scelte del testo. Dato che noi (adulti)

5 sappiamo che l addizione è un operazione binaria che gode della proprietà associativa, siamo autorizzati ad ometterla come un inutile complicazione, ma d altra parte i matematici sono ossessionati con dettagli (inutili) di questo tipo. L autore sembra sostenere che per gli alunni è abbastanza imparare l addizione, senza proprietà di sorta. Un altra giustificazione possibile è che l associatività è così naturale ed ovvia che non c è bisogno di indicarla esplicitamente. Ma in questo modo si possono interpretare le addizioni e le sottrazioni di Figura 3 e quelle di Figura 4 come esempi dovuti alla presenza della proprietà associativa per le operazioni (non tenendo conto della presenza delle ellissi colorate). Raramente la proprietà associativa viene indicata esplicitamente nei manuali per la scuola primaria e secondaria di primo grado (cfr. Figura 3). Il testo di Figura 7 è tratto da un manuale di scuola primaria: esso potrebbe essere considerato un contro-esempio della mia affermazione precedente. Si consiglia di soffermarsi su di esso: l addizione (moltiplicazione) con tre termini viene assunta come pietra di paragone (semantica) per la proprietà formale: ( ) + 5 = = 48 = 18 + (25 + 5); non è invece presente la richiesta teorica ( ) + 5 = 18 + (25 + 5). Il testo conferma questa ipotesi. Si potrebbe sostenere che nella scuola Primaria questa scelta di omettere le parentesi e le proprietà formali delle operazioni è inevitabile, perché i bambini devono, prima di tutto, avere un contatto esplicito con esempi numerici, mentre esempi di questa o di altra proprietà formale sarebbero un primo approccio per livelli più generali ed astratti (che vengono richiesti nella scuola secondaria di secondo grado e non compresi). L autore del testo in Figura 7, seguendo una tendenza generale, introduce anche esempi di un inesistente proprietà dissociativa. Gli esempi citati in queste pagine non hanno per scopo mostrare come siano mal scritti i libri di Matematica per le scuole italiane. Questa antologia mostra ce c è un sentimento comune: le proprietà formali, quale la proprietà associativa per l addizione (moltiplicazione) non hanno rilevanza per i bambini che devono imparare l Aritmetica. Ma poi gli studenti fanno proprio questo punto di vista e ciò causa ostacoli nell apprendimento dell Aritmetica (e non solo) quanto si fa ricorso ad un approccio strutturale. Questo apprendimento iniziale permane nella mente degli studenti e si trasforma in una misconcezione, Mi sembra che le espressioni e (3 + 4) abbiano impatti diversi in termini di immagini mentali. Nel primo caso l attenzione è convogliata principalmente sugli addendi e il segno + è solo una connessione tra i due spesso letta come e. Nella seconda espressione le parentesi costringono a considerare (3 + 4) come una cosa sola, intensificando l immagine che l addizione sia da prendere in considerazione per prima, come nella scrittura funzionale +(3,4).

6 Possibili progetti di ricerca: In tempi brevi: introdurre in un campione di studenti le parentesi rotonde fin dall inizio dell Aritmetica e confrontare la correttezza dei calcoli di semplici espressioni aritmetiche in un campione di controllo, in cui si è seguito l approccio tradizionale senza parentesi. Ricerca in tempi lunghi: Usare le parentesi rotonde per tutti i cinque anni di scuola primaria e confrontare la correttezza dei calcoli in espressioni aritmetiche complicate e in espressioni algebriche nella scuola secondaria.

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