La volatilità delle attività finanziarie

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1 L analisi della volailià Volailià e correlazione Unipol Snia O N D 00 A MJ J A S O N D 00 A MJ J A S O N D 003 D 00 M A M J J A S O N D 00 A M J J A S O N D 003 Qual è la volailià di ognuno dei due ioli? analisi della variabilià Qual è la relazione fra le due serie soriche? analisi della correlazione

2 La volailià delle aivià finanziarie Due approcci: La scuola della opion pricing volailià implicia Le variazioni dei prezzi vengono modellae considerando il empo coninuo La scuola della previsione saisica volailià saisica Le variazioni dei prezzi e la correlazione vengono modellae considerando il empo discreo NB: in enrambe le scuole volailià e correlazione vengono considerae come parameri di paricolari processi socasici uilizzai per modellare le variazioni dei prezzi. Confrono fra disribuzioni con diversa variabilià M ( X ) = M ( Y ) V ( X ) > V ( Y ) Y X

3 Rilevanza dello sudio della volailià La volailià dei cambi influenza: le riserve inernazionali, il valore delle commesse in valua esera espresse in monea nazionale, la bilancia dei pagameni effei sui salari, sui prezzi dei beni di consumo, sulla produzione e sull occupazione. CAPM (Capial Asse Pricing Model): modello di gesione di un porafoglio. Hp: relazione direa fra rendimeno e volailià. Pricing delle opzioni. Effeo leverage: la volailià dei rendimeni ende a crescere dopo rendimeni negaivi e a diminuire dopo rendimeni posiivi. La volailià saisica Rischio di un invesimeno: probabilià di perdere o ridurre il valore dell invesimeno iniziale, derivane da un movimeno avverso nelle variabili di mercao a cui l invesimeno sesso è collegao. Rischio generalmene espresso in ermini di volailià del rendimeno. Esempio Volailià di ENI inizio 00 7% del valore medio Volailià di Viaminic inizio 00 55% del valore medio Rendimeno di Viaminic in un arco di 5 mesi 0% del rendimeno di ENI Esempio Volailià di Enel primi 5 mesi % Volailià di Sea Pagine Gialle primi 5 mesi 00 48% Rendimeno negaivo di Sea 3 vole superiore a quello negaivo di Enel Maggiore volailià compora possibili maggiori perdie e maggiori guadagni. La volailià può offrire grosse opporunià a chi accea e impara a gesire il suo lao negaivo: il rischio. 3

4 La volailià saisica () E una misura delle fluuazioni dei rendimeni (e quindi dei prezzi). Perano essa rappresena una misura di rischio dell aivo finanziario. La volailià non è direamene osservabile. Ad esempio, considerando la serie dei rendimeni giornalieri dell indice DAX, la volailià giornaliera non è direamene osservabile dai rendimeni, dao che esise una sola osservazione per giorno. Tuavia, guardando alla serie dei rendimeni, si osservano clusers di volailià, cioè la volailià può essere ala in alcuni periodi di empo e bassa in alri (volailiy clusering). C è quindi persisenza (auocorrelazione) nella volailià: ala (bassa) volailià ende ad essere seguia da ala (bassa) volailià. La volailià non sembra crescere indefiniamene, ma, piuoso, sembra variare all inerno di un inervallo fisso. Da un puno di visa saisico può quindi essere modellaa con un modello sazionario. La volailià saisica (3) Se la volailià è auocorrelaa in maniera sosanziale, significa che ha margini di prevedibilià, al conrario dei rendimeni che non sono (o sono poco) prevedibili. In parecchi casi la volailià sembra reagire differenemene (asimmeria della volailià) a grandi incremeni di prezzo (grandi rendimeni posiivi) o a grandi cadue di prezzo (grandi rendimeni negaivi). Quese evidenze empiriche devono essere enue preseni nel cosruire modelli per i rendimeni. 4

5 Comparabilià delle misure di variabilià Presupposo: i rendimeni sono incorrelai nel empo impossibilià di prevedere i rendimeni fuuri sulla base dei rendimeni passai; L incerezza aumena all aumenare della lunghezza dell inervallo emporale considerao (la variabilià media calcolaa su n rendimeni giornalieri cresce al crescere di n) impossibilià di confronare la varianza calcolaa su n giorni con la varianza calcolaa su m giorni e di confronare la varianza calcolaa su rendimeni con diversa frequenza emp. Deviazione sandard in ermini annuali (soo l ipoesi di rendimeni indipendeni): σ annuale = ( σ A) 00 Dove A è un faore di annualizzazione, pari al numero di rendimeni in un anno possibilià di confronare (sulla sessa scala) la volailià di rendimeni aveni diversa frequenza emporale Comparabilià delle misure di variabilià () Il faore A è una cosane di normalizzazione: la varianza cresce al crescere dell inervallo di empo considerao, ma il faore di annualizzazione decresce. Soliamene, per converire la deviazione sandard giornaliera in un valore percenuale annualizzao, si uilizza il numero di giorni di rading compresi in un anno. In genere per rendimeni giornalieri A= 50 o 5. 5

6 Alcune misure empiriche di volailià - Varianza sorica (o realized volailiy) E semplicemene la varianza dei rendimeni calcolaa sull inero periodo campionario: σˆ = Dove Giornallieri Seimanali Mensili r r T T ( r r ) r T = T = è la media campionaria dei rendimeni (soliamene prossima a zero se la frequenza è piuoso elevaa. Non per dai mensili). Esempio Unipol e Snia Varianze annualizzae SNIA UNIPOL SNIA UNIPOL media r_ var r_ media r_^ media r_ var r_ media r_^ media r_ var r_ media r_^ = *50*00; 5.48=0.0098*5*00 Rendimeni giornalieri SNIA UNIPOL varianza calcolaa sull'ulimo anno Confrona con la varianza calcolaa su uo il periodo Alcune misure empiriche di volailià () -Varianza mobile E la varianza calcolaa su inervalli di ampiezza fissa, dove però le osservazioni sono coninuamene aggiornae includendo nell inervallo l osservazione più recene ed escludendo la più vecchia: ˆ σ r, = τ i i= τ + ( r r) τ ri i= τ + E una media arimeica semplice (pesi uguali per ui i rendimeni) Uilizzaa in alcuni casi come previsione approssimaa della volailià fuura nei modelli di pricing delle opzioni che maurano in n giorni; ragionevole per previsioni a breve ermine; Comunemene uilizzaa come sima della volailià nella marice di covarianza ad n giorni per la misura del rischio di porafoglio; Uilizzo del faore di annualizzazione per confroni; Ad esempio: previsione della volailià nei prossimi 6 mesi ulimi 6 rendimeni seimanali con A=5. 6

7 Esempio. Volailià mobile su Snia. 3/7/99-3//003. Rendimeni seimanali Le diverse sime della volailià sono sae annualizzae con A= au=5 au=5 au= /07/99 7//99 7/03/993 7/07/993 7//993 7/03/994 7/07/994 7//994 7/03/995 7/07/995 7//995 7/03/996 7/07/996 7//996 7/03/997 7/07/997 7//997 7/03/998 7/07/998 7//998 7/03/999 7/07/999 7//999 7/03/000 7/07/000 7//000 7/03/00 7/07/00 7//00 7/03/00 7/07/00 7//00 Picco: aenao orri gemelli. L effeo dell aenao permane per un inervallo pari a au: effeo fanasma (ghos) dovuo unicamene al periodo della m.m. Esempio. Volailià mobile su ENI. 3 gen o 00. Rendimeni giornalieri Codice in R 7

8 Volailià con medie mobili esponenziali La misura di volailià mobile non è soddisfacene dao che ui i rendimeni hanno lo sesso peso all inerno della formula medie mobili esponenziali peso superiore alle osservazioni più receni considerano l ordine emporale dei rendimeni. - Varianza mobile esponenziale ( λ) r ˆ σ ( )( ) = λ r r + λσ λ r + λσ Problema dell inizializzazione: prima previsione uguale al rendimeno al quadrao del empo 0. Dove λ è la cosane di lisciameno. Si aribuisce un peso pari a (- λ) all ulimo valore osservao. ˆ ( Inensià della reazione della volailià agli eveni del mercao: al decrescere di λ aumena la velocià di reazione all informazione di mercao compresa nel rendimeno di oggi; ) ˆ λ ˆ σ Persisenza della volailià: indipendenemene da ciò che accade sul mercao, se la volailià è saa elevaa ieri essa sarà elevaa anche oggi. Volailià con medie mobili esponenziali () Tramie sosiuzioni successive si ha: ˆ σ = ( λ) i= 0 λ r i i Alcune considerazioni sulla cosane di lisciameno - Uilizzando la media mobile esponenziale, la sima della volailià risulane reagirà immediaamene alla presenza di un evenuale rendimeno molo elevao. L effeo di ale rendimeno sulla sima della volailià diminuirà gradualmene col passare del empo. La reazione della sima della volailià con media mobile esponenziale agli eveni del mercao persise perciò nel empo con una forza che dipende dalla cosane di lisciameno. Più alo il valore della cosane, maggiore sarà il peso aribuio alle osservazioni più lonane e più la serie risulerà lisciaa. - L effeo di un singolo eveno diminuisce perché 0 < λ <. Più la cosane di lisciameno si avvicina a, più la volailià risula persisene. 8

9 Volailià con medie mobili esponenziali (3) Alcune considerazioni sulla cosane di lisciameno (coninua) - Valori elevai della cosane comporano una bassa reazione agli eveni di mercao, ma una elevaa persisenza della volailià; un basso valore della cosane produce sime della volailià alamene reaive che rapidamene vengono riassorbie (bassa persisenza). Esempio su Snia (rendimeni seimanali). Valori annualizzai lambda=0.8 lambda= /07/99 4//99 4/03/993 4/07/993 4//993 4/03/994 4/07/994 4//994 4/03/995 4/07/995 4//995 4/03/996 4/07/996 4//996 4/03/997 4/07/997 4//997 4/03/998 4/07/998 4//998 4/03/999 4/07/999 4//999 4/03/000 4/07/000 4//000 4/03/00 4/07/00 4//00 4/03/00 4/07/00 4//00 Esempio. Volailià mobile su ENI. 3 gen o 00. Rendimeni giornalieri Codice in R 9

10 Volailià con medie mobili esponenziali (4) N.B.: i parameri di reazione e persisenza non sono indipendeni perché la loro somma è sempre pari a uno. quale valore uilizzare quindi per la cosane di lisciameno? Una regola praica in moli mercai è quella di uilizzare approssimaivamene 0.75< λ <0.98. Esremo inferiore ala reaivià, bassa persisenza. Per previsioni a breve ermine. Esremo superiore ala persisenza, bassa reaivià. Per previsioni a lungo ermine. E il meodo uilizzao da Riskmerics per simare la volailià (soliamene con cosane pari a 0.94; corrisponde ad una mm non pesaa di 0-30 gg). Alcune considerazioni sulla volailià - Misure proxy della volailià isananea possono essere il quadrao o il valore assoluo dei rendimeni. - In generale la volailià è una varianza condizionaa e, più precisamene, è var( r I ) = σ Perano una buona srada per simare la volailià è quella di cosruire un modello per i rendimeni con varianza condizionaa variabile secondo un qualche schema, meglio se paramerico e parsimonioso. - Una risposa è rappresenaa dalla classe dei modelli GARCH (e variani). 0

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