2.1 Proprietà fondamentali dei numeri reali. 1. Elenchiamo separatamente le proprietà dell addizione, moltiplicazione e relazione d ordine.

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1 Capitolo 2 Numri rali In qusto capitolo ci occuprmo dll insim di numri rali ch indichrmo con il simbolo R: lfunzionidfinitsutaliinsimiavaloriralisonol oggttodistudiodll analisi matmatica in una variabil. Non fornirmo una costruzion rigorosa dll insim R. Ciaccontntrmodidscrivr in modo prciso l proprità dll oprazioni di somma, prodotto rlazion d ordin ch lo carattrizzano. 2.1 Proprità fondamntali di numri rali 1. Elnchiamo sparatamnt l proprità dll addizion, moltiplicazion rlazion d ordin. 1. Oprazion di addizion. Èdfinitaunafunzions : R R! R ch ad ogni coppia di numri x, y associa il numro s(x, y) indicato con x + y (dtto addizion o somma di x y) inmodotalchvalganoisguntifatti: (a) x + y = y + x pr ogni x, y 2 R; (b) (x + y)+z = x +(y + z) prognix, y, z 2 R; (c) sist un lmnto 0 in R tal ch 0 + x = x pr ogni x 2 R; (d) pr ogni x 2 R sist un lmnto y dtto opposto di x tal ch y + x =0. La proprità (i) vin dtta proprità commutativa dll addizion, mntr qulla (ii) vin dtta proprità associativa. Con un linguaggio algbrico, l proprità prcdnti si riassumono dicndo ch R è un gruppo abliano risptto all addizion. L lmnto opposto risulta unico si indica con x. 2. Oprazion di moltiplicazion. Èdfinitaunafunzionp : R R! R ch ad ogni coppia di numri x, y associa il numro p(x, y) indicatoconxy (dtto moltiplicazion o prodotto di x y) inmodotalchvalganoisguntifatti: 15

2 2.1. PROPRIETÀ FONDAMENTALI DEI NUMERI REALI A.A (a) xy = yx pr ogni x, y 2 R; (b) (xy)z = x(yz) prognix, y, z 2 R; (c) sist un lmnto 1 in R tal ch 1x = x pr ogni x 2 R; (d) pr ogni x 6= 0sistunlmntoy dtto invrso di x tal ch yx =1; () pr ogni x, y, z 2 R si ha x(y + z) =xy + xz. L ultima proprità lga l oprazioni di addizion moltiplicazion. Globalmnt, tnndo conto dll proprità dll addizion dlla moltiplicazion, possiamo dir con linguaggio algbrico ch R è un campo risptto a somma prodotto. L lmnto invrso di x 6= 0risultaunicosiindicaconx Rlazion d ordin. Ogni coppia di numri x, y 2 R vrifica una (o tutt du) dll rlazioni x appl y (ch si lgg x minor o ugual a y) oy appl x ch godono dll sgunti proprità : (a) x appl x pr ogni x 2 R, dax appl y y appl x discnd x = y; (b) da x appl y y appl z sgu ch x appl z; (c) da x appl y sgu ch x + z appl y + z pr ogni z 2 R; (d) da 0 appl x 0appl y sgu ch 0 appl xy. Il fatto ch du lmnti di R siano smpr confrontabili tra loro ch valgano l proprità (i) (ii), vinriassunto dicndo chlarlazionappl è una rlazion di ordin total su R. L proprità (iii) (iv) lgano tal rlazion all proprità di somma prodotto sopra dfinit. La rlazion x appl y si può anch scrivr nlla forma y x (y maggior o ugual a x). La rlazion x appl y x 6= y si indica con x<y(x minor strtto di y) oy>x(y maggior strtto di x). 4. Assioma di Ddkind. Siano A, B R non vuoti tali ch pr ogni x 2 A y 2 B si abbia x appl y. Allora sist un lmnto z 2 R ch spara A B, cioètal ch pr ogni x 2 A y 2 B x appl z appl y. 2. Usrmo la sgunt trminologia. S x 0(x>0), dirmo ch x è un numro non ngativo (positivo); x appl 0(x<0), dirmo ch x è u n n u m r o non positivo (ngativo). Il numro 0 è contmporanamnt non positivo non ngativo. S x è positivo, allora x è ngativo ; s x è ngativo, allora x è positivo. Indichrmo R con + l insim di numri rali positivi. 16

3 A.A ESTREMI SUPERIORE ED INFERIORE DI UN INSIEME 3. ÈutilrapprsntargomtricamntR su una rtta orintata: poniamo i numri positivi adstradi0, posizionandox > 0adistanzax da 0. Similmnt poniamo i numri ngativi asinistradll origin,posizionandox < 0adistanza x da 0. L assioma di Ddkind può rapprsntarsi gomtricamnt nl sgunt modo: A z B L assioma di Ddkind implica ch a tutti i punti dlla rtta corrispondono numri rali: dunqu la rtta ral forma un continuo di punti. 4. Nl sguito saranno importanti i sgunti sottoinsimi di R: pr ogni a, b 2 R con a appl b poniamo [a, b] ={x 2 R : a appl x appl b}, ]a, b[= {x 2 R : a<x<b}, ]a, b] ={x 2 R : a<xappl b}, [a, b[= {x 2 R : a appl x<b}. [a, b] sidicintrvallo chiuso di strmi a b. ]a, b[ sidicinvcintrvallo aprto di strmi a b. Infin [a, b[ ]a, b] sidiconointrvalli chiusi/aprti a sinistra aprti/chiusi a dstra. Dagli assiomi prcdnti discndono l usuali rgol di calcolo pr i numri rali riguardanti l oprazioni lmntari. 2.2 Estrmi suprior d infrior di un insim In qusta szion ci occupiamo di conctti fondamntali di massimo minimo pr un insim di numri rali dlla loro gnralizzazion all nozioni di strmo suprior d strmo infrior. 1. La dfinizion di massimo minimo di un sottoinsim di numri rali è la sgunt. Dfinizion 2.1. Sia E R un insim. Diciamo ch M 2 E è il massimo di E s Diciamo ch m 2 E è il minimo di E s 8x 2 E : x appl M. 8x 2 E : m appl x. S il massimo o il minimo di E sistono, ssi sono unici: infatti s M 1 M 2 sono ad smpio du massimi di E, dvssrm 1 appl M 2 M 2 appl M 1,cioèM 1 = M 2. Il massimo d il minimo si indicano con i simboli max E mine. 17

4 2.2. ESTREMI SUPERIORE ED INFERIORE DI UN INSIEME A.A Non è dtto ch un insim E in R ammtta massimo o minimo (vdi l smpio sgunt). Gomtricamnt, il massimo max E (s sist) di un insim E sulla rtta ral è il punto di E ch si trova più a dstra di tutti gli altri punti di E. Similmnt,ilminimominE (s sist) è il punto di E ch si trova più a sinistra di tutti gli altri punti di E. Esmpio 2.2. S E =[0, 1], si ha min E =0 maxe =1 S invc F =]0, 1], F non ammtt minimo, mntr il massimo val 1. S G =[0, 1[, si ha ch min G =0,mntrG non ammtt massimo. Infin H =]0, 1[ non ammtt né massimo né minimo. Iconcttidistrmosupriordstrmoinfriordiuninsimgnralizzanola nozion di massimo minimo quando qusti ultimi non sistono. 2. Iniziamo con la dfinizion di maggiorant minorant di un insim. Dfinizion 2.3. Sia E R. Diciamo ch M 2 R è un maggiorant pr E s 8x 2 E : x appl M. Diciamo ch m 2 R è un minorant pr E s 8x 2 E : m appl x. L insim di maggioranti l insim di minoranti di E potrbbro anch ssr vuoti. S ciò non avvin, si pon la sgunt dfinizion. Dfinizion 2.4. Sia E R. Diciamo ch E è supriormnt limitato s E ammtt un maggiorant M 2 R. Similmnt, diciamo ch E è infriormnt limitato s E ammtt un minorant m 2 R. Infin, s E è limitato sia supriormnt ch infriormnt, E si dic limitato. Gomtricamnt, un insim E sulla rtta ral è supriormnt limitato s si trova tutto a sinistra di un punto M; similmnte è i n f r i o r m n t l i m i t a t o s s i t r o v a t u t t o a dstra di un punto m. E M Un insim E non limitato supriormnt si dic illimitato supriormnt: progni M 2 R sist smpr un x 2 E tal ch x M. Similmnt un insim E non limitato infriormnt si dic illimitato infriormnt: prognim 2 R sist smpr un x 2 E tal ch x appl m. 3. Il torma fondamntal dlla szion è il sgunt. 18

5 A.A ESTREMI SUPERIORE ED INFERIORE DI UN INSIEME E Torma 2.5. Sia E R un sottoinsim non vuoto. (a) S E è supriormnt limitato, allora l insim di maggioranti di E è non vuoto ammtt minimo. (b) S E è infriormnt limitato, allora l insim di minoranti di E è non vuoto ammtt massimo. Dimostrazion. Dimostriamo il caso (a), ssndo la dimostrazion di (b) dl tutto simil. Supponiamo dunqu ch E sia supriormnt limitato. Pr dfinizion, l insim di maggioranti di E è u n i n s i m M(E) non vuoto. Notiamo ch 8x 2 E, 8y 2M(E) :x appl y. Pr l assioma di Ddkind, sist z 2 R tal ch (2.1) 8x 2 E, 8y 2M(E) :x appl z appl y. La prima disuguaglianza in (2.1) ci dic ch z un maggiorant di E: dunqu z 2M(E). La sconda disuguaglianza in (2.1) ci dic ch z è i l p i ù p i c c o l o d i m a g g i o r a n t z i =, c i o è min M(E). La tsi è dunqu dimostrata. Grazi al torma prcdnt, la sgunt dfinizion è bn posta. Dfinizion 2.6. Sia E R un insim non vuoto. S E è supriormnt limitato, diciamo strmo suprior di E il minimo di maggioranti di E. Similmnt, s E è infriormnt limitato, diciamo strmo infrior di E il massimo di minoranti di E. Indichrmo l strmo suprior con sup E l strmo infrior con inf E. Chiaramnt, s E è l i m i t a t o, s i h Ea appli n sup f E. Val la sgunt carattrizzazion pr gli strmi suprior d infrior. Proposizion 2.7. Sia E R un sottoinsim non vuoto. (a) S E è limitato supriormnt, l 2 R è l strmo suprior di E s solo s 8x 2 E : x appl l 8" >0 9x 2 E : l "<x. 19

6 2.2. ESTREMI SUPERIORE ED INFERIORE DI UN INSIEME A.A (b) S E è limitato infriormnt, l 2 R è l strmo infrior di E s solo s 8x 2 E : l appl x 8" >0 9x 2 E : x<l+ ". Dimostrazion. Vdiamo il punto (a), la dimostrazion di (b) ssndo simil. Sia l =supe. Allora chiaramnt si ha 8x 2 E : x appl l ssndo l un maggiorant pr E. Essndol "<l,sihachl " non è un maggiorant pr E, ssndol il minimo di maggioranti. Allora dv sistr x 2 E con l "<x. Supponiamo vicvrsa ch valgano l du proprità. Allora la prima implica ch l è u n maggiorant pr E. DunqusihasupE appl l. Sia">0x 2 E tal ch valga la sconda proprità : allora l "<xappl sup E da cui 0 appl l sup E<". Essndo ">0arbitrario,dvssrl =supe, dacuilatsi. Ossrvazion 2.8 (Estrmo suprior/infrior massimo/minimo). Notiamo ch un insim non vuoto E ammtt massimo s solo s è supriormnt limitato sup E 2 E: intalcasomaxe =supe. Similmnt,E ammtt minimo s solo s è infriormnt limitato inf E 2 E: intalcasomine =infe. 4. Ci sarà util nl sguito il sgunt risultato. Dirmo ch una famiglia I di intrvalli è una famiglia di intrvalli inclusi s pr ogni I 1,I 2 2Isi ha I 1 I 2 o I 2 I 1. Proposizion 2.9 (Principio dgli intrvalli inclusi di Cantor). Sia I una famiglia non vuota di intrvalli inclusi dl tipo [a, b] (cioè intrvalli chiusi). Allora sist almno un x 2 R tal ch x appartin ad ogni intrvallo dlla famiglia I. Dimostrazion. Siano E = {c 2 R :[c, d] 2Ipr qualch d 2 R} F = {f 2 R :[, f] 2Ipr qualch 2 R}. Gli insimi E F sono non vuoti pr ogni c 2 E f 2 F si ha c appl f: infatticiòèdovuto all ipotsi ch I sia una famiglia di intrvalli inclusi prché s I 1 =[c, d] 2I I 2 =[, f] 2I sono gli intrvalli associati a c f, ssndounoinclusonll altrosihacrtamntc appl f. 20

7 A.A I NUMERI NATURALI, INTERI E RAZIONALI c f d c d f Pr l assioma di Ddkind, sist x 2 R ch spara E F.S[a, b] 2I,ssndoa 2 E b 2 F,siha a appl x appl b cioè x 2 [a, b]. La tsi è dunqu dimostrata. 2.3 I numri naturali, intri razionali In qusta szion dscriviamo alcuni sottoinsimi notvoli di R. 1. I numri naturali sono i numri dl tipo 0, 1, 2, 3, 4,... Tal insim ha la proprità ch ogni succssivo n +1 di un numro n ch vi appartin risulta a sua volta un lmnto dll insim. Chiaramnt s un insim di numri rali A contin 0 soddisfa alla proprità prcdnt, allora 0, 1, 2, 3, 4,... sono lmnti di A. Quindi il più piccolo insim A ch god dll prcdnti proprità risulta proprio ciò ch noi intndiamo pr insim di numri naturali. Possiamo formalizzar tal ida nlla sgunt dfinizion. Dfinizion L insim di numri naturali N è il più piccolo sottoinsim di R ch god dll sgunti proprità : N; 2. s n 2 N, allora n +12 N. Somma prodotto di numri naturali sono ancora numri naturali. Inoltr N è illimitato supriormnt: in particolar pr ogni x>0y>0sistn 2 N tal ch nx > y. Qusta vin dtta la proprità archimda di N. Infin ogni sottoinsim di N ammtt minimo: si dic ch N è bn ordinato. 2. Pr dimostrar ch un sottoinsim B di N coincid con N stsso basta vdr ch B soddisfa all proprità (a) (b) dlladfinizion2.10. InfattiintalcasosiavrbbN B da cui B = N. Su tal ragionamnto, ch poggia sulla dfinizion stssa di insim di numri naturali, si basa il sgunt principio dtto di induzion matmatica. Principio di induzion matmatica. Sia P(n) una proprità (prdicato) dipndnt da un numro natural n. PrdimostrarchP(n) risultavraprognin 2 N è s u c i n t vdr ch: 21

8 2.3. I NUMERI NATURALI, INTERI E RAZIONALI A.A P(0) è vra; 2. s P(n) èvra,allorap(n +1)èvra. Vdiamo un smpio di applicazion dl principio di induzion matmatica. Esmpio Dimostriamo ch la somma di primi n numri naturali è data da n(n +1). 2 La formula è vra pr n =0. Supponiamolavraprn dimostriamolaprn +1. Siha ch la somma di primi n +1numrièdatada n +(n +1)=[ n]+(n +1). Pr l ipotsi induttiva si ha n = n(n+1) 2 così ch n +(n +1)= n(n +1) 2 +(n +1)= n(n +1)+2(n +1) 2 = (n +1)(n +2) 2 cioèsihalaformulavolutaconn +1alpostodin. Latsièdunqudimostrata. 3. Diciamo insim di numri rlativi l insim Z = N [ ( N). Si ha chiaramnt ch somma, prodotto d opposto di lmnti di Z sono ancora lmnti di Z. Inoltr Z è illimitato sia supriormnt ch infriormnt. 4. Diciamo insim di numri razionali l insim Q = x 2 R : x = p con p, q 2 Z,q 6= 0. q Somma, prodotto, opposti invrsi di lmnti di Q sono ancora lmnti di Q. Contnndo l insim di numri rlativi, Q risulta illimitato supriormnt d infriormnt. Valgono inoltr l sgunti proprità : (a) pr ogni a, b 2 R con a<bsi ha (b) pr ogni a 2 R si ha ]a, b[ \ Q 6= ;; sup{x 2 Q : x<a} = a inf{x 2 Q : x>a} = a. 22

9 A.A I NUMERI NATURALI, INTERI E RAZIONALI La proprità (a) vin solitamnt indicata com la dnsità di Q in R. La proprità (b), consgunza di (a), dic invc ch ogni numro ral può ssr approssimato pr ccsso o pr diftto con prcision grand a piacr tramit numri razionali. 5. La dnsità di Q in R insim all approssimabilità di ogni numro ral tramit un numro razional con prcision grand a piacr può far sorgr il dubbio ch Q saurisca tutto R. Qusto non accad: ci sono oprazioni ch sono bn post in R ma non in Q. Un smpio è dato dall strazion dlla radic quadrata. Proposizion 2.12 (Esistnza dlla radic quadrata). Sia a d un solo x 0 tal ch x 2 = a. 0. Allora sist uno Dimostrazion. Il caso a =0èbanal,portandoax =0(chèsoluzionunicagrazialla lgg dll annullamnto dl prodotto). Sia dunqu a>0crchiamosoluzioniconx>0. Poiché s 0 <x<ysi ha x 2 <y 2,dduciamochsistalpiùunasoluziondll quazion. Vdiamo di dimostrarn dunqu l sistnza. Sia E = {y 2 R : y 2 appl a}. L insim E è non vuoto poiché 02 E. Inoltr E è limitato supriormnt. Sia infatti n 2 N tal ch n>a.essndon 2 n,abbiamochn è u n m a g g i o r a n t d ie, prchéssi avss y 2 E con y>n,allora y 2 >n 2 n>a ch è assurdo. Sia x =supe. Notiamo ch x>0: infatti s " 2]0, 1[ è tal ch "<a,allora" 2 <"<a, cioè " 2 E: dunqux ">0. Vdiamo ch x è il numro crcato procdndo pr assurdo. Sia pr assurdo x 2 <a. Notiamo ch s h 2]0, 1[ si ha (x + h) 2 = x 2 +2xh + h 2 <x 2 +2xh + h = x 2 + h(2x +1). Allora scglindo h>0talchh(2x +1)<a x 2 si avrbb (x + h) 2 <x 2 + a x 2 = a cioè x + h 2 E, ilchèassurdossndox =supe. Sia pr assurdo x 2 >a.sihaprh 2]0, 1[ (x h) 2 = x 2 2hx + h 2 >x 2 2xh h = x 2 h(2x +1). Scglindo h così piccolo ch h(2x +1)<x 2 a x h>0, si ottrrbb (x h) 2 >x 2 x 2 + a = a. Pr la carattrizzazion dl sup, sist y 2 E con y>x h: maalloray 2 > (x h) 2 >a, il ch è assurdo. 23

10 2.3. I NUMERI NATURALI, INTERI E RAZIONALI A.A Concludiamo ch dv ssr x 2 = a così ch la dimostrazion è conclusa. Si scriv p a pr indicar l unico x 0talchx 2 = a. Si può considrar anch il problma x n = a con n 3: in modo analogo a quanto visto sopra, sist una d una sola soluzion non ngativa: ssa si indica con np a sidiclaradicn-sima di a. Possiamo ora vdr ch Q è un sottoinsim proprio di R. Torma Si ha p 2 62 Q. In particolar Q R. Dimostrazion. S foss p 2 2 Q, siavrbb pr qualch n, m 2 N. Inparticolar n 2 m 2 =2 n 2 =2m 2. Il numro n 2 risulta così divisibil pr 2 un numro dispari di volt, ciò è assurdo poiché ssndo il quadrato di numro natural, sso risulta divisibil pr 2 al più un numro pari di volt. 6. Il fatto ch R sia più grand di Q discnd anch dal fatto ch l insim di numri rali ha un grado di infinito maggior risptto a qullo di numri razionali. Il trmin di paragon pr il confronto è dato dall insim più smplic con infiniti lmnti, l insim di numri naturali N. Dfinizion Sia A un insim. Diciamo ch A è numrabil s sist una funzion bittiva f : N! A. In trmini intuitivi, A è n u m r a b i l s h a i n fi n i t i l m n t i d s s i s i p o s s o n o c o n t a - r, cioè si ha A = {a 0,a 1,a 2,...}. Chiaramnt un sottoinsim infinito di un insim numrabil è a sua volta numrabil. Proposizion L union di una famiglia finita o numrabil di insimi numrabili è numrabil. Dimostrazion. scrivr Nl caso di una famiglia numrabil A 1,A 2,... di insimi, possiamo A 1 = {a 10,a 11,a 12,a 13,...} A 2 = {a 20,a 21,a 22,a 23,...}. A k = {a k0,a k1,a k2,a k3,...}. 24

11 A.A I NUMERI NATURALI, INTERI E RAZIONALI Gli lmnti dll union possono contarsi in qusto modo a 10,a 11,a 20,a 12,a 21,a 30,a 13,a 22,a 31,a 40,a 14,a 23,a 32,a 41,a con S la prcauzion di assgnar un solo indic agli lmnti riptuti. 1 n=1 A n è n u m r a b i l. Concludiamo ch Corollario Gli insimi Z Q sono numrabili. Dimostrazion. Infatti si ha Z = N [ ( N) L insim N è numrabil poiché è in corrispondnza biunivoca N tramit con l oprazion di opposto. Dunqu Z è numrabil ssndo union di du insimi numrabili. Si ha invc ch Q = [ n2n,n 1 A n dov A n = n m n : m 2 Z o. Ogni A n è n u m r a b i l s s n d o q u i v a l n Z. t Dunqu a Q è numrabil, ssndo union numrabil di insimi numrabili. L insim R è invc sostanzialmnt divrso N, Zda Q: ssorisultanonnumrabil. Torma L insim R non è numrabil. Dimostrazion. Sia pr assurdo R numrabil. Allora l intrvallo [0, 1] sarbb a sua volta numrabil, cioè [0, 1] = {x 0,x 1,x 2,x 3,...}. Dividiamo [0, 1] in tr parti, sia I 0 uno di tr sottointrvalli chiusi ch non contin x 0. Dividiamo poi I 0 in tr parti, sia I 1 uno di sottointrvalli chiusi ch non contin x 1. Dividiamo ora I 1 in tr parti, sia I 2 uno di sottointrvalli chiusi ch non contin x 2. Costruiamo allo stsso modo I 3,I 4,... La famiglia I = {I 0,I 1,I 2,...,I n,...} è u n a f a m i g l i a d i i n t r v a l l i c h i u s Ii 0 t a l c h I 1 I 2 I 3... Quindi I è una famiglia di intrvalli inclusi. Pr il principio di Cantor, sist un numro ral x appartnnt a tutti gli intrvalli dlla famiglia. Tal x non può ssr ugual a nssuno dgli x n poiché pr costruzion di ha x n 62 I n.essndopròx 2 [0, 1], ciò è assurdo la tsi è dimostrata. 25

12 2.4. INSIEME DEI NUMERI REALI ESTESI A.A Insim di numri rali stsi In vista dlla toria di limiti ch trattrmo nl prossimo capitolo, è opportuno ampliar l insim di numri rali introducndo du oggtti ch intuitivamnt rapprsntano un numro infinitamnt grand d il suo opposto. Poniamo R = R [ { 1} [ {+1}. Isimboli 1 +1 indicano du oggtti ch supporrmo tali ch 8x 2 R : 1 <x 8x 2 R : x<+1. L insim R si dic insim di numri rali stsi. 1. Stabiliamo l sgunti rgol di calcolo algbrico in R: (a) pr ogni x 2 R +1 + x = x + 1 = x = x +( 1) = 1; (b) pr ogni x 2 R con x>0 (+1) x = x (+1) =+1 ( 1) x = x ( 1) = 1, mntr pr ogni x 2 R con x<0 (+1) x = x (+1) = 1 ( 1) x = x ( 1) =+1; (c) si ha (+1)+(+1) =+1 ( 1)+( 1) = 1 (+1) = 1 ( 1) =+1 (+1)(+1) =( 1)( 1) =+1 (+1)( 1) =( 1)(+1) = 1. 26

13 A.A FUNZIONI DI VARIABILE REALE Grazi all convnzioni prcdnti, è possibil vrificar ch l proprità di bas di somma prodotto(adsmpiolpropritàcommutativaassociativa)risultanoancoravalidin R non appna l oprazioni in gioco sono bn dfinit. 2. Estndiamo i conctti di strmo suprior d strmo infrior a sottoinsimi E R non vuoti ma illimitati nl sgunt modo: (a) s E è supriormnt illimitato, dirmo ch sup E = +1; (b) s E è infriormnt illimitato, dirmo ch inf E = 1. In bas all dfinizioni prcdnti, ogni sottoinsim non vuoto di R ammtt strmo infrior d strmo suprior inf E supe in R tali ch inf E appl sup E. In bas a quanto visto in prcdnza, tali numri si carattrizzano mdiant l sgunti proprità. L lmnto l 2 R è l s t r m o s u p r i o r E s d i solo s 8x 2 E : x appl l 8l 0 <l9x 2 E : l 0 <x. Similmnt l lmnto l 2 R è l s t r m o i n f r i o Er sd i solo s 8x 2 E : l appl x 8l 0 >l9x 2 E : x<l Usrmo infin la sgunt notazion pr gli intrvalli: [a, +1[ ={x 2 R : x a} ]a, +1[ ={x 2 R : x>a} ] 1,a]={x 2 R : x appl a} ] 1,a[={x 2 R : x<a}. Talvolta si scriv anch ] 1, +1[ pr indicar l insim R. 2.5 Funzioni di variabil ral Nl corso ci occuprmo dllo studio dll funzioni rali di variabil ral, cioè studirmo funzioni f : E! R con E R. Ess si prsntano in modo natural nllo studio di alcun qustioni di gomtria analitica di fisica. 27

14 2.5. FUNZIONI DI VARIABILE REALE A.A Da un punto di vista gomtrico, una funzion f : E! R può rapprsntarsi attravrso il suo grafico y = f(x): si tratta di punti dl piano dlla forma (x, f(x)) con x 2 E. Formalmnt scriviamo G(f) ={(x, y) 2 R 2 : x 2 E,y = f(x)}. y a b c x E =[a, b] [{c} G(f) èingnralunalina curva nl piano con la proprità ch ogni rtta vrtical x = x 0 con x 0 2 E intrsca G(f) inunsolopunto,ilpunto(x 0,f(x 0 )). Èdunquchiaro ch non tutt l lin curv nl piano sono il grafico di una funzion di variabil ral. Iconcttignraliintrodottiinprcdnzapossonointrprtarsigomtricamntnl caso dll funzioni di variabil ral utilizzando il loro grafico. (a) Un valor c appartin all immagin di f s sist x 0 2 E tal ch c = f(x 0 ). Ciò significa ch (x 0,c) 2G(f), cioè la rtta y = c intrsca G(f). Quindi Im(f) si carattrizza com l insim dll quot c (visualizzabili sull ass dll ordinat) tali pr cui la rtta y = c intrsca G(f). L primmagini di c 2 Im(f) sonodatdall asciss di punti di intrszion di y = c con G(f). (b) In bas al punto (a), vdiamo ch f è inittiva s solo s l rtt orizzontali intrscano G(f) alpiùinunpunto. (c) S f è invrtibil, allora il grafico dlla funzion invrsa f 1 : f(e)! R si ottin da qullo di f oprando una simmtria risptto alla bisttric y = x. Più in gnral, i conctti dl calcolo infinitsimal ch introdurrmo si potranno intrprtar in trmini di proprità gomtrich di grafici dll funzioni di variabil ral potranno utilizzarsi pr capirn l proprità qualitativ quantitativ. 2. Spsso l funzioni di variabil ral vngono assgnat tramit una lgg x 7! f(x) ch coinvolg l oprazioni tra numri rali sopra introdott, snza spcificar splicitamnt 28

15 A.A FUNZIONI DI VARIABILE REALE il dominio E su cui sono dfinit: si intnd in tal caso ch E è i l m a s s i m o i n s i m s u c u i l oprazioni scritt si possono svolgr. Ad smpio, scrivndo f(x) = 2x +7 x 3 si intnd ch il dominio E di f è dato da E = R \{3}. 3. Un modo pr gnrar nuov funzioni a partir da alcun dat è qullo di utilizzar l oprazioni introdott pr i numri rali. Dat du funzioni f : E! R g : E! R, sidic funzion somma di f g la funzion f + g : E! R x 7! f(x)+g(x) mntr si dic funzion prodotto di f g la funzion fg : E! R x 7! f(x)g(x). Così ad smpio l funzioni f : R! R g : R! R dat da f(x) =x g(x) =7ammttono com somma la funzion h : R! R data da h(x) =x +7comprodottolafunzion t : R! R data da t(x) =7x. La funzion di rnza di f g si dfiniscin modosimil. Si può parlardifunzion quozint s g(x) 6= 0prognix 2 E: intalcasosipon f/g : E! R x 7! f(x) g(x). Si può infin parlar si funzion potnza s f(x) > 0prognix 2 E: intalcasosipon f g : E! R x 7! f(x) g(x). 4. I valori massimo minimo di una funzion con i rlativi punti di strmo sono dfiniti nl sgunt modo. Dfinizion 2.18 (Massimo minimo assoluti). Siano E R f : E! R una funzion. (a) Diciamo ch x 0 2 E è punto di minimo di f su E s 8x 2 E : f(x 0 ) appl f(x). In tal caso si dic ch f ammtt minimo su E d il valor corrispondnt si indica con min E f. 29

16 2.5. FUNZIONI DI VARIABILE REALE A.A (b) Diciamo ch x 0 2 E è punto di massimo di f su E s 8x 2 E : f(x) appl f(x 0 ). In tal caso si dic ch f ammtt massimo su E d il valor corrispondnt si indica con max E f. I punti di massimo minimo di f su E si dicono punti di strmo di f. y max E f punti di minimo x min E f punto di massimo Esmpio La funzion x 7! sin x ammtt infiniti punti di massimo minimo: i punti di massimo sono qulli dlla forma x = /2+2k con k 2 Z qullidiminimosono dlla forma x =3/2 +2k con k 2 Z. Esmpio La funzion x 7! x 2 ammtt x = 0 com punto di minimo, ma non ha massimo. 5. L nozioni di massimo minimo possono localizzarsi nl sgunt modo. Dfinizion 2.21 (Punti di strmo local). Siano E R un insim, f : E! R una funzion sia x 0 2 E. (a) Diciamo ch x 0 è un punto di minimo local pr f s sist ">0 tal ch 8x 2 ]x 0 ", x 0 + "[ \ E : f(x 0 ) appl f(x). 30

17 A.A FUNZIONI DI VARIABILE REALE (b) Diciamo ch x 0 è un punto di massimo local pr f s sist ">0 tal ch 8x 2 ]x 0 ", x 0 + "[ \ E : f(x) appl f(x 0 ). S x 0 è un punto di minimo o massimo local, si dic ch x 0 è un punto di strmo local. Notiamo ch i punti di strmo di f su E (s sistono) sono chiaramnt di strmo local; il vicvrsa non è vro in gnral. y punto di massimo assoluto punto di massimo rlativo x punto di minimo rlativo punto di minimo assoluto 6. Com nl caso dgli insimi, s i valori massimo minimo di una funzion non sistono, si parla strmi suprior d infrior. La dfinizion è la sgunt. Dfinizion Siano E R f : E! R una funzion. Diciamo strmo suprior di f su E l lmnto sup E f 2 R dato da sup f =supf(e). E Diciamo strmo infrior di f su E l lmnto inf E f 2 R dato da inf E f =inff(e). Da un punto di vista gomtrico, sup E f si carattrizza in qusto modo. S risulta finito, si tratta dlla soglia tal ch ogni rtta y = c 0 con c 0 > sup E f non intrsca il grafico di f, mntrognirttay = c 00 con c 00 < sup E f è t a l c h s i s t o n o p u n t i d l g r a fi c o di f sopra di ssa. 31

18 2.5. FUNZIONI DI VARIABILE REALE A.A y y = c 0 sup E f y = c 00 x S risulta infinito, significa ch fissata una qualsiasi rtta orizzontal y = c 0,cisono punti dl grafico di f ch si trovano sopra di ssa. y y = c 0 x Un intrprtazion gomtrica simil val pr inf E f. Chiaramnt, f ammtt massimo su E s solo s sup E f 2 R d sist x 0 2 E tal ch f(x 0 ) = sup E f.intalcasosup E f =max E f.similmntf ammtt minimo su E s solosinf E f 2 R d sist x 0 2 E tal ch f(x 0 )=inf E f.intalcasoinf E f =min E f. Si pon la sgunt dfinizion. Dfinizion Siano E R f : E! R una funzion. (a) f si dic limitata supriormnt su E s sup E f 2 R. (b) f si dic limitata infriormnt su E s inf E f 2 R. (c) f si dic illimitata supriormnt su E s sup E f =+1. (d) f si dic illimitata infriormnt su E s inf E f = 1. () f si dic limitata su E s è limitata sia supriormnt ch infriormnt, cioè s inf E f 2 R sup E f 2 R. 32

19 A.A FUNZIONI DI VARIABILE REALE Dunqu s f è l i m i t a t a Es u sist M>0talch 8x 2 E : M appl f(x) appl M. Da un punto di vista gomtrico, ciò significa ch il grafico di f è contnuto nlla striscia dtrminata dall rtt orizzontali y = M y = M. y y = M y = f(x) x y = M S f è limitata infriormnt E, sistm>0talch su 8x 2 E : M appl f(x). Da un punto di vista gomtrico, ciò significa ch il grafico di f si trova sopra la rtta orizzontal y = M. y y = f(x) x y = M Intrprtazioni simili possono farsi anch pr l altr situazioni. 7. Una class important di funzioni è data dall funzioni lmntari ch di sguito ricordiamo. 33

20 2.5. FUNZIONI DI VARIABILE REALE A.A Polinomi. Sitrattadllapplicazionif : R! R tali ch pr ogni x 2 R f(x) =a 0 x n + a 1 x n a n 1 x + a n dov a 0,a 1,...,a n 2 R, a 0 6= 0. Il numro n si dic il grado dl polinomio così ch f è dttopolinomio di grado n nlla variabil x. I polinomi sono l più smplici funzioni ch si possono costruir a partir dalla somma dal prodotto di numri rali; prtanto ssi sono molto studiati in algbra svolgono un ruolo di rilivo anch in gomtria. 2. Funzioni razionali fratt. Sitrattadllfunzionidltipo f : R \ C! R x 7! a 0x n + a 1 x n a n 1 x + a n b 0 x m + b 1 x m b m 1 x + b m dov C è l insim dll radici dl polinomio ch appar a dnominator. Tali funzioni nascono dunqu com quozinti di polinomi. Sono smpi di funzioni razionali fratt l funzioni f : R \{0, 1}! R x 7! x3 +3x +2 x(x 1) g : R! R x 7! x x 2 +1 Dirmo ch una funzion razional fratta è propria s il polinomio a numrator ha grado strttamnt minor di qullo ch compar a dnominator. In bas alla divisibilità tra polinomi, si ha ch ogni funzion razional fratta può vdrsi com somma di un polinomio di una funzion razional fratta propria. Ad smpio si ha x 3 x 2 +1 = x x x Potnz radici. Dallatoriadllpotnzprinumriralisihachrisultabn dfinita la funzion f : R +! R + x 7! x dov 2 R R + = {x 2 R : x>0}. S =0,sitrattadllafunzioncostantmnt ugual a 1. Nl caso in cui = 1 con n 2 N, n>0, ottniamo la funzion radic n n-sima: distingundo tra indic pari indic dispari, si tratta dll funzioni 2m p : R +! R + 34 x 7! 2mp x

21 A.A FUNZIONI DI VARIABILE REALE (potndosisnzaproblmiallargarildominio) 2m+1 p : R! R x 7! 2m+1p x. 4. La funzion modulo: prognix 2 R poniamo x = ( x s x 0 x altrimnti. Il numro x si dic il modulo di x. Valgonolsguntipropritàdifacilvrifica: (a) x 0prognix 2 R x =0ssolosx =0; (b) s a 2 R, ladisuguaglianza x appla quival all rlazioni a appl x appl a; (c) s a 2 R, ladisuguaglianza x a quival all rlazioni x appl a [ x a; (d) disuguaglianza triangolar dl modulo: prognia, b 2 R si ha a + b appl a + b. Dirmo funzion modulo la funzion R! R + [{0} x 7! x. 5. La funzion sponnzial. Dato a>0, dalla toria di numri rali si ha ch risulta bn dfinita la funzion R! R + x 7! a x. Tal funzion è dtta funzion sponnzial di bas a. S a = 1,la funzion si riduc alla funzion costant pari a 1. Nl caso in cui la bas dll sponnzial sia il numro di Npro (ch incontrrmo più avanti nlla toria di limiti), si parla di funzion sponnzial: sitrattadllafunzion xp : R! R + x 7! x. Qusta particolar sclta dlla bas si rivla util in analisi matmatica, poiché molt formul dl calcolo di rnzial intgral risultano smplificat. 35

22 2.5. FUNZIONI DI VARIABILE REALE A.A La funzion logaritmica. Grazi all proprità di inittività surittività dlla funzion sponnzial x 7! a x con a 6= 1, è possibil dfinir la funzion invrsa log a : R +! R x 7! log a x dov log a x è l u n i c a s o l u z i o n d l l q au y a z = i o x. n Talnumrosidicillogaritmo in bas a di x. S la bas è ugual al numro di Npro, siparladilogaritmo natural osmplicmntlogaritmo siscrivlnx. La funzion associata si dic la funzion logaritmica ln : R +! R x 7! ln x. 7. L funzioni circolari. Nl piano R 2 considriamo la circonfrnza di cntro l origin raggiounitario. Prcorriamolacirconfrnzainsnsoantiorarioapartirdalpunto A =(1, 0) muovndoci di un arco di lunghzza x fino ad arrivar nl punto P =(a, b). P =(a, b) x Poniamo cos x = a sinx = b. S x è ngativo, convniamo di prcorrr la circonfrnza in snso orario di porr ancora P =(cosx, sin x). L funzioni sin : R! R x 7! sin x cos : R! R x 7! cos x 36

23 A.A FUNZIONI DI VARIABILE REALE si dicono l funzioni sno cosno. Si parla anch di funzioni trigonomtrich o circolari, dal momnto ch il gnrico punto dl crchio unitario vin paramtrizzato tramit ss: val così la rlazion fondamntal sin 2 x +cos 2 x = 1 pr ogni x 2 R. Diciamo funzion tangnt l applicazion n o tan : R \ 2 + k : k 2 Z! R x 7! sin x cos x. L rstrizioni di sno cosno su [ /2, /2] [0, ]sonobittivavalorisu[ 1, 1]: è possibil dunqu dfinir l funzioni arcosno invrs arcocosno dtrminat dalla proprità arcsin : [ 1, 1]! [ /2, /2] arccos : [ 1, 1]! [0, ] y =arcsinx, x =siny y =arccosx, x =cosy. Similmnt, la funzion tangnt è bittiva tra ] /2, /2[ a valori in R: èpossibil prtanto dfinir la funzion invrsa arcotangnt arctan : R! ] /2, /2[ dtrminata dalla proprità y =arctanx, x =tany. 8. L funzioni iprbolich. Dfiniamo l funzioni sno iprbolico cosno iprbolico tramit l formul sinh : R! R x 7! x x 2 cosh : R! R x 7! x + x. 2 37

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