Corso di Psicometria Progredito

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1 Corso di Psicometria Progredito 4.2 I principali test statistici per la verifica di ipotesi: Il test F Gianmarco Altoè Dipartimento di Pedagogia, Psicologia e Filosofia Università di Cagliari, Anno Accademico

2 Sommario 1 Introduzione 2 L esame di Economia Politica 3 Le pulci d acqua

3 La verifica dell omogeneità delle varianze Nella lezione precedente abbiamo imparato a verificare l ipotesi riguardante l uguaglianza tra le medie di due campioni indipendenti. E se volessimo verificare l omogeneità delle varianze di due campioni indipendenti? Esistono vari test statistici in grado di testare tale ipotesi. Nel corso di questa lezione vedremo il test F o del rapporto tra due varianze.

4 Un po di storia sulla distribuzione F di Fisher-Snedecor

5 La distribuzione F di Fisher-Snedecor Distribuzione F al variare dei gradi di libertà Densità gradi di libertà (5,5) gradi di libertà (5,10) gradi di libertà (10,10) gradi di libertà (15,10) gradi di libertà (20,20) F Nota bene: A differenza della distribuzione Normale e della t di Student la distribuzione F è definita solo per valori (quantili) positivi.

6 Il test F: i passi fondamentali 1 L ipotesi nulla del test prevede l omogeneità delle varianze dei due campioni (omoschedasticità). L ipotesi alternativa prevede l eterogeneità delle varianze dei due campioni (eteroschedasticità). 2 La statistica test è data dal rapporto tra la varianza maggiore e la varianza minore. 3 Sotto H 0 la statistica test si distribuisce come una F di Fisher-Snedecor con gradi di libertà rispettivamente pari a: la numerosità del campione con varianza maggiore meno uno, la numerosità del campione con varianza minore meno uno. 4 Se il valore osservato di F è superiore al valore critico, individuato per un livello di significatività α fissato a priori, l ipotesi nulla deve essere rifiutata.... vediamo subito un esempio ;-)

7 L esame di Economia Politica A due gruppi di studenti, ciascuno di 9 persone, viene sottoposta una simulazione dell Esame di Economia Politica. Gli studenti del Gruppo A hanno frequentato il corso di Economia Politica, mentre gli studenti del Gruppo B hanno studiato ciascuno per conto proprio senza frequentare il corso. Sapendo che, la deviazione standard campionaria dei risultati del Gruppo A è pari a 5 mentre quella dei risultati del Gruppo B è pari a 10, si può concludere ad un livello di significatività del 5% (α = 0.05) che i due gruppi non hanno varianza omogenea?

8 1. La costruzione del sistema di Verifica di Ipotesi { H0 : σ 2 a = σ 2 b H 1 : σ 2 a σ 2 b

9 2. Calcolo del valore osservato della statistica test La statistica test è data dal rapporto tra la varianza campionaria maggiore e la varianza campionaria minore: F OSS = s2 max s 2 min = = 4 Dalla teoria sappiamo che se vale H 0 la statistica test si distribuisce come una F di Fisher-Snedecor con n max 1 ; n min 1 (8 ; 8 nel nostro caso) gradi di libertà. Note: s 2 max ; s 2 min sono rispettivamente le varianze campionarie del gruppo con varianza maggiore e minore n max ; n min sono rispettivamente le numerosità campionarie del gruppo con varianza maggiore e minore

10 3. Confronto tra valore osservato e valore critico Distribuzione F con (8,8) gradi di libertà Densità Non Posso Rifiutare Ipotesi Nulla α = 0.05 Rifiuto Ipotesi Nulla F F CRIT = F OSS = 4

11 3-4. Confronto tra valore osservato e valore critico e decisione finale Dall analisi condotta emerge che il valore osservato della statistica test è superiore al valore critico. L ipotesi nulla che prevede l omogeneità delle varianze dei due gruppi deve essere rifiutata ad un livello di significatività del 5%.... in sostanza, dal punto di vista statistico, i dati non supportano l omogeneità delle varianze dei due gruppi.

12 Le pulci d acqua (esercizio proposto) Nella seguente tabella sono riportate (in millimetri) le lunghezze di alcune pulci d acqua. Le prime 5 pulci sono sono state prelevate dallo stagno A, mentre le altre 7 sono state prelevate dallo stagno B. Gruppo A Gruppo B Valutare ad un livello di significatività del 5% (α = 0.05) l omogeneità delle varianze dei due gruppi di pulci.

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