Sistemi lineari. Sia A R m n, x R n Ax = b è un vettore di m componenti. a m,1 x 1 + a m,2 x a m,n x n = b m
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- Artemisia Fantoni
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1 1 Sistemi lineari. Sia A R m n, x R n Ax = b è un vettore di m componenti. Numero di operazioni per calcolare b: m n moltiplicazioni m (n 1) addizioni. a 1,1 x 1 + a 1,2 x a 1,n x n = b 1 a 2,1 x 1 + a 2,2 x a 2,n x n = b a m,1 x 1 + a m,2 x a m,n x n = b m Le matrici trasformano un vettore x di dimensione n in un vettore di dimensione m, cioè rappresentano delle trasformazioni tra due spazi. Possiamo rappresentare una matrice utilizzando le sue colonne: A = (a 1, a 2,..., a n ) Il prodotto Ax = b può anche scriversi: x 1 a 1 + x 2 a x n a n = b cioè il vettore b si ottiene come combinazione lineare dei vettori colonna della matrice A. -->A = [ ; ; ] A =! !! !! ! -->x = [1;2;3] x =! 1.!! 2.!! 3.!
2 2 -->b=a*x b =! 44.!! 68.!! 56.! -->b-a*x! 0.!! 0.!! 0.! -->y=x(1)*a(:,1)+x(2)*a(:,2)+x(3)*a(:,3) y =! 44.!! 68.!! 56.! -->y-b! 0.!! 0.!! 0.! Non è sempre vero che fissato un vettore b di dimensione m, si possa sempre trovare un vettore x per cui Ax = b sia soddisfatta. È questo il problema della soluzione di sistemi lineari. Se b è il vettore nullo, il sistema si dice omogeneo. Partizionamento Il partizionamento è una decomposizione della matrice in sottomatrici. Esempio:
3 3 possiamo scrivere la matrice a 11 a 12 a 13 a 14 a 15 a 16 a 17 a 21 a 22 a 23 a 24 a 25 a 26 a 27 a 31 a 32 a 33 a 34 a 35 a 36 a 37 a 41 a 42 a 43 a 44 a 45 a 46 a 47 a 51 a 52 a 53 a 54 a 55 a 56 a 57 nel seguente modo ( ) A11 A A = 12 A 13 A 21 A 22 A 23 con ( ) ( a11 a A 11 = 12 a13 a A a 21 a 12 = 14 a a 23 a 24 a 25 ) --> A = [ > > > > ] A =! !! !! !! !! ! --> A11 = A(1:2,1:2) A11 =! 1. 2.!! 2. 3.! -->A12 = A(1:2,3:5) A12 =! !
4 4! ! -->A13 = A(1:2,6:7) A13 =! 6. 7.!! 7. 8.! --> A21 = A(3:5,1:2) A21 =! 3. 4.!! 4. 5.!! 5. 6.! --> A22=A(3:5,3:5) A22 =! !! !! ! --> A23=A(3:5,6:7) A23 =! 8. 9.!! !! ! --> Se le partizioni sono compatibili possiamo trattare le sottomatrici come scalari nell eseguire le operazioni tra matrici. Per esempio: ( A11 A 12 A 21 A 22 ) + ( B11 B 12 B 21 B 22 ) =
5 5 ( A11 + B 11 A 12 + B 12 ) A 21 + B 21 A 22 + B 22 ( ) ( ) A11 A 12 B11 B 12 = A 21 A 22 B 21 B 22 ( A11 B 11 + A 12 B 21 A 11 B 12 + A 12 B 22 ) A 21 B 11 + A 22 B 21 A 21 B 12 + A 22 B 22 Vettori Ortogonali Siano x e y R n, se x T y = 0 i due vettori si dicono ortogonali. Esempio: -->x=[1;3;1] x =! 1.!! 3.!! 1.! -->y=[2;0;-2] y =! 2.!! 0.!! - 2.! -->x *y 0. x T x = n i=1 x 2 i, quindi x T x > 0. Esempio:
6 6 -->x=[1;3;1] x =! 1.!! 3.!! 1.! -->x *x 11. Se x T x = 1, il vettore x si dice unitario. Esempio: -->x=[1/2;sqrt(1/2);1/2] x =!.5!! !!.5! -->x *x 1. Dipendenza lineare di vettori Dati r vettori x 1, x 2,..., x r, diversi dal vettore nullo, se α 1 x 1 + α 2 x α r x r = 0 con gli α i 0, i vettori si dicono linearmente dipendenti. Se α 1 x 1 + α 2 x α r x r = 0
7 solo se α i = 0 per i = 1, 2,..., r allora i vettori x i, i = 1, 2,..., r sono linearmente indipendenti. Se vi è un α i 0, ve ne deve essere almeno un altro, e alcuni dei vettori x i possono esprimersi come combinazione lineare degli altri. Infatti se x 1, x 2,..., x r sono l.d. con α r 0 si ha: x r = α 1 x 1 α 2 x 2... α r 1 x r 1. α r α r α r Se i vettori x i sono l.i., un qualunque sottoinsieme di essi è ancora l.i.. Un insieme di vettori tra loro ortogonali sono l.i.. Una base è l insieme minimo di vettori l.i.. che generano un insieme dato. La base canonica di R m è costituita dai vettori e 1, e 2,, e m con elementi (e i ) j = 0 per i j e (e i ) i = 1. Dato un insieme di vettori {x 1, x 2,..., x n }, x i R m si dice rango dell insieme il numero massimo di vettori linearmente indipendenti che è possibile estrarre dall insieme. Poichè il massimo numero di vettori l.i. in tutto R m è m, il rango di un insieme di vettori di R m non può superare m. Data una matrice A, si dice rango della matrice, e si indica con rank(a), il rango dell insieme dei suoi vettori colonna. Esempio: 7 -->A=rand(3,3) A =! !! !! ! -->rank(a) 3. -->det(a)
8 >A=[3 0 0; 0 4 0;0 0 0] A =! !! !! ! -->det(a) 0. -->rank(a) --> 2. Se a R m e b R n, si ha: a 1 b 1 a 1 b 2... a 1 b n W = ab T a 2 b 1 a 2 b 2... a 2 b n = a m b 1 a m b 2... a m b n La matrice W è una matrice di rango 1, cioè le sue colonne generano uno spazio di dimensione 1. Ogni matrice di rango 1 può essere espressa nella forma ab T. Le matrici di rango uno non vengono mai memorizzate esplicitamente, ma si utilizza sempre la loro rappresentazione con i vettori a e b. Esempio: -->a=[4;2;7]
9 9 a =! 4.!! 2.!! 7.! -->b=[2;4;1;3] b =! 2.!! 4.!! 1.!! 3.! -->W=a*b W =! !! !! ! -->rank(w) 1. Come eseguiamo il prodotto W x? c = W x = (ab T )x = a(b T x) = (b T x)a b T x è uno scalare quindi calcoliamo prima µ = b T x e poi c = µa Numero di operazioni: 2n moltiplicazioni n 1 addizioni.
10 10 Infatti: -->x=[2;4;6;8] x =! 2.!! 4.!! 6.!! 8.! -->c=w*x c =! 200.!! 100.!! 350.! -->(b *x)*a! 200.!! 100.!! 350.! Consideriamo le due matrici A ed a 1,1 a 1,2... a 1,n b 1 a 2,1 a 2,2... a 2,n b 2  =..... = (A, b).. a m,1 a m,2... a m,n b m detta matrice ampliata, avente in comune con A le prime n colonne, mentre l ultima colonna è il vettore b. Si ha il seguente Teorema, noto come teorema di Rouché-Capelli: Condizione necessaria e sufficiente affinchè il sistema Ax = b ammetta soluzioni è che il rango di A e quello di  coincidano. Se A è una matrice quadrata di ordine n allora le seguenti proposizioni sono equivalenti:
11 11 1. Per ogni vettore b R n, il sistema Ax = b ammette soluzione 2. Se una soluzione del sistema esiste essa è unica 3. Per ogni x R n, Ax = 0 implica x = 0 4. Le colonne (righe) di A sono linearmente indipendenti 5. La matrice A è invertibile 6. det(a) 0 n det(a) = ( 1) i+j a i,j det(a i,j ), j=1 L ultima relazione può essere fuorviante, perchè il determinante cambia scalando la matrice. Infatti Se n = 30 e det(a) = 1 allora det(σa) = σ n det(a) det(0.1a) = Non è facile verificare al calcolatore quando questa quantità è veramente 0. Il calcolo del determinante con la regola di Laplace richiede più di n! moltiplicazioni, n = 16 se il nostro computer esegue una moltiplicazione ogni secondi tempo di calcolo : 16!*1e-10/60 35 minuti. Esempio: -->A=rand(30,30); -->det(a) >det(0.1*a)
12 E-31 -->A=rand(100,100); -->det(a) E+26 -->det(0.1*a) E-74 -->(0.1^100)*det(A) E-74 -->det(0.01*a) Proprietà del Determinante 1) Se A è una matrice triangolare (superiore od inferiore), allora det(a) è uguale al prodotto degli elementi sulla diagonale. --> L=[1 0;3 4] L =! 1. 0.!! 3. 4.!
13 13 -->det(l) 4. 2) Se A e B sono due matrici dell insieme, allora: -->A=[1 2;3 4] A =! 1. 2.!! 3. 4.! -->B=[5 6;7 8] B =! 5. 6.!! 7. 8.! -->det(a*b) 4. det(ab) = det(a)det(b). -->det(a)*det(b) 4. Autovalori e autovettori. Data una matrice quadrata A R n n, un numero complesso λ si dice autovalore di A se esiste un vettore u 0 a componenti reali o complessi tale che:
14 14 o Au = λu, (A λi)u = 0, u si dice autovettore di A ed è soluzione non nulla di un sistema lineare omogeneo. - Costruzione di un vettore contenente gli autovalori di una matrice casuale B: -->B=rand(3,3) B =! !! !! ! -->v=spec(b) v =! !! !! ! - Costruzione di una matrice diagonale V contenente gli autovalori di B e di una matrice T contenente i corrispondenti autovettori: -->[V,T]=bdiag(B) T =! !! !! ! V =
15 15! !! !! ! -->B*T(:,1)! !! !! ! -->B*T(:,1)-V(1,1)*T(:,1) 1.0E-15 *! !! !! ! -->B*T(:,2)-V(2,2)*T(:,2) 1.0E-15 *! !! !! ! --> Gli autovalori verificano l equazione det(a λi) = 0. Si dimostra che det(a λi) = p(λ) è un polinomio di grado n in λ che ha n radici nel campo complesso. p(λ) si chiama polinomio caratteristico. Si dice raggio spettrale della matrice A, e lo si indica con ρ(a), il massimo modulo degli autovalori di A. Se u è un autovettore di A, anche αu, con α 0 è autovettore di A. Gli autovettori unitari o normalizzati sono tali che u T u = 1.
16 16 Esempio: Data la seguente matrice: -->A=[1 2;2 1] A =! 1. 2.!! 2. 1.! determiniamone gli autovalori -->spec(a)! - 1.!! 3.! calcoliamo la matrice degli autovettori V -->[D,V]=bdiag(A) V =! !! ! D =! 3. 0.!! ! e calcoliamo V V -->V *V
17 17! 1. 0.!! 0. 1.! Matrici simmetriche. 1) Gli autovalori sono reali 2) Gli autovettori corrispondenti ad autovalori distinti sono ortogonali: 3) Esistono n autovettori unitari ortogonali tra loro. infatti: Siano u 1, u 2,..., u n autovettori unitari e sia U = (u 1, u 2, u n ) U T U = u T 1 u 1 u T 1 u 2... u T 1 u n u T 2 u 1 u T 2 u 2... u T 2 u n u T nu 1 u T nu 2... u T nu n u T i u j = { 0 per i j 1 per i = j. = I = UUT, La matrice U si dice ortogonale. Se λ 1, λ 2,..., λ n gli autovalori si A associati a u 1, u 2,..., u n e Λ = diag(λ 1, λ 2,..., λ n ), si ha: AU = UΛ da cui: U T AU = Λ Vediamo un istruzione SCILAB che ci permette di costruire matrici ortogonali: -->A=rand(3,3) A =! !
18 18! !! ! -->Q=orth(A) Q =! !! !! ! -->Q *Q! E E-16!! E E-16!! E E-16 1.! -->A=[1 0 0;0 5 0;0 0 0] A =! !! !! ! -->rank(a) 2. -->Q=orth(A) Q =! !! !! 0. 0.! -->Q *Q
19 19! 1. 0.!! 0. 1.! Esempio: --> A=[1 2 3;4 5 6;7 8 3;] A =! !! !! ! -->B=A+A B =! !! !! ! -->[V,T]=bdiag(B) T =! !! !! ! V =! !! !! ! -->T *T! E E-16!
20 20! E E-16!! E E-16 1.! --> Si dice forma quadratica di una matrice simmetrica l espressione x T Ax con x R n. Una matrice simmetrica A si dice: definita positiva se x T Ax > 0 per x 0, semidefinita positiva x T Ax 0 per x 0 Una matrice simmetrica A è definita positiva se e solo se gli autovalori sono tutti positivi. Se A è una matrice ad elementi complessi, A è la matrice con elementi i complessi coniugati degli elementi di A. La matrice A si dice hermitiana se A T = A. Trasposta coniugata : A T = A H Le matrici U per cui U H U = UU H = I si dicono matrici unitarie. Esempio: -->A=rand(3,3) A =! !! !! ! -->Q=orth(A) Q =
21 21! !! !! ! -->Q *Q! E E-16!! E E-17!! 1.665E E-17 1.! -->Q*Q! E E-17!! 5.551E E-16!! E E-16 1.! Se λ è un autovalore di A, λ 2 è un autovalore di A 2 ed in genere λ r è un autovalore di A r per r > 0. Esempio: -->A=rand(3,3) A =! !! !! ! -->spec(a).^5! !! !! 5.236E-09!
22 22 -->spec(a^5)! !! !! 5.236E-09! Norme vettoriali. Sia x R n, si chiama norma di x, e si indica con x, un numero non negativo che soddisfa le seguenti condizioni: N1) se x è il vettore nullo, x = 0 e viceversa; N2) se λ è uno scalare, λx = λ x ; N3) se x ed y sono due vettori, x + y x + y (disuguaglianza triangolare) Dalla N3) segue che: Disuguaglianza di Cauchy-Schwartz: Sia x = (x 1, x 2,..., x n ) T Norma x y x y (x T y) 2 (x T x)(y T y) x = max 1 i n x i. Vediamo l istruzione Matlab per calcolare la Norma di un vettore: -->x=[ ] x =! !
23 23 -->norm(x, inf ) 4. -->max(abs(x)) 4. Norma 1. n x 1 = x i i=1 -->x=[ ] x =! ! -->norm(x,1) >sum(abs(x)) 10. La funzione Scilab sum accetta come dato di input un vettore e da come risultato la somma degli elementi del vettore. Norma 2.
24 24 x 2 = (x T x) 1/2. -->x=[ ] x =! ! -->norm(x,2) >sqrt(sum(x.^2)) Norme matriciali. Sia A R m n, si chiama norma di A, e si indica con A, un numero non negativo che soddisfa le seguenti condizioni: M1) A = 0 se e solo se A è la matrice nulla; M2) Se λ è uno scalare allora λa = λ A ; M3) Se B è una matrice avente le stesse dimensioni di A allora: A + B A + B ; M4) Se B è una matrice il cui numero di righe è uguale al numero di colonne di A, allora: AB A B.
25 25 Norma matriciale indotta da una norma vettoriale A = max x =1 Ax Una norma matriciale è compatibile con una norma su vettori se dato y R n, Ay A y. Le norme matriciali indotte sono compatibili con le norme vettoriali. Norma n A = max a i,j. 1 i n j=1 -->A=rand(4,4) A =! !! !! !! ! -->norm(a, inf ) La funzione Scilab sum(a,1) da come risultato un vettore contenente la somma degli elementi sulle righe della matrice, sum(a,2) da come risultato un vettore contenente la somma degli elementi sulle colonne della matrice. -->max(sum(abs(a),2))
26 26 Norma 1 m A 1 = max a i,j. 1 j n i=1 -->norm(a,1) >max(sum(abs(a),1)) Norma 2 A 2 = ρ(a T A) -->norm(a,2) >norm(a) -->
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