Nicola De Rosa, Liceo scientifico di ordinamento sessione suppletiva 2011, matematicamente.it

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1 Nicola De Rosa, Liceo scientifico di ordinamento sessione suppletiva, matematicamente.it PROBLEMA Data una semicirconferenza di diametro AB =, si prenda su di essa un punto P e sia M la proiezione di P sulla retta perpendicolare in B ad AB.. Si esprima la somma AP + PM in funzione di PAB ˆ. Si studi la funzione f() e si tracci il suo grafico γ nell intervallo π, mettendo in evidenza poi la parte di grafico compatibile con i dati del problema.. Si verifichi che la curva γ è simmetrica rispetto alla retta di equazione = π 4. Si calcoli l area della regione piana, limitata dalla curva γ, dagli assi cartesiani e dalla retta di equazione. Punto Con riferimento alla figura, posto PAB ˆ con, poiché il triangolo APB è rettangolo in quanto inscritto in una semicirconferenza, applicando il teorema sui triangoli rettangoli RISOLUZIONE AP AB sin cos ; applicando lo stesso teorema al triangolo APH si ha AH AP sin cos per cui PM AB AH cos. Di conseguenza f AP PM cos cos.

2 Nicola De Rosa, Liceo scientifico di ordinamento sessione suppletiva, matematicamente.it Punto f in, Studiamo la funzione cos cos Dominio:, ; Intersezione asse ascisse: f cos cos cos 5 cos corrisponde nell intervallo mentre è accettabile cos, 5 ; la soluzione 5 cui 5 5 arccos, arccos ; Intersezione asse ordinate: f Simmetrie: la funzione è periodica di periodo T e pari in quanto f cos cos cos cos f ; Positività: 5 5 f cos cos cos 5 cos per cui 5 5 f arccos arccos ; Asintoti verticali: non ve ne sono in quanto la funzione è periodica e limitata; Asintoti orizzontali: non ve ne sono in quanto la funzione è periodica e limitata; Asintoti obliqui: non ve ne sono in quanto la funzione è periodica e limitata;

3 Nicola De Rosa, Liceo scientifico di ordinamento sessione suppletiva, matematicamente.it Crescenza e decrescenza: la derivata prima è f ' 4sin cos sin sin cos quadro dei segni sin cos f ' 5 5 ; di seguito il 5 Dal quadro soprastante deduciamo che la funzione presenta un minimo m, e due massimi relativi in relativo in M,,M, ; Concavità e convessità: la derivata seconda è f '' 4cos cos per cui f '' cos cos arccos arccos arccos arccos Quindi la funzione presenta concavità verso l alto in, arccos arccos, arccos arccos, e presenta quattro flessi a tangente obliqua in

4 Nicola De Rosa, Liceo scientifico di ordinamento sessione suppletiva, matematicamente.it arccos arccos 8 Il grafico è presentato a fianco. La parte di grafico rispondente alle limitazioni geometriche è di seguito presentata:,5, arccos,4, arccos 8 6,4, 8 8 7,5 4

5 Nicola De Rosa, Liceo scientifico di ordinamento sessione suppletiva, matematicamente.it Punto Una funzione è simmetrica rispetto alla retta f f. Nel caso in esame cos cos f se f cos cos per cui Punto 4 f è simmetrica rispetto alla retta. L area richiesta è pari a S cos cos cos d cos cos sin d sin cos d 4 5

6 Nicola De Rosa, Liceo scientifico di ordinamento sessione suppletiva, matematicamente.it PROBLEMA Sia data la funzione f ( ). Si studi tale funzione e si tracci il suo grafico γ, su un piano riferito ad un sistema di assi cartesiani ortogonali Oy.. Si scrivano l equazione della tangente a γ nel punto di flesso e quella della retta ad essa parallela, passante per il punto di γ avente ascissa ; si calcoli l area del parallelogramma formato da queste due rette, dall asse e dall asintoto orizzontale destro.. Si calcoli l area della regione A, delimitata dalla curva γ, dall asse y, dall asintoto orizzontale destro e dalla retta = con >. Si calcoli poi il limite di A quando. 4. Si calcoli il volume del solido generato dalla rotazione attorno all asse della porzione di piano limitata dalla curva γ, dalla tangente inflessionale e dalla retta =. Punto Studiamo la funzione Dominio: R ; f RISOLUZIONE Intersezione asse ascisse: f f Simmetrie: la funzione è dispari in quanto f f Intersezione asse ordinate: 6

7 Nicola De Rosa, Liceo scientifico di ordinamento sessione suppletiva, matematicamente.it Positività: f R Asintoti verticali: non ve ne sono in quanto il dominio è R; Asintoti orizzontali: la funzione f può essere scritta se anche come f per cui se lim f lim, lim lim f per cui la retta y è asintoto orizzontale destro e y asintoto orizzontale sinistro. Asintoti obliqui: non esistono in quanto lim f lim ; 7

8 Nicola De Rosa, Liceo scientifico di ordinamento sessione suppletiva, matematicamente.it Crescenza e decrescenza: la derivata prima è la funzione è crescente in tutto il dominio R; Concavità e convessità: la derivata seconda è f ' per cui f '' per 5 cui la funzione presenta concavità verso l alto in, e verso il basso in,; la funzione presenta quindi un flesso a tangente obliqua F, con tangente inflessionale di equazione y. Di seguito il grafico: 8

9 Nicola De Rosa, Liceo scientifico di ordinamento sessione suppletiva, matematicamente.it Punto La tangente inflessionale come indicato al Punto ha equazione il punto ad ascissa, e parallela a y ha equazione è, per cui la tangente passante per y ; y. A lato il parallelogramma di cui calcolare l area. I vertici del parallelogramma sono: O,, A,, B,, C, L area del parallelogramma è pari al prodotto della base per l altezza: S OABC OA AC dal momento che OA, AC. 9

10 Nicola De Rosa, Liceo scientifico di ordinamento sessione suppletiva, matematicamente.it Punto L area da calcolare è di seguito raffigurata in grigio. L area richiesta è pari a d A. Il limite richiesto è invece lim lim lim lim lim lim in cui abbiamo sfruttato il fatto che per

11 Nicola De Rosa, Liceo scientifico di ordinamento sessione suppletiva, matematicamente.it Punto 4 La porzione di piano limitata dalla curva γ, dalla tangente inflessionale e dalla retta = è Il volume richiesto è pari a: 8 arctan d d d V

12 Nicola De Rosa, Liceo scientifico di ordinamento sessione suppletiva, matematicamente.it QUESTIONARIO Quesito Si sa che certi uccelli, durante la migrazione, volano ad un altezza media di 6 metri. Un ornitologa osserva uno stormo di questi volatili, mentre si allontana da lei in linea retta, con un angolo di elevazione di. Se un minuto più tardi tale angolo si è ridotto a, con che velocità si stanno spostando gli uccelli? Consideriamo la figura a lato, rappresentante la geometria del problema. D C I triangoli ABC e DAH sono rettangoli per cui applicando il teorema dei seni i lati AB ed AH misurano rispettivamente A H B 9 6 tan7 74, tan6 45, 4 AB BC tan metri e AH DH tan metri. Di conseguenza il percorso compiuto dagli uccelli in un minuto è pari a DC AB AH 74,4 45,4 64 metri, ad una velocità quindi pari a m s v s 64 m 4, t 6 4 s.

13 Nicola De Rosa, Liceo scientifico di ordinamento sessione suppletiva, matematicamente.it Quesito La funzione: f non è definita nel punto =, che è per e essa un punto di discontinuità. Si precisi il tipo di questa discontinuità, dopo aver esaminato il limite della f() per tendente a zero da sinistra e per tendente a zero da destra. Calcoliamo il limite lim f ; il limite destro vale lim mentre il limite sinistro vale e e lim. Quindi il punto è di e e discontinuità di prima specie ed è un punto angoloso per la funzione. Quesito La retta di equazione = 8 seca la parabola di equazione y 4y nei punti A e B. Fra i rettangoli inscritti nel segmento parabolico di base AB si determini quello che genera il cilindro di volume massimo in una rotazione di 8 intorno all asse della parabola. Consideriamo la figura seguente. La parabola ha asse parallelo all asse delle ascisse di equazione y, interseca l asse delle ordinate nei punti y y e quello delle ascisse in 4 ed ha vertice in V,.

14 Nicola De Rosa, Liceo scientifico di ordinamento sessione suppletiva, matematicamente.it Il lato FE del rettangolo DEFG, nel sistema di riferimento cartesiano giace sulla retta di equazione y con per cui le coordinate dei punti D ed E sono rispettivamente, sfruttando la simmetria rispetto alla retta D 8,4, E 8, ; i vertici G ed F y, sono, invece, F 4,, G 4, 4. Il cilindro di volume massimo in una rotazione di 8 intorno all asse DE della parabola ha raggio di base R ed altezza h FE ; di conseguenza il volume è pari a V R h 5 4 con. La massimizzazione del volume la effettuiamo mediante derivazione; la derivata prima è pari a V' 8 e il segno dei fattori componenti è: Tenendo presente la limitazione deduciamo che 4 V ' per cui la funzione volume è 4 strettamente crescente in, e strettamente decrescente in 4

15 Nicola De Rosa, Liceo scientifico di ordinamento sessione suppletiva, matematicamente.it 4, ; di conseguenza il volume massimo lo si ha per 4 cui corrispondono i vertici D 8,, E 8,, F,, G, ed un 4 8 valore massimo pari a V ma V. 4 Quesito 4 Si determini il campo di esistenza della funzione: cos f ( ) cos sin. Cosa succederebbe se l esponente fosse sin? Il dominio della funzione f ( ) cos sin 5 cos è dato da: cos sin cos sin. cos cos sin è equivalente a La disequazione cos cos. Poiché cos cos cos cos la disequazione è soddisfatta se cos ; poiché la funzione coseno è limitata ed assume valore massimo unitario la disequazione cos non è mai verificata. cos sin Il sistema, invece, è equivalente a cos cos cos ed è verificato dagli tale che cos e cioè cos da con Z. In conclusione, mettendo assime le soluzioni, il dominio di f ( ) cos sin cos è D con Z.

16 Nicola De Rosa, Liceo scientifico di ordinamento sessione suppletiva, matematicamente.it Se l esponente fosse sin il sistema diventerebbe cos cos e i valori per cui cos sono quelli per cui sin sin ; di conseguenza il sistema non avrebbe soluzioni e la funzione f ( ) cos sin reale. Quesito 5 sin non avrebbe senso per nessun valore Si calcoli il valore medio della funzione f ( ) e ( ), nell intervallo. Il valor medio di una funzione f in b a, è VM f d. b a Nel caso in esame VM e ( ) d ; applicando l integrazione per parti si ha VM e ( ) d e ( ) e ( ) d e ( ) e ( ) e d e ( ) e ( ) e ( ) e e b a Quesito 6 Si dica se l equazione: sin cos ha soluzione. 6

17 Nicola De Rosa, Liceo scientifico di ordinamento sessione suppletiva, matematicamente.it Ricordando che diventa sin cos sin l equazione da risolvere 4 e cioè sin sin 4 Poiché a maggior ragione R essendo la funzione potenza sempre positiva per definizione, per cui deduciamo che l equazione di partenza non ha soluzioni in R. Quesito 7 Si domanda quale rapporto bisogna stabilire tra lo spigolo dell ottaedro regolare e lo spigolo del cubo affinché i due solidi abbiano volumi uguali. Calcoliamo i due volumi. Il volume cubo di spigolo L è V C L ; Il volume dell ottaedro di spigolo L può essere visto come la somma dei volumi delle due piramidi componenti. In accordo con la figura si ha 4. L OH, CH L, CO CH OH L per cui il volume 7

18 Nicola De Rosa, Liceo scientifico di ordinamento sessione suppletiva, matematicamente.it L L A b h di una delle due piramidi è VP L da cui il 6 volume dell ottaedro è VO V P L. V Il rapporto tra i due volumi è O L ; per avere uguali volumi e Vc L quindi un rapporto unitario deve aversi L L L L L L L Quesito 8 Si dimostri che la seguente proposizione è vera: Se il grafico di una funzione razionale intera f () è simmetrico rispetto all asse delle ordinate, allora il grafico della sua derivata f () è simmetrico rispetto all origine. Una funzione razionale intera, supposto per semplicita n pari, può essere scritta come f f f n i a i, deve aversi a i i con funzione razionale fratta diventa f 6 9. a i R e affinchè sia pari, cioè per i dispari. Di conseguenza la n i a i i, cioè somma di funzioni potenze ad esponente pari e quindi somma di funzioni pari. La derivata prima, invece, è ' n f i a ed essendo somma di i i i funzioni potenze ad esponente dispari e quindi somma di funzioni dispari è anch essa dispari per cui il suo grafico sarà simmetrico rispetto all origine. 8

19 Nicola De Rosa, Liceo scientifico di ordinamento sessione suppletiva, matematicamente.it Quesito 9 e Si calcoli il limite della funzione quando tende a. sin e Dobbiamo calcolare il limite lim sin ; esso può essere scritto come sin sin lim e lim e lim e lim sin in cui abbiamo applicato i limiti fondamentali sin lim e,lim. Quesito Data una circonferenza di centro O, si conducano negli estremi A e B di un suo diametro AB le tangenti e siano C e D i punti d intersezione di esse con una terza tangente alla circonferenza. Si dimostri che l angolo CÔD è retto. Consideriamo la figura a lato, rappresentante la geometria del problema. D Per il teorema delle tangenti condotte da un H punto esterno ad una circonferenza si C ha AC CH e BD DH ; di conseguenza i triangoli ACO e CHO e DHO e DBO sono a coppie simili in quanto A rettangoli con due cateti congruenti. Da ciò O B deduciamo che ACO ˆ HCO ˆ, AOC ˆ HOC ˆ 9, HDO ˆ ODB ˆ, BOD ˆ DOH ˆ 9 e quindi che C OD ˆ HOC ˆ DOˆ H 8 ; ma l angolo CO ˆ D è 9

20 Nicola De Rosa, Liceo scientifico di ordinamento sessione suppletiva, matematicamente.it anche uguale a C OD ˆ 8 AOC ˆ BOˆ D per cui imponendo l uguaglianza ricaviamo 8 da cui 9. In conclusione C O ˆD 9 e il triangolo COD è rettangolo in O.