IL LEGAME TRA DUE VARIABILI I METODI DELLA CORRELAZIONE

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1 IL LEGAME TRA DUE VARIABILI I METODI DELLA CORRELAZIONE

2 CORRELAZIONE Legame - Assocazone - Accordo Relazone tra varabl valutare l grado d recproca nfluenza tra due varabl; valutare l grado d assocazone d due varabl che sono nfluenzate entrambe da una causa esterna.

3 La relazone esstente tra due varabl può essere analzzata grafcamente ponendo dat osservat n un dagramma a dspersone : Y X Y Y X X

4 IL COEFFICIENTE DI CORRELAZIONE La msura della forza della assocazone tra le due varabl è data dal coeffcente d correlazone d Pearson: r ( )( ( ) ( ) ) Con 1 r +1 La correlazone studa l assocazone lneare esstente tra due varabl.

5 + r = +1 : massma correlazone con proporzonaltà dretta tra le due varabl, al crescere della X cresce anche la Y

6 + r = -1 : massma correlazone con proporzonaltà nversa tra le due varabl, al crescere della X decresce la Y (e vceversa).

7 + r = 0 : vuol dre che non esste correlazone tra le due varabl. Y X

8 + Se s può assumere che le due varabl seguano una dstrbuzone normale bvarata allora la non correlazone sgnfca anche ndpendenza + Se non s può assumere la dstrbuzone normale bvarata allora s deve pensare ad un altra forma d legame (parabola, esponenzale, sgmode, ).

9 IL TEST DI VERIFICA DI IPOTESI Il valore d r è comunque una stma camponara del coeffcente d correlazone r della popolazone. E possble esegure un test d verfca relatva alla sgnfcatvtà del nostro r camponaro. Tale test verfca anche l ndpendenza delle due varabl se s assume che queste seguano una dstrbuzone normale bvarata. ASSUNZIONI + La dstrbuzone d X e Y congunte è una dstrbuzone normale bvarata.

10 LA DISTRIBUZIONE NORMALE BIVARIATA La funzone che descrve la dstrbuzone normale bvarata è caratterzzata da 5 parametr: 1. la meda d X. la devazone standard d X 3. la meda d Y 4. la devazone standard d Y 5. l coeffcente r f r r r 1 1 ep 1 1 ), (

11 Se r = 0 allora s ha: 1 ep 1 ), ( f Applcando la propretà degl esponenzal secondo la quale l esponenzale d una somma è uguale al prodotto degl esponenzal: ep (a+b) = ep (a) ep (b) posso rscrvere la formula: 1 ep 1 ep 1 ), ( f Rcordando che π =π π e raggruppando opportunamente avrò: f(,) = f() f() Conclusone: solo se s può assumere la dstrbuzone normale bvarata l rsultato r = 0 sgnfca ndpendenza delle varabl.

12 IPOTESI H 0 : r = 0 H 1 : r 0 STATISTICA TEST T r n 1 r

13 DISTRIBUZIONE DELLA STATISTICA TEST La statstca test ha una dstrbuzone t-student con n- grad d lbertà. REGOLA DI DECISIONE Conoscendo la dstrbuzone della statstca test, suo grad d lbertà e l lvello d sgnfcatvtà (a = 0,05), ndvduerò l valore tabulato con cu confrontare l valore calcolato. Se t calc > t tab allora rfuto H 0.

14 S vogla studare l legame esstente tra lvell d alcoolema n mg % ml stmata con l etlometro e con prelevo d sangue venoso. Etlometro (X) Prelevo (Y)

15 prelevo Provamo a porre dat del nostro esempo n un dagramma a dspersone : etlometro

16 n n n r ) ( ) ( ) )( ( Per effettuare pù faclmente calcol convene modfcare la formula come segue:

17 Etlometro (X) Prelevo (Y) XY X Y

18 0, , ) ( ) ( ) )( ( n n n r

19 T r n 8 0,99 19,84 1 r 1 0,99 t tab a=0,05;gl=8 =,306 t calc > t tab rfuto H 0 Decsone del rcercatore: valor d alcoolema determnat con l prelevo e con l etlometro sono correlat, qund msurano lo stesso ndcatore pur con metod e su substrat dvers.

20 IL COEFFICIENTE DI CORRELAZIONE DI SPEARMAN Nel caso n cu non sa possble fare assunzon sulla dstrbuzone delle varabl l coeffcente d correlazone da usare è : r s 6 1 n n d 1 Con 1 r s +1 dove d sono le dfferenze de rangh attrbut a valor delle due varabl.

21 L potes nulla è d non correlazone delle due varabl. La decsone verrà presa confrontando l valore d r s calcolato con l valore d r s tabulato. Il valore tabulato s cerca sulle tavole d Spearman n corrspondenza del lvello d sgnfcatvtà del test (α = 0,05) e del numero d coppe d osservazon delle due varabl Se r s calc > r s tab rfuterò l potes nulla.

22 S ordnano n manera crescente valor della varable Y S assegnano rangh a valor della varable Y S ordnano n manera crescente valor della varable X S assegnano rangh a valor della varable X A valor ugual s assegneranno rangh par alla meda de rangh che valor avrebbero avuto se fossero stat dvers S determnano le dfferenze d tra rangh assegnat alla varable X e rangh assegnat alla varable Y e s calcola l coeffcente d correlazone d Spearman r s r s n 6 1 n d 1 S ndvdua l valore tabulato per a fssato (0,05) e l numero d coppe d osservazon S confronta r s calcolato con l valore tabulato: se rsulta maggore s rfuta l potes nulla d ndpendenza

23 I dat del problema con calcol da effettuare sono rportat nella seguente tabella N sg. Peso Rangh Rangh d d fumate (X) neonato (Y) X Y

24 r s 1 n 6 n d 1 1 6(96) 10(10 1) ,794 Nel nostro caso r s tab = 0,648 < 0,794 Rfuto l potes nulla, c è correlazone tra le due varabl.

25 VERIFICA DI IPOTESI SUL LEGAME TRA VARIABILI QUALITATIVE DATI S vuole verfcare l esstenza d un legame tra l gruppo sangugno e la gravtà d una certa patologa. S dspone del numero d ndvdu che presentano contemporaneamente la patologa ad certo grado d gravtà e un dato gruppo sangugno. Gruppo sangugno Patologa A B AB 0 Totale Assente Meda Grave Totale

26 La generalzzazone della tabella precedente è: crtero 1 crtero 1 j c Tot. 1 O 11 O 1 O 1j O 1c n 1. O 1 O O j O c n. O 1 O O j O c n. r O r1 O r O rj O rc n r. Tot. n. 1 n. n. j n. c N

27 ASSUNZIONI Le varabl d cu dsponamo sono qualtatve. Se consderamo una sola cella la presenza contemporanea delle due caratterstche è l successo, sugl N cas possbl: s può assumere una dstrbuzone bnomale. I dat n tabella nel loro nseme seguono una dstrbuzone multnomale. IPOTESI p j = O j / N p = n. / N p j = n. j / N H 0 : H 1 : p j = p p j p j p p j Se le due varabl sono ndpendent la probabltà d avere la caratterstca 1 e la caratterstca sarà data dal prodotto delle probabltà (legge del prodotto).

28 I VALORI ATTESI Vera l potes nulla e posta l assunzone d dstrbuzone bnomale n cascuna cella allora posso calcolare l valore atteso E j ( meda ) per cascuna cella: E j =N p j = N p p j = N (n. j / N) (n. / N) = (n. j n.)/ N S può qund costrure una tabella d valor attes: crtero 1 crtero 1 j c Tot. 1 E 11 E 1 E 1j E 1c n 1. E 1 E E j E c n. E 1 E E j E c n. r E r1 E r1 E rj E rc n r. Tot. n. 1 n. n. j n. c N

29 STATISTICA TEST C j O j E j E j DISTRIBUZIONE DELLA STATISTICA TEST La dstrbuzone della statstca test è una C ed è caratterzzata da grad d lbertà. Zona d accettazone Zona d rfuto C tab

30 REGOLA DI DECISIONE Fssato α accettablmente pccolo (0,05), troverò sulle tavole X un valore n corrspondenza d α prescelto e de grad d lbertà della statstca. Se l valore calcolato è maggore del valore tabulato rfuterò l potes nulla, se nvece l valore calcolato è mnore del tabulato accetterò l potes nulla.

31 I GRADI DI LIBERTA In questo caso grad d lbertà sono: g.l. = (r-1) (c-1) dove r = numero delle rghe c = numero delle colonne Σp.j = Σn.j / N = 1 Σp. = Σn. / N = 1 fssato N potrò cambare lberamente n., total d rga, meno 1 che m deve garantre la somma delle probabltà d rga (Σp = 1). fssato N potrò cambare lberamente n.j, total d colonna, meno 1 che m deve garantre la somma delle probabltà d colonna (Σp j = 1).

32 Tabella valor osservat Gruppo sangugno Patologa A B AB 0 Totale Assente Meda Grave Totale Tabella valor attes Gruppo sangugno Patol. A B AB 0 Totale Assente 541, 1,96 9,40 473, Meda 43,05 16,94 7,35 37, Grave 30,75 1,10 5,5 6,90 75 Totale

33 CALCOLO DELLA STATISTICA TEST C , 11 1, ,40 541, 31 6,90 6,90 1,96 5,1 9,40 C a=0,05, gl 6 = 1,59 DECISIONE STATISTICA 5,1<1,59 accetto l potes nulla, le due varabl sono ndpendent DECISIONE DEL RICERCATORE Non c è una evdenza d assocazone tra un gruppo sangugno e l essere affetto dalla malatta n esame.

34 ) ( ) ( ) ( ) ( 0,5 ) ( ) ( ) ( ) ( d b c a d c b a N bc ad N d b c a d c b a bc ad N C C IPOTESI Nella seconda formula c è la correzone per la contnutà d Yates STATISTICA TEST H 0 : p j =p 1 p H 1 : p j =p 1 p

35 TEST PER IL CONFRONTO DI PIU PROPORZIONI Nel caso d Tabelle d contngenza k dove k rappresentano grupp da porre a confronto e s hanno due possbl rsposte, l precedente test del può essere usato per verfcare: La statstca test H 0 : p 1 =p =.p k =p H 1 : p r p s C j O j E j E j ha una dstrbuzone con k-1 grad d lbertà