E NECESSARIO RICORRERE ALLE VARIABILI CASUALI

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Cosima Magni
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1 IL CONCETTO DI VARIABILE CASUALE Associare una misura di probabilità al verificarsi di un certo evento (come esito di un esperimento) non sempre è sufficiente a risolvere gran parte dei problemi reali con connotati di incertezza Talvolta studiando un certo fenomeno aleatorio si è più interessati a una qualche funzione dei possibili esiti piuttosto che agli esiti stessi Consideriamo un esperimento dato dal lancio di due dadi: E possibile calcolare, ad esempio, la probabilità che la somma delle due facce sia un numero pari, o un numero dispari, o sia esattamente uguale a sette, e così via Possiamo considerare tutti i possibili risultati del lancio dei due dadi allo stesso tempo? E NECESSARIO RICORRERE ALLE VARIABILI CASUALI

stessi Consideriamo un esperimento dato dal lancio di due dadi: E possibile calcolare, ad esempio, la probabilità che la somma delle due facce sia un numero pari, o un numero

2 Variabile casuale Corrispondenza tra eventi e valori della variabile casuale X somma dei punteggi, nella prova lancio di due dadi

3 Definizione Una variabile causale (o aleatoria) è una variabile che assume valori numerici in corrispondenza dei diversi risultati di un esperimento casuale(o aleatorio) Ω E 1 E 3 E4 1 P[X(E 1 )] E 2 E 5 P[X(E 2 )] P[X(E 3 )] 0 X(E 1 ) X(E 2 ) X(E 3 ) R Una v. casuale X è una funzione definita sullo spazio campionario Ωche associa ad ogni evento E Ωun unico numero reale

1 P[X(E 1 )] E 2 E 5 P[X(E 2 )] P[X(E 3 )] 0 X(E 1 ) X(E 2 ) X(E 3 ) R Una v.

4 Variabili casuali discrete e continue Una var. casuale discretapuò assumere un insieme discreto (finito o numerabile) di numeri reali Una var. casuale continuapuò assumere tutti i valori compresi in un intervallo reale ESEMPI 1. N di pezzi difettosi in un campione di 20 pezzi estratti da un certo lotto 2. N di clienti che arrivano in un ora, alla cassa di un supermarket 3. N di richieste d indennizzo, in un anno, relative ad una certa polizza 1. Reddito annuo di una famiglia 2. Quantità di petrolio importata in Italia in un certo mese 3. Variazione del prezzo di un azione o di un indice di borsa telematico 4. Utili di una certa azienda o società N.B.: Ci sono alcune grandezze di interesse economico-aziendale che vengono trattate come fossero in realtà continue

N di clienti che arrivano in un ora, alla cassa di un supermarket 3. N di richieste d indennizzo, in un anno, relative ad una certa polizza 1. Reddito annuo di una famiglia 2.

5 Var. casuali discrete finite e numerabili Dalla precedente definizione segue: (1) Una variabile casuale X è discreta se può assumere solo un numero finito di valori ES. n di teste risultanti da 10 lanci di una moneta (2) Una variabile casuale X è discreta anche quando il numero di possibili risultati è infinito ma numerabile ES. n di lanci necessari per osservare testa per la prima volta

n di teste risultanti da 10 lanci di una moneta (2) Una variabile casuale X è discreta anche

6 Calcolare la probabilità P(X=x i ) Probabilità che la v.c. X assuma il valore x i La funzione di probabilità di una variabile casuale discreta X associa ad ognuno dei possibili valori x i la corrispondente probabilitàp(x=x i ) i Valgono le seguenti due proprietà: 1) P(x ) = 1 2) P(x ) 0 i i Dal punto di vista della notazione si utilizzano le lettere maiuscole per indicare la v.c. (es. X) e la corrispondente lettera minuscola (es. x) per indicare una sua realizzazione

Valgono le seguenti due proprietà: 1) P(x ) = 1 2) P(x ) 0 i i Dal punto di vista della notazione si utilizzano le

7 Distribuzione di probabilità (1) Associando a ciascun valore della variabile casuale la probabilità corrispondente si ottiene la distribuzione di probabilità: x P(x) P(X) 0,168 0,14 0,112 0,084 0,056 0, X

distribuzione di probabilità: x 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 P(x) 1 2 3 4

8 Distribuzione di probabilità (2) Si osservi come i risultati possibili dell esperimento siano mentre la v.c.può invece assumere 11 possibili valori distinti si ha maggiore facilità di trattazione se agli eventi si associano delle quantità numeriche Poiché ogni evento elementare ha probabilità 1/, si avrà: P(X=2) = P[(1,1)] = 1/ P(X=3) = P[(1,2) o (2,1)] = 2/ Come facciamo a calcolare la probabilità che lanciando due dadi il risultato sia, ad esempio, inferiore a 4?

può invece assumere 11 possibili valori distinti si ha maggiore facilità di trattazione se agli eventi si associano

9 Funzione di ripartizione (1) Si introduce la funzione di ripartizionequando si è interessati alle probabilità cumulate, ossia alla probabilità che la v.c. X assuma un valore minore o uguale ad un dato valore x i Data una v.c discreta X, la funzione che fa corrispondere ai valori x le probabilità cumulate ( x ) P X x k viene detta funzione di ripartizione ed indicata con F x = P X x = P(x ) P(x ) = P X= x ( ) ( ) ( ) k k 1 k i i

c discreta X, la funzione che fa corrispondere ai valori x le probabilità cumulate ( x ) P X x k viene detta

10 Funzione di ripartizione (2) x P(x) F(x) F(x) 1 0,8 0,6 P(X=6) 0,4 0,2 0 X

3 6 10 15 21 26 30 33 35 1 F(x) 1 0,8 0,6

11 Funzione di Ripartizione: proprietà 1. è non decrescente, ossia: x 1 < x2 F x1 F x2 2. è continua a destra, ossia ( ) ( ) lim x x + 0 F x = F x ( ) ( ) 0 3. Inoltre: lim x F ( x) = 0 lim F x ( x) = 1

12 Esempio Consideriamo un esperimento casuale dato dal lancio di tre monete Lo spazio campionario è dato da: Ω = E 1 = CCC E 2 = CTT E 3 = CCT E 4 = TCC E 5 = TCT E 6 = CTC E 7 = TTC E 8 = TTT Se consideriamo l evento E 2 e vogliamo costruire la var. casuale n di teste uscite nel lancio di tre monete allora avremo E 2 = T T C X = 2 Anche per E 5 e E 7 si ottiene X = 2, quindi si può scrivere la probabilità che siano uscite 2 teste come P(X = 2) = E 2 E 5 E 7 = P(E 2 ) + P(E 5 ) + P(E 7 ) = 3/8

var. casuale n di teste uscite nel lancio di tre monete allora avremo E 2 = T T C X = 2 Anche per E 5 e E 7 si ottiene X =

13 Il valore assunto da X non è noto a priori e perciò è detta var. casuale Deriviamo ora la distribuzione di probabilità della var. X: E 1 = C C C E 2 = C T T E 3 = C C T E 4 = T C C E 5 = T C T E 6 = C T C E 7 = T T C E 8 = T T T X P(x) /8 3/8 3/8 1/8 0,375 0,25 0,125 Qual è la probabilità che lanciando tre monete si ottengano al più 2 teste? P(X 2) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) = 7/8

X: E 1 = C C C E 2 = C T T E 3 = C C T E 4 = T C C E 5 = T C T E 6 = C T C E 7 = T T C E 8 = T T T X

14 Esempio: vendita di automobili Basandosi sulle vendite degli anni precedenti il direttore di una concessionaria sa che ogni giorno, il n di auto vendute per una certa categoria varia tra 0 e 5. Come si può usare la funzione di probabilità per pianificare le scorte? X P(X) F(X) 0 0,15 0,15 1 0,30 0,45 2 0,20 0,65 3 0,20 0,85 4 0,10 0,95 5 0,05 1 Se nel salone ci sono 4 auto la concessionaria potrà soddisfare il 95% delle richieste dei clienti mentre se ce ne sono 2 solo il 65%

Come si può usare la funzione di probabilità per pianificare le scorte?

15 Esercizi Il n di PC venduti giornalmente in un negozio specializzato è definito dalla seguente distribuzione di probabilità: X P(X) 0,05 0,10 0,20 0,20 0,20 0,15 0,10 Trovare P(3 x<6); P(x>3); P(x 4); P(2<x 5) La compagnia aerea VOLARE ha chiesto agli specialisti di studiare i ritardi dei voli nella settimana prima di Natale, dall aeroporto di LT. Se la variabile Xrappresentailn divoliinritardoinun ora: X P(X) 0,10 0,08 0,07 0,15 0,12 0,08 0,10 0,12 0,08 0,10 Trovare:1)laFdR;2)laprob.cheiln divoliinritardosiasuperiorea5; 3)laprob.cheiln divoliinritardosiatra3e7(estremiinclusi)

voli nella settimana prima di Natale, dall aeroporto di LT.

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