- Trovare soluzione ottima primale ( con il simplesso o algoritmo analogo)

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1 Se si ha un problema lineare e' possibile risolverlo in piu' modi (equivalenti ) - Trovare soluzione ottima primale ( con il simplesso o algoritmo analogo) - Trovare soluzione ottima duale (con il simplesso o algoritmo analogo applicato al duale) e costruendo come vettore "duale" (o per complementarita') la soluzione ottima - Trovare due soluzioni (x w ) complementari e ambedue ammissibili Uno dei possibili modi e' un approccio di tipo primale duale Si identifica una soluzione ammissibile duale w Si cerca di ottenere una soluzione ad Ax=b usando solo le variabili x relative alle colonne per cui vale (c j -(a j ) t w)= 0 (cioe' x j (c j -(a j ) t w) =0) Se e' possibile x e' ottimo perche' ammissibile e complementare di una soluzione ammissibile duale; Se non e' possibile si sposta w in modo da conservare l ammissibilita duale, permette l'uso di altre variabili x j e eventualmente escludere x k permettendo (c k -(a k ) t w)< 0 se x k = 0 Senza descrivere l'algoritmo in generale si descrive solo un caso in cui questo meccanismo e' semplice e molto efficente. Si considera il problema dell'assegnazione (matching pesato) Si hanno a disposizione p.e. n macchine per effettuare n lavori. Occorre assegnare ad ogni lavoro una macchina e viceversa. E' data una matrice quadrata C di dimensione n in cui il generico elemento c ij rappresenta il costo derivante dall'assegnazione del lavoro i alla macchina j. Si tratta sostanzialmente di un problema di accoppiamento massimo in un grafo bipartito ( macchine-lavori) con un costo attribuito ad ogni arco. In modo analogo si possono trattare i problemi dell`assegnazione con funzione obbiettivo max ij c ij x ij Si tratta del caso in cui i c ij rappresentano (per esempio ) dei guadagni. Il problema è visto come un problema di trasporto min ij c ij x ij con k vincoli (origini ovvero lavori ovvero... ) j x ij = 1 e ulteriori k vincoli (destinazioni ovvero macchine ovvero... ) i x ij = 1 e ovviamente x ij 0.

2 Si suppone che sia da costruire un matching di dimensione k Il problema duale è il seguente max i u i + j v j con vincoli u i +v j c ij e senza vincoli di segno su u i e v j. Se ui e vj soddisfano i vincoli allora per ogni reale h ui +h e vj -h soddisfano ancora ai vincoli. Una soluzione duale ammissibile puo' essere calcolata come u i = min j (c ij ) v j =min i (c ij - u i ) E per tutti i valori c ij - u i - v j 0 (qualunque siano i valori iniziali c ij ) Costruisco la solita rete per il matching con vertici x0 O D z, archi(x0,o) & (D,z) limite flusso 1 archi(o,d) (se consentiti) limite flusso +inf e su cui si puo' calcolare il matching con algoritmo del flusso massimo. Sono consentiti (usati) solo gli archi (i j), origine i destinazione j corrispondenti a coppie i j per cui c ij - u i - v j =0 Se il flusso massimo vale n costruisce un matching di cardinalita' n che comprende tutti i vertici ( e verifica l'ammissibilita' primale) e per complementarita' e' di minimo peso Se flusso e' < n il matching non comprende tutti i vertici ( e non sono verificati i vincoli primali) In questo caso utilizzando l algoritmo del massimo flusso vi sono dei vertici (origini / destinazioni) etichettati Vari casi (O+, D+) possibile ( O,D) possibile (O+, D ) possibile solo se arco (O,D) non esiste ovvero c ij - u i - v j >0] (O,D+) possibile [se non esiste (O,D) oppure se esiste con flusso nullo (non si etichetta O da D )]

3 Quindi si calcola la modifica h = min c ij - u i - v j per le coppie del tipo (O+, D ) h>0 poiche' non esiste l'arco e si modifica u i +h per O+ e v j -h per D+ Risultato se (O+, D+) c ij - u i - v j immutato ( O,D) c ij - u i - v j immutato Per costruzione c ij - u i v j diventa 0 per almeno un arco (O+, D ) mentre se esiste arco (O,D+) c ij - u i v j diventa > 0 (cancellando l arco) In questo modo si aggiunge un arco, si puo' etichettare almeno un D [aumenta lunghezza cammino verso z] Dopo alcuni aumenti si puo' etichettare z e il flusso aumenta, il matching aumenta di 1 e si puo' continuare, modificando variabili duali e aggiungendo/ togliendo archi fino a massima cardinalita'. ESEMPIO: E data la tabella costi u = (minimo per righe) Tabella ridotta (c ij - u i ) v (minimo per colonne)

4 Tabella c ij - u i v j Gli archi possibili sono e il Massimo Matching (flusso) con archi dati e' [ ] Si ha la situazione (figura) Se cerca il flusso massimo si generano le etichette O2 [x0],d3[ O2], O1 [-D3] X (origini) 1,2 contrassegnati Y destinazioni 1,2,4,5 non contrassegnati Tabella c ij - u i - v j per le coppie del tipo (O+, D ) valore minimo h = 5 (corrispondente a 1-1 ) I nuovi valori duali sono u =10* 14* v = * 0 0

5 La tabella c ij - u i - v j diventa e si aggiunge l'arco 1-1 Si continua ad etichettare O2 [x0],d3[ O2], O1 [-D3]... D1[O1],z [D1] Si e determinato cammino x0-o2-d3-01-d1-z la catena alternata O2-D3-01-D1 ovvero 2-3 entra, 1-3 esce, 1-1 entra e il matching diventa

6 In questo problema vi sono 2k vincoli, la matrice e di rango 2k-1 ma solo per k variabili x ij si ha x ij = 1. Per problemi di questo tipo l algoritmo primale-duale è più conveniente rispetto al simplesso dove si avrebbero da maneggiare sempre soluzioni degeneri. Anche per il problema, molto simile, del trasporto esistono metodi primale-duale.

7 2) Circolazione (Out of kilter) Un caso simile in cui si hanno dei limiti sulle variabili e in cui la considerazione delle variabili duali semplifica il problema e il seguente (problema della Circolazione). Si considera una rete di flusso senza vertici speciali (x0 e z).vi sono archi entranti e uscenti da ogni vertice e vale la legge di Kirchoff per ogni nodo. Da una rete di flusso con x0 & z si ottiene questa rete aggiungendo un arco ( arco di ritorno ) di capacita inferiore 0 e superiore + diretto da z a x0. Ad ogni arco e associato un costo, un limite inferiore e un limite superiore per il flusso. Il problema e quindi [x ij rappresenta il flusso tra i e j ] min Σ ij c ij x ij con i vincoli per ogni nodo k Σ x kj - Σ x ik = 0 e con limiti inferiori e superiori di capacità r ij x ij u ij [i c ij, r ij,u ij interi] Problema lineare con vincoli su ogni variabile. Vi sono k vincoli Σ x kj - Σ x ik = 0 = 0 ( la legge di Kirchoff per ogni nodo). Variabile x ij compare solo in equazione del nodo i (flusso uscente, coefficente -1 ) equazione del nodo j (come flusso entrante, coefficente 1) [ e la submatrice e' totalmente unimodulare] [ Se si cerca il massimo flusso si ha c ij = 0 per ogni arco e c ij =-1 per l arco di ritorno z x0, se si cerca flusso a minimo costo si ha c ij per ogni arco e r ij = u ij = valore flusso max per arco di ritorno... ] Limitazioni inferiori e superiori scritte standard sono x ij -(x s1 ) ij = r ij x ij +(x s2 ) ij = u ij [ (x s1 ) ij e (x s2 ) ij slack]

8 Variabili duali sono associate alle righe - una variabile y i senza vincoli di segno per ogni nodo i - una variabile (w1) ij per ogni equazione x ij -( x s1 ) ij = r ij [ (w1) ij 0 ] - una variabile (w2) ij per ogni equazione x ij +( x s2 ) ij = u ij [(w2) ij 0] [(x s1 ) ij e (x s2 ) ij vincoli di segno su variabili duali] variabile primale x ij genera un vincolo (w2) ij + (w1) ij + yj- y i - c ij Tre casi possibili (all'ottimo) CASO1 All'ottimo si ha r ij < x ij < u ij ( e (x s1 ) ij >0 (x s2 ) ij >0 ) x ij >0 vincolo duale è un'eguaglianza (w2) ij + (w1) ij + yj- y i = - c ij (x s1 ) ij >0 & (x s2 ) ij >0 (w1) ij = 0, (w2) ij =0 c ij -y i + yj = 0 CASO 2 All'ottimo x ij = r ij ( & (x s2 ) ij >0 ) (w2) ij =0 & vincolo duale solo (w1) ij + yj- y i - c ij c ij -y i + yj = - (w1) ij 0 ( Si ha un'eguaglianza se x ij >0 ) CASO 3 All'ottimo x ij = u ij ( x ij >0 & (x s1 ) ij >0 ) (w1) ij =0 vincolo duale (w2) ij + yj- y i = - c ij cioè c ij -y i + yj = - (w2) ij 0 c* ij = c ij -y i + yj Quindi se si pone c* ij = c ij -y i + yj all'ottimo c* ij >0 e x ij = r ij c* ij =0 e r ij x ij u ij c* ij < 0 e x ij = u ij [se c* ij =0 non è possibile distinguere tra caso1, caso2,caso3 ]

9 Qualunque insieme di valori y i, yj soluzione ammissibile duale se completata opportunamente con valori (w1) ij, (w2) ij per giustificare il segno di c ij -y i + yj. La soluzione duale è determinata dai valori c* ij. Con queste informazioni e possibile risolvere il problema lineare (di flusso/circolazione) E' facile trovare una soluzione al primo gruppo di vincoli ( la circolazione con tutti i valori x ij = 0 è ammissibile ). Si ha un algoritmo di tipo primale-duale con circolazioni non ammissibili (vincoli r ij x ij u ij non rispettati ) soluzioni duali ammissibili condizioni complementari non rispettate in generale (valori c* ij ) Condizione di ottimalità è violata se (6 condizioni) 1) c* ij >0 e x ij < r ij 2) c* ij >0 e x ij > r ij 3) c* ij =0 e x ij < r ij 4) c* ij =0 e x ij > u ij 5) c* ij < 0 e x ij < u ij 6) c* ij < 0 e x ij > u ij Valori x ij ( flusso/circolazione) per ogni arco y i associati ad ogni nodo un arco è in Kilter se soddisfa le condizioni di ottimalità ( out of Kilter se non le soddisfa). Nei sei casi si può associare + un numero che misura la distanza dall'ottimalità (o dalla condizione complementare) + un numero corrispondente alla variazione di flusso ammissibile su tale arco secondo,compatibilmente con il valore c* ij secondo la seguente tabella (violazione nella seconda colonna, variazione possibile nella terza)

10 1) c* ij >0 e x ij < r ij r ij -x ij r ij -x ij 2) c* ij >0 e x ij > r ij c* ij (x ij - r ij ) -( x ij -r ij ) 3) c* ij =0 e x ij < r ij r ij -x ij ( u ij -x ij ) 4) c* ij =0 e x ij > u ij x ij - u ij -( x ij -r ij ) 5) c* ij < 0 e x ij < u ij c* ij (x ij - u ij ) ( u ij -x ij ) 6) c* ij < 0 e x ij > u ij x ij - u ij -( x ij - u ij ) I numeri che indicano la violazione sono sempre positivi. ALGORITMO Si suppone di partire da un flusso (eventualmente nullo ) e da un insieme arbitrario di valori y i. 1) Selezionare un arco (v i,v j ) in una delle 6 condizioni out of Kilter Se l'arco non esiste la soluzione è ottimale 2) Cercare un cammino di alterazione del flusso che connetta il nodo v i al nodo v j. Modificare il flusso e tornare a 1). Se non si trova il cammino andare a 3) 3) Aggiornare i valori y i.se (v i, v j ) rimane out of kilter tornare a 2) altrimenti tornare a 1). Se i valori y i non possono essere aggiornati l'algoritmo termina ( nessuna soluzione ammissibile). Il passo 1) seleziona un arco out of Kilter (per esempio quello con il numero più alto). Nei casi 1),3),5) occorre aumentare il flusso sull'arco (v i, v j ) mentre bisogna diminuirlo nei casi 2),4),6). nei casi 1),3),5) si etichetta v j con [+i] altrimenti si etichetta v i con [-j]. Il passo 2) termina se si riesce ad etichettare l'altro vertice dell'arco iniziale.

11 Regola per le etichette sono le seguenti R1) Se v k è etichettato si etichetta v h con [+k] se si ha i) c* kh >0 e x kh < r kh oppure ii) c* kh 0 e x kh < u kh R2) Se v k è etichettato si etichetta v h [-k] se si ha i) c*hk 0 e x kh > r kh oppure ii) c*hk< 0 e x kh > u kh Regole di aggiornamento dei valori di y i nel passo 3 c1 = min c* ij tali che a) i etichettato j non etichettato b) c* ij > 0 e x ij u ij c2 = max c* ij tali che a) i non etichettato j etichettato b) c* ij < 0 e x ij r ij c* = min { c1, -c2 } [Se nè c1, nè -c2 esistono nessun arco soddisfa le condizioni e il problema non ha soluzioni ammissibili]. c* >0 per costruzione Si modificano gli y i, corrispondenti a vertici etichettati di c*. Ponendo y i = y i + c* si ottiene che c* ij resta invariato per tutti gli archi con i due vertici etichettati. Se c* = c1= c* ij nuovo valore di c* ij è 0 si può etichettare il vertice v j partendo da v i se x ij < u ij oppure l'arco viene messo in Kilter se x ij = u ij analogo ragionamento vale se c* = c2. L'algoritmo può eseguire varie volte i passi 2) e 3) e, escludendo la non ammissibilità, termina dopo un numero finito di passi. I numeri che indicano la nonottimalità non crescono da un passo all'altro. L algoritmo non comunque ha garanzie di polinomialità anche se da ogni vertice si etichettano tutti i vertici possibili.

12 Pb "duali" Alcuni problemi matematici si prestano ad essere rappresentati come problemi lineari (approssimazioni lineari). Sono prevalentemente in forma duale ( problemi di minimo con regione ammissibile definita da diseguaglianze e senza vincoli di segno) La considerazione del primale aiuta a trovare le condizioni di ottimo ovvero da una traccia di algoritmo risulutivo... Non sempre un sistema lineare (Ax=b) e' risolubile. In questi casi si puo' considerare come soluzione la minimizzazione di una norma Ax-b Le norme piu' usate sono 1 2. Con la programmazione lineare si possono risolvere i casi 1 e. 1) Soluzione di min Ax-b Si tratta di scegliere x per realizzare min Ax-b Si scrive il problema come min ξ A i x-b i ξ i ξ rappresenta la norma. Le variabili sono ξ e x. I vincoli lineare corrispondono a -ξ A i x-b i ξ i ovvero ai due gruppi di vincoli A i x-ξ b i ξ i A i x+ξ b i ξ i che si possono scrivere A i x+ξ b i i -A i x+ξ -b i i e da cui segue ξ 0 Si ha il problema di tipo duale min 0z + ξ A i x+ξ b i i -A i x+ξ -b i i

13 Il problema primale ha due gruppi di variabili y1 e y2, y1 0, y2 0 due gruppi di vincoli A t y1-a t y2 = 0 y1+y2=1 e come funzione obbiettivo max b t x1 b t x2 Se si considera z = y1-y2 il problema e semplicemente max b t z A t z = 0 z i =1 Se si cerca la soluzione di Ax-b si puo supporre che la matrice A (m,n) sia di rango massimo, che abbia piu righe che colonne, e che n vettori riga siano sempre linearmente indipendenti. In tal caso dato un gruppo di n+1 righe si puo facilmente calcolare un vettore z che verifichi A t z = 0 z i =1 e attraverso queste righe, a seconda del segno di z e del valore di b t z (=ξ 0) si puo calcolare un vettore duale (x, ξ) che verifica alcuni vincoli A i x+ξ = b i se z i >0 -A j x+ξ = -b j se z j <0 Se per i rimanenti vincoli A i x-b i ξ cioe -ξ A i x-b i ξ il punto (x, ξ) e ottimo altrimenti va introdotto un vincolo violato. La violazione i puo essere una sola tra A i x-b i >ξ ( 0) o 0 -ξ > A i x-b i. Il vincolo violato va introdotto e si modifica la soluzione primale... Seguendo questa traccia si ha un algoritmo per la soluzione del problema min Ax-b

14 2) Soluzione di Ax-b 1 (Migliore approssimazione in norma 1) Il problema e min Σ a i t x - b i Si aggiungono delle variabili che misurano ogni contributo a i t x-b i +y i -z i =0, y i 0, z i 0 Il problema diventa min 0x +Σ i y i + z i a i t x + y i - z i = b i, y i 0, z i 0 Il duale diventa [x non vincolato corrisponde vincolo = ) problema di minimo genera duale del tipo max con vincoli ] max b t w Aw=0 w i 1 -w i -1 (-1 w i 1) Si pone f i = w i +1, w i = f i -1, v = Σ i a i Il duale e' solo max b t f Af = v 0 f i 2 Il problema puo essere trattato facilmente con il simplesso nonostante i vincoli 0 f i 2 Infatti se si ha un problema del tipo max c t x Ax=b x 0 con vincoli su ogni variabile x i U i Il problema diventa max c t x Ax=b, Ix+Ix s = U, x 0, x s 0 Se A e' (n,m) si aggiungono m righe che devono essere soddisfatte. Si avranno quindi in una base generica n1 variabili x s in base con relativa x i =0 (fuori base) n2 variabili x s in base con relativa x i in base e 0 x i U i (estremi possibili se

15 soluzione degenere) n3 variabili x in base con x i = U i Chiaramente n+m= n1+2n2+ n3 n1+n2+n3 = m Quindi n2=n tutte le informazioni sono concentrate nelle variabili x i in base e 0 x i U i La parte rimanente della matrice di base e' di facile e inutile rappresentazione. Molte informazioni si possono ricavere dalle variabili duali e dalle condiziono complementari (come nell out of kilter) 4) Pb convesso (non smooth) Se Φ e' funzione convessa ma non continuamente differenziabile [pensare a cose tipo x, max (f i ) dove i I (anche infinito...) con f i convesse ] le condizioni di ottimo/minimo non sono =0 e metodi tipo gradiente possono fallire nel calcolo del minimo. Anche se Φ non e' differenziabile e' di solito disponibile per ogni punto x almeno un vettore p per cui Φ (x+h) Φ (x ) + p t (h) h [p dipende da x, non e' necessariamente unico e generalizza il gradiente. Se f e' convessa e differenziabile si ha f(x+h) f (x ) + (x) t (h) e' (x) l'unico vettore per cui la disguaglianza vale h ] Se sono disponibili vari punti x i, e i vettori p i allora per ogni punto z si ha Φ (x i ) + p i t (z- x i ) Φ (z) Se quindi il vettore (z, ξ ) risolve il problema min ξ Φ (x i ) + p i t (z- x i ) ξ Ogni coppia del tipo (x, Φ (x ) ) e' ammissibile per questo problema quindi ξ min (Φ) & se z e' la soluzione ξ min (Φ) Φ (z) Il problema fornisce una stima del punto di minimo (z) e del valore del minimo (ξ)

16 Un vincolo che puo' essere aggiunto si puo' ricavare facilmente infatti se Φ (z +h) Φ (z ) + p t (h) h pensando (z,p) come gli altri (x i, p i ) si genera il vincolo Φ (z ) =Φ (z) + p t (z- z) ξ che escluderebbe il punto (z, ξ ) per cui si ha una violazione (errore) Φ (z)- ξ. Il problema e' in forma "duale" ovvero min 0z + ξ - p i t z + ξ Φ (x i ) - p i t xi Per il primale (condizioni di ottimo ) esistono variabili primali (pesi ) w i 0. i I w i (- p i )= 0 i I w i = 1 i I w i (Φ (x i ) - p i t xi ) = ξ Il problema puo essere trattato facilmente con tecniche di programmazione lineare usando questa forma. Se i vincoli considerati generano una matrice invertibile con tecniche primali noti punto (z, ξ, Φ (z), p) si puo introdurre il nuovo vincolo (da z), cancellare un vincolo e proseguire (in teoria ) fino all ottimo. La struttura delle basi primali e simile a quella del problema min Ax-b La particolarita del problema e che i vincoli sono infiniti ( almeno un vincolo per ogni punto dove Φ e definita). Nel punto di ottimo x* esistono piu' vettori p i * (tutti riferiti a x* ) per cui si ha i I w i (p i *)= 0 i I w i Φ (x* ) = ξ La condizione i I w i (p i *)= 0, w i 0 e' la generalizzazione a questo caso di Φ(x* ) =0

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