Leve e proporzioni. Stefania Pozio. Nucleo: Relazioni e funzioni

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1 Stefania Pozio Nucleo: Relazioni e funzioni PREREQUISITI conoscenza della legge fondamentale delle proporzioni conoscenza delle leve come macchine semplici Scheda di lavoro 2 Costruiamo un opera d arte ATTIVITÁ Scheda di lavoro 1 Costruiamo una leva VALUTAZIONE ATTIVITÁ All interno delle schede di lavoro Scheda per attività integrative Costruzione di grafici con Excel Scheda per attività di verifica Risoluzione di problemi sulle leve

2 Introduzione Tematica:. Finalità e obiettivi di apprendimento: in questa unità si prende spunto dalle leve per capire meglio la proprietà fondamentale delle proporzioni e le sue applicazioni pratiche, la rappresentazione sul piano cartesiano di relazioni e funzioni del tipo y=ax, y=a/x, i loro grafici e il loro collegamento con il concetto di proporzionalità. Inoltre è utile per imparare a costruire grafici con Excel e infine per lavorare sull equiscomponibilità delle figure piane. Metodologia: si tratta sempre di attività laboratoriali da svolgersi in piccoli gruppi, dove l insegnante guida l esplorazione, valorizza le ipotesi, coordina discussione e verifica, ponendo domande stimolo e problemi. L unità è divisa in due diverse attività, ma la prima attività comprende due fasi distinte. La prima attività prevede una scheda studente con le istruzioni necessarie per svolgere l attività e una meta scheda per l insegnante in cui è spiegato come far svolgere agli studenti tale attività. Per la seconda attività, invece, è prevista solo una meta scheda per l insegnante in cui sono riportate tutte le istruzioni necessarie per spiegare agli studenti come svolgere le diverse fasi del lavoro.

3 Descrizione dell attività Condizione, problema o stimolo da cui nasce l'attività Questa attività nasce dall esigenza di far lavorare gli studenti su argomenti che coniughino la matematica con le scienze. Troppo spesso nella scuola media, dove l insegnante è peraltro unico, si scindono le due materie come se non avessero niente in comune. Invece è importante far vedere agli studenti quanto la matematica sia utile per risolvere problemi scientifici e quanto la matematica è applicabile a problemi di vita quotidiana. Nelle Indicazioni per il Curricolo si evidenzia come i tre filoni curricolari di cui è costituita l area scientificomatematica-tecnologica, dal punto di vista didattico si debbano intendere collegati e interagenti fra loro. Inoltre questa attività nasce anche dall esigenza di far consolidare le conoscenze teoriche acquisite dagli studenti sulla proporzionalità, attraverso attività laboratoriali, alla discussione tra pari e alla manipolazione di modelli costruiti con i compagni. Prerequisiti richiesti ai ragazzi per svolgere l attività Per tutte le attività è necessario che gli studenti abbiano già affrontato la legge fondamentale delle proporzioni e conoscano la struttura di una leva. Strumenti forniti agli allievi Per quanto riguarda la Fase 1 dell Attività 1 (Costruiamo una leva), agli allievi devono essere date delle righe da 60 cm, spago, scotch, una dozzina di monete tutte uguali (o da 0,50 o da 1 ) e una fotocopia della scheda studente (si possono, volendo, fotocopiare solo le pagine della Fase 2 (Come funziona un leva). Per l Attività 2 (Costruiamo un opera d arte) sono necessari cartoncini colorati, forbici, scotch, filo da cucire, ago, fogli di carta da riciclo di diverse dimensioni, righello o squadra, compasso. Per l Attività integrativa è necessario l uso dei computer. Organizzazione della classe e metodologia Le attività sono svolte in gruppi di 2-3 persone, in modo da dare a tutti la possibilità di svolgere l attività pratica. L insegnante deve spiegare passo passo le varie fasi del lavoro che ciascun gruppo porta avanti autonomamente. Può girare tra i gruppi, cercando di guidare il loro lavoro, di instradare gli studenti se sono in difficoltà, di stimolarli ad una osservazione più attenta e puntuale, di farli riflettere se tendono ad essere troppo superficiali. Nella prima attività, l insegnante deve riportare su un unica scheda, visibile a tutti gli studenti, i risultati dei gruppi e deve fare in modo che si sviluppi una discussione tra i vari gruppi circa i risultati ottenuti dall attività pratica, evitando di creare un canale unico gruppo-insegnante. Nella seconda attività, quella relativa alla costruzione dei Mobili, la discussione, invece, va fatta all interno di ciascun gruppo, perché ogni gruppo si troverà di fronte a situazioni diverse a seconda del tipo di figure geometriche che ha preparato. L insegnante deve seguire la discussione e far riflettere gli studenti sul come trovare la soluzione (l equilibrio della leva).

4 Fasi e tempi L unità comprende 2 diverse attività. La prima attività è divisa in due fasi, una di costruzione dello strumento, l altra di utilizzo dello strumento per effettuare una serie di misurazioni. Il tempo previsto per la realizzazione completa di entrambe le fasi è di 3 ore. È prevista anche una terza fase, inserita come attività integrativa, che si consiglia vivamente di svolgere. Il tempo richiesto è di un paio di ore. La seconda attività, invece, comprende un unica fase di costruzione di Mobili per cui sono previste 3 ore per il suo svolgimento. Ovviamente questo tempo potrebbe allungarsi nel caso si decidesse di costruire più Mobili per uno stesso gruppo. Tutta l unità dovrebbe essere svolta nell arco di due settimane, un attività a settimana.

5 Attività 1 Costruiamo una leva Tipologia: Attività laboratoriale con costruzione di un modello di leva. Obiettivo didattico: lo scopo di questa attività è di costruire una leva, verificarne la legge che regola il suo funzionamento e, contemporaneamente, trovarsi di fronte a un applicazione pratica della proprietà fondamentale delle proporzioni. Tempo: 1 ora (Fase 1), 2 ore (Fase 2), 2 ore (Fase 3) Fase 1 Procuratevi una riga lunga 60 cm (anche quella da 50 cm va bene lo stesso). Appendetela ad uno spago che passa esattamente per la sua metà, come mostrato nella Foto 1. Utilizzate un po di scotch per fermare lo spago sulla metà della riga. La riga, tenuta per lo spago, deve essere perfettamente orizzontale. Scotch Foto 1: riga appesa allo spago Ora procuratevi una dozzina di monete tutte uguali (vanno bene da 1 euro o da 50 centesimi) e dividetele in due gruppi, uno di 3 monete, l altro di 9 monete, come nella Foto 2. Mettetevi intorno un po di scotch per tenerle ferme e un po di spago per poterle appendere. Foto 2: preparazione delle monete

6 Foto 3: i due gruppi di monete appesi alla riga Appendete ciascun gruppo di monete alla riga (Foto 3), uno a sinistra e l altro a destra e cominciate a fare un po di prove. 1) Mettete i due gruppi alla stessa distanza dal centro. Che cosa si osserva? Ovviamente la riga pende dalla parte del gruppo di 9 monete. 2) Mettete il gruppo da 9 più vicino al centro e quello da 3 più lontano (Foto 4). Che cosa si osserva? Incredibilmente, la riga pende dalla parte del gruppo di 3 monete. Foto 4: la riga pende dalla parte del gruppo di 3 monete

7 Mettete il gruppo da 9 monete a 7 cm dal centro e il gruppo da 3 monete a 21 cm dal centro (Foto 5). La riga dovrebbe essere in equilibrio. Foto 5: la riga in equilibrio Ripetete lo stesso procedimento, questa volta con un gruppo da 4 monete e l altro da 8 monete (Foto 6). Fate diverse prove fino a che non trovate il perfetto equilibrio. Foto 6: altri 2 gruppi di monete (da 4 e da 8) Foto 7: riga in equilibrio Ora discutete con i vostri alunni come sia possibile che pesi minori possano risultare più pesanti di pesi maggiori.

8 Fase 2: Come funziona una leva Dividete gli studenti in gruppi di 2-3 persone. Date a ciascun gruppo una riga da 60 cm, un po di spago, scotch e 12 monete tutte uguali. Affidate, a ciascun gruppo, la preparazione di una delle coppie di monete, come indicato nella tabella 1. Ciascun gruppo deve fare un po di prove con la sua coppia di monete, spostando le monete a diverse distanze dal fulcro e annotando di volta in volta che cosa succede. Suggerite ai vostri studenti di spostare le monete su numeri interi di cm. Alla fine, ogni gruppo deve compilare una tabella di questo tipo, dove, per ciascun gruppo di monete, sia riportata: a) una distanza dal fulcro in modo che la riga penda dalla parte del gruppo con più monete; b) una distanza dal fulcro in modo che la riga penda dalla parte del gruppo con meno monete. c) una distanza dal fulcro in modo che la riga sia in equilibrio. Coppia n. Numero di monete Distanza dal fulcro Da quale parte pende la riga? Distanza dal fulcro Da quale parte pende la riga? Distanza dal fulcro Da quale parte pende la riga? Quando tutti i gruppi hanno completato la loro tabella, fate scambiare le coppie di monete tra i gruppi (ad esempio, il gruppo 1 che ha lavorato con la coppia 1-11 prende la coppia 2-10 su cui ha lavorato il gruppo 2, e il gruppo 2 prende la coppia 1-11). Con la nuova coppia di monete, fate ripetere le misure effettuate in precedenza, riportandole su un nuovo schema. Una volta che ciascun gruppo ha effettuato un paio di misure con due diverse coppie di monete, riportate i risultati ottenuti da ciascun gruppo sulla tabella 1 (la coppia 3-9 è già stata compilata come esempio).

9 TABELLA 1: Riepilogo delle misure Coppia n. 1 Numero di monete 1 11 Distanza dal fulcro Da quale parte pende la riga? Distanza dal fulcro Da quale parte pende la riga? Distanza dal fulcro Da quale parte pende la riga? Coppia n Coppia n. 3 Coppia n. 4 Coppia n. 5 Coppia n cm 25 cm 9 10 cm Da questa parte Da questa parte 21 cm Equilibrio 5 cm 7 cm Equilibrio Ovviamente le distanze dal fulcro che fanno pendere la riga da una parte o dall altra possono variare da gruppo a gruppo, l importante è trovare, alla fine, discutendone tutti insieme, un intervallo di distanze oltre il quale la riga pende o da una parte o dall altra. Ad esempio, nel caso della coppia 3-9, una volta trovate le distanze (d) dal centro che permettono l equilibrio della riga, si ha: Gruppo da 3: fermo a 21 cm dal fulcro Gruppo da 9: se d > 7 cm dal fulcro, la riga pende dalla parte delle 9 monete se d < 7 cm dal fulcro, la riga pende dalla parte delle 3 monete Gruppo da 9: fermo a 7 cm dal fulcro OPPURE Gruppo da 3: se d > 21 cm dal fulcro la riga pende dalla parte delle 3 monete se d < 21 cm dal fulcro la riga pende dalla parte delle 9 monete

10 È chiaro che, per ogni coppia di monete, può esistere più di una coppia di valori di numeri interi di cm che portano all equilibrio. Ad esempio, per la coppia 3-9, l equilibrio si può avere a: Gruppo da 3 a: Gruppo da 9 a: 3 cm 1 cm 6 cm 2 cm 9 cm 3 cm 12 cm 4 cm 15 cm 5 cm 18 cm 6 cm 21 cm 7 cm 24 cm 8 cm 27 cm 9 cm 30 cm 10 cm Fate verificare agli studenti che ogni coppia di distanze corrisponde effettivamente all equilibrio della riga-leva, facendo spostare i gruppi di monete lungo la riga. Una volta compilata tutta la tabella, discutete con gli studenti sui risultati ottenuti. Chiedete loro se notano qualche regolarità ogni volta che la riga-leva è in equilibrio. Dovrebbe emergere la legge delle leve: P x b p = R x b r Chiedete agli studenti: A proposito di che cosa abbiamo già trovato l uguaglianza di due prodotti?. Oppure: Che cosa vi fa venire in mente questa uguaglianza?. Gli studenti dovrebbero ricordarsi la proprietà fondamentale delle proporzioni: il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi. Come possiamo trasformare questa uguaglianza tra due prodotti in un uguaglianza tra due rapporti? Fateli ragionare fino a che non arrivino alla seguente proporzione (o forme equivalenti): P : b r = R : b p

11 Fase 3: Questa fase fa parte dell attività integrativa Fate riflettere gli studenti sulle relazioni esistenti tra le quattro grandezze in gioco: potenza, resistenza, braccio della potenza e braccio della resistenza. Per calcolare ciascuna grandezza è necessario conoscere le altre tre. Fate quindi ricavare agli studenti le formule che permettono di calcolare una delle quattro incognite, una volta note tre di esse. Le formule sono le seguenti: R b P P b 1) r 2) p r R 3) 4) p bp b P r b R b b r P b R p Fate riflettere gli studenti sui seguenti casi (sempre per l equilibrio della leva). 1) Potenza e resistenza costanti. Vario il braccio della potenza e vedo come varia il braccio della resistenza (formula 4). 2) Potenza e resistenza costanti. Vario il braccio della resistenza e vedo come varia il braccio della potenza (formula 3). 3) Potenza e braccio della potenza costanti. Vario la resistenza e vedo come varia il braccio della resistenza (formula 4). 4) Potenza e braccio della potenza costanti. Vario il braccio della resistenza e vedo come varia la resistenza (formula 2). 5) Resistenza e braccio della resistenza costanti. Vario la potenza e vedo come varia il braccio della potenza (formula 3). 6) Resistenza e braccio della resistenza costanti. Vario il braccio della potenza e vedo come varia la potenza (formula 1). Dalle riflessioni degli studenti dovrebbe emergere il concetto di proporzionalità diretta o inversa. La variazione delle grandezze può essere visualizzata utilizzando dei grafici. A questo punto fate costruire, su carta millimetrata o con Excel, a ciascun gruppo, i grafici corrispondenti alla coppia di monete a loro assegnata. Ad esempio: Gruppo 1 Coppia di monete 1-11 Per la costruzione di questo grafico, la potenza e la resistenza sono costanti (quindi siamo nel caso 1 o 2). P = 1 moneta R = 11 monete mentre faccio variare come voglio il braccio della resistenza e mi calcolo il braccio della potenza (vedi tabella), o viceversa. Formula da applicare b p R b P r Tabella b r (cm) b p (cm) ?..

12 Grafico Serie1 Lineare (Serie1) Nelle pagine seguenti ci sono le istruzioni per costruire i grafici utilizzando Excel. Fotocopiatele e datele agli studenti (Scheda attività integrativa).

13 Per produrre il grafico con Excel: 1) aprite un file Excel 2) riportate sul foglio Excel i dati della prima colonna della tabella 3) scrivete, nella II colonna del foglio Excel, la formula che vi permette di calcolare il valore della II colonna della tabella (=11*A2/1). 4) Posizionati con il cursore sull angolino in basso a destra e, tenendo premuto il tasto sinistro del mouse, trascina il mouse verso il basso. Rilascia il tasto del mouse e ti appariranno i valori. 5) Seleziona i dati, andandoci sopra tenendo premuto il tasto sinistro del mouse, clicca su Inserisci e poi su Grafico. 6) Seleziona il grafico Dispersione e poi clicca su Avanti, finché non arrivi a questa pagina dove puoi dare il titolo al grafico e agli assi. Istruzioni 2 e 3 Istruzione 4 Istruzione 5 Istruzione 6

14 7) Clicca ancora su Avanti finché non ti appare il grafico. 8) Posizionati con il mouse su uno dei punti del grafico, clicca sul tasto destro del mouse e poi su Aggiungi linea di tendenza. Clicca su Lineare e poi su OK. 9) Ti apparirà il grafico. Che tipo di relazione indica questo grafico? È una relazione di proporzionalità diretta.

15 Se volete far costruire agli studenti un grafico di proporzionalità inversa, fate applicare un altra formula. Ad esempio, tenete costanti la potenza e il braccio della potenza, fate variare il braccio della resistenza e calcolate di volta in volta la Resistenza. P = 4 monete b p = 20 cm (scegliete voi il valore che volete; questo viene fornito come esempio) Formula da applicare P b R b r p Tabella b r (cm) R (monete) Costruite il grafico con Excel, seguendo le stesse istruzioni del grafico precedente. Ricordati di cambiare ovviamente la formula (=20*4/A2). Quando arrivi a Aggiungi linea di tendenza (Istruzione 8), clicca su Potenza (e non su Lineare). Ti apparirà questo grafico: Che tipo di relazione indica questo grafico? È una relazione di proporzionalità inversa. Su questo sito, potete trovare un gioco interattivo sull equilibrio di una leva.

16 Scheda per lo studente Cognome Nome Data Attività 1 Costruiamo una leva Fase 1 Appendete la riga lunga 60 cm ad uno spago che passa esattamente per la sua metà, come mostrato nella Foto 1. Utilizzate un po di scotch per fermare lo spago sulla metà della riga. La riga, tenuta per lo spago, deve essere perfettamente orizzontale. Scotch Foto 1: riga appesa allo spago Dividete le monete che la vostra insegnante vi ha dato in due gruppi, come lei vi ha indicato (Foto 2). Mettetevi intorno un po di scotch per tenerle ferme e un po di spago per poterle appendere. Foto 2: Preparazione delle monete Foto 2: preparazione delle monete

17 Foto 3: i due gruppi di monete appesi alla riga Appendete ciascun gruppo di monete alla riga (Foto 3), uno a sinistra e l altro a destra e cominciate a fare un po di prove. 1) Mettete i due gruppi alla stessa distanza dal centro. Che cosa osservate? 2) Mettete il gruppo con più monete più vicino al centro e quello con meno monete più lontano (Foto 4). Che cosa osservate? Foto 4

18 Spostate i due gruppi di monete lungo la riga, finché la riga non è in equilibrio (Foto 5). Foto 5: la riga in equilibrio

19 Scheda per lo studente Cognome Nome Data Fase 2: Come funziona una leva Attività 1 Costruiamo una leva Spostate le monete su numeri interi di cm. Completate la seguente tabella scrivendo, per ciascun gruppo di monete: a) una distanza dal fulcro in modo che la riga penda dalla parte del gruppo con più monete; b) una distanza dal fulcro in modo che la riga penda dalla parte del gruppo con meno monete; c) una distanza dal fulcro in modo che la riga sia in equilibrio. Completate la seguente tabella con le misure che avete trovato: Numero di monete Distanza dal fulcro Da quale parte pende la riga? Distanza dal fulcro Da quale parte pende la riga? Distanza dal fulcro Da quale parte pende la riga? Coppia n. Ripetete lo stesso procedimento, con un altro gruppo di monete che vi verrà dato dalla vostra insegnante. Completate la seguente tabella: Numero di monete Distanza dal fulcro Da quale parte pende la riga? Distanza dal fulcro Da quale parte pende la riga? Distanza dal fulcro Da quale parte pende la riga? Coppia n.

20 Scheda per lo studente Cognome Nome Data Attività 1 Costruiamo una leva Scrivi che cosa hai imparato da questa attività C è qualcosa che non hai capito? (Barra una sola delle caselle) No, mi è tutto chiaro Sì, non ho capito (scrivi quello che ancora non ti è chiaro). Come ti è sembrata questa attività? Difficile Difficile all inizio, ma poi abbastanza facile Impegnativa, ma non difficile Abbastanza facile Facile

21 Attività 2 Costruiamo un opera d arte Tipologia: Attività laboratoriale con costruzione di un Mobile simile a quelli dell artista Calder. Obiettivo didattico: lo scopo di questa attività è di costruire un imitazione delle opere di Calder utilizzando la proprietà delle leve e di rinforzare il concetto di equiscomponibilità delle figure piane. Tempo: 3 ore Le fotografie qui riportate mostrano due opere dello scultore statunitense Alexander Calder che Marcel Duchamp ha denominato Mobili. Si tratta di strutture che fluttuano nell aria e si muovono al minimo soffio. Come si può vedere, si tratta di una serie di leve il cui equilibrio dipende da come sono disposti i diversi elementi che si appendono. La seguente attività ha lo scopo di costruire imitazioni di questi Mobili per rafforzare la conoscenza delle leve.

22 Date a ciascun alunno un foglio di carta (anche da riciclo) e fatelo arrotolare molto stretto, partendo da un angolo, come mostrato nelle seguenti fotografie. Fermate con un pezzetto di scotch la punta del foglio. Ottenete così una bacchetta come quella mostrata in fotografia. A seconda della grandezza del foglio, otterrete bacchette più o meno lunghe. Le bacchette costituiranno la struttura portante del Mobile. Ora bisogna costruire le cose da appendere. Si suggerisce di costruire figure geometriche note (triangoli, rettangoli, trapezi ecc.) perché in questo modo si può sfruttare questa attività per rinforzare sia le conoscenze degli alunni sulla equiscomponibilità delle figure piane, sia la comprensione di alcune formule della geometria piana sul calcolo delle aree.

23 Fate costruire agli studenti, su un cartoncino, un trapezio e un triangolo equivalente ad esso. Metà lato obliquo 1 2 Uguale alla base minore Fate sovrapporre il triangolo al trapezio e fate osservare l equiscomponibilità delle due figure. Fate riflettere i vostri studenti sulla formula per il calcolo dell area del trapezio (il trapezio è equivalente ad un triangolo che ha per base la somma delle basi del trapezio e per altezza la stessa altezza. Ecco perché si calcola B b 2 h ). Se le due figure sono equivalenti, vuol dire che ho utilizzato la stessa quantità di cartoncino per costruirle, quindi avranno lo stesso peso. Che cosa mi aspetto che accada se le appendo alla bacchetta? Fate riflettere gli studenti. Ovviamente, se li metto alla stessa distanza dal fulcro, la bacchetta sarà in equilibrio. Innanzitutto fate appendere la bacchetta ad un filo da cucito, fate trovare il perfetto equilibrio e, una volta trovato, fate fermare con un pezzetto di scotch il filo alla bacchetta. Ora fate appendere alla bacchetta il triangolo e il trapezio.

24 Il modo migliore per appendere le figure geometriche è quello illustrato dalla seguente sequenza di foto. Con un ago, fate passare del filo da cucire in un punto della figura, sfilate l ago e chiudete il filo con un nodo. Fate passare la figura in mezzo al filo e tirate. In questo modo la figura è appesa in modo più stabile. Fate appendere le due figure alla bacchetta in modo che quest ultimo sia in perfetto equilibrio. Con un righello fate misurare la distanza delle due figure dal fulcro e discutete dei risultati con i vostri studenti.

25 Ora fate costruire due rettangoli uguali. Da uno di questi rettangoli, ricavate un rombo (come illustrato nella foto) e 4 triangoli rettangoli. Legate tra loro i 4 triangoli rettangoli. Appendete alla bacchetta il rombo da una parte e i triangoli dall altra. A quale distanza devono stare dal fulcro per avere l equilibrio? Ora appendete il rettangolo da una parte e il rombo dall altra. A quale distanza devono stare dal fulcro per avere l equilibrio? Ovviamente il rettangolo deve stare ad una distanza che è la metà di quella del rombo. Che conclusioni si possono trarre? Che il cartoncino usato per costruire il rettangolo è il doppio di quello usato per costruire il rombo. Ecco perché l area del D d rombo si calcola 2.

26 Ora potete far costruire un altro rettangolo equivalente al precedente e lo fate appendere con i triangoli. Che cosa si può osservare? I triangoli sono equivalenti al rombo. Quindi abbiamo un altra D d dimostrazione del perché l area del rombo si calcoli 2. Ora appendete ad una bacchetta le due bacchette precedenti. E infine ECCO L OPERA D ARTE!

27 Alcuni consigli I Mobili vanno costruiti partendo dalle bacchette più in basso e aggiungendo via via quelle più in alto. Ovviamente non è necessario appendere tutto per il centro della bacchetta. In realtà quando si costruiscono gli oggetti, si possono prima appendere gli oggetti e poi cercare il punto dove appendere la stanghetta in modo che sia in equilibrio. Discutete con i vostri studenti come fare per trovare il punto di equilibrio della bacchetta. Fate costruire anche altre figure geometriche in modo da poter fare una Mostra di Mobili. Potrebbe essere interessante, per esempio, costruire cerchi con raggi uno multiplo dell altro. Ad esempio, un cerchio con raggio 4 cm viene appeso su una bacchetta insieme ad un cerchio con raggio 8 cm. Quanto mi aspetto che il cerchio grande sia più pesante di quello piccolo? Il doppio? Il quadruplo? In quale punto devo appendere la mia bacchetta affinché sia in equilibrio? Fate giocare (e ragionare) i vostri studenti con i Mobili. Sfruttate questa attività per rinforzare le conoscenze delle relazioni tra aree di diverse figure piane.

28 Scheda per lo studente Cognome Nome Data Attività integrativa Costruiamo grafici con Excel I dati che vi siete ricavati sulla leva che avete costruito (lunghezza del braccio della potenza rispetto alla lunghezza del braccio della resistenza per avere la leva in equilibrio) possono essere riportati su un grafico che vi permette di visualizzare la relazione tra le diverse grandezze in gioco. Qui di seguito viene riportato un esempio di costruzione di un grafico riferito al gruppo 1. Cambiate voi stessi i dati a seconda del gruppo a cui appartenete. Gruppo 1 Coppia di monete 1-11 La Potenza e la Resistenza sono costanti P = 1 moneta R = 11 monete mentre il braccio della resistenza lo faccio variare come voglio e mi calcolo il braccio della potenza (vedi tabella). Formula da applicare: ricavala dalla legge delle leve Una volta trovata la formula, costruisci una tabella come la seguente: Tabella b r (cm) b p (cm) 0? 1? 2? 3?..

29 Una volta completata la tabella, i dati possono essere riportati su un grafico. Il grafico può essere disegnato su carta a quadretti o millimetrata, oppure può essere costruito con un programma che si chiama Excel Grafico costruito con Excel Serie1 Lineare (Serie1)

30 Segui le seguenti istruzioni per costruire il grafico con Excel. 1) Apri un file Excel, se non lo sai fare, chiedi alla tua insegnante. 2) Riporta sul foglio Excel i dati della prima colonna della tabella. 3) Scrivi, nella II colonna del foglio Excel, la formula che ti permette di calcolare il valore della II colonna della tabella (=11*A2/1). 4) Posizionati con il cursore sull angolino in basso a destra e, tenendo premuto il tasto sinistro del mouse, trascina il mouse verso il basso. Rilascia il tasto del mouse e ti appariranno i valori. 5) Seleziona i dati, andandoci sopra tenendo premuto il tasto sinistro del mouse, clicca su Inserisci e poi su Grafico. 6) Seleziona il grafico Dispersione e poi clicca su Avanti, finché non arrivi a questa pagina dove puoi dare il titolo al grafico e agli assi. Istruzioni 2 e 3 Istruzione 4 Istruzione 5 Istruzione 6

31 7) Clicca ancora su Avanti finché non ti appare il grafico. 8) Posizionati con il mouse su uno dei punti del grafico, clicca sul tasto destro del mouse e poi su Aggiungi linea di tendenza. Clicca su Lineare e poi su OK. 9) Ti apparirà il grafico. Che tipo di relazione indica questo grafico?

32 Ora, costruiamo un altro tipo di grafico. Questa volta mantieni costanti la potenza e il braccio della potenza, e fai variare il braccio della resistenza e calcola di volta in volta il valore Resistenza. Qui di seguito ti viene fornito un esempio. Puoi variare i numeri come vuoi. P = 4 monete b p = 20 cm (scegli tu il valore che vuoi; questo viene fornito come esempio) Formula da applicare: ricavala dalla legge delle leve Una volta trovata la formula, costruisci una tabella come la seguente: Tabella b r (cm) R (monete) Costruisci il grafico con Excel, seguendo le stesse istruzioni del grafico precedente. Ricordati di cambiare ovviamente la formula (=20*4/A2). Quando arrivi a Aggiungi linea di tendenza (Istruzione 8), clicca su Potenza (e non su Lineare). Ti apparirà questo grafico: Che tipo di relazione indica questo grafico?

33 Attività di verifica Costruiamo una leva Risolviamo questi problemi: Sono al parco con il mio papà. Lui pesa 80 kg, mentre io peso 40 kg. Ci mettiamo seduti su un altalena come quella che vedi nella figura qui al lato. L altalena è lunga 2,80 m. Mio papà dice che, poiché lui è più pesante, sicuramente sarà lui che solleverà me e non viceversa. Tuo papà ha ragione? Trova un modo per riuscire tu stesso a sollevare lui. È chiaro che, poiché il bambino ha un peso che è la metà di quello del padre, deve posizionarsi ad una distanza dal fulcro lunga più del doppio di quella del padre. Si può partire, per risolvere questo problema, prima dal calcolo della distanza alla quale l altalena è in equilibrio, successivamente si calcola la distanza alla quale il figlio può sollevare il padre. Ad esempio: l equilibrio si ha quando il figlio è seduto a 1,20 cm dal fulcro e il padre a 60 cm perché 80 x 60 = 40 x 120. Quindi se il figlio si allontana dal fulcro o il padre si avvicina al fulcro, il figlio riuscirà a sollevare il padre. ATTENZIONE: poiché tutta l altalena è lunga 2,80 m, ciascun braccio non può essere più lungo di 140 cm!

34 .. Qui accanto c è la fotografia di una carriola. Anche la carriola è una leva. Spiega perché. Inserisci, al posto dei puntini, i termini: FULCRO, POTENZA, RESISTENZA Trova che differenza c è tra la leva-riga e la leva carriola..... Questa carriola ha le seguenti dimensioni: Lunghezza dei manici: 50 cm Distanza impugnatura ruota: 81 cm Distanza ruota centro vasca rossa: 30 cm Carico massimo: 30 kg Questo sacco di cemento pesa 27 kg. Luigi riesce a sollevare al massimo 20 kg. Dimostra, con calcoli matematici, che Luigi è in grado di trasportare questo sacco con la carriola, dopo che il papà lo ha aiutato a caricarcelo sopra. La differenza tra la carriola e la riga è che il fulcro nella carriola non sta al centro, ma di lato. Il braccio della resistenza è più corto, quindi è possibile vincere una resistenza maggiore con una potenza minore. Il calcolo matematico è molto semplice: R = 27 kg b r = 30 cm b p = 81 cm P = kg Per l equilibrio occorrono 10 kg, quindi per sollevare la carriola con il sacco di cemento è sufficiente una potenza di poco superiore a 10 kg. Poiché Luigi riesce a sollevare fino a 20 kg, riuscirà a trasportare il sacco di cemento nella carriola.

35 Osserva questo carrello: Dimensioni (Larghezza x Profondità x Altezza) mm 490x530x1250 Pala di carico mm 320x200 Portata Kg 200 Peso Kg 12 Ideale per casse e cassette come quelle della frutta Con questo carrello devo trasportare queste cassette di frutta che pesano 10 kg ciascuna. Spiega, con calcoli matematici, come è possibile che una persona che solleva al massimo 25 kg, sia in grado di trasportarle. Spiega perché questo carrello permette di trasportare carichi molto pesanti. Per risolvere questo problema, gli studenti devono innanzitutto leggere bene i dati. L altezza del carrello rappresenta, all incirca, il braccio della potenza; la profondità rappresenta il braccio della resistenza. Quindi il calcolo è il seguente: R = 50 kg b r = 50 cm circa b p = 125 cm circa P = kg Il carrello permette di trasportare carichi molto pesanti perché ha un braccio della potenza molto lungo. Fate ragionare a lungo gli studenti sulla legge della leva. Se il prodotto della resistenza per il suo braccio è uguale al prodotto della potenza per il suo braccio, se il braccio della potenza è molto lungo, e quello della resistenza molto corto, sarà sufficiente una potenza molto piccola per vincere una resistenza molto grande.

36 Scheda per lo studente Cognome Nome Data Attività di verifica Costruiamo una leva Risolviamo questi problemi: Sono al parco con il mio papà. Lui pesa 80 kg, mentre io peso 40 kg. Ci mettiamo seduti su un altalena come quella che vedi nella figura qui al lato. L altalena è lunga 2,80 m. Mio papà dice che, poiché lui è più pesante, sicuramente sarà lui che solleverà me e non viceversa. Tuo papà ha ragione? Trova un modo per riuscire tu stesso a sollevare lui.

37 .. Qui accanto c è la fotografia di una carriola. Anche carriola è una leva. Spiega perché. Inserisci, al posto dei puntini, i termini: FULCRO, POTENZA, RESISTENZA la Trova che differenza c è tra la leva-riga e la leva carriola..... Questa carriola ha le seguenti dimensioni: Lunghezza dei manici: 50 cm Distanza impugnatura ruota: 81 cm Distanza ruota centro vasca rossa: 30 cm Carico massimo: 30 kg Questo sacco di cemento pesa 27 kg. Luigi riesce a sollevare al massimo 20 kg. Dimostra, con calcoli matematici, che Luigi è in grado di trasportare questo sacco con la carriola, dopo che il papà lo ha aiutato a caricarcelo sopra.

38 Osserva questo carrello: Dimensioni (Larghezza x Profondità x Altezza) mm 490x530x1250 Pala di carico mm 320x200 Portata Kg 200 Peso Kg 12 Ideale per casse e cassette come quelle della frutta Con questo carrello devo trasportare queste cassette di frutta che pesano 10 kg ciascuna. Spiega, con calcoli matematici, come è possibile che una persona che solleva al massimo 25 kg, sia in grado di trasportarle. Spiega perché questo carrello permette di trasportare carichi molto pesanti.