GIORDANO BRUNO Liceo Linguistico Classe IIB Liceo Scienze Sociali Classe IIB

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1 GIORDANO BRUNO Liceo Linguistico Classe IIB Liceo Scienze Sociali Classe IIB Docenti: Scrocca Antonio - MATEMATICA - Classe II B Liceo SC. SOCIALI Tortonese Daniela MATEMATICA Classe II B Liceo LINGUISTICO alma.coda@alice.it Domande: Conoscere la matematica è utile per conoscere la realtà? Esiste un linguaggio privilegiato per risolvere i problemi? Comprensione durevole: Gli studenti comprenderanno come attraverso la costruzione di un modello algebrico potranno risolvere problemi con due o più incognite, consentendogli di interpretare e risolvere problemi della vita quotidiana. TITOLO: IL LINGUAGGIO DELL ALGEBRA Obiettivi Contenuti: Abilità/ Competenze: I sistemi di equazioni lineari. Sistemi determinati, indeterminati e impossibili. Metodi di risoluzione. Risoluzione di problemi Cognitive (1) Leggere e comprendere (2) Problem solving (3) Costruire modelli che descrivano le realtà problematiche (4) Conoscere le tecniche risolutive dei sistemi lineari e saperle applicare (5) Risolvere problemi (6) Analisi delle soluzioni Metacognitive (1) Riflettere sulle conoscenze acquisite per adattarle a nuovi contesti (2) Acquisire la problematicità delle metodologie (3) Capacità di valutare e autovalutare processi (4) Essere consapevole del proprio processo cognitivo: di cosa sta facendo, del perché lo fa e di quando è opportuno farlo Abilità di altro tipo (1) Semplificare la realtà mediante simboli (2) Ipotizzare (3) Connettere le informazioni (4) Cooperare Disposizioni della mente (1) Accogliere le sfide (2) Essere chiari (3) Essere precisi (4) Perseverare nonostante le difficoltà (5) Assumersi i rischi in modo responsabile

2 Processo di costruzione della prestazione autentica di valutazione dell apprendimento 1. LA PRESTAZIONE Risolvere un problema di dieta bilanciata (alimentazione dosata) 2. LA PRESTAZIONE CON ELEMENTI METACOGNITIVI Risolvere un problema di dieta bilanciata (alimentazione dosata) Sapere come si procede per strutturare un modello di formalizzazione del problema. Pianificare le varie fasi di risoluzione del problema. Formalizzando un problema si diventa consapevoli che l acquisizione di conoscenze scientificomatematiche consente di risolvere problemi quotidiani. 3. LA PRESTAZIONE CON ELEMENTI DI GRUPPO Risolvere un problema di dieta bilanciata (alimentazione dosata) Sapere come si procede per strutturare un modello di formalizzazione del problema. Pianificare le varie fasi di risoluzione del problema. Formalizzando un problema si diventa consapevoli che l acquisizione di conoscenze scientificomatematiche consente di risolvere problemi quotidiani. Lo studente dovrà essere in grado di risolvere il problema senza l aiuto dei compagni 4. LA PRESTAZIONE CON LE DISPOSIZIONI DELLA MENTE Risolvere un problema di dieta bilanciata (alimentazione dosata) Sapere come si procede per strutturare un modello di formalizzazione del problema. Pianificare le varie fasi di risoluzione del problema. Formalizzando un problema si diventa consapevoli che l acquisizione di conoscenze scientificomatematiche consente di risolvere problemi quotidiani. Lo studente dovrà essere in grado di risolvere il problema senza l aiuto dei compagni La prestazione richiederà essere attenti accurati controllando l impulsività, applicare conoscenze già possedute a una nuova situazione, essere metacognitivi: sulle richieste del compito verificando che l acquisizione di conoscenze scientifico-matematiche consente di risolvere problemi quotidiani. 5. LA PRESTAZIONE AUTENTICA Situazione: Ruolo: 2 Una tua amica, vuole seguire una dieta e deve pianificare le quantità degli alimenti per assicurarsi un fabbisogno nutrizionale consigliato. Tu puoi aiutarla dandole una risposta precisa mediante i sistemi lineari. Una tua amica ti chiede aiuto. Ha consultato una rivista specializzata per dimagrire. Può utilizzare tre tipi di alimenti per assumere giornalmente una certa quantità di proteine, calorie e carboidrati. Sulla rivista c è la tabella che riporta la composizione chimica e il potere energetico degli alimenti. L amica chiede: (1) Considerando che a pranzo mangio fuori casa, e organizzo il pasto con soli due alimenti come posso regolare le quantità se volessi combinare a volte pasta condita con verdura condita e a volte carne cotta con verdura condita? (2) Se a cena trovandomi sempre a casa volessi combinare tre alimenti come potrei raggiungere il fabbisogno nutrizionale combinando insieme la pasta condita, la carne cotta e la verdura condita?

3 Destinatario: Oggi viene a trovarti la tua amica che ti fa vedere la TABELLA 1 con i valori nutrizionali per ciascun alimento e la TABELLA 2 con il fabbisogno complessivo richiesto per il pranzo e per la cena TABELLA 1 Alimenti Calorie x 100g. Proteine x 100g. Carboidrati x 100g. Pasta condita Carne cotta Verdura condita TABELLA 2 Proteine Calorie Carboidrati Pranzo con pasta e verdura Pranzo con carne e verdura Cena con pasta, carne e verdura Prodotto: Disposizioni della mente: Rispondi per iscritto: (1) In modo chiaro e completo fornendo alla tua amica le quantità degli alimenti che potrà assumere per i pranzi e per la cena per assicurarsi il fabbisogno nutrizionale consigliato, rispondendo alle domande (1) e (2) (2) Quando è possibile, oltre al risultato numerico, fornisci la rappresentazione grafica della soluzione (3) Verifica la correttezza della soluzione (4) Cerca di renderla autonoma nei ragionamenti consapevolizzandola del fatto che se usa correttamente il ragionamento matematico non dovrà sempre chiedere aiuto. Non dimenticarti che la tua amica è un tipo molto preciso e vuole attenersi rigorosamente ai consigli ricevuti. Devi saper argomentare quantitativamente e in modo chiaro. Dai risultati ottenuti l amica chiede un tuo giudizio o commetto sulla dieta. Cosa diresti? La consiglieresti? 6. LA PRESTAZIONE AUTENTICA Una tua amica ha trovato su una rivista specializzata due tabelle per mantenere il suo peso forma, ma ha difficoltà ad interpretarle e a trarre le dovute conseguenze. Si rivolge a te per aiutarla a mettere in pratica i consigli suggeriti. Ti chiede: (1) considerando che a pranzo mangio fuori casa e organizzo il pasto con soli due alimenti come posso regolare le quantità se volessi combinare a volte pasta condita con verdura condita e a volte carne cotta con verdura condita? (2) Se a cena trovandomi sempre a casa volessi combinare tre alimenti come potrei raggiungere il fabbisogno nutrizionale combinando insieme la pasta condita, la carne cotta e la verdura condita? Oggi viene a trovarti la tua amica e ti fa vedere la TABELLA 1 con i valori nutrizionali per ciascun alimento e la TABELLA 2 con il fabbisogno complessivo richiesto per il pranzo e per la cena Alimenti TABELLA 1 Calorie Proteine x 100g. x 100g. Carboidrati x 100g. Pasta condita

4 Carne cotta Verdura condita TABELLA 2 Proteine Calorie Carboidrati Pranzo con pasta e verdura Pranzo con carne e verdura Cena con pasta, carne e verdura La tua amica ritornerà a trovarti tra qualche giorno per farsi spiegare tutto quanto. Rispondi per iscritto: (1) In modo chiaro e completo fornendo le quantità degli alimenti che potrà assumere per i pranzi e per la cena per assicurarsi il fabbisogno nutrizionale consigliato, rispondendo alle domande (1) e (2) (2) Quando è possibile, oltre al risultato numerico, fornisci la rappresentazione grafica della soluzione. (3) Verifica la correttezza della soluzione. (4) Cerca di renderla autonoma nei ragionamenti consapevolizzandola del fatto che se usa correttamente il ragionamento matematico non dovrà sempre chiedere aiuto. (5) Non dimenticarti che la tua amica è un tipo molto preciso e vuole attenersi rigorosamente ai consigli ricevuti. Devi saper argomentare quantitativamente e in modo chiaro. Rubrica di valutazione Scala di qualità Comunicazione scritta: relazione La relazione si rivolge al destinatario in modo chiaro e preciso La relazione si rivolge al destinatario in modo chiaro, preciso e convincente La relazione si rivolge al destinatario con elementi introduttivi e conclusivi vaghi e non sempre pertinenti La relazione è priva di introduzione e di conclusione L alunno comprende il testo, individua le domande e interpreta correttamente i dati forniti nelle tabelle. Applica correttamente strategie di calcolo con passaggi chiari e motivati esaurendo tutte le domande L alunno comprende il testo, individua le domande applica le strategie di calcolo in modo non sempre chiaro ma adeguato esaurendo quasi tutte le richieste. Risoluzione del problema L alunno non comprende il testo in tutte le sue parti ma risponde solo parzialmente, costruendo un modello di risoluzione impreciso ed errato in alcune procedure di risoluzione. I risultati sono incompleti. L alunno non comprende le distinte situazioni del problema, non riesce ad interpretare i dati forniti nelle tabelle. Applica in maniera errata le strategie di calcolo e non perviene a risultati oppure questi sono errati. L alunno utilizza in modo corretto, preciso e documentato la 4 Presentazione del contenuto: grafici e tabelle L alunno utilizza la rappresentazione grafica in modo L alunno utilizza la rappresentazione grafica in modo impreciso L alunno non elabora la risposta dal punto di vista grafico oppure la

5 rappresentazione grafica del modello laddove è richiesta complessivamente corretto ma privo di alcune informazioni oppure solo in una risposta del problema rappresentazione grafica è del tutto inadeguata. L alunno è preciso e corretto nell uso del linguaggio. Le strategie risolutive sono motivate in modo chiaro ed esprime valutazioni adeguate sull attendibilità delle soluzioni L alunno è talvolta impreciso nell uso del linguaggio. Le strategie risolutive sono motivate ma l attendibilità delle soluzioni è valutata solo in parte Precisione lessicale L alunno è impreciso nell uso del linguaggio e le strategie risolutive sono motivate in modo confuso e mancano valutazioni sull attendibilità delle soluzioni L alunno è impreciso nell uso del linguaggio, le strategie risolutive non sono motivate e mancano valutazioni sull attendibilità delle soluzioni 7. PROGETTAZIONE DIDATTICA La progettazione didattica prevede questi apprendimenti: Esperienza per l apprendimento-1/: Le equazioni e i problemi di primo grado ad una incognita I FASE: collegamento tra testo e linguaggio algebrico A) Dividere la classe in gruppi, possibilmente di sei studenti ciascuno. Si prende questo gruppo di sei come modulo per eseguire l esperienza e valutarla tra pari. Per semplicità attribuiamo una lettera ad ogni studente A;B;C;D;E;F; B) Preparare per ciascuna coppia di sei, una serie di esercizi simili. Nel nostro caso sono 3 serie da cinque esercizi. C) Suddividere in 3 coppie ogni gruppo (A-B, C-D, E-F) e assegnare a ciascuna coppia la serie degli esercizi che ogni coppia del gruppo di sei dovrà risolvere. D) Nella coppia da soli ognuno comincerà a risolvere il primo esercizio. E) Finito il primo della serie si confrontano per verificare la soluzione. Terminata la correzione o il confronto passano all esercizio successivo. Questo procederà fino a che tutte le coppie avranno completato la serie di esercizi. F) Per risolvere il quesito dovranno leggere attentamente il testo e poi procedere alla risposta. Serie di Esercizi tipo da risolvere in coppia 1. Collega ogni frase con l espressione algebrica corrispondente (1) Il doppio di un numero diminuito di 4 a) 2x (2) 5 aumentato di 4volte un numero b) 2x -4 (3) Un numero pari c) 5+ 4x 2. Scrivi accanto ad ogni frase la traduzione in linguaggio algebrico (1) Un numero aumentato di 8... (2) Il triplo di un numero aumentato della sua metà... (3) il doppio della somma di un numero e La somma di due numeri consecutivi è 31. Traduci questo problema in un equazione di primo grado a un incognita. 5

6 Segui le istruzioni: a) indica con x un numero b) il suo consecutivo è x +... c) scrivi la somma di questi due numeri e ponila uguale a 32. d) hai scritto l equazione di 1 grado che risolve il problema, trova la sua soluzione 4. La somma di due numeri consecutivi è 411. Trova i due numeri dopo aver tradotto il problema in un equazione di 1 grado a un incognita 5. Sapresti scrivere un problema che si può risolvere con questa equazione? 5x-15=20 G) Quando le 3 coppie hanno terminato tutti i cinque esercizi, creare altre coppie rimescolando il gruppo di sei (per esempio A-D, B-E, C-F). Le nuove coppie dovranno lavorare ciascuno sugli esercizi del compagno da soli e verificheranno esercizio per esercizio con il compagno la soluzione. H) Terminati gli esercizi si formeranno nuovamente all interno dei sei, tre nuove coppie (ad esempio, A-F, B-D. C-E) e lavoreranno nel modo indicato in G). Dopo questi scambi tutti i ragazzi avranno risolto 15 esercizi proposti e avranno avuto modo al termine delle risposte di comprendere le procedure e di valutare fra pari il livello di acquisizione dei contenuti e del processo di apprendimento. In caso di disaccordo tra le coppie, l insegnante verificherà e aiuterà. II FASE: risolvere questioni di vita reale con il linguaggio algebrico A) Il docente introduce la II fase con questo interrogativo: Il linguaggio algebrico ci aiuta a risolvere un problema di vita reale? B) Rimescolando i gruppi di sei spostandone tre da ogni gruppo si formano nuovi gruppi di sei e quindi nuove formazioni di coppie. C) Nel lavoro che segue si procederà allo stesso modo della I FASE con questa nuova serie di esercizi. 6 Serie di situazioni problematiche tipo da risolvere in coppia 1) Stamattina mia mamma ha comprato 1hg di prosciutto. Nel pomeriggio, avendo saputo che venivano a cena dei miei amici, ne ha dovuto comprare altri 2hg. Era uscita di casa con 20 e ora gliene sono rimasti 12,50. Quanto costa un etto di prosciutto? Risolvi il problema con un equazione. 2) Oggi ho comprato 2Kg di patate e 3 Kg di pomodori. Avevo in tasca 10 e me ne sono rimasti 2,50. Quanto costano al chilo le patate e i pomodori? Traduci questo problema in un equazione. Puoi trovare la soluzione? Scrivi le tue considerazioni. 3) 1Kg di pomodori costa il doppio di 1 Kg di patate. Traduci questa frase con un equazione. Puoi trovare la soluzione? Scrivi le tue considerazioni. In caso di disaccordo tra le coppie, l insegnante verificherà e aiuterà. Abilità/competenza: comprendere le richieste del problema, capire la relazione tra linguaggio matematico e descrittivo. Disposizione della mente: essere precisi e accurati Valutazione continua: autovalutazione e interrogazione casuale dell insegnante

7 Esperienza per l apprendimento-2/: Il sistema come modello del problema. Scrivere le relazioni che legano le incognite tra di loro e con i dati del problema I FASE: Collegamento tra problemi e sistemi lineari A) La classe è divisa in gruppi di sei studenti ciascuno. Si prende questo sestetto come modulo per eseguire l esperienza e valutarla tra pari. Per semplicità attribuiamo una lettera ad ogni studente A;B;C;D;E;F. B) Suddividiamo in 3 coppie ogni gruppo (A-B, C-D, E-F) e assegniamo a ciascuna coppia una serie di esercizi (di cui di seguito si fornisce un esempio). C) All interno di ogni coppia gli studenti dovranno prima risolvere da soli ogni singolo esercizio della serie e poi confrontare la soluzione con l altro membro della coppia. La serie di esercizi da sottoporre a ciascuna coppia all interno del sestetto sono di difficoltà e contenuti equivalenti. Per risolvere ciascun esercizio dovranno leggere attentamente il testo e poi procedere alla risposta. Serie di Esercizi tipo da risolvere in coppia 1. Trova due numeri la cui somma è 23 e la cui differenza è 9. Segui le istruzioni a) indica con x e y i due numeri b) scrivi la somma di questi due numeri e ponila uguale a 23 c) scrivi la differenza di questi due numeri e ponila uguale a 9 d) hai scritto le due relazioni/equazioni che risolvono il problema. Legale con una parentesi graffa. Hai ottenuto il sistema. 2. Devo pagare con 21 monete una somma di 32 presso una cassa automatica che accetta solo monete da 1 e da 2. Quante monete da 1 e da 2 devo rispettivamente procurare? Per risolvere il problema segui le istruzioni: a) indica con x e con y i due tipi di monete b) scrivi la relazione corrispondente all informazione sul numero totale di monete c) scrivi la relazione corrispondente all informazione sulla cifra totale da comporre con i due tipi di monete d) hai scritto le due relazioni/equazioni che risolvono il problema. Legale con una parentesi graffa. Hai ottenuto il sistema. 3. Collega ogni problema con il sistema corrispondente: 1) Trova due numeri sapendo che la somma del doppio del primo e del triplo del secondo è 21, mentre la differenza tra il triplo del primo e il secondo è 4 a) x + y = 35 3 x = y 4 2) Calcola il numero di polli e di conigli in un cortile sapendo che si contano 35 teste e 94 zampe b) 3) Ad una riunione partecipano 35 persone tra uomini e donne. Qual è il numero degli uomini se sono i 4 3 delle donne? c) 2x + 3y = 21 3x y = 4 x + y = 35 2x + 4y = 94 D) Quando le 3 coppie hanno terminato, all interno dello stesso sestetto creiamo altre coppie (per 7

8 esempio A-C, B-E, D-F ) che dovranno lavorare con la modalità precedente. E) Dopo un altro scambio tutti i ragazzi avranno risolto tutte tre le serie di esercizi proposti e avranno avuto modo al termine delle risposte di comprendere le procedure e di valutare fra pari il livello di acquisizione dei contenuti e del processo di apprendimento. La domanda che ci poniamo è: II FASE: Risolvere problemi con i sistemi lineari Il linguaggio algebrico ci aiuta a risolvere un problema di vita reale? Serie di Esercizi tipo da risolvere in coppia C) Prova a scrivere un problema di argomento aritmetico che si può risolvere con questo sistema. x + y = 12 x = 3y 2. Scrivi un problema di vita reale quotidiana che si risolve con il sistema proposto nel quesito precedente. Serie di Esercizi da risolvere singolarmente come prova di valutazione per il miglioramento Scrivi il sistema relativo a ciascun problema proposto: 1) Trova due numeri tali che il loro rapporto sia 5 3 e la loro somma sia ) Trova due numeri tali che la somma del doppio del primo con il triplo del secondo sia uguale a 5 e tale che il primo sia uguale alla differenza fra 3 e il doppio del secondo. 3) La nonna ha 30 caramelle al gusto di limone e arancia. Quelle al limone sono la quinta parte di quelle all arancia. Quante sono rispettivamente le caramelle al limone e quelle all arancia? 4) L età di un padre supera di 6 anni il triplo dell età del figlio; tra 15 anni l età del padre sarà il doppio dell età del figlio. Calcolare l età attuale del padre e del figlio. 5) In uno scaffale di un supermercato vi sono scatole di fagioli e di ceci. Sapendo che il numero delle scatole di fagioli supera di 12 quelle di ceci, trovare quante sono rispettivamente le scatole di fagioli e di ceci. Scrivi le tue considerazioni. 6) In un negozio di articoli sportivi vi sono 31 scatole di palline da tennis. Alcune scatole contengono 3 palline e altre ne contengono 4. In totale vi sono 104 palline. Quante scatole da 3 e quante da 4 palline vi sono? Abilità/competenza: comprendere il testo, capire le relazioni che legano le due incognite, scrivere le espressioni algebriche che traducono le relazioni tra incognite e dati. Disposizione della mente: essere precisi e accurati, verificare di aver utilizzato tutti i dati del problema o l eventuale mancanza di alcuni di essi nel testo del problema. Valutazione continua: autovalutazione e interrogazione casuale dell insegnante e valutazione scritta attraverso una serie di esercizi: Esperienza per l apprendimento3/: Metodo di sostituzione per la risoluzione di un sistema A) La classe è divisa in gruppi di sei studenti ciascuno. Si prende questo sestetto come modulo per 8

9 eseguire l esperienza e valutarla tra pari. Per semplicità attribuiamo una lettera ad ogni studente A;B;C;D;E;F. B) Suddividiamo in 3 coppie ogni gruppo (A-B, C-D, E-F) e assegniamo a ciascuna coppia una serie di esercizi (di cui di seguito si fornisce un esempio). C) All interno di ogni coppia gli studenti dovranno prima risolvere da soli ogni singolo esercizio della serie e poi confrontare la soluzione con l altro membro della coppia. La serie di esercizi da sottoporre a ciascuna coppia all interno del sestetto sono di difficoltà e contenuti equivalenti. Per risolvere ciascun esercizio dovranno leggere attentamente il testo e poi procedere alla risposta. 1. Risolvi il seguente sistema: Serie di Esercizi tipo da risolvere in coppia x + 3y = 9 2x y = 4 Segui le istruzioni: a) Esplicita da una delle due equazioni una delle due incognite ( ad esempio la x dalla prima) b) Sostituisci l espressione trovata per l incognita x nell altra equazione; si ottiene una equazione in una sola incognita (y) c) Risolvi l equazione in y d) Sostituisci il valore di y trovato nell espressione di x e) Calcola il valore di x f) Hai ottenuto i valori di x e di y, soluzioni del sistema. g) Puoi verificare la correttezza della soluzione andando a sostituire i valori di x e di y trovati nelle due equazioni del sistema e controllando che sono due uguaglianze soddisfatte per tali valori. 2. L insegnante propone altri due sistemi che le coppie risolvono seguendo la procedura proposta. D) Dopo un altro scambio tutti i ragazzi avranno risolto tutti i 3 le serie di esercizi proposti e avranno avuto modo al termine delle risposte di comprendere le procedure e di valutare fra pari il livello di acquisizione dei contenuti e del processo di apprendimento. Serie di Esercizi da risolvere singolarmente come prova di valutazione per il miglioramento Risolvi i seguenti sistemi: a) b) c) 4x + y = 7 x y = 3 2x y = 1 x + 3y = 11 6x = 5y 2x y = 12 Abilità/competenza: Risoluzione del sistema con applicazione del metodo di sostituzione. Disposizione della mente: accuratezza e precisione nei passaggi algebrici Valutazione continua: Autovalutazione tra coppie, interrogazione casuale dell insegnante 9

10 Esperienza per l apprendimento 4/: Metodo di confronto per la risoluzione di un sistema A) La classe è divisa in gruppi di sei studenti ciascuno. Si prende questo sestetto come modulo per eseguire l esperienza e valutarla tra pari. Per semplicità attribuiamo una lettera ad ogni studente A;B;C;D;E;F. B) Suddividiamo in 3 coppie ogni gruppo (A-B, C-D, E-F) e assegniamo a ciascuna coppia un esercizio (di cui di seguito si fornisce un esempio). C) All interno di ogni coppia gli studenti dovranno prima risolverlo da soli e poi confrontare la soluzione con l altro membro della coppia. La serie di esercizi da sottoporre a ciascuna coppia all interno del sestetto sono di difficoltà e contenuti equivalenti. Per risolvere ciascun esercizio dovranno leggere attentamente il testo e poi procedere alla risposta. Esercizio tipo da risolvere in coppia 1. Risolvi il seguente sistema: y = 2x + 4 7x 2y = 3 Segui le istruzioni: a) Esplicita da entrambe le equazioni la stessa incognita ( ad esempio la y) b) Confronta le due espressioni trovate, uguagliando una all altra. c) Ottieni così un equazione in una sola incognita (x) d) Risolvi l equazione in x d) Sostituisci il valore di x trovato in una qualsiasi delle due espressioni di y, e) Calcola il valore di y f) Hai ottenuto i valori di x e di y, soluzioni del sistema. g) Puoi verificare la correttezza della soluzione andando a sostituire i valori di x e di y trovati nelle due equazioni del sistema e controllando che sono due uguaglianze soddisfatte per tali valori. C) L insegnante propone altri due sistemi che le coppie risolvono seguendo la procedura proposta. D) Al terzo scambio tutti i ragazzi avranno risolto tutti e 3 gli esercizi proposti e avranno avuto modo al termine delle risposte di comprendere le procedure e di valutare fra pari il livello di acquisizione dei contenuti e del processo di apprendimento. Risolvi i seguenti sistemi: Serie di Esercizi da risolvere singolarmente come prova di valutazione per il miglioramento a) b) 2x y = 5 x + 4y = 2 3x = 4y 3x + 8y =

11 c) 1 19 x + 2y = = x y 4 4 Abilità/competenza: Risoluzione del sistema con applicazione del metodo di confronto. Disposizione della mente: accuratezza e precisione nei passaggi algebrici Valutazione continua: Autovalutazione tra coppie, interrogazione casuale dell insegnante Esperienza per l apprendimento 5/: Rappresentazione grafica di una retta su un piano cartesiano. A) La classe è divisa in gruppi di sei studenti ciascuno. Si prende questo sestetto come modulo per eseguire l esperienza e valutarla tra pari. Per semplicità attribuiamo una lettera ad ogni studente A;B;C;D;E;F. B) Suddividiamo in 3 coppie ogni gruppo (A-B, C-D, E-F) e assegniamo a ciascuna coppia una serie di esercizi (di cui di seguito si fornisce un esempio). C) All interno di ogni coppia gli studenti dovranno prima risolvere da soli ogni singolo esercizio della serie e poi confrontare la soluzione con l altro membro della coppia. La serie di esercizi da sottoporre a ciascuna coppia all interno del sestetto sono di difficoltà e contenuti equivalenti. Per risolvere ciascun esercizio dovranno leggere attentamente il testo e poi procedere alla risposta. Serie di Esercizi tipo da risolvere in coppia 1. Data l equazione y = 2x, scrivi la tabella corrispondente e riporta le coppie di numeri sul piano cartesiano. Che grafico hai ottenuto? 2. Individua sul piano cartesiano i punti A(+1, +6) e B(-1, -6). Scrivi l equazione della retta che si ottiene congiungendo i due punti. 3. Data l equazione y = 2 x + 3, scrivi la tabella corrispondente e riporta le coppie di numeri sul piano cartesiano. Che grafico hai ottenuto? 2. Individua sul piano cartesiano i punti A(+1, +3) e B(+3, +7). Scrivi l equazione della retta che si ottiene congiungendo i due punti. 4. Rappresenta la retta su cui giacciono i punti che hanno l ascissa pari al triplo dell ordinata e scrivine la sua equazione. Serie di Esercizi da risolvere singolarmente come prova di valutazione per il miglioramento 1. Data l equazione y = 3x, scrivi la tabella corrispondente e riporta le coppie di numeri sul piano cartesiano. Che grafico hai ottenuto? 2. Individua sul piano cartesiano i punti A(+1, -4) e B(2, -8). Scrivi l equazione della retta che si ottiene congiungendo i due punti. 3. Data l equazione y = x + 3, scrivi la tabella corrispondente e riporta le coppie di numeri sul 11

12 piano cartesiano. Che grafico hai ottenuto? 4. Individua sul piano cartesiano i punti A(-1, 0) e B(+2, +3). Scrivi l equazione della retta che si ottiene congiungendo i due punti. 5. Rappresenta la retta su cui giacciono i punti che hanno l ordinata pari all opposto del doppio dell ordinata e scrivine la sua equazione. 6. Dall osservazione della retta nel seguente grafico scrivine la sua equazione : Abilità/competenza: Comprendere il testo e rappresentarle graficamente Disposizione della mente: Applicare le conoscenze a nuove situazioni. Essere precisi nel disegno. Osservare i diversi tipi di grafico e fare valutazioni a riguardo. Valutazione continua: Autovalutazione tra coppie Esperienza per l apprendimento 6/: Risolvere il sistema con il metodo grafico. A) La classe è divisa in gruppi di sei studenti ciascuno. Si prende questo sestetto come modulo per eseguire l esperienza e valutarla tra pari. Per semplicità attribuiamo una lettera ad ogni studente A;B;C;D;E;F. B) Suddividiamo in 3 coppie ogni gruppo (A-B, C-D, E-F) e assegniamo a ciascuna coppia una serie di esercizi (di cui di seguito si fornisce un esempio). C) All interno di ogni coppia gli studenti dovranno prima risolvere da soli ogni singolo esercizio della serie e poi confrontare la soluzione con l altro membro della coppia. La serie di esercizi da sottoporre a ciascuna coppia all interno del sestetto sono di difficoltà e contenuti equivalenti. Per risolvere ciascun esercizio dovranno leggere attentamente il testo e poi procedere alla risposta. I FASE: Rappresentare graficamente un sistema lineare 12

13 Serie di Esercizi tipo da risolvere in coppia x y = 3 1. Risolvi graficamente il sistema: x + y = 7 In un piano cartesiano dopo aver fissato l unità di misura, segui le istruzioni: a) rappresenta graficamente la retta espressa dalla prima equazione del sistema b) rappresenta graficamente la retta espressa dalla seconda equazione del sistema c) individua le coordinate del loro punto di incontro d) rifletti: le coordinate di tale punto sono la soluzione del sistema? Se la risposta è affermativa trovane delle argomentazioni valide. x y = 3 2. Risolvi graficamente il sistema: 2x + y = 3 In un piano cartesiano dopo aver fissato l unità di misura, segui le istruzioni: a) rappresenta graficamente la retta espressa dalla prima equazione del sistema b) rappresenta graficamente la retta espressa dalla seconda equazione del sistema c) individua le coordinate del loro punto di incontro d) hai trovato la soluzione del sistema rifletti: le coordinate di tale punto sono la soluzione del sistema? Se la risposta è affermativa trovane delle argomentazioni valide. 3. Risolvi graficamente il sistema: 3x y = 1 x + 2y = 5 In un piano cartesiano dopo aver fissato l unità di misura, segui le istruzioni: a) rappresenta graficamente la retta espressa dalla prima equazione del sistema b) rappresenta graficamente la retta espressa dalla seconda equazione del sistema c) individua le coordinate del loro punto di incontro d) hai trovato la soluzione del sistema rifletti: le coordinate di tale punto sono la soluzione del sistema? Se la risposta è affermativa trovane delle argomentazioni valide. D) Quando le 3 coppie hanno terminato, creiamo altre coppie (per esempio A-C, B-E, D-F ) che dovranno lavorare con la modalità precedente. E) Dopo un altro scambio tutti i ragazzi avranno risolto tutti i 3 quesiti proposti e avranno avuto modo al termine delle risposte di comprendere le procedure e di valutare fra pari il livello di acquisizione dei contenuti e del processo di apprendimento. II FASE: Scrivere il sistema lineare corrispondente a una rappresentazione grafica A) L insegnante sottopone a ogni coppia del sestetto un grafico con la rappresentazione di due rette. Gli alunni in coppia devono scrivere le equazioni che rappresentano le rette e il sistema corrispondente a un problema di cui scrivere il testo. 1. Grafico per una coppia. 13

14 2. Grafico per la seconda coppia 3. Grafico per la terza coppia 14

15 III FASE: Collegare grafici e sistemi lineari A) La classe è divisa in gruppi di sei studenti ciascuno. Si prende questo sestetto come modulo per eseguire l esperienza e valutarla tra pari. Per semplicità attribuiamo una lettera ad ogni studente A;B;C;D;E;F. B) Suddividiamo in 3 coppie ogni gruppo (A-B, C-D, E-F) e assegniamo a ciascuna coppia una serie di esercizi (di cui di seguito si fornisce un esempio). C) All interno di ogni coppia gli studenti dovranno prima risolvere da soli ogni singolo esercizio della serie e poi confrontare la soluzione con l altro membro della coppia. La serie di esercizi da sottoporre a ciascuna coppia all interno del sestetto sono di difficoltà e contenuti equivalenti. Per risolvere ciascun esercizio dovranno leggere attentamente il testo e poi procedere alla risposta. Serie di Esercizi tipo da risolvere in coppia 1. Sapresti scrivere un problema di argomento aritmetico che si può risolvere con questo sistema? x y = 2 x = 2y 2. Risolvi graficamente i seguenti sistemi: a) y = x 1 y = 2x + 2 b) c) 2x y = 4 x + 3y = 5 3x = 2 3y 2y = 3 2x Dalle rappresentazioni che hai costruito da cosa è rappresentata graficamente la soluzione del sistema? 15

16 Riferisci le tue considerazioni 4) Rappresenta questo sistema sul piano cartesiano 2x + y 2 = 0 6x + 3y = 6 Che cosa puoi osservare? Scrivi le tue considerazioni. Abilità/competenza: Interpretare le relazioni del sistema e rappresentarle graficamente Disposizione della mente: Applicare le conoscenze a nuove situazioni. Essere precisi nel disegno. Verificare l esistenza o meno della soluzione Valutazione continua: Autovalutazione tra coppie Esperienza per l apprendimento 7/: Problemi con tre incognite A) La classe è divisa in gruppi di sei studenti ciascuno. Si prende questo sestetto come modulo per eseguire l esperienza e valutarla tra pari. Per semplicità attribuiamo una lettera ad ogni studente A;B;C;D;E;F. B) Suddividiamo in 3 coppie ogni gruppo (A-B, C-D, E-F) e assegniamo a ciascuna coppia una serie di esercizi (di cui di seguito si fornisce un esempio). C) All interno di ogni coppia gli studenti dovranno prima risolvere da soli ogni singolo esercizio della serie e poi confrontare la soluzione con l altro membro della coppia. La serie di esercizi da sottoporre a ciascuna coppia all interno del sestetto sono di difficoltà e contenuti equivalenti. Per risolvere ciascun esercizio dovranno leggere attentamente il testo e poi procedere alla risposta. 16 Serie di Esercizi tipo da risolvere in coppia x + y + z = 1 1. Risolvi il seguente sistema: 2x + y z = 6 x y + 2z = 5 Segui le istruzioni: a) esplicita da una delle tre equazioni una delle tre incognite: ad es. la z dalla prima equazione b) sostituisci il valore di z appena trovato nelle altre due equazioni all incognita z. c) le due equazioni nelle quali hai sostituito z non contengono più l incognita z. d) risolvi il sistema costituito dalla seconda e terza equazione nelle sole incognite x e y e) trovati i valori di x e di y sostituiscili nella prima equazione dove hai esplicitato z f) scrivi la terna che è la soluzione del sistema 2. Determinare tre numeri sapendo che la loro somma è 70, che il primo è i 5 2 del terzo e che il secondo supera di 4 il doppio del primo. Segui le istruzioni: a) indica con x, y, e z i tre numeri b) esprimi algebricamente la prima informazione ( la somma è 70) c) esprimi algebricamente la seconda informazione ( il primo è ) d) esprimi algebricamente la terza informazione ( il secondo è ) e) hai scritto il sistema f) risolvi il sistema, trovando i tre numeri g) verifica la correttezza della soluzione

17 3. Sara ha acquistato 8 penne, 3 quaderni e 2 gomme e ha speso complessivamente 26 euro. Sapendo che il prezzo di una penna è inferiore di 1 euro a quello di un quaderno ed è 4 volte quello di una gomma, determina il prezzo di ciascun oggetto. Traduci il problema in un sistema di tre equazioni e risolvilo. Verifica la correttezza della soluzione. Serie di Esercizi da risolvere singolarmente come prova di valutazione per il miglioramento 1. Risolvi il seguente sistema e verifica la correttezza della soluzione. 7y = 21 8x + 5y = 31 4x + 3y + 6z = Risolvi il seguente sistema e verifica la correttezza della soluzione. x + y = 7 x + z = 8 y + z = 9 3. Ho chiesto a Marco la sua età, quella di suo padre e quella di suo nonno. Marco ha risposto: la mia età e quella di mio padre è di 56 anni; mio padre e mio nonno hanno insieme 100 anni; la mia età e quella di mio nonno è di 80 anni. Trova le età di ciascuno. Abilità/competenza: Interpretare le relazioni del problema, tradurle in espressioni algebriche, scrivere il sistema e risolverlo. Disposizione della mente: Applicare le conoscenze a nuove situazioni. Verificare l esistenza o meno della soluzione e la sua correttezza. Valutazione continua: Autovalutazione tra coppie e interrogazione casuale dell insegnante Esperienza dell apprendimento 7/: Problema di verifica dell apprendimento 17

18 RISOLUZIONE A GRANDI LINEE (1) Quando organizzi un pranzo con soli due alimenti, puoi scegliere tra due possibilità in base alla TABELLA 2 che fornisce il fabbisogno complessivo richiesto per il pranzo. Dal calcolo che ti propongo avrai le quantità di cui ti potrai avvalere. PRIMA POSSIBILITA - PRANZO CON PASTA E VERDURA Dai dati forniti dalle due tabelle imposto il modello di sistema algebrico che traduce la modalità di pranzo con pasta e verdura che soddisfi il fabbisogno complessivo consigliato (800calorie e 80 carboidrati in tutto) Pongo P = quantità di pasta incognita (da moltiplicare per 100g.) Pongo V= quantità di verdura incognita (da moltiplicare per 100g.) 600P + 25V = P + 0V = 80 Informazione sulle calorie Informazione sui carboidrati Risolvendo il sistema con il metodo di sostituzione risulta P = 1 e V =8 Quindi moltiplicando le quantità trovate per il fattore 100g. si ottengono le quantità cercate : PASTA = 100g. e VERDURA = 800g. Commento al risultato: E facile che una alimentazione composta da due soli alimenti possa risultare quantitativamente sbilanciata. Forse ti sembrerà troppa la quantità di verdura rispetto alla pasta. Considera però che per verdura puoi intendere anche la frutta. Aumentando il numero di alimenti o variandone il tipo ( carne e verdura ) questo non accadrà. Questa domanda ammette anche un interpretazione grafica : Commento al grafico Tracciando sul piano cartesiano le rette rappresentate dalle equazioni del sistema con la grandezza PASTA in ASCISSA e VERDURA in ORDINATA si osserva che la soluzione è data dalla coppia (1; 8) rappresentata dal punto B del grafico SECONDA POSSIBILITA - PRANZO CON CARNE E VERDURA Dai dati forniti dalle due tabelle imposto il modello di sistema algebrico che traduce la modalità di pranzo con carne e verdura che soddisfi il fabbisogno complessivo consigliato (60 proteine e 500calorie in tutto) 18

19 Pongo C = quantità di carne incognita (da moltiplicare per 100g.) Pongo V= quantità di verdura incognita (da moltiplicare per 100g.) 20C + 5V = C + 25V = 500 Informazione sulle proteine Informazione sulle calorie Dividendo i termini della prima equazione per 5 e i termini della seconda equazione per 25 il sistema si riduce a 4C + V 8C + V = 12 = 20 Informazione sulle proteine Informazione sulle calorie Risolvendo il sistema con il metodo di confronto risulta C = 2 e V = 4 Quindi moltiplicando le quantità trovate per il fattore 100g. si ottengono le quantità cercate : CARNE = 200g. e VERDURA = 400g. Commento al risultato: Come vedi in questo caso dove gli alimenti sono di tipo diverso abbiamo una dieta più sopportabile relativamente alle quantità. Questa domanda ammette anche un interpretazione grafica : Commento al grafico Tracciando sul piano cartesiano le rette rappresentate dalle equazioni del sistema con la grandezza CARNE in ASCISSA e VERDURA in ORDINATA si osserva che la soluzione è data dalla coppia (2; 4) rappresentata dal punto B del grafico (2) Quando invece organizzi una cena con tre alimenti, in base alla TABELLA 2 che fornisce il fabbisogno complessivo richiesto per i tre alimenti combinati insieme hai una sola possibilità. Dal calcolo che ti propongo avrai le quantità di cui ti potrai avvalere. CENA CON PASTA, CARNE E VERDURA Dai dati forniti dalle due tabelle imposto il modello di sistema algebrico che traduce la modalità di cena con pasta, carne e verdura che soddisfi il fabbisogno complessivo consigliato (45 proteine, 850 calorie e 80 carboidrati in tutto) Pongo P = quantità di pasta incognita (da moltiplicare per 100g.) Pongo C = quantità di carne incognita (da moltiplicare per 100g.) Pongo V= quantità di verdura incognita (da moltiplicare per 100g.) Si tratta di impostare un modello algebrico di sistema di tre equazioni in tre incognite per il quale non prevede una rappresentazione grafica come nei due casi precedenti 19

20 15 P + 20C + 5V = P + 200C + 25V = P + 0C + 0V = 80 Informazione sulle proteine Informazione sulle calorie Informazione sui carboidrati Risolvendo il sistema con il metodo di sostituzione risulta P = 1, C = 1 e V = 2 Quindi moltiplicando le quantità trovate per il fattore 100g. si ottengono le quantità cercate : PASTA = 100g., CARNE = 100g. e VERDURA = 200g. Commento al risultato: In questo terzo caso, come nel secondo, le quantità sono ben distribuite sui vari alimenti e la dieta risulta sopportabile e piacevole. Tieni conto di questi consigli e vedrai che otterrai sicuramente gli effetti sperati PROVA INIZIALE ATTIVITA IN PALESTRA Il Personal Trainer mi consiglia di praticare una serie di attività in palestra, costantemente, due volte a settimana per mantenermi in forma. Considerati i miei impegni di studio, posso praticare il tapis roulant e la cyclette il martedì, mentre il venerdì, avendo più tempo a disposizione, posso dedicarmi anche alla macchina per gli addominali oltre al tapis roulant e alla cyclette. Mi è stata fornita la tabella relativa ai consumi energetici per 10 minuti di attività fisica nelle varie discipline suddivise in calorie, carboidrati e proteine. Calorie Carboidrati (g.) Proteine (g.) T = Tapis roulant Trascurabile (= 0) C = Cyclette Trascurabile (= 0) A = macchina per Addominali L allenatore mi consiglia i seguenti consumi il martedì e il venerdì: Calorie Carboidrati (g.) Proteine (g.) Martedì ( T + C ) Venerdì ( T + C + A ) Rispondi per iscritto indicando i tempi da dedicare a ciascuna attività fisica rispettivamente il martedì e il venerdì. Nel caso in cui sia possibile rispondi anche con l aiuto di un grafico. 20