ESERCIZI DI MATEMATICA FINANZIARIA DIPARTIMENTO DI ECONOMIA E MANAGEMENT UNIFE A.A. 2016/2017

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1 ESERCIZI DI MATEMATICA FINANZIARIA DIPARTIMENTO DI ECONOMIA E MANAGEMENT UNIFE A.A. 2016/2017 Eserizi svolti a lezione (diembre 2016) Valutazioni di operazioni finanziarie Eserizio 1. Un titolo on vita residua di 18 mesi, aquistato per un nominale pari a N, paga edole annuali on tasso edolare i > 0. Determinare quanto può essere al massimo il orso seo del titolo affinhé il rendimento sia positivo. Soluzione. Il valore della edola del titolo è pari a = N i. Il titolo prevede la orresponsione di una edola fra 6 mesi e di un altra edola fra un anno e mezzo, unitamente al rimborso del valore nominale. Quindi G(x) = C tq + +. (1+x) 1 2 (1+x) 3 2 Poihé il rendimento r è il TIR dell investimento, abbiamo he C tq + + = 0 (1+r) 1 2 (1+r) 3 2 da ui otteniamo he il orso tel quel del titolo è C tq = +. (1+r) 1 2 (1+r) 3 2 Il orso seo del titolo si ottiene sorporando dal suo orso tel quel una quota della edola, ossia il rateo della edola. Poihé il periodo di maturazione della edola non di ompetenza dell aquirente del titolo è di 6 mesi (esattamente la metà), il rateo è pari a RT = 1 2 = 1 2 in, quindi il orso seo del titolo è pari a C s = C tq RT = + 1 (1+r) 1 2 (1+r) in. Consideriamo il orso seo ome funzione del rendimento r, on r 0: C s (r) = + 1 (1+r) 1 2 (1+r) in. 1

2 2 ESERCIZI DI MATEMATICA FINANZIARIA Tale funzione è evidentemente strettamente deresente su tutto il dominio (si vede failmente he C s(r) < 0 per ogni r 0), dunque C s (r) ammette il suo massimo valore proprio in orrispondenza del minimo valore (limite) aettabile di r, ossia quando r = 0. Pertanto, essendo C s (r) < C s (0) = N (1+ 3 ) 2 i, per ogni r > 0, il orso seo non puó mai raggiungere il valore limite N( i). Tanto per fissare le idee, se N = 100 e i = 10%, allora il massimo valore (limite) del orso seo di un tale titolo sarebbe pari a 115 euro. Eserizio 2. Un investimento biennale è desritto dal seguente ash-flow {(0, 10000);(1,8000);(2,6500)}. a) Determinare il TIR dell investimento; b) se i osti opportunitá sono i 1 = 20% nel primo anno e i 2 = 25% nel seondo, si determini il GVAN dell investimento; ) determinare le due quote di periodo g 1 e g 2 he sompongono il GVAN trovato al punto preedente in funzione dell outstanding apital non riorsivo w relativo alla data t = 1 e verifare he la loro somma dia effettivamente il GVAN trovato al punto preedente. Soluzione. a) Per il alolo del TIR, si imposta l equazione x (1+x) 2 = 0, nella variabile x > 1. L unia soluzione aettabile (si può failmente srivere ome una equazione di seondo grado) è x = 30%. b) Il GVAN rihiesto è dato da GVAN = , = 1000 > 0, 1,2 1,25 il he signifia he a quei osti opportunità l investimento è onveniente, perhé garantise un pulsvalore di 1000 euro. ) Riordando he la formula generale della quota di periodo k-esima del VAN di un qualunque investimento A a osto opportunitá i è data da g k (i) = w k +a k w k 1 (1+i) (1+i) k, e tenendo onto del fatto he dobbiamo adattarla perhé noi in questo aso abbiamo a he fare on un GVAN, si ha he le due quote di periodo g 1 (i 1 ) e g 2 (i 1,i 2 ), he sompongono il GVAN trovato al punto preedente, tenendo

3 ESERCIZI DI MATEMATICA FINANZIARIA 3 onto he l outstanding apital all epoa t = 1 è generiamente w, sono date da g 1 (i 1 ) = w 4000, g 2 (i 1,i 2 ) = ,25w 1,2 (1,2)(1,25). Verifiate he effettivamente g 1 +g 2 = 1000, omunque sia selto w. Durata Media Finanziaria (Duration) Eserizio 3. Un titolo in sadenza tra 2 anni paga una edola di importo aleatorio tra un anno e un importo siuro finale di 309e. Supponendo di rihiedere a tale titolo un rendimento del 3%, a quanto dovrebbe ammontare la edola del primo anno se desiderate he la duration sia esattamente di un anno e mezzo? Soluzione. Il titolo è desritto dal seguente DCF: G(x) = P + 1+x (1+x) 2. Poihé il rendimento rihiesto del 3% oinide on il TIR dell investimento, abbiamo he P + 1, (1,03) 2 = 0 da ui otteniamo he il prezzo del titolo è P = 1, (1,03) 2. La duration del titolo si ottiene appliando la seguente formula: D = 1, (1,03) 2 Poihé D = 1,5, allora deve essere P = 1, (1,03) 2 1, , = 1, (1,03) 2 1, = 1,5 1, = 1, ,5 1, ,515 = 154,5 = 300e. Eserizio 4. Un titolo presenta il seguente ash-flow: {(0; 1000),(1;500),(2;538,125)}. Stabilire se la duration di tale titolo ade a meno di sei mesi della sua sadenza naturale.

4 4 ESERCIZI DI MATEMATICA FINANZIARIA Soluzione. Prima di tutto, bisogna determinare il rendimento di tale titolo, ossia il TIR. Il disounted ash-flow è dato da G(x) = x + 538,125 (1+x) 2. L equazione algebria G(x) = 0 è di seondo grado: se la risolvete nella variabile v = 1/(1+x), risulterá 538,125v v 1000 = 0. Tale equazione ammette una sola soluzione aettabile, ossia positiva, e, se poi ritornate alla variabile originaria, troverete he x = 2,5%. Pertanto la duration di tale titolo è 500 1, ,125 2 (1,025) D = 2 1,512, 1000 ossia un anno e poo piú di sei mesi, quindi a meno di sei mesi della sua sadenza naturale. Eserizio 5. Un titolo obbligazionario A ha ash-flow pari a {(0; 1074,3419);(1;50);(2;50);(3;50);(4;1050)}; mentre un seondo titolo B ha ash-flow pari a {(0; 565,7222);(1;200);(2;200);(3;200)}. Supposto he i due titoli abbiano entrambi rendimento del 3%, volendo investire oggi un apitale pari a C = ,65e in quote sia di A he di B on duration di portafoglio pari a 3, trovare quante quote del titolo A e di B si devono aquistare. Soluzione. Caloliamo la duration di ogni titolo, on approssimazione alla seonda ifra deimale. Abbiamo he 50 1, (1,03) D A = (1,03) (1,03) 4 3, , 3419 D B = 200 1, (1,03) (1,03) 3 565, ,98. Usiamo per un attimo dal ontesto del nostro eserizio per fare un disorso piú generale. Supponiamo di avere a disposizione un erto apitale C e di volerlo dividere in due parti, dette C A e C B, per omperare quote di due titoli, detti rispettivamente A e B, he abbiano lo stesso rendimento. Denotiamo ora on α la frazione di apitale totale destinata a omprare quote del titolo A, ossia α = C A /C. Conseguentemente,

5 ESERCIZI DI MATEMATICA FINANZIARIA 5 é evidente he C B /C oinide on 1 α. A questo punto, si puó dimostrare he la duration di un portafoglio he ontiene sia quote di A he di B è sempre data da D A,B = αd A +(1 α)d B. (1) Cosa si intende per quote di un determinato titolo? Nei nostri eserizi, supporremo sempre (salvo diverso avviso) he il prezzo di un determinato titolo A (in simboli, P A ) fornito nel relativo ash-flow sia unitario, ossia quello di una quota. Pertanto, per sapere a quante quote di un erto titolo A (in simboli, n A ) ho diritto avendo a disposizione il apitale C A, é faile vedere he n A = C A /P A. Ad esempio, se in un ipotetio titolo A io sapessi he P A = 100e e he ho a disposizione un apitale C A = 500e, é hiaro he ho diritto a 5 quote da 100e iasuna, ossia n A = 500/100. Infine, si noti he, essendo α = C A /C, posso anhe srivere in generale he n A = αc/p A. Tornando al nostro eserizio, sfruttando l equazione (1), si ha he D A,B = αd A +(1 α)d B = 3 e se ora sostituiamo D A = 3,73 e D B = 1,98, otteniamo 3,73α+1,98(1 α) = 3 1,75α = 1,02 α 0,58. Pertanto, le quote del titolo A he si devono aquistare sono date da n A = C A = αc = 0, ,65 494,05. P A P A 1074, 3419 Allo stesso modo, si ha he le quote del titolo B da aquistare sono n B = C B P B = (1 α)c P B = (1 0,58) ,65 565, ,41.