Serie numeriche. 1 Definizioni e proprietà elementari

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1 Serie numeriche Definizioni e proprietà elementari Sia { } una successione, definita per ogni numero naturale n n. Per ogni n n, consideriamo la somma s n degli elementi della successione di posto d s n = = n k=n a k. (Nel caso in cui n = si tratta della somma dei primi n + elementi della successione). Ad s n si dà il nome di somma parziale n-sima. Al variare di n N, n n si ottiene unuova successione {s n } n n. Col simbolo n=n si intenderà la successione costituita dalle somme parziali {s n }. Definizione. Si definisce serie la successione {s n } delle somme parziali di una successione { } data. La serie si dirà convergente al numero reale s se si suole anche scrivere, in questo caso, La serie si dirà divergente positivamente se lim s n = s; n + n=n = s. si suole anche scrivere lim s n = + ; n + n=n = +. Lo studente dovrebbe rifuggire dall affascinante tentazione di definire una serie come una somma infinita: queste ultime non hanno significato.

2 2 analogamente la si dirà divergente negativamente se lim s n = ; n + si suole anche scrivere n=n =. Le serie convergenti e quelle divergenti non esauriscono tutte le possibilità: esiste anche il caso in cui la successione {s n } non ammette limite né finito né infinito; il caso in cui cioè essa non è regolare. In questo caso la serie si dice indeterminata. Nota.2 Per evitare di appesantire le notazioni, d ora in poi, assumeremo sempre che n =, con la convenzione che se la successione { } è definita solo per n n, si pone = per n < n. Questa convenzione, in concreto, ci permetterà di far partire una serie dal primo numero naturale utile. Esempio.3 La serie di Mengoli: Consideriamo la serie n= n(n + ). Un calcolo elementare mostra che n(n + ) = n n +. La somma parziale n-sima può essere allora scrittel modo seguente: Cosicché s n = n(n + ) = n n + = n +. ( lim s n = lim ) =. n n n + Esempio.4 La serie geometrica: Sia a un numero reale e consideriamo la serie

3 3 detta serie geometrica di ragione a. Si ha: s n = + a + a 2 + Moltiplicando quest uguaglianza per a si ottiene: Sottraendo la seconda dalla prima si ha: e, se a, as n = a + a 2 + a ( a)s n = + s n = an+ a. Se a >, lim n + = + e quindi pure lim n s n = + ; la serie quindi diverge positivamente. Se a <,lim n + = e quindi pure lim n s n = a ; la serie quindi è convergente e la sua somma è a. Infine se a <, la successione s n non tende ad alcun limite. La serie è, in questo caso, indeterminata. Proposizione.5 Condizione necessaria perché la serie converga è che sia lim =. n Dimostrazione Supponiamo la serie convergente e che la sua somma sia s. Allora, per definizione, lim n s n = s, dove {s n } é la successione delle somme parziali. Poiché s n s n = si ha: lim = lim s n s n = lim s n lim s n = s s = n + n + n + n + Questa condizione non é tuttavia sufficiente, come si vedrà tra poco con un controesempio. Nota.6 La condizione necessaria espressa dalla proposizione.5 costituisce un test preliminare per la convergenza di una serie che lo studente dovrebbe sempre eseguire prima di procedere alla verifica di altre (spesso ben più complicate) condizioni di convergenza. Ad esempio la serie certo non converge essendo lim n + n n + 2 n n + 2 =.

4 4 Teorema.7 (Criterio di Cauchy) Condizione necessaria e sufficiente perché la serie converga è che, per ogni ɛ > esista un n ɛ N tale che per ogni n > n ɛ e per ogni p N + si abbia n+p < ɛ k=n+ Dimostrazione Si tratta di una semplice applicazione del Criterio di Cauchy per le successioni. La serie data infatti converge, per definizione, se, e soltanto se converge la successione {s n } delle sue somme parziali. Perché questo accada, per il Criterio di Cauchy per le successioni, é necessario e sufficiente che per ogni ɛ > esista un n ɛ N tale che per ogni n, m > n ɛ, s m s n < ɛ. () Possiamo supporre che m > n: si potrà perciò scrivere m = n + p per un certo p N +. La condizione necessaria e sufficiente espressa dalla () può perció essere riscrittel modo seguente: n+p s n+p s n = < ɛ. k=n+ Esempio.8 La serie armonica: La serie n= è detta serie armonica. Essendo lim n + n =, la condizione necessaria della proposizione.5 è soddisfatta. Questa serie tuttavion converge. Per vederlo, consideriamo, per n, p N +, Scelto p = n, si ha: n+p k=n+ n k = n + + n n + p p n + p. 2n k=n+ k 2. (2) Se si sceglie ɛ 2 non sarà mai possibile trovare un n ɛ tale che per ogni p N + risulti n+p n+ k < ɛ,perché, per la (2), quest ultima disuguaglianza sarebbe violata dalla scelta di p = n ɛ

5 5 Definizione.9 Si dice che le serie e b n hanno lo stesso carattere se sono entrambe convergenti o se sono entrambe divergenti (positivamente o negativamente) o se sono entrambe indeterminate. È facile dimostrare che la relazione così introdottell insieme delle serie è una relazione d equivalenza. Se le serie e b n hanno lo stesso carattere, scriveremo brevemente b n. Proposizione. 2 Siano che = b n per ogni n > n. Allora Dimostrazione Poniamo e b n due serie. Supponiamo che esista un n N tale b n. a = n e b = n b n. Allora se con s n ed s n indichiamo rispettivamente le somme parziali di per n > n: e b n si ha, e n s n = a + k=n+ a k s n = b + n k=n+ b k = b + n k=n+ a k = b a + s n e da quest ultima uguaglianza si vede subito che le due serie o convergono entrambe (ma non necessariamente alla stessa somma) o divergono entrambe o sono entrambe indeterminate. 2 Il succo di questa proposizione è che cambiando i primi n termini di una serie non se ne altera il carattere (cioè il comportamento al limite).

6 6 Una facile conseguenza della proposizione precedente è il seguente Corollario. Siano e n N tali che per n > n, = b n+k. Allora b n due serie. Supponiamo che esistano un k Z ed un Dimostrazione Se k =, si è esattamente nella situazione della proposizione.. Supponiamo k > e definiamo unuova serie il cui termine generale sia La serie b n. se n n a n = se n + n n + k k se n > n + k a n ha, evidentemente lo stesso carattere della serie, perché differisce da quest ultima solo per l introduzione di k zeri (i quali certo non contribuiscono alle somme parziali). La serie a n ha lo stesso carattere della transitività della relazione, si completa la dimostrazione. b n per la proposizione.. Facendo uso della Si lascia come esercizio al lettore la dimostrazione del caso k <. 2 Criteri di convergenza In considerazione del fatto che abbiamo già ostra disposizione gli strumenti del calcolo integrale, introduciamo una funzione che ci faciliterà lo studio della convergenza di una serie. Definizione 2. Sia { } n N una successione. R + {} da Indichiamo con A(x) la funzione definita in A(x) = n x < n + ; n N. Diremo che A(x) è la funzione associata alla successione { }. Per ogni N N, fissato, la funzione A N (x), restrizione di A(x) all intervallo [, N + ] è una funzione a scala. Si ha evidentemente:

7 7 N+ A N (x)dx = N+ A(x)dx = a + + a N = s N. (3) D altra parte se y, ed N è il più grande intero che non supera y (cioè N = [y]), si ha: y A(x)dx = s N + a N (y N). (4) Le equazioni (3) e (4) suggeriscono di studiare il comportamento della serie dell integrale improprio A(x)dx. Supponiamo che la serie sia convergente, allora, necessariamente lim a N =. N + Ricordando che y N < e che y + se, e solo se, N +, si ha y lim y + Quindi A(x)dx è convergente ed inoltre: avendo posto simbolicamente = A(x)dx = A(x)dx = lim s N. N + lim s N. N + in termini Viceversa, la convergenza di A(x)dx non garantisce la convergenza della serie, a causa della presenza del termine a N (y N) sul quale non si ha, in generale, controllo. È chiaro, peró, che se lim N + a N =, allora la serie converge e lim s N = N + A(x)dx. La precedente discussione si può riassumere nella seguente: Proposizione 2.2 La serie è convergente, se, e soltanto se, lim a N = N + e la funzione A(x) associata ad { } ha integrale improprio convergente. valore dell integrale improprio coincide con la somma della serie. In questo caso, il

8 2. Serie a termini non negativi 8 2. Serie a termini non negativi Definizione 2.3 La serie è detta a termini non negativi se per ogni n N. Nota 2.4 In forza della proposizione., tutto quanto diremo in questa sezione, resta valido, con modifiche quasi evidenti, per le serie a termni definitivamente non negativi, quelle cioè per le quali esiste un n N tali che per n > n,. È un utile esercizio per lo studente volenteroso il riformulare la proposizioni qui dimostrate per questo caso più generale. Le serie a termini non negativi non possono essere indeterminate. Vale infatti il seguente Teorema 2.5 Una serie a termini non negativi o converge o diverge positivamente. Dimostrazione Sia {s n } la successione delle sommme parziali di è non decrescente. Infatti s n+ = s n + + s n. La successione {s n } essendo +. Se la successione {s n } è limitata superiormente, allora la serie ha come somma l estremo superiore di tale successione. Se la successione {s n } non è limitata superiormente, allorecessariamente lim s n = +. n + La proposizione 2.2 si può riformulare nel caso di serie a termini non negativi. Proposizione 2.6 Sia ad { }. Per ogni y si ha s N dove N = [y]. Quindi una serie a termini non negativi ad A(x) la funzione associata y A(x)dx s N. (5)

9 2. Serie a termini non negativi 9 (a) La serie (b) La serie improprio A(x)dx converge se, e soltanto se, converge l integrale improprio A(x)dx diverge positivamente se, e soltanto se, diverge positivamente l integrale Dimostrazione Notiamo innanzitutto che la (b) segue dalla (a) per esclusione (e viceversa), visto che una serie a termini non negativi può solo convergere o divergere positivamente. L abbiamo formulata solo per ragioni didattiche. Proviamo la (a). Se la serie converge, applicando il teorema dei due carabinieri alla (5), si ottiene che l integrale improprio converge alla somma della serie. Se converge l integrale improprio, dalla prima parte della (5), segue che anche lim N + s n < +. Teorema 2.7 (del confronto) Siano e b n due serie a termini non negativi. Supponiamo che b n per ogni n N. Allora se la seconda serie è convergente lo è anche la prima; se la prima è divergente, diverge anche la seconda. Dimostrazione Indichiamo, rispettivamente, con A(x) e B(x) le funzioni associate alle successioni { } e {b n }. Allora A(x) B(x), x. Basta adoperare la proposizione 2.6 ed il teorema del confronto per gli integrali impropri per ottenere il risultato. Nota 2.8 Vogliamo sottolineare, se ce ne fosse bisogno, che il teorema 2.7 non asserisce che, nell ipotesi che b n per ogni n N, le due serie, Si considerino ad esempio le serie e b n, hanno lo stesso carattere. 2 n e n +

10 2. Serie a termini non negativi Per ogni n N si ha 2 n n +. Tuttavia, come si è visto la serie positivamente. + 2 n è convergente, mentre la serie n + diverge Il teorema del confronto 2.7 suggerisce un metodo per studiare il comportamento di una serie: confrontarla con una serie il cui comportamento sia conosciuto. Ad esempio, studiamo il comportamento della serie Poiché n= (n + ) 2. (n + ) 2 <, n N+ n(n + ) la serie di Mengoli è una maggiorante della serie data. La serie di Mengoli è convergente; dunque converge pure la serie n= Prima di utilizzare in maniera più intensiva il teorema del confronto (e le sue conseguenze), conviene stabilire il seguente n 2. Teorema 2.9 (della serie di Cauchy) Sia { } una successione decrescente di numeri non negativi. Allora k= 2 k a 2 k. Dimostrazione Sia A(x) la funzione associata alla successione{ } e B(x) la funzione associata alla successione {2 k a 2 k}. Ricordando che A(x) = a [x] per ogni x, si vede facilmente che B(x) = 2 [x] a 2 [x].

11 2. Serie a termini non negativi Consideriamo l integrale improprio Col cambiamento di variabile x = 2 u, si ha A(x)dx. A(x)dx = (log 2) 2 u A(2 u )du. Tenuto conto della decrescenza di A(x) e delle proprietà di h(x) = 2 x si ha: 2 che si può anche scrivere: 2 2 [u]+ A(2 [u]+ )du B(u)du Applicando la proposizione 2.6, la convergenza di e quindi la convergenza di. 2 u A(2 u )du 2 2 u A(2 u )du 2 2 [u] A(2 [u]) du B(u)du. 2 k a 2 k implica la convergenza di k= B(u)du Negli altri casi si ragiona in maniera analoga. Esempio 2. (Serie armonica generalizzata) La serie n= n p (6) con p R + si chiama serie armonica generalizzata (d ordine p). Per p = si ottiene la serie armonica considerata in precedenza. Utilizziamo il Teorema 2.9 per studiare il carattere di questa serie. Si ha: n= (n) p = k= k= 2 k (2 k ) p ( 2 p ) k Quindi la serie (6) ha lo stesso carattere della serie geometrica di ragione 2 p. Quest ultima converge se, e soltanto se, 2 p < che si realizza se, e soltanto se, p >. Per < p la serie armonica generalizzata diverge positivamente.

12 2. Serie a termini non negativi 2 Esempio 2. Studiamo il comportamento della serie n=2 n(log n) p. Lasciamo al lettore il compito di verificare che la successione = applichiamo il teorema 2.9. n(log n) p é decrescente ed n=2 n(log n) p = k= 2 k 2 k (log 2 k ) p (log 2) p k= k p. La serie di partenza ha quindi lo stesso carattere di una serie armonica generalizzata. È quindi convergente per p > e divergente positivamente per < p. Due criteri di convergenza molto usati, si ottengono prendendo come termine di confronto la serie geometrica. Proposizione 2.2 (Criterio della radice) Sia una costante h < tale che n h definitivamente, allora la serie Se n > definitivamente, allora la serie data diverge positivamente. una serie a termini positivi. Se esiste é convergente. Dimostrazione Nel primo caso, dall ipotesi segue subito che la serie è maggiorata (definitivamente) dalla serie geometrica di ragione h <. er il teorema del confronto essa è allora convergente. Lasciamo al lettore la verifica del secondo caso. Proposizione 2.3 (Criterio del rapporto) Sia una costante h < tale che + Se + h definitivamente, allora la serie > definitivamente, allora la serie data diverge positivamente. una serie a termini positivi. Se esiste é convergente. Dimostrazione Dimostriamo il primo caso. Per semplicità, supponiamo che l ipotesi sia soddisfatta per tutti gli n (queston è una limitazione della generalità). Si ha allora: a ha, a 2 ha h 2 a,..., h h n a. Lostra serie è dunque maggiorata da a volte una serie geometriche convergente.

13 2. Serie a termini non negativi 3 Lemma 2.4 Siano e due costanti positive m e M tali che definitivamente risulti allora b n due serie a termini definitivamente positivi. Se esistono m b n M (7) b n. Dimostrazione Le due serie sono definitivamente positive, perciò esiste un n tale che per n n, > e b n >. Visto che vale la (7), esiste un n tale che, per n n (n n sicuramente), mb n Mb n. Dal teorema 2.7, segue l asserto. Teorema 2.5 Siano Se { } {b n }, allora e b n due serie, con b n. b n definitivamente positiva 3. Dimostrazione Intanto osserviamo che, dall ipotesi { } {b n }, segue che anche definitivamente positiva, per una semplice applicazione del teorema di permanenza del segno. In queste condizioni, { } {b n } è equivalente a dire che lim =. n + b n Scelto perciò ɛ > (in modo che ɛ > ), esiste n ɛ N tale che per n n ɛ si ha Dal lemma 2.4 segue l asserto. Corollario 2.6 Sia = b n c n per ogni n N con ɛ < b n < + ɛ. una serie a termini (definitivamente) positivi. lim c n = l >. Allora n + Dimostrazione Basta osservare che { } {lb n } ed applicare il teorema 2.5. b n. è Supponiamo che 3 In queste note adopereremo i simboli e di o-piccolo senza specificare n +, visto che + è l unico punto di accumulazione di N in R.

14 2. Serie a termini non negativi 4 Teorema 2.7 Siano Supponiamo che cioè, che = o(b n ). Se allora diverge anche e b n. b n due serie, tali che, definitivamente, e b n >. lim n + b n =, b n è convergente, allora converge anche. Se diverge, Dimostrazione Per la definizione di limite, scelto ɛ >, esiste n ɛ N tale che per n n ɛ si ha ɛ < b n < ɛ. Ne segue che A questo punto basta applicare il teorema 2.7. < ɛb n. I teoremi 2.5 e 2.7 ci permettono di studiare il comportamento di una serie a partire da un altra il cui comportamento sioto. Per esempio è spesso possibile confrontare una serie con una serie armonica generalizzata il cui comportamento è stato studiato nell esempio E.4. Si perviene così al cosiddetto criterio degli infinitesimi che enunciamo nella forma seguente Teorema 2.8 Sia esistano α > ed l con < l < + tali che una serie a termini (definitivamente) non negativi. Supponiamo che lim n + nα = l. Allora n= n α. In altre parole, se { } è infinitesima d ordine α rispetto a + n allora n= n α. A partire da una successione { } abbiamo costruito una funzione A(x) (a scala sugli intervalli limitati) e studiato la serie mediante l integrale improprio di A(x) su [, + [. Un modo elementare per costruire una successione, e poi una serie, consiste nel considerare una funzione f : [, + [ R e definire = f(n), n N. Un criterio di convergenza è, in questo caso, fornito dalla seguente:

15 2.2 Serie a termini di segno qualsiasi 5 Proposizione 2.9 Sia f : [, + [ R una funzione non negativa e decrescente. Posto = f(n), n N, la serie è convergente se e solo se è convergente l integrale improprio f(x)dx. Dimostrazione Innanzitutto, f, essendo monotona, è integrabile in ogni intervallo limitato. L integrale improprio converge se, e soltanto se, converge la serie f(x)dx Per la decrescenza di f(x), si ha: n+ n f(x)dx. + = f(n + ) n+ A questo punto basta applicare il teorema del confronto. n f(x)dx f(n) =. 2.2 Serie a termini di segno qualsiasi Definizione 2.2 Una serie si dice assolutamente convergente, se converge la serie Lemma 2.2 La serie. è assolutamente convergente, se, e soltanto se, la funzione A(x) associata alla successione { } ha integrale improprio assolutamente convergente. Dimostrazione Basta applicare la proposizione 2.6 alla serie a termini non negativi e tener conto del fatto che la funzione associata ad { } è la funzione A(x).

16 2.2 Serie a termini di segno qualsiasi 6 Dal lemma precedente e dal corrispondente teorema per gli integrali impropri, si ottiene subito: Teorema 2.22 Se la serie è assolutamente convergente, allora essa è convergente e si ha: a n. Come nel caso degli integrali impropri, esistono serie convergenti che non sono assolutamente convergenti. Ad esempio, la serie a termini di segno alterno n= ( ) n+ n è, come vedremo tra poco, convergente mon assolutamente convergente; la serie dei valori assoluti è infatti la serie armonica n che diverge positivamente. Per le serie a termini di segno alterno si ha il seguente criterio di convergenza. Teorema 2.23 (Criterio di Leibniz) Sia n= ( ) n, >, una serie a termini di segno alterno. Supponiamo che la successione { } sia decrescente e che lim =. Allora la serie n + è convergente. ( ) n Dimostrazione La successione {s 2n } delle somme parziali di posto pari è decrescente; infatti: perché a 2n+ + a 2n+2. s 2n+2 = s 2n a 2n+ + a 2n+2 s 2n Analogamente, la successione {s 2n+ } delle somme parziali di posto dispari è crescente. Infatti, s 2n+ = s 2n + a 2n a 2n+ s 2n+

17 2.2 Serie a termini di segno qualsiasi 7 perché a 2n a 2n+. D altra parte, s 2n = s 2n + a 2n (8) e quindi s s 3... s 2n s 2n... s 4 s 2. Allora entrambe le successioni {s 2n } e {s 2n } sono monotone e limitate e perció entrambe convergenti. Dalla (8) si deduce facilmente che esse convergono allo stesso limite. Concludiamo con alcune osservazioni.. Il fatto che una serie a termini di segno alterno ( ) n (9) converga, non implica che convergano le due serie a termini positivi a 2n e a 2n+ () costituite, rispettivamente, dai valori assoluti dei termini di posto pari e dai valori assoluti dei termini di posto dispari. Anzi, se la serie (9) non è assolutamente convergente allora le due serie () sono entrambe divergenti positivamente. 2. La serie n= ( ) n+ n è convergente, perché soddisfa, come si vede facilmente, il Criterio di Leibniz. Esson è, come si è già visto, assolutamente convergente. Senza entrare qui nel dettaglio dei calcoli, affermiamo che vale l uguaglianza: n= ( ) n+ n = log 2. La cosa abbastanza sorprendente di questa serie è che se cambiamo l ordine in cui gli elementi della successione {( ) n } compaiono nella serie (cioè, se riordiniamo la serie ) la somma della serie può cambiare. Si può dimostrare, ad esempio, che: = 3 log 2. 2 Parlando grossolanamente, si potrebbe dire che la proprietà commutativa (che certamente vale per le somme parziali), non si conserva al limite. (Misteri dell infinito!... ) 3. Il comportamento anomalo (o, meglio, inatteso) discusso nel punto precedente è caratteristico di tutte le serie convergenti mon assolutamente convergenti (Teorema di Riemann-Dini).

18 2.2 Serie a termini di segno qualsiasi 8 Esempio 2.24 La serie è convergente per ogni α >. Leibniz. n= ( ) n+ n α, Essa infatti soddisfa, come si vede facilmente, il Criterio di Esempio 2.25 Il criterio di Leibniz non è invece applicabile alla serie n= n+ sin n ( ) n 2 perché la successione = sin n n 2 non è decrescente. Tuttavia sin n n 2 n 2. La serie è, perció, assolutamente convergente e quindi convergente.

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