Statistica inferenziale, Varese, 18 novembre 2009 Prima parte - Modalità C

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1 Statistica inferenziale, Varese, 18 novembre 2009 Prima parte - Modalità C Cognome Nome: Part time: Numero di matricola: Diurno: ISTRUZIONI: Il punteggio relativo alla prima parte dell esame viene calcolato nel seguente modo: +1 se la risposta è corretta, -1 se la risposta non è corretta, 0 se la risposta non viene data. Condizione necessaria (non sufficiente) per superare l esame è ottenere un punteggio maggiore o uguale a 5 nella prima parte. Tempo a disposizione 2 ore dalla consegna del testo d esame. Barrare con una X la risposta corretta e riportarla chiaramente in maiuscolo (A, B, C...) nella seguente tabella: Domanda Risposta 1. In generale, l ampiezza di un intervallo di confidenza per la media: (a) A paritá di popolazione e dimensione campionaria, é costante per tutti i possibili campioni osservabili nel caso di varianza non nota. (b) Diminuisce al diminuire del coefficiente di fiducia; (c) Aumenta al crescere della dimensione del campione; (d) Puó essere calcolata solo se si conosce la varianza della popolazione; 2. Dato uno stimatore T di un certo parametro tale che E(T ) = 5 e V (T ) = 10, e supponendo che il valore del parametro sia 4, il valore dell errore quadratico medio (EQM) é (a) 5; (b) 10; (c) 1; (d) nessuna delle precedenti è corretta.

2 3. Un bambino possiede 3 macchinine imitazioni delle Renault, 8 modellini della Ferrari, 9 della Lotus, 5 della McLaren, 10 Toyota, 8 Williams. In quanti modi può creare una scuderia di automobili per gareggiare con i suoi amici nel gioco della Formula 1 (ammesso che scelga a caso, senza preoccuparsi di raggruppare macchinine appartenenti a costruttori diversi)? (a) (b) 3! 8! 9! 5! 10! 8! 6 (c) (d) 3! 8! 9! 5! 10! 8! 4. Sia X 1... X n un campione da una popolazione N(µ, σ 2 ), µ e σ incogniti; sia X n la media campionaria e S 2 la varianza campionaria corretta. Se t n (γ) indica il γ-quantile della distribuzione t-student con n gradi di libertà (è quindi il valore che lascia alla sua sinistra una probabilità pari a γ), la regione di rifiuto (regione critica) per un test d ipotesi avente probabilità di commettere un errore di primo tipo pari a γ, per le ipotesi H 0 : µ µ 0 contro H 1 : µ < µ 0 è (a) S/ n < t n 1(γ) (b) S/ n < t n 1(γ) (c) S/ n > t n 1(γ) (d) S/ n > t n 1(1 γ) 5. Un intervallo di confidenza al 95% per la media µ di una popolazione normale, con σ 2 nota è, a parità di ampiezza campionaria (a) meno ampio dello stesso intervallo di livello 90% (b) più ampio dello stesso intervallo di livello 99% (c) più ampio dello stesso intervallo di livello 90% (d) il livello di confidenza non incide sull ampiezza dell intervallo 6. La funzione di ripartizione di una variabile casuale discreta: (a) é monotona decrescente; (b) permette di calcolare P (X > x) per ogni x; (c) si rappresenta tramite una spezzata; (d) non é ricavabile se la variabile casuale puó assumere solo due valori.

3 7. Un giocatore deve scegliere tra il gioco A e il gioco B. Con il gioco A potrá vincere 100 euro con probabilitá 0,03 pagando 5 euro di posta; con il gioco B potrá vincere 200 euro con probabilitá 0,02 pagando la stessa posta. Qual é il gioco più conveniente: (a) non si é in grado di rispondere alla domanda; (b) A; (c) B; (d) nessuna delle precedenti affermazioni é corretta. 8. Il livello di significativitá di un test statistico: (a) (b) É una quantitá che si fissa solitamente a un valore vicino a 1; É normalmente superiore alla potenza minima del test. (c) Corrisponde al livello massimo ammesso della probabilitá dell errore di I tipo; (d) Corrisponde al livello massimo ammesso della probabilitá dell errore di II tipo; 9. Un piacente giovanotto può invitare a cena due diverse ragazze R 1 e R 2. Consideriamo gli eventi A = {la ragazza R 1 non accetta l invito}, B = {la ragazza R 2 non accetta l invito} e C = {il piacente giovanotto esce con una ragazza}. Quale affermazione è vera? (a) C = (A B) c (b) C = A B (c) C = (A B) c (d) C = A B 10. Una funzione di probabilitá é una regola che: (a) assegna le probabilitá ai diversi valori della X; (b) individua il valore medio di una variabile casuale; (c) indica la variabilitá dei risultati dell esperimento. (d) Nessuna delle precedenti affermazioni é corretta.

4 Seconda parte - Modalità C Svolgete gli esercizi proposti. Scrivete su tutti i fogli a destra: Nome, Cognome, se siete del Part-Time. 1. Siamo interessati al numero mensile di guasti di un ascensore utilizzato in un edificio aziendale. (a) Identificare la distribuzione di probabilità che si ritiene più adatta a descrivere il numero mensile di guasti? Che significato si attribuisce al parametro? (b) Supponiamo che in un campione casuale di 3 mesi si siano osservati (4, 2, 3) guasti. Scrivere la funzione di verosimiglianza e trovare la stima MLE per λ (c) Determinare la stima di massima verosimiglianza della probabilità di non avere nessun guasto. Che proprietá é stata utilizzata per stimare la probabilitá di non avere guasti?

5 2. Sia dato un campione di 50 studentesse iscritte ad un Universitá. La tabella riporta la distribuzione di frequenza dei pesi in kg delle studentesse. Classi (peso) Num. studentesse (freq. ass.) Valori centrali 60 x x x x x (a) Trovare gli intervalli di confidenza al 95% e al 99% di tutte le studentesse iscritte a quella Universitá.

6 3. Un azienda specializzata in bevande per sportivi produce una nuova bevanda energetica con principio attivo molto rapido ad entrare in circolo. Per convincere l ente preposto al controllo dei nuovi prodotti che il tempo medio che le sostanze della bevanda impiega a sortire l effetto sperato è inferiore ai 12 minuti, questa ditta raduna un campione di sportivi e conduce un esperimento. (a) Quale tipo di test bisogna effettuare e come vanno scelte l ipotesi e l alternativa? (b) Svolgete, supponendo di prendere un gruppo da 20 sportivi e di avere ottenuto le seguenti statistiche cumulative: X = s x = 1.97 (dove s x = 1 n 1 (xi x)) (c) Supponendo che l ente preposto al controllo voglia una significatività dell 1%, si può affermare che la bevanda sortisce il suo effetto in meno di 12 minuti?

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