Controlli Automatici L-B - Cesena Compito del 28 maggio Domande teoriche

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1 Compito del 8 maggio 3 - Domande teoriche Per ciascuno dei seguenti quesiti, segnare con una crocetta le risposte che si ritengono corrette. Alcuni quesiti hanno più risposte corrette, e si considerano superati quando queste sono segnate tutte. 1. Sia dato un sistema di tipo. Si desidera ottenere un sistema in retroazione con errore a regime nullo per ingresso a gradino. È allora opportuno utilizzare: una rete ritardatrice un regolatore di tipo PID una rete anticipatrice. In una rete anticipatrice la pulsazione ω m a cui si verifica il massimo anticipo di fase è data da: ω m = 1 α ω m = 1 α ω m = α 3. Sia n L il numero di asintoti del luogo delle radici di una funzione di anello L(s) = R(s)G(s) e sia n G il numero di asintoti del luogo delle radici della sola G(s). Allora si ha: n L < n G per la causalità del regolatore R(s) n L n G per la causalità del regolatore R(s) n L > n G se il regolatore è una rete ritardatrice 4. Si consideri un sistema G(s) asintoticamente stabile del secondo ordine a poli complessi coniugati e privo di zeri. Il sistema retroazionato con funzione di anello L(s) = KG(s) avrà: coefficiente di smorzamento δ decrescente al crescere di K coefficiente di smorzamento δ costante al crescere di K un polo instabile per K > K min 5. Si consideri un sistema la cui funzione di anello è L(s). La stabilità del sistema retroazionato F (s) = L(s) 1+L(s) determina: applicando il criterio di Routh all equazione caratteristica 1 + L(s) = applicando il criterio di Nyquist alla fdt F (s) applicando il criterio di Nyquist alla funzione di anello L(s) 6. Il margine di fase M F ed il margine di ampiezza M A di una funzione di anello L(s): si possono leggere sui diagrammi polari della funzione di trasferimento ingresso-uscita Y (s)/x(s) la conoscenza di uno dei due è sufficiente per dedurre la stabilità del sistema retroazionato si possono leggere sui diagrammi polari della funzione di anello 7. Si consideri una funzione di anello G(s) chiusa in retroazione unitaria. Se il sistema retroazionato è asintoticamente stabile, l errore a regime in risposta al gradino: dipende dalla costante di posizione K p di G(s) dipende dal numero di poli e zeri nell origine di G(s) dipende dalle costanti di tempo di poli e zeri (eccetto quelli nell origine) di G(s) 8. Il dominio di definizione delle formule per il calcolo di una rete ritardatrice è: D = {(M, ϕ) : π ϕ <, < M < cos ϕ} D = {(M, ϕ) : ϕ < π, M > 1 } cos ϕ D = {(M, ϕ) : π ϕ <, M > 1 cos ϕ } 9. Il diagramma di Nyquist del guadagno di anello L(s) di tipo 1 senza poli né zeri a parte reale positiva e tale che il sistema retroazionato presenta poli instabili: compie rotazioni in senso antiorario intorno al punto critico 1 + j non presenta asintoti né rami all infinito compie rotazioni in senso orario intorno al punto critico 1 + j 1. Gli effetti ottenuti in un anello di controllo inserendo una rete correttrice di ritardo sono: ritardo della pulsazione di attraversamento ω c ; attenuazione alle alte frequenze ritardo di fase; riduzione del guadagno alle alte frequenze aumento del guadagno alle alte frequenze; anticipo di fase si

2 Compito del 8 maggio 3 - Domande teoriche Per ciascuno dei seguenti quesiti, segnare con una crocetta le risposte che si ritengono corrette. Alcuni quesiti hanno più risposte corrette, e si considerano superati quando queste sono segnate tutte. 1. Il dominio di definizione delle formule per il calcolo di una rete anticipatrice è: D = {(M, ϕ) : ϕ < π, M > 1 cos ϕ } D = {(M, ϕ) : π ϕ <, < M < cos ϕ} D = {(M, ϕ) : ϕ < π, < M < cos ϕ}. Il diagramma di Nyquist di un regolatore PI del tipo R(s) = K p(1 + 1 ) con Kp T i s >, Ti > tracciato per ω (, ) è: una semiretta parallela all asse immaginario una semicirconferenza una curva tangente ad un asintoto all infinito 3. Sia n L il numero di asintoti del luogo delle radici di una funzione di anello L(s) = R(s)G(s) e sia n G il numero di asintoti del luogo delle radici della sola G(s). Allora si ha: n L n G per la causalità del regolatore R(s) n L < n G per la causalità del regolatore R(s) n L > n G se il regolatore è una rete ritardatrice 4. Il margine di fase M F ed il margine di ampiezza M A di una funzione di anello L(s): si possono leggere sui diagrammi polari della funzione di trasferimento ingresso-uscita si possono leggere sui diagrammi polari della funzione di anello la conoscenza di uno dei due è sufficiente per dedurre la stabilità del sistema retroazionato 5. Si consideri una funzione di anello G(s) chiusa in retroazione unitaria. Se il sistema retroazionato è asintoticamente stabile, l errore a regime in risposta al gradino: dipende dalla costante di posizione K p di G(s) dipende dalle costanti di tempo di poli e zeri (eccetto quelli nell origine) di G(s) dipende dal numero di poli e zeri nell origine di G(s) 6. Il diagramma di Nyquist del guadagno di anello L(s) di tipo 1 senza poli né zeri a parte reale positiva e tale che il sistema retroazionato presenta poli instabili: compie rotazioni in senso antiorario intorno al punto critico 1 + j compie rotazioni in senso orario intorno al punto critico 1 + j non presenta asintoti né rami all infinito 7. Il luogo delle radici di un sistema dinamico tracciato per K > : indica la posizione dei poli del sistema retroazionato al variare di K possiede tanti rami quanti sono i poli del sistema in catena aperta può non essere simmetrico rispetto all asse reale 8. Si consideri un sistema G(s) asintoticamente stabile del secondo ordine a poli complessi coniugati e privo di zeri. Il sistema retroazionato con funzione di anello L(s) = KG(s) avrà: tempo di assestamento T a decrescente al crescere di K tempo di assestamento T a indipendente da K un polo instabile per K > K min 9. In una rete anticipatrice la pulsazione ω m a cui si verifica il massimo anticipo di fase è data da: ω m = α ω m = 1 α ω m = 1 α 1. Si consideri un regolatore standard PID in forma ideale. Gli zeri saranno reali e coincidenti se: T i = T d T d = 4T i T i = 4T d

3 Compito del 8 maggio 3 - Domande teoriche Per ciascuno dei seguenti quesiti, segnare con una crocetta le risposte che si ritengono corrette. Alcuni quesiti hanno più risposte corrette, e si considerano superati quando queste sono segnate tutte. 1. Sia dato un sistema di tipo. Si desidera ottenere un sistema in retroazione con errore a regime nullo per ingresso a gradino. È allora opportuno utilizzare: una rete ritardatrice un regolatore di tipo PID una rete anticipatrice. In una rete anticipatrice la pulsazione ω m a cui si verifica il massimo anticipo di fase è data da: ωm = 1 α ω m = 1 α ω m = α 3. Sia n L il numero di asintoti del luogo delle radici di una funzione di anello L(s) = R(s)G(s) e sia n G il numero di asintoti del luogo delle radici della sola G(s). Allora si ha: n L < n G per la causalità del regolatore R(s) nl n G per la causalità del regolatore R(s) n L > n G se il regolatore è una rete ritardatrice 4. Si consideri un sistema G(s) asintoticamente stabile del secondo ordine a poli complessi coniugati e privo di zeri. Il sistema retroazionato con funzione di anello L(s) = KG(s) avrà: coefficiente di smorzamento δ decrescente al crescere di K coefficiente di smorzamento δ costante al crescere di K un polo instabile per K > K min 5. Si consideri un sistema la cui funzione di anello è L(s). La stabilità del sistema retroazionato F (s) = L(s) 1+L(s) determina: applicando il criterio di Routh all equazione caratteristica 1 + L(s) = applicando il criterio di Nyquist alla fdt F (s) applicando il criterio di Nyquist alla funzione di anello L(s) 6. Il margine di fase M F ed il margine di ampiezza M A di una funzione di anello L(s): si possono leggere sui diagrammi polari della funzione di trasferimento ingresso-uscita Y (s)/x(s) la conoscenza di uno dei due è sufficiente per dedurre la stabilità del sistema retroazionato si possono leggere sui diagrammi polari della funzione di anello 7. Si consideri una funzione di anello G(s) chiusa in retroazione unitaria. Se il sistema retroazionato è asintoticamente stabile, l errore a regime in risposta al gradino: dipende dalla costante di posizione Kp di G(s) dipende dal numero di poli e zeri nell origine di G(s) dipende dalle costanti di tempo di poli e zeri (eccetto quelli nell origine) di G(s) 8. Il dominio di definizione delle formule per il calcolo di una rete ritardatrice è: D = {(M, ϕ) : π ϕ <, < M < cos ϕ} D = {(M, ϕ) : ϕ < π, M > 1 } cos ϕ D = {(M, ϕ) : π ϕ <, M > 1 cos ϕ } 9. Il diagramma di Nyquist del guadagno di anello L(s) di tipo 1 senza poli né zeri a parte reale positiva e tale che il sistema retroazionato presenta poli instabili: compie rotazioni in senso antiorario intorno al punto critico 1 + j non presenta asintoti né rami all infinito compie rotazioni in senso orario intorno al punto critico 1 + j 1. Gli effetti ottenuti in un anello di controllo inserendo una rete correttrice di ritardo sono: ritardo della pulsazione di attraversamento ω c ; attenuazione alle alte frequenze ritardo di fase; riduzione del guadagno alle alte frequenze aumento del guadagno alle alte frequenze; anticipo di fase si

4 Compito del 8 maggio 3 - Domande teoriche Per ciascuno dei seguenti quesiti, segnare con una crocetta le risposte che si ritengono corrette. Alcuni quesiti hanno più risposte corrette, e si considerano superati quando queste sono segnate tutte. 1. Il dominio di definizione delle formule per il calcolo di una rete anticipatrice è: D = {(M, ϕ) : ϕ < π cos ϕ D = {(M, ϕ) : π ϕ <, < M < cos ϕ} D = {(M, ϕ) : ϕ < π, < M < cos ϕ}. Il diagramma di Nyquist di un regolatore PI del tipo R(s) = K p(1 + 1 ) con Kp T i s >, Ti > tracciato per ω (, ) è: una semiretta parallela all asse immaginario una semicirconferenza una curva tangente ad un asintoto all infinito 3. Sia n L il numero di asintoti del luogo delle radici di una funzione di anello L(s) = R(s)G(s) e sia n G il numero di asintoti del luogo delle radici della sola G(s). Allora si ha: nl n G per la causalità del regolatore R(s) n L < n G per la causalità del regolatore R(s) n L > n G se il regolatore è una rete ritardatrice 4. Il margine di fase M F ed il margine di ampiezza M A di una funzione di anello L(s): si possono leggere sui diagrammi polari della funzione di trasferimento ingresso-uscita si possono leggere sui diagrammi polari della funzione di anello la conoscenza di uno dei due è sufficiente per dedurre la stabilità del sistema retroazionato 5. Si consideri una funzione di anello G(s) chiusa in retroazione unitaria. Se il sistema retroazionato è asintoticamente stabile, l errore a regime in risposta al gradino: dipende dalla costante di posizione Kp di G(s) dipende dalle costanti di tempo di poli e zeri (eccetto quelli nell origine) di G(s) dipende dal numero di poli e zeri nell origine di G(s) 6. Il diagramma di Nyquist del guadagno di anello L(s) di tipo 1 senza poli né zeri a parte reale positiva e tale che il sistema retroazionato presenta poli instabili: compie rotazioni in senso antiorario intorno al punto critico 1 + j compie rotazioni in senso orario intorno al punto critico 1 + j non presenta asintoti né rami all infinito 7. Il luogo delle radici di un sistema dinamico tracciato per K > : indica la posizione dei poli del sistema retroazionato al variare di K possiede tanti rami quanti sono i poli del sistema in catena aperta può non essere simmetrico rispetto all asse reale 8. Si consideri un sistema G(s) asintoticamente stabile del secondo ordine a poli complessi coniugati e privo di zeri. Il sistema retroazionato con funzione di anello L(s) = KG(s) avrà: tempo di assestamento T a decrescente al crescere di K tempo di assestamento Ta indipendente da K un polo instabile per K > K min 9. In una rete anticipatrice la pulsazione ω m a cui si verifica il massimo anticipo di fase è data da: ω m = α ωm = 1 α ω m = 1 α 1. Si consideri un regolatore standard PID in forma ideale. Gli zeri saranno reali e coincidenti se: T i = T d T d = 4T i Ti = 4T d

5 1. Si consideri lo schema a blocchi di figura. Compito 8 maggio 3 - Problemi d(t) x(t) e(t) R(s) y(t) G(s) - R(s) = K, G(s) = s + 8 (s + 6) (s + 4s + 16) a) Si tracci il luogo delle radici del sistema al variare di K >, indicando l ascissa del punto di incontro di eventuali asintoti e del baricentro dei poli. b) Si determini per quali valori di K > il sistema retroazionato risulta stabile asintoticamente e la pulsazione dei poli immaginari puri che si ottengono in corrispondenza della stabilità semplice. Si indichi inoltre il margine di ampiezza M A del sistema. b) Considerando gli ingressi a gradino x(t) = h(t); d(t) = 5h(t) (h(t) gradino unitario), si determini il valore di K necessario per ottenere un errore a regime e < %. Si commenti tale risultato.. Si tracci il diagramma polare della seguente funzione di anello: L(s) = 7 s s(s + 5) indicandone le caratteristiche salienti, come ascissa di eventuali asintoti e di eventuali intersezioni con l asse reale. Applicando il criterio di Nyquist, si traggano infine conclusioni sulla stabilità del sistema retroazionato. 3. Si consideri la funzione di anello: s + 1 L(s) = 5 s(s + 6s + 16) a) Si traccino i diagrammi asintotici di Bode delle ampiezze e delle fasi, indicandone le caratteristiche salienti. b) Si fornisca una stima dei margini di fase e di ampiezza del sistema evidenziandoli sui diagrammi. 4. Un sistema dinamico presenta la risposta al gradino unitario illustrata in figura: Amplitude Step Response Utilizzando le seguenti formule, estratte dalle Tabelle di Ziegler-Nichols, si progetti un regolatore PID in forma ideale. ( ) θ 1 ( ) θ KK p = 1. T i/ = ( ) θ T d / = Time (sec) 5. Un sistema dinamico ha il diagramma polare rappresentato in figura. 1 diagramma di Nyquist N.B. Si evidenzi la costruzione grafica utilizzata ed il valore dei parametri ottenuti e si scriva la fdt complessiva del regolatore a) Utilizzando le formule di inversione: = M cos φ ω sin φ, α = M cos φ 1 M(M cos φ) determinare una rete anticipatrice in modo da ottenere un margine di fase M F = 45 o (suggerimento: si consideri il punto di pulsazione ω = 4.7 rad/sec) b) Utilizzando le formule di inversione: = M cos φ 1 M(M cos φ), α = Mω sin φ M cos φ 1 determinare una rete ritardatrice in modo da ottenere un margine di fase M F = 5 o (suggerimento: si consideri il punto di pulsazione ω =. rad/sec) N.B. Si riportino le coordinate dei punti considerati e le fdt dei regolatori

6 1. Si consideri lo schema a blocchi di figura. Compito 8 maggio 3 - Problemi d(t) x(t) e(t) R(s) y(t) G(s) - R(s) = K, G(s) = s + 9 (s + 6)(s + 7)(s + 6s + 16) a) Si tracci il luogo delle radici del sistema al variare di K >, indicando l ascissa del punto di incontro di eventuali asintoti e del baricentro dei poli. b) Si determini per quali valori di K > il sistema retroazionato risulta stabile asintoticamente e la pulsazione dei poli immaginari puri che si ottengono in corrispondenza della stabilità semplice. Si indichi inoltre il margine di ampiezza M A del sistema. b) Considerando gli ingressi a gradino x(t) = 3h(t); d(t) = 1h(t) (h(t) gradino unitario), si determini il valore di K necessario per ottenere un errore a regime e < %. Si commenti tale risultato.. Si tracci il diagramma polare della seguente funzione di anello: L(s) = 1 s s(s + 5) indicandone le caratteristiche salienti, come ascissa di eventuali asintoti e di eventuali intersezioni con l asse reale. Applicando il criterio di Nyquist, si traggano infine conclusioni sulla stabilità del sistema retroazionato. 3. Si consideri la funzione di anello: s + 1 L(s) = s(s + 4s + 16) a) Si traccino i diagrammi asintotici di Bode delle ampiezze e delle fasi, indicandone le caratteristiche salienti. b) Si fornisca una stima dei margini di fase e di ampiezza del sistema evidenziandoli sui diagrammi. 4. Un sistema dinamico presenta la risposta al gradino unitario illustrata in figura: Amplitude.4.3 Step Response Utilizzando le seguenti formule, estratte dalle Tabelle di Ziegler-Nichols, si progetti un regolatore PID in forma ideale. ( ) θ 1 ( ) θ KK p = 1. T i/ = ( ) θ T d / = Time (sec) 5. Un sistema dinamico ha il diagramma polare rappresentato in figura diagramma di Nyquist N.B. Si evidenzi la costruzione grafica utilizzata ed il valore dei parametri ottenuti e si scriva la fdt complessiva del regolatore a) Utilizzando le formule di inversione: = M cos φ 1 M(M cos φ), α = Mω sin φ M cos φ 1 determinare una rete ritardatrice in modo da ottenere un margine di ampiezza M A = 3 (suggerimento: si consideri il punto di pulsazione ω = 3.3 rad/sec) b) Utilizzando le formule di inversione: = M cos φ ω sin φ, α = M cos φ 1 M(M cos φ) determinare una rete anticipatrice in modo da ottenere un margine di fase M F = 4 o (suggerimento: si consideri il punto di pulsazione ω = 4.7 rad/sec) N.B. Si riportino le coordinate dei punti considerati e le fdt dei regolatori

7 1. Si consideri lo schema a blocchi di figura. Compito 8 maggio 3 - Problemi d(t) x(t) e(t) R(s) y(t) G(s) - R(s) = K, G(s) = s + 8 (s + 6) (s + 4s + 16) a) Si tracci il luogo delle radici del sistema al variare di K >, indicando l ascissa del punto di incontro di eventuali asintoti e del baricentro dei poli. σ a = ( ) = Root Locus σ B = 1 ( 6 6 ) = Imaginary Axis b) Si determini per quali valori di K > il sistema retroazionato risulta stabile asintoticamente e la pulsazione dei poli immaginari puri che si ottengono in corrispondenza della stabilità semplice. Si indichi inoltre il margine di ampiezza M A del sistema. Equazione Caratteristica: Tabella di Routh: La riga 1 fornisce la disequazione: Real Axis s s 3 + 1s + (336 + K)s + 8(7 + K) = (7 + K) K (164 K) 18(7 + K) 1 (164 K)(336 + K) 16 18(7 + K) 7 + K K 11K > = < K < 8.7 Mentre dalla riga si ottiene: K > 7, dunque < K < 8.7 = K La pulsazione di attraversamento si determina come: ω K = = rad/sec 16 Ovviamente, per la definizione di margine di ampiezza, si ha che: M A = K = 8.7

8 b) Considerando gli ingressi a gradino x(t) = h(t); d(t) = 5h(t) (h(t) gradino unitario), si determini il valore di K necessario per ottenere un errore a regime e < %. Si commenti tale risultato. Dunque: e = E(s) = KG(s) X(s) G(s) 1 + KG(s) D(s) 1 + KG() 5G() 1 + KG() = K.139 <. da cui: K > = Non è possibile soddisfare la specifica con un regolatore proporzionale perché il sistema risulterebbe instabile. Si tracci il diagramma polare della seguente funzione di anello: L(s) = 7 s s(s + 5) indicandone le caratteristiche salienti, come ascissa di eventuali asintoti e di eventuali intersezioni con l asse reale. Applicando il criterio di Nyquist, si traggano infine conclusioni sulla stabilità del sistema retroazionato. L(j + ) = arg(l(j + )) = π Sistema di tipo 1, esiste un asintoto verticale di ascissa: σ A = 7 ( ) 5 = 1 5 si ha poi che A = ( ) < quindi il diagramma parte in senso orario. L intersezione con l asse reale si determina con il criterio di Routh: s + 5s + 7k ks = dunque: 1 7k 1 5 k 7k σ = 1 5 =. Nyquist Diagram Imaginary Axis Si ricordi che il diagramma va completato con una semicirconferenza all infinito percorsa in senso orario da ω = a ω = +. R = n p = = ST ABILE Real Axis 3. Si consideri la funzione di anello: s + 1 L(s) = 5 s(s + 6s + 16)

9 a) Si traccino i diagrammi asintotici di Bode delle ampiezze e delle fasi, indicandone le caratteristiche salienti. Il posizionamento verticale del diagramma si effettua agevolmente calcolando il modulo per ω = 1: L(j) = 3.11 = 9.856dB b) Si fornisca una stima dei margini di fase e di ampiezza del sistema evidenziandoli sui diagrammi. Vedi Figura Precedente 4. Un sistema dinamico presenta la risposta al gradino unitario illustrata in figura: Amplitude Step Response Utilizzando le seguenti formule, estratte dalle Tabelle di Ziegler-Nichols, si progetti un regolatore PID in forma ideale. ( ) θ 1 ( ) θ KK p = 1. T i/ = ( ) θ T d / = Time (sec) N.B. Si evidenzi la costruzione grafica utilizzata ed il valore dei parametri ottenuti e si scriva la fdt complessiva del regolatore K = 786, = 1.187sec θ = 1.15sec K p =.1883 T i =.5 T d = 65 ( R(s) = K p ) T + T ds is 5. Un sistema dinamico ha il diagramma polare rappresentato in figura.

10 1 diagramma di Nyquist a) Utilizzando le formule di inversione: = M cos φ ω sin φ, α = M cos φ 1 M(M cos φ) Rete di anticipo: Rete di ritardo: A.8 + j. A =.846 φ A = 166 o B = 1 M = B A = 1.17 determinare una rete anticipatrice in modo da ottenere un margine di fase M F = 45 o (suggerimento: si consideri il punto di pulsazione ω = 4.7 rad/sec) b) Utilizzando le formule di inversione: = M cos φ 1 M(M cos φ), α = Mω sin φ M cos φ 1 determinare una rete ritardatrice in modo da ottenere un margine di fase M F = 5 o (suggerimento: si consideri il punto di pulsazione ω =. rad/sec) N.B. Si riportino le coordinate dei punti considerati e le fdt dei regolatori φ B = 135 o φ = φb φa = 31o =.1469 α =.916 R(s) = 1 + s 1 + αs A j.13 A =.68 φ A = 17 o.4 B = 1 φ B = 13 o M = B A =.3731 φ = φb φa = o.58 = α =.373 R(s) = 1 + αs 1 + s

11 1. Si consideri lo schema a blocchi di figura. Compito 8 maggio 3 - Problemi d(t) x(t) e(t) R(s) y(t) G(s) - R(s) = K, G(s) = s + 9 (s + 6)(s + 7)(s + 6s + 16) a) Si tracci il luogo delle radici del sistema al variare di K >, indicando l ascissa del punto di incontro di eventuali asintoti e del baricentro dei poli. σ a = ( ) = 3.33 σb = 1 ( 6 7 6) = Root Locus 1 5 Imaginary Axis b) Si determini per quali valori di K > il sistema retroazionato risulta stabile asintoticamente e la pulsazione dei poli immaginari puri che si ottengono in corrispondenza della stabilità semplice. Si indichi inoltre il margine di ampiezza M A del sistema. Equazione Caratteristica: Tabella di Routh: La riga 1 fornisce la disequazione: Real Axis s s s + (46 + K)s + (67 + 9K) = (67 + 9K) K (14 K) 19(67 + 9K) 1 (14 K)(46 + K) 19 (67 + 9K) K K 1585K > = < K < Mentre dalla riga si ottiene: K > 67/9, dunque < K < = K La pulsazione di attraversamento si determina come: ω 46 + K = = rad/sec 19 Ovviamente, per la definizione di margine di ampiezza, si ha che: M A = K =

12 b) Considerando gli ingressi a gradino x(t) = 3h(t); d(t) = 1h(t) (h(t) gradino unitario), si determini il valore di K necessario per ottenere un errore a regime e < %. Si commenti tale risultato. Dunque: e = E(s) = KG(s) X(s) G(s) 1 + KG(s) D(s) KG() 1G() 1 + KG() = K.134 <. da cui: K > = Non è possibile soddisfare la specifica con un regolatore proporzionale perché il sistema risulterebbe instabile. Si tracci il diagramma polare della seguente funzione di anello: L(s) = 1 s s(s + 5) indicandone le caratteristiche salienti, come ascissa di eventuali asintoti e di eventuali intersezioni con l asse reale. Applicando il criterio di Nyquist, si traggano infine conclusioni sulla stabilità del sistema retroazionato. L(j + ) = arg(l(j + )) = π Sistema di tipo 1, esiste un asintoto verticale di ascissa: ( σ A = ) = si ha poi che A = ( ) < quindi il diagramma parte in senso orario. L intersezione con l asse reale si determina con il criterio di Routh: s + 5s + 7k ks = dunque: 1 1k 1 5 k 1k σ = 1 5 =. Nyquist Diagram Imaginary Axis Real Axis Si ricordi che il diagramma va completato con una semicirconferenza all infinito percorsa in senso orario da ω = a ω = +. R = n p = = ST ABILE 3. Si consideri la funzione di anello: s + 1 L(s) = s(s + 4s + 16)

13 a) Si traccino i diagrammi asintotici di Bode delle ampiezze e delle fasi, indicandone le caratteristiche salienti. Il posizionamento verticale del diagramma si effettua agevolmente calcolando il modulo per ω = 1: L(j) = 1.95 =.45dB b) Si fornisca una stima dei margini di fase e di ampiezza del sistema evidenziandoli sui diagrammi. 4. Un sistema dinamico presenta la risposta al gradino unitario illustrata in figura: Amplitude.4.3 Step Response Utilizzando le seguenti formule, estratte dalle Tabelle di Ziegler-Nichols, si progetti un regolatore PID in forma ideale. ( ) θ 1 ( ) θ KK p = 1. T i/ = ( ) θ T d / = Time (sec) N.B. Si evidenzi la costruzione grafica utilizzata ed il valore dei parametri ottenuti e si scriva la fdt complessiva del regolatore K =, = 1.1sec θ =.9sec K p =.4444 T i = 1.8 T d =.45 ( R(s) = K p ) T + T ds is 5. Un sistema dinamico ha il diagramma polare rappresentato in figura diagramma di Nyquist a) Utilizzando le formule di inversione: = M cos φ 1 M(M cos φ), α = Mω sin φ M cos φ 1 determinare una rete ritardatrice in modo da ottenere un margine di ampiezza M A = 3 (suggerimento: si consideri il punto di pulsazione ω = 3.3 rad/sec) b) Utilizzando le formule di inversione: = M cos φ ω sin φ, α = M cos φ 1 M(M cos φ) determinare una rete anticipatrice in modo da ottenere un margine di fase M F = 4 o (suggerimento: si consideri il punto di pulsazione ω = 4.7 rad/sec) N.B. Si riportino le coordinate dei punti considerati e le fdt dei regolatori

14 Rete di ritardo: Rete di anticipo: A.875 j. A =.8976 φ A = 167 o B = 1/3 M = B A =.3714 φ B = 18 o φ = φb φa = 13o =.3148 α =.359 R(s) = 1 + αs 1 + s A.44 + j.5 A =.448 φ A = 186 o.5 B = 1 φ B = 14 o M = B A =.58 φ = φb φa = 45o.5 =.4354 α =.64 R(s) = 1 + s 1 + αs