Inserimento di distanze e di angoli nella carta di Gauss

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1 Inserimento di distanze e di angoli nella carta di Gauss

2 Corso di laurea in Ingegneria per l Ambiente e il Territorio a.a Inserimento della distanza reale misurata nella carta di Gauss (passaggio dalla distanza reale misurata a quella topografica) Si è già detto che per ogni punto P della superficie terrestre, per una calotta di 100 km centrata su di esso (campo geodetico), l ellissoide ed il geoide coincidono, come forma, con quella della sfera locale. Ipotizzando questa coincidenza tra ellissoide e geoide, si avrà che: la distanza tra A e A* è uguale alla quota q A del punto A la distanza tra B e la sua proiezione B* sulla sfera locale sarà uguale alla quota q B di B l'arco di circonferenza A* B* sarà uguale all arco di sezione normale ellissoidica A'B', cioè alla distanza topografica d le verticali per A e B coincideranno con le normali alla sfera locale e si incontreranno quindi nel suo centro O.

3 Corso di laurea in Ingegneria per l Ambiente e il Territorio a.a Se da un punto A, di quota q a nota e di coordinate N A, E A note, vogliamo determinare la quota q b di un punto B e la sua distanza topografica da A, con riferimento alla figura, possiamo procedere nel seguente modo: misuriamo l'angolo zenitale ζ tra A e B e la distanza reale d* tra A e B (con una staz. totale); calcoliamo il valore del raggio della sfera locale R A ; calcoliamo (vedremo come tra poco) la lunghezza dell'arco di circonferenza ds, che potrà essere assunta rigorosamente uguale alla distanza topografica d; calcoliamo la lunghezza del segmento B-B*, che potrà essere assunto rigorosamente come quota q b del punto B, col metodo della livellazione trigonometrica. Utilizzando questo schema geometrico di comodo, possiamo quindi ricavare agevolmente la distanza topografica tra A e B e la quota q B. q a A ds =

4 Corso di laurea in Ingegneria per l Ambiente e il Territorio a.a Formula rigorosa Il problema è di immediata soluzione; infatti, noti d* e ζ, applicando il teorema di Carnot al triangolo ABO si ricava: Vi è però un grave inconveniente da un punto di vista operativo, e cioè: per ottenere una sufficiente precisione nel calcolo di d, il valore di R A non può essere un valore approssimato, quale è quello desumibile ad esempio dalla tabella riportata più avanti, ma deve essere ricavato con la formula rigorosa, che implica la conoscenza della latitudine del punto e la conoscenza dei parametri ellissoidici; inoltre i calcoli devono essere obbligatoriamente fatti in doppia precisione (16 cifre significative) e non con normali calcolatrici portatili. A

5 Supponendo invece di operare nel campo topografico si avrà: Poiché, per d<5 km, d è inferiore a 1/1000 di radiante, e poiché inoltre tgδ si trova in un termine correttivo che, sempre per d<5 km, non supera qualche decimetro, possiamo sostituire nella relazione precedente δ a tgδ; si avrà quindi: Sempre per il fatto che δ entra nel calcolo di un fattore correttivo di piccola entità possiamo calcolarlo in funzione di d e di un valore approssimato di R A quale possiamo ricavare dalla tabella riportata più avanti: In definitiva, dato che d = d* senζ, si ha: d

6 Questa formula, a prima vista più complicata di quella rigorosa vista precedentemente, in realtà è più semplice dal punto di vista operativo poiché non richiede di eseguire calcoli in doppia precisione e consente di usare un valore approssimato del raggio della sfera locale, quale quello ricavabile dalla tabella seguente. Una volta determinata d, per inserirla nella carta di Gauss basterà moltiplicarla per il modulo di deformazione lineare ridotto già visto.

7 Corso di laurea in Ingegneria per l Ambiente e il Territorio a.a Alcune osservazioni importanti Trattando il problema della riduzione delle distanze misurate a distanze topografiche, la distanza topografica d tra due punti A e B della superficie fisica della Terra, tra i quali vi è una distanza reale in linea d aria d* inferiore 5 km, può essere ritenuta uguale, a meno di quantità trascurabili, alla sua proiezione d sul piano tangente alla sfera locale. d Inoltre, sempre per valori di d* inferiori a 5 km, la differenza ε tra la distanza topografica d e la distanza reale proiettata sull orizzontale d o, vale al massimo una ventina di centimetri, anche quando si hanno valori di q A e della differenza q B -q A che tendono a massimizzare ε. Infine, la differenza k tra la quota q B di B ed il segmento che va da B a B o, intersezione della verticale per B col piano tangente, è di pochi centimetri, per d* inferiore ad 1 km, ma aumenta più sensibilmente all aumentare di d*.

8 La riduzione delle distanze alla superficie di riferimento deve essere eseguita solo per rilievi a scopo cartografico mentre la riduzione all'orizzonte deve sempre essere eseguita. Quando le misure hanno come scopo l esecuzione di lavori quali il tracciamento di gallerie, funivie, canali,ecc., la riduzione non deve essere effettuata poiché interessano in effetti le distanze orizzontali con riferimento al piano orizzontale in un determinato punto del rilievo.

9 Inserimento di un angolo azimutale nella carta di Gauss Si indica con il nome di trasformata di un arco di ellissoide sulla Carta di Gauss, la linea che si otterrebbe sulla carta applicando, a tutti gli infiniti punti dell'arco di ellissoide, le equazioni di corrispondenza (della carta). La trasformata di un arco di ellissoide è una linea curva; non è il segmento che congiunge i due punti sulla carta. arco ellissoidico trasformata

10 Quando si dice che la Carta di Gauss mantiene l uguaglianza degli angoli si intende quanto segue. Consideriamo i tre punti A, B, C sull'ellissoide e i corrispondenti tre punti nella carta di Gauss; la proprietà di conservazione degli angoli fa sì che: l angolo α formato tra le tangenti agli archi ellissoidici AB, AC rimanga uguale all angolo α formato tra le tangenti alle trasformate nella proiezione cartografica. Uno dei motivi per cui si è scelta la Carta di Gauss per il sistema cartografico nazionale, consiste proprio nel fatto che tale carta ha questa proprietà (isogonismo). Infatti fino a tempi molto recenti, i topografi misuravano prevalentemente angoli, ed era quindi utile usare una rappresentazione cartografica che avesse tra le sue proprietà quella di poterli inserire nella cartografia senza doverli modificare. Con riferimento alla figura dobbiamo però notare che questa proprietà vale tra l angolo formato tra gli archi ellissoidici e le corrispondenti trasformate.

11 Ma il topografo non misura l angolo formato tra gli archi bensì l angolo azimutale BAC tra i tre punti che, sul terreno, corrispondono agli estremi degli archi ellissoidici. Questa proprietà non avrebbe quindi alcun valore pratico se non si verificasse questo fatto molto importante: che l'angolo azimutale BAC misurato sul terreno facendo stazione in A e collimando due punti B e C, è uguale α (entro i limiti di errore delle misure topografiche di precisione) all'angolo α formato dalle tangenti agli archi di ellissoide che congiungono le proiezioni dei punti A, B e C sull'ellissoide. Possiamo pertanto dire che la proprietà di conservazione degli angoli può considerarsi valida anche tra gli angoli azimutali tra due direzioni sul terreno e l angolo formato dalle tangenti alle trasformate di tali direzioni nella Carta di Gauss.

12 Corso di laurea in Ingegneria per l Ambiente e il Territorio a.a Inserimento semplificato di un angolo azimutale nella carta di Gauss Tralasciando il procedimento rigoroso si può dimostrare che per archi di ellissoide lunghi sino a 5 km l'angolo ε formato tra la trasformata e la corda (cioè il segmento congiungente i punti sulla carta) è < 1", e quindi inferiore all e.q.m. con cui vengono normalmente misurati gli angoli azimutali anche nelle operazioni topografiche più accurate. Pertanto ai fini delle operazioni topografiche in cui si misurano distanze lunghe sino a 5 km, possiamo considerare che le trasformate degli archi di ellissoide coincidano con le corde, cioè con le congiungenti i punti sulla carta. (AC) = (AB) + ε + α - ε (AC) = (AB) + α