Conseguenze del Teorema di Lagrange

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Severina Forti
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1 Conseuenze del Teorem di Lrne 1 Criterio di monotoni Si :[,]R, continu in [,], e derivile in,. Allor: è crescente in [,] [,] è decrescente in [,] [,] Conseuenze del Teorem di Lrne, Criterio di monotoni Dimostrzione. Si e sino [, ] con , 2 Per il Teorem di Lrne 1, 2 : m e

2 Conseuenze del Teorem di Lrne, Criterio di monotoni Vicevers. Si crescente in [, ]. Allor, h,, si h h h Fcendo il limite per h si h Anlo dimostrzione per è decrescente in [,] [,] Conseuenze del Teorem di Lrne, Criterio di monotoni Anlo dimostrzione per è decrescente in [,] [,] Si h inoltre strettmente crescente strettmente decrescente 2

3 Conseuenze del Teorem di Lrne 2 Si :[,]R, derivile in,. è costnte =, 3 Si, e Se esiste un intorno destro sinistro, in cui e un intorno sinistro destro in cui, llor è un punto di minimo mssimo reltivo. Conseuenze del Teorem di Lrne - + minimo reltivo + - mssimo reltivo 3

4 Esercizio Determinre i punti di mssimo o di minimo reltivo per l unzione 3 12 Esercizio Determinre un intervllo in cui è crescente 2 cos 2 cos 4

5 5 Teorem di Cuchy Sino i e sono continue in [,]; ii e sono derivili in,. Allor se,,, : ], :[, R :, Teorem di Cuchy Dimostrzione. Si consideri l unzione usiliri Essendo,,,. llor

6 Teorem di Cuchy Inoltre i è continu in [,]; ii è derivile in,; iii, : cioè Teorem di de l Hopitl Sino, derivili in [,]- : lim lim oppure lim lim Se esiste il limite lim ' ' inito o ininito Allor lim lim ' ' Il teorem è vlido nche per + o -, e per e derivili in intervlli illimitti 6

7 Esercizio sin Clcolre il limite lim 3 Esercizio Clcolre il limite ln 1 lim 2 ln1 7

8 Esercizio Clcolre il limite lim ln Funzioni convesse e concve Funzione convess epirico 1 t 1 t2 1 t 1 t 2, 1, 2 [, ], t [,1] O 1 2 Deinizione Si :[, ] R, si chim epirico o soprrico di l insieme 2 epi :=, y R : [, ] e y. è convess in [,] se il suo epirico è un insieme convesso 8

9 Funzioni convesse e concve Funzione concv epirico O t 1 t2 1 t 1 t 2, 1, 2 [, ], t [,1] Anlomente: è concv in [,] se il suo epirico è un insieme concvo Funzioni convesse e concve Funzione convess epirico O Deinizione Si derivile in [,], è convess in [,],, [, ] Cioè il rico di st l di sopr dell rett tnente d in, 9

10 Funzioni convesse e concve Funzione concv O Deinizione Si derivile in [,], è concv in [,],, [, ] Cioè il rico di st l di sotto dell rett tnente d in, Derivt second L derivt second di un unzione rppresent l velocità di vrizione dell pendenz del rico di. R 1 Curvtur del rico di in = R 1

11 Criterio di convessità Si :[,] R, Se è derivile in, llor è convess concv è crescente decrescente Se è derivile due volte in, llor è convess concv,, Utilizzndo il seno di si può stilire se è un punto di mssimo o un punto di minimo reltivo per Si derivile due volte con derivt continu in un intorno di,: se, è punto di minimo reltivo se, è punto di mssimo reltivo Intti, supponimo che, con continu. Per il Teorem dell permnenz del seno: in I, è convess in I:. 11

12 M,,,, cioè è di minimo reltivo per. Criterio per i punti di mssimo e di minimo reltivo Si :, R, derivile n volte in,, n 2, e tle che in tutte le derivte trnne l n-esim sino nulle. Allor: se n pri e n n è di minimo reltivo è di mssimo reltivo Se n è dispri non è punto di estremo si dice lesso tnente orizzontle. 12

13 Deinizione. Si :, R e, un punto di derivilità per oppure. si dice di lesso se esiste un intorno destro di in cui è convess concv ed un intorno sinistro in cui è concv convess. Se è di lesso per, ed esiste, llor Esercizio Clcolre i punti di estremo e i punti di lesso dell unzione =

14 Studio del rico di 1 Dominio di, intersezioni con li ssi crtesini, 2 Simmetrie; 3 Limiti li estremi del dominio eventuli sintoti 4 Studio dell derivt prim crescenz, decrescenz, punti di estremo locle 5 Studio dell derivt second: Concvità e convessità, lessi Studio del rico di, Asintoti Se esiste un rett di equzione y=m+q: lim m q Allor y=m +q si deinisce sintoto oliquo per. Si h m lim ; q lim m 14

15 Studio del rico di, Asintoti Se lim l, y l si chim sintoto orizzontle Se l sintoto orizzontle non c è il limite sopr è ininito llor potree esserci quello oliquo. Se lim, si chim sintoto verticle con punto di ccumulzione per Esercizio 3 Si diseni il rico dell unzione

16 Esercizio Si diseni il rico dell unzione e 16

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