; c. ; d. ; b. 15. Quante soluzioni ha in R 3 il sistema AX=0 con A=? a 0; b 1; c ; d

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1 Nome Cognome Mtricol 1. Qule di questi insiemi di vettori gener R 3 [x]? 0,1,x,x 2,x 3 x 2 +x 1; b x,x 2,x 3 2 x,x+,x 2 x,3+x+4x 2 +x 3 ; d nessuno. 2. Si A un mtrice 3x3 coefficienti reli. Allor deta t A =? 0 1 deta 2 ; d Nessun delle ltre. 3. L conic definit dll equzione 4x 2 +4xy +y 2 +y = 1 è: ellisse iperbole prbol; d coppi di rette. 4. Si b bilr 3 l form simmetric ssocit ll form qudrtic qx,y,z = y 2 +z 2 +4xy+2xz. L mtrice di b rispetto ll bse cnonic è: ; d L dimensione di {f homr 3,R 2 f0,0,1 = f0,1,0 = 0} è: 1 2 3; d L mtrice ssocit fx,y = x,x y rispetto ll bse 1, 1,1,0 è: ; d In R 3 l distnz del punto P = 3,2,1 dll rett r = {y z 5 = 0,x = 3} è: 1/ 2 1/2 2; d In R 3 le rette r = {2x y = 1,z = 0} e s = {2x y = 2,z = 1} sono tr loro: prllele incidenti uguli; d sghembe. 9. Un ppliczione linere d K 47 [x] M 7 7 K non può: esistere essere iniettiv essere suriettiv; d nessun delle ltre. 10. Qule delle seguenti equzioni definisce un sottospzio vettorile di R 2? x 2 +y 2 = 1 x 2 +y 2 < 1 x 2 = 0; d xy = Per quli vlori di k l mtrice k 2 k 1 2 k 4 1 rppresent un prodotto sclre? k nessun vlore di k k > 0 k > 2; d 0 < k < Qul è l dimensione mssim dei blocchi dell form di jordn di fx,y,z = x+y,x+2y,z? 1 2 3; d Il polinomio crtteristico di fx,y = x+y,x+y è: xx 2 x 2 2 x 1 2 ; d x In R 3 l ortogonle di 1,1, 1 rispetto l prod. scl. con form qudrtic x 2 2xy+2y 2 +z 2 è z = y z +y = x spn0,1, 1; d x+y z = Qunte soluzioni h in R 3 il sistem AX=0 con A=? 0 1 ; d Il foglio deve essere intestto immeditmente con nome, cognome e mtricol. Deve essere esibito il libretto o un documento. Non è concesso lzrsi prim del termine né chiedere chirimenti. I telefoni, tblet, smrtwtch e qunt ltro deve essere mntenuto spento. Sul tvolo è consentito vere solo i fogli forniti e un penn. Prim di consegnre bisogn nnotre le risposte dte sul foglio fornito. Ogni rispost estt vle 3 punti, ogni rispost errt errt vle -1. Le risposte omesse vlgono 0. V consegnto SOLO questo foglio

2 Risposte estte c 3. c 4. d 5. b 6. c 7. d c 10. c c

3 Nome Cognome Mtricol 1. Qul è il vettore di R 3 che h coordinte 1,2,1 rispetto ll bse e 1 +e 2,e 2 +e 1,e 2 +e 3? 1,2,1 1,2,3 3,4,1; d Quell propost non è un bse Qule mtrice commut con A =? A ; d L conic di equzione x 2 y 2 = 0 è: rett doppi rette incidenti rette prllele; d rett semplice. 4. L mtrice dell form bilinere di R 2 dt d bx,y,x,y = xy + x y + xx, rispetto ll bse B = { 1,0,0, 1} è: ; d L dimensione di {f homr 3,R 2 f0,0,1 = f0,1,0 = 0} è: 1 2 3; d Qule tr queste è l mtrice di un rotzione di π in senso orrio in 2 R2? cosθ sinθ 0 i ; d. sinθ cosθ i 0 7. In R 3 l distnz tr il pino x y +z = 1 e 1,0,1 è: 0 1 3; d Dte due rette ffini in R 3, qule ffermzione è fls? se si intersecno llor sono contenute in un pino ffine se sono contenute in un pino llor si intersecno se sono sghembe generno R 3 ; d se le giciture sono uguli llor sono contenute in un pino ffine. 9. L dimensione del ker di fx,y,z = x,x y,x è: 0 1 2; d L funzione d R 3 in sé definit d fx,y,z = z,y,x è: un rotzione un riflessione un trslzione; d nessun delle precedenti. 11. Se A = M T BM con A,B M n n R simmetriche e M invertibile: deta = 0 detb = 0; b rngoa = rngob A e B hnno l stess segntur; d tutte le precedenti sono vere. 12. Qunti blocchi h l form di jordn di fx,y,z = x+y,x+2y,z? 1 2 3; d Quli dei seguenti puó essere utovlore di un funzione F tle che F 3 = Id? 0 1-1; d i. 14. Per qule delle seguenti mtrici M esiste α tle che M non si ortogonle? cosα sinα sinα cosα cosα sinα sinα cosα cosα sinα sinα cosα ; d Nessun. 15. Si W il sottospzio di C 4 dto d W = {x+iy +z +t = 0,2y iz = 0,x iy +t = 0}. dimw = 1 dimw = 2 dimw = 3; d dimw = 4.. Il foglio deve essere intestto immeditmente con nome, cognome e mtricol. Deve essere esibito il libretto o un documento. Non è concesso lzrsi prim del termine né chiedere chirimenti. I telefoni, tblet, smrtwtch e qunt ltro deve essere mntenuto spento. Sul tvolo è consentito vere solo i fogli forniti e un penn. Prim di consegnre bisogn nnotre le risposte dte sul foglio fornito. Ogni rispost estt vle 3 punti, ogni rispost errt errt vle -1. Le risposte omesse vlgono 0. V consegnto SOLO questo foglio

4 Risposte estte d 2. b 3. b 4. c 5. b 6. b 7. d 8. b 9. b 10. b 11. d 12. c 13. b b

5 Nome Cognome Mtricol 1. Le coordinte di 0,0,1 rispetto ll bse {1,0,0,0,1,0,1,0,1} di Z 3 2 sono: 0,0,1 1,0,1 0,0,0; d 0,1,1. 2. Si A M 2 2 Z/2Z e si px = x+1 2. Allor: PA = A PA = 0 PA = 0 A = A 1 ; d PA = 0 A = Id. 3. L conic definit d x 2 +y 2 xy = 1 è: un coppi di rette un iperbole un prbol; d un ellisse. 4. Lmtricessocitllformbilinerebx 1,y 1,x 2,y 2 = x 1 y 2 x 2 +x 2 y 1 inbsecnonicè: ; d b non è un form bilinere. 5. Si I R 4 definito d I = {sinθ,cosθ,sinθ, cosθ : θ [0,1]} e si W = spni. dimw = 4 dimw = 1 dimw = 2; d dimw = L mtrice di fx,y = 2x+y,y x nell bse di R 2 formt d v 1 = e 2,v 2 = e 1 +e 2 è: ; d In R 3 l distnz tr P = 1,0, 1 ed il pino π : y 2z = 3 è: 1/ 5 1/ 5 2/ 5; d 1/ Quli sono equzioni crtesine per V = spn{0,0,0,i,0, i} C 3? x+y = 0,z = 0 y = 0,x+z = 0 ix+y = 0; d ix+y = 0,z = L dimensione del ker di fx,y,z = 0,0,0 è: 0 1 2; d Qule di questi è un sottospzio vettorile di R[x]? {p p0 = 0} {p p0 = 1} {p p0 0}; d nessuno. 11. l segntur n 0,n +,n di è? 2,1,0 1,1,1 0,1,1; d 0,2, L form di Jordn di fx,y = 6x 4y,9x 6y è: 1 1 ; d nessun delle precedenti Per quli vlori di k R l mtrice k 0 0 k 0 è digonlizzbile? k k 1,2 k = 2 k 0; d k = L ortogonle di 0, 1,2 rispetto bx,y = x 2 y 2 +2x 2 y 3 +2x 3 y 2 è: x 2y = 0 x+3y +2z = 0 3y 2z = 0; d x y = 2z. 15. In R 3 qunte soluzioni h il sistem x z = 1 x+y +z = 0 2x+y = ; d. Il foglio deve essere intestto immeditmente con nome, cognome e mtricol. Deve essere esibito il libretto o un documento. Non è concesso lzrsi prim del termine né chiedere chirimenti. I telefoni, tblet, smrtwtch e qunt ltro deve essere mntenuto spento. Sul tvolo è consentito vere solo i fogli forniti e un penn. Prim di consegnre bisogn nnotre le risposte dte sul foglio fornito. Ogni rispost estt vle 3 punti, ogni rispost errt errt vle -1. Le risposte omesse vlgono 0. V consegnto SOLO questo foglio

6 Risposte estte b 2. c 3. d 4. b 5. c b 8. b 9. d b c 15. d

7 Nome Cognome Mtricol 1. In R 2 [x], le coordinte di x+1x+2 rispetto ll bse {x+1,x 2 +x,1} sono: 1,1,1 1,0,1 2,1,0; d 2,1, 1. 1 i 2. L invers di A = è: A non è invertibile i 1 A+AT A 2 ; d AT. 3. L conic di equzione x 2 y 2 +x y +1 = 0 è: un ellisse rele un prbol un iperbole; d l insieme vuoto. 4. Si b bilr 3 l form simmetric con form qudrtic x 2 + 2xy + y 2 + 2z 2. L segntur n 0,n +,n di b è: 1,2,0 2,1,0 1,0,2; d 1,1,1. 5. Si I R 4 definito d I = {sinθ,cosθ,sinθ, cosθ : θ [0,1]} e si W = spni. dimw = 4 dimw = 1 dimw = 2; d dimw = L mtrice di fx,y = 2x+y,y x nell bse di R 2 formt d v 1 = e 2,v 2 = e 1 +e 2 è: ; d In R 3, l distnz tr P = 1, 1,1 ed l sse Y è: 0 1-1; d L rett di R 3 ortogonle l pino π : x y +z +1 = 0 e pssnte per P = 1,0,2 è: t, t+1,t+1 x = y +1,z = 2 t,t 1,2; d x = y +1,z = y Si f homv,w. Se dimv = dimw < llor: f è invertibile; b dimimmf = dimkerf Immf = W; d f è iniettiv se e solo se è suriettiv. 10. Un sottoinsieme W di R n è un sottospzio se: Contiene lo zero {v R n : v / W} è un sottospzio Esiste f EndR n t.c. W = kerf; d Nessun delle precedenti Per quli dei seguenti vlori di x l ppliczione linere ssocit ll mtrice risult x 2x utoggiunt rispetto l prodotto sclre stndrd di R 3? 1 2 3; d Qunti blocchi h l form di Jordn di ? 1 2 3; d Si A M 4 4 C digonlizzbile con utovlori 0,1, 1. Se m 0 = 2 h llor: rngoa = 2 dimkera = 1 dimkera < 2; d rngoa L proiezione ortogonle di 3,2,1 lungo 1,1,1 è: 2,2,2 1,1,1 18/ 14,12/ 14,6/ 14; d 18/ 14,12/ 14, 6/ Si A = Qunte soluzioni h in Z 3 2 il sistem AX = 0? ; d.. Il foglio deve essere intestto immeditmente con nome, cognome e mtricol. Deve essere esibito il libretto o un documento. Non è concesso lzrsi prim del termine né chiedere chirimenti. I telefoni, tblet, smrtwtch e qunt ltro deve essere mntenuto spento. Sul tvolo è consentito vere solo i fogli forniti e un penn. Prim di consegnre bisogn nnotre le risposte dte sul foglio fornito. Ogni rispost estt vle 3 punti, ogni rispost errt errt vle -1. Le risposte omesse vlgono 0. V consegnto SOLO questo foglio

8 Risposte estte c c c d d 10. c 11. d 12. c b