Problema Determina l equazione omogenea del completamento proiettivo della conica a ne di equazione: 2x 2 3y 2 +5x 2y +3=0.

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1 8 Esercizi svolti Coniche a ni Nel iano a ne (reale o comlesso) sia fissato un sitema di riferimento con coordinate (, ). Si consideri il comletamento roiettivo con coordinate omogenee [X,X,X ] tali che X /X, X /X ove X 6. Negli esercizi successivi il iano roiettivo verrà ensato come il comletamento roiettivo del iano a ne. Problema 8.. Determina l equazione omogenea del comletamento roiettivo della conica a ne di equazione: + +. Soluzione. L equazione cercata di è X X +X X X X +X, ottenuta sostituendo con X, con X e rendendo omogenea di secondo grado l equazione tramite la variabile X. Problema 8.. Determina l equazione a ne del luogo dei unti rori della conica roiettiva di equazione omogenea: X + X +X X +X X +4X X. Soluzione. Un unto rorio ha coordinate omogenee della forma [,, ], ove (, ) siano le corrisondenti coordinate a ni. I unti rori di sono tutte e sole le soluzioni dell equazione (nelle variabili (, )) ottenuta dall equazione di sostituendo X con, X con e valutando X in. L equazione del luogo cercato è dunque : il luogo dei unti rori di è una conica a ne e è una conica roria. Problema 8.4. Discuti se le seguenti coniche roiettive sono rorie: a) di equazione: X X + X +X X ; b) di equazione: X +X +X +X X. Soluzione. a) In base alla Definizione 8.., la conica non è roria erché la sua equazione è divisibile er X. b) La conica è roria erché la sua equazione non è divisibile er X, erché contiene termini non nulli in cui X non comare. Problema 8.. Moltelicità dei unti fondamentali del riferimento. Decomoni in arti omogenee l equazione a ne di una conica a ne : f(, ) f (, )+f (, )+f, (8.) con f i omogenee di grado i. Sia il comletamento roiettivo di.provache: a) assa er l origine O, f. b) è s i n g o l a r e n e l l o r i g i n e O, f f. c) Il comletamento roiettivo assa er X, la coordinata comare al iù linearmente nell equazione, il coe ciente di in f è n u l l o. d) Il comletamento roiettivo è s i n g o l a r e i n X, la coordinata non comare in f. e) Il comletamento roiettivo assa er Y, la coordinata comare al iù linearmente nell equazione, il coe ciente di in f è n u l l o. f) Il comletamento roiettivo è s i n g o l a r e i n Y, la coordinata non comare in f. Soluzione. Si alica l osservazione 8...

2 4 8 Classificazione delle coniche Problema 8.6. Punti semlici nei unti fondamentali. Decomoni in arti omogenee l equazione a ne di una conica a ne : f(, ) f (, )+f (, )+f, (8.) con f i omogenee di grado i. Sia il comletamento roiettivo di.provache: a) L origine O è s e m l i c e e r, f ma f non è identicamente nullo. In tal caso, l equazione della retta tangente a in O è f. b) X è s e m l i c e e r i l c o m l e t a m e n t o, la coordinata comare linearmente, ma non con grado, in f. Intalcaso,l equazionedellarettatangentea in X è i l c o e c i e n t e d i in f. c) Il comletamento è s i n g o l a r e i n X, la coordinata non comare in f. d) Y è s e m l i c e e r i l c o m l e t a m e n t o, la coordinata comare linearmente, ma non con grado, in f. Intalcaso,l equazionedellarettatangentea in Y è i l c o e c i e n t e d i in f. e) Il comletamento è s i n g o l a r e i n Y, la coordinata non comare in f. Soluzione. Si alica l osservazione 8... Problema 8.7. Sia una conica a ne di equazione: a + b +c +d +e + f esiap (, ) un unto del iano che non sia un unto doio er.selaconica è a centro, si richiede che P non sia il centro di. Determina l equazione a ne della olare di P risetto al comletamento roiettivo di. acd Soluzione. La matrice di è A cbe def. La olare di P risetto a ha equazione a ne ( )A ( a + c + d) +( c + b + e) +( d + e + f). Problema 8.8. Punti imrori Sia la conica a ne il cui comletamento roiettivo sia la conica roiettiva di equazione: X X + X +X X +4X X. a) Determina i unti imrori di e deduci che la conica è a centro. b) Determina il centro di. Soluzione. a) La conica ha matrice A. La conica ha due unti im- rori distinti, erché det A det 6. Tali unti si ottengono imonendo X nell equazione di e sono quindi dati da X,X X +X X. Si ricava che i unti imrori di sono i unti B [ +,, ] e B [,, ].

3 8 Esercizi svolti Osservando che la conica è non degenere e ha due unti imrori distinti, si conclude che è una conica a centro. b) Primo modo Il centro è il unto di intersezione delle olari di una qualsiasi coia di unti imrori distinti: ad esemio, basta intersecare le olari dei unti imrori [,, ] e [,, ]. La olare di [,, ] è X + X (è l equazione corrisondente alla rima riga di A) e la olare di [,, ] è X X +X (corrisondente alla seconda riga di A). Intersecando le due olari si ricavano le coordinate del centro C[, 4, ]; le coordinate a ni del centro sono C( /, 4/). Secondo modo Poiché nel unto a) sono stati calcolati i unti imrori B e B di, è ossibile calcolare le coordinate del centro come unto di intersezione delle olari di B e B. La olare di B ha equazione ( +)X +( + )X +4X, mentre la olare di B ha equazione ( +)X +( )X +4X. Intersecando le due olari si ricavano le coordinate omogenee del centro C[, 4, ], le cui coordinate a ni sono C( /, 4/). Problema 8.9. Centro di una conica a centro a) Determina il centro della conica a ne a centro di equazione: a + b +c +d +e + f. b) Usa il metodo utilizzato nel unto recedente er calcolare le coordinate a ni del centro della conica di equazione Soluzione. a) La matrice di è A acd cbe def, ove A ac cb ha determinante 6. Il centro della conica è il olo della retta all infinito e si ottiene intersecando le olari delle direzioni e degli assi coordinati. La olare di è la retta ( )A a + c + d, mentre la olare di è la retta ( )A c+b+e. Ricaviamo che il centro è il unto le cui coordinate sono soluzione di a + c + d c + b + e cioè il unto C( db+ec dc ae, ab c b) La matrice di è A ab c )., che ha rango. Poichè A ha determinante 6, la conica è una conica a centro. Il centro della conica è il olo della retta all infinito e si ottiene intersecando le olari delle direzioni e degli assi coordinati. La olare di è la retta ( )A, mentre la olare di è la retta ( )A + +. Il centro ha come coordinate la soluzione del sistema, + +, e dunque è il unto C(, ).

4 6 8 Classificazione delle coniche Problema 8.. Asintoti Determina gli asintoti della conica a ne di equazione: Soluzione. Primo modo Immergendo il iano a ne nel iano roiettivo, con le consuete notazioni, il comletamento roiettivo di è la conica roiettiva di equazione X 7X +9X X + X X + X. I unti imrori [X,X, ] di si calcolano risolvendo l equazione X 7X +9X X ottenuta imonendo X nell equazione di : tali unti imrori sono B [,, ] e B [7,, ]. Poiché ha due unti imrori, gli asintoti esistono e sono le olari dei unti imrori; la olare di B ha equazione omogenea 8X 9X +X, mentre la olare di B ha equazione omogenea 9X +X X. Tornando in coordinate a ni, gli asintoti sono le rette di equazione cartesiana e 9 +, risettivamente. Secondo modo Gli asintoti sono le rette a ni che non intersecano. Problema 8.. a) Sia una conica di equazione: a + b + c.mostrachela conica è degenere e comosta da rette arallelle all asse. b) Se è u n a c o n i c a c o m o s t a d a r e t t e a r a l l e l e a l l a s s e, èverochenellasua equazione non comaiono termini in? Soluzione. a) L equazione della conica è data da un olinomio comlesso di secondo grado in una variabile, che dunque si fattorizza in fattori lineari: la conica è dunque riducibile. Le comonenti hanno equazione della forma d e sono rette arallele all asse (sia che le comonenti siano distinte o no). b) Le rette arallele all asse hanno equazione della forma d : il rodotto di due equazioni di questa forma è un olinomio di secondo grado rivo di termini in, comesivoleva. Classificazione a ne delle coniche nel iano comlesso Problema 8.. Classificazione a ne di una conica di rango nel iano a ne comlesso Sia la conica a ne di equazione: Determina la forma canonica a ne di ed un cambio di coordinate M d + ỹ d tramite il quale l equazione di diventi l equazione canonica a ne. 4 6 Soluzione. La matrice A 6 9 di ha rango ; la conica è dunque comosta dalla retta, contata con moltelicità, di equazione + (ricavata ad esemio dalla rima riga della matrice). L equazione canonica a ne di è ertanto data da.

5 8 Esercizi svolti 7 La determinazione di un sistema di coordinate nel quale assume la forma canonica è simile a quello svolto nel Problema 8. nel caso di una conica roiettiva, urché la trasformazione di coordinate scelta sia una a nità. Si considera il comletamento roiettivo di e si determina il suo unto imrorio B [,, ]; si sceglie ora un altro unto di, ad esemio B [,, ]. In un qualsiasi sistema di coordinate omogenee [X ] in cui B abbia coordinate [,, ] e B abbia coordinate [,, ], la retta che è comonente di è raresentata dall equazione X. Nel corrisondente sistema di coordinate a ni, la conica è raresentata dall equazione canonica. Ad esemio, è ossibile scegliere, in coordinate omogenee, il cambio X MX ove M : a tale cambio, corrisonde il cambio di coordinate a ni + con ỹ M d,. d Problema 8.. Classificazione a ne di una conica di rango nel iano a ne comlesso Sia la conica di equazione: 6 8. Determina l equazione canonica a ne di ed un cambio di coordinate M d + ỹ d tramite il quale l equazione di diventi l equazione canonica a ne. Soluzione. La matrice A di ha rango ; la conica è dunque 8 comosto da due rette distinte. Poiché det A 6, la conica ha due unti imrori distinti, e dunque è formata da una coia di rette a ni incidenti. L equazione canonica a ne di è ertanto data da +ỹ. Il calcolo di un sistema di coordinate nel quale assume la forma canonica è simile a quello svolto nell Esercizio Svolto 8. nel caso di una conica roiettiva, urché la trasformazione di coordinate scelta sia una a nità. Si considera il comletamento roiettivo di. Il unto doio di è B [,, ]. Primo modo Il unto [,, ] non aartiene a ; la sua olare ha equazione e unto imrorio [,, ]. Osserviamo che (,, )A(,, ) t. Tramite il cambio di coordinate omogenee definito da i, la conica viene raresentata dall equazione +. Il corrisondente cambio di coordinate a ni +,con i ỹ d e, i d soddisfa le richieste dell enunciato. Secondo modo Si determinano i suoi unti imrori B [,, ] e B [,, ]. In un sistema di coordinate omogenee [ ] in cui B, B e B abbiano coordinate [,i,], [, i, ], [,, ] risettivamente, le comonenti di sono raresentate dalle equazioni + i e i. Nel corrisondente sistema di coordinate a ni,

6 8 8 Classificazione delle coniche la conica è raresentata dall equazione canonica +ỹ. Ad esemio, è ossibile scegliere, in coordinate omogenee, il cambio M ove M i :a tale cambio, corrisonde il cambio di coordinate a ni + con i ỹ M d,. i d Le comonenti di sono + +e 4. Problema 8.4. Classificazione a ne di una conica di rango nel iano a ne comlesso Sia la conica di equazione: Determina l equazione canonica a ne di ed un cambio di coordinate M d + ỹ d tramite il quale l equazione di diventi l equazione canonica a ne Soluzione. La matrice A di ha rango ; la conica è dunque 6 4 comosto da due rette distinte. Poiché det A, il comletamento roiettivo di ha un unico unto imrorio, e dunque è formata da una coia di rette arallele. L equazione canonica a ne di è ertanto data da +. Il unto imrorio di ha coordinate omogenee Q[,, ] e coincide con il unto doio. Primo modo Il unto [,, ] non aartiene a e(,, )A(,, ) t 9; la olare di [,, ] ha equazione e assa er il unto doio Q, che è il suo unto imrorio. Un altro unto della olare è [,, ], che non aartiene a erché (,, )A(,, ) t 76. Tramite il cambio di coordinate omogenee definito 7 A, la conica viene raresentata dall equazione Il corrisondente cambio di coordinate a ni +, 7 ỹ con M 7 7 d e, soddisfa le richieste dell enunciato. 7 d Secondo modo Due unti rori di, non aartenenti alla stessa comonente, si ottengono ad esemio intersecando con l asse : si ricavano in tal modo i unti B [,, ] e B [,, ]. In un sistema di coordinate omogenee [ ] in cui B, B e B abbiano coordinate [,, ], [i,, ], [ i,, ] risettivamente, le comonenti di sono raresentate dalle equazioni + i e i. Nel corrisondente sistema di coordinate a ni, la conica è raresentata dall equazione canonica +. Ad esemio, è ossibile scegliere, in coordinate omogenee, il cambio

7 M ove M a ni i 8 Esercizi svolti 9 i : a tale cambio, corrisonde il cambio di coordinate + ỹ con M, i Le comonenti di sono + e. d d. Problema 8.. Classificazione a ne di una conica non degenere nel iano a ne comlesso a) Discuti se le seguenti coniche a ni sono arabole o coniche a centro: di equazione: ; di equazione: b) Determina i unti imrori dei comletamenti roiettivi e delle coniche a ni definite in a). c) Per ciascuna delle due coniche, determina un cambio di coordinate a ni M d + ỹ d tramite il quale l equazione della conica diventi l equazione canonica a ne. Soluzione. a) Il comletamento roiettivo di ha equazione omogenea: X +X 7X X + X + X X, mentre il comletamento di ha equazione X +4X +4X X +X X X. Entrambe le coniche sono rorie ed hanno rango e ossiamo alicare l osservazione La sottomatrice A della matrice A 7 di ha determinante non nullo, e dunque la conica è a centro. La sottomatrice B ottenuta cancellando la rima riga e la rima colonna 4 della matrice B di ha determinante nullo, e dunque la conica è 4 una arabola. b) Dal unto a) saiamo che ha due unti imrori tra loro distinti. I unti imrori di si ottengono imonendo X nell equazione di : essi sono i unti [,X,X ] tali che X +X 7X X. Risolvendo tale equazione quadratica, si trova che i unti sono [,, ] e [,, ]. Dal unto a) saiamo che ha un unico unto imrorio: tale unto è doio er la quadrica ottenuta intersecando con la retta imroria; le sue coordinate si ottengono dunque come soluzione non nulla del sistema omogeneo che ha er matrice di coe cienti B ; equivalentemente, basta rendere una soluzione non nulla del sistema omogeneo che ha er coe cienti la rima riga di B : X +X. Si ricava che l unico unto imrorio di è [,, ]. Alternativamente, si oteva risolvere l equazione X + X +4X X ottenuta imonendo X nell equazione di.

8 4 8 Classificazione delle coniche c) Studiamo la conica, la cui equazione canonica a ne è +ỹ +. Primo modo Cerchiamo un triangolo autoolare er tale che i rimi due unti fondamentali siano unti imrori. Osserviamo che il unto S [,, ] non aartiene a. La olare s di S ha equazione X 7X e unto imrorio T [, 7, ] che non aartiene a (erchè (, 7, )A(, 7, ) t 8 6 )eviene reso come vertice del triangolo autoolare. La olare t di T ha equazione 9 e interseca la retta s nel unto V di coordinate [9, 7, ] (che è il centro di ; in coordinate a ni, il centro di è quindi (7/9, /9). Osserviamo che (,, )A(,, ) t e(9, 7, )A(9, 7, ) t 8. Il cambio di coordinate 9 omogenee definito da X M X ove M 77 trasforma l equazione di nell equazione 8 +8 e quindi la trasformazione X M X 9 8 con 7 7 A 8 mette in forma canonica roiettiva. A tale cambio, 8 i 8 i 8 corrisonde il cambio di coordinate a 8 7 i 8 9 ỹ i ni con M i 8 i 8, d 7, d che è il cambio cercato. Secondo modo Il centro di è l intersezione delle olari dei unti imrori fondamentali; dalle equazioni X 7X e 7X +X + X si ricava che le coordinate omogenee del centro sono [9, 7, ]. Ora basta cercare un sistema di coordinate nel quale il centro abbia coordinate [,, ], mentre i unti imrori di abbiano coordinate [,,i] e[,, i] risettivamente, ritrovando i conti recedenti. Studiamo ora la conica, la cui equazione canonica a ne è ỹ. Procediamo come nell Osservazione In un riferimento a ne in cui la arabola è raresentata dall equazione canonica a ne il unto imrorio della conica coincide con il unto imrorio dell asse, l origine coincide con l intersezione dell asse con la conica,l asseỹ è la tangente a nell origine. Nel sistema di riferimento originario, il unto imrorio di ha coordinate omogenee [,, ], ed una retta che assa er esso è, ad esemio la olare del unto [,, ], di equazione a ne + +. Tale retta interseca nel unto (, /), la cui olare (che coincide con la retta tangente) ha come unto imrorio [,, ], er la rorietà di recirocità. Osserviamo che (,, )B(,, ) t,(,, )B(,, /) t. Il cambio di coordinate omogenee definito da X M X ove M trasforma l equazione di / nell equazione +4. e quindi la trasformazione X M X con M mette in forma. A tale cambio, corrisonde / / il cambio di coordinate a ni + con / ỹ d,, / d

9 8 Esercizi svolti 4 che è il cambio cercato. Coniche nel iano a ne reale Si studiano coniche a ni reali nel iano reale comlessificato. Si assume che il riferimento cartesiano sia reale e i cambi di riferimento ammessi siano reali. Qualora si utile, si considera l inclusione del iano a ne nel roiettivo, tramite l alicazione (, ) 7 [,, ] e denotando le coordinate omogenee con [X,X,X ]. Problema 8.6. Sia la conica di equazione: 8 9. a) Determina le comonenti di e discutere se sono reali. b) Determina l equazione canonica a ne di. Soluzione. a) La conica ha rango ed è quindi comosta da due rette distinte. Poichè la sottomatrice A della matrice A di ha determinante strettamente negativo, i unti imrori di sono una coia distinta di unti reali. La conica è ertanto comosta da due rette reali tra loro non arallele. Svolgendo i conti (ad esemio determinando il unto doio di e l equazione delle rette che congiungono il unto doio con ciascuno dei unti imrori di ), si determinano le equazioni delle comonenti di che sono, risettivamente, e. b) Poichè ha rango e comonenti reali, l equazione canonica è. Problema 8.7. Sia la conica di equazione: a) Determina le comonenti di e discuti se sono reali. b) Determina l equazione canonica a ne di. Soluzione. a) La conica ha rango ed è quindi comosta da due rette distinte. 6 Poichè la sottomatrice A della matrice A di ha determinante 6 9 strettamente ositivo, i unti imrori di sono una coia distinta di unti comlessi coniugati. La conica è ertanto comosta da due rette comlesse coniugate tra loro non arallele. Svolgendo i conti (ad esemio determinando il unto doio (, ) di e l equazione delle rette che congiungono il unto doio con ciascuno dei unti imrori di ), si determinano le equazioni delle comonenti di che sono, risettivamente, ( + i) +( i) e( i) +( + i). b) Poichè ha rango e comonenti comlesse coniugate non reali, l equazione canonica è +ỹ. Problema 8.8. Sia la conica di equazione: Determina i unti imrori del comletamento roiettivo di nel iano roiettivo comlessificato e determina l equazione canonica a ne di. 6 7 Soluzione. La conica ha matrice A 7 di rango, ed è una ellisse erchè det A > (e in articolare è una conica a centro): la conica ha

10 4 8 Classificazione delle coniche dunque due unti imrori, comlessi coniugati. I unti imrori [,, ] di sono raresentati dall equazione data dalla arte quadratica dell equazione di :6 + 4 Fattorizzando tale equazione, si ricavano i fattori ( + i) ( + i) e( i) ( i); i unti imrori di sono [ + i, +i, ], [ i, i, ]. Poichè ha rango, è ossibile alicare il Lemma 8..7 er discutere se ha unti reali: oichè a deta > e det A >, si conclude che non ha unti reali, ed è quindi una ellisse immaginaria, di equazione canonica a ne +ỹ +. Problema 8.9. Sia la conica di equazione: a) Verifica che è una ierbole. b) Determina i unti imrori di. 6 Soluzione. a) La conica è non degenere erchè la sua matrice A ha rango, ed è una ierbole erchè det A 49 < (e in articolare è una 4 conica a centro). b) I unti imrori [X,X, ] di sono raresentati dall equazione data dalla arte quadratica dell equazione di :6X X X X Fattorizzando tale equazione, si ricava che i unti imrori sono [,, ], [,, ]: insieme all informazione che sia non degenere, il fatto che i unti imrori siano una coia distinti di unti reali dimostra nuovamente che è una ierbole. Prorietà metriche: coniche nel iano euclideo Si studiano coniche a ni reali nel iano euclideo comlessificato. Si assume che il riferimento cartesiano sia monometrico ortonormale e i cambi di riferimento ammessi sono esclusivamente i movimenti rigidi (reali). Qualora serva, si ensa il iano euclideo incluso nel suo comletamento roiettivo, tramite l alicazione (, ) 7 [,, ] e denotando le coordinate omogenee con [X,X,X ]. Problema 8.. Equazione canonica metrica di una ellisse a unti reali Sia la conica di equazione: a) Determina l equazione canonica metrica di, evidenziandoneisemiassi. b) Determina il cambiamento ortonormale di coordinate necessario a nché assuma tale equazione. Soluzione. a) La conica è non degenere erchè la sua matrice A ha rango, ed è una ellisse erchè det A 8> (e in articolare è una conica a centro). La conica è una ellisse a unti reali in base al Lemma 8..7, essendo a deta 8 <. Possiamo quindi cercare i coe cienti della forma canonica metrica seguendo l Esemio 8.6., ii). In un sistema di riferimento ortonormale in cui gli assi cartesiani siano assi di simmetria ortogonale er la conica, l equazione assume la forma a + bỹ + c,ovea e b sono gli autovalori di A, mentre abc deta. Dunque ab det A 8,a + b tra 6,c deta/ab 6/8 /4.

11 8 Esercizi svolti 4 Svolgendo i conti, si osserva che è ossibile scegliere a, b 4. L equazione di diventa +4ỹ /4 : si conclude che l equazione canonica metrica è (8/) +(6/)ỹ, o, iù recisamente /8 + /6 ỹ e la conica è una ellisse a unti reali di semiassi e. 8 6 b) L autosazio di autovalore relativo alla matrice A è generato dall autovettore, che ha norma e fornisce i numeri direttori di un asse di simmetria ortogonale er la conica; i numeri direttori dell altro asse di simmetria ortogonale sono, che ha norma e che uò essere ricavato come generatore dell autosazio di autovalore 4 o, iù semlicemente, come ortogonale del recedente. La rotazione di centro l origine di equazione definisce un sistema di coordinate (, ) nel quale gli assi cartesiani e sono aralleli agli assi di simmetria ortogonale er. Oerando la sostituzione, si verifica che, in tali coordinate, la conica è raresentata dall equazione , nella quale non comare il termine in, e i coe cienti dei termini in e sono gli autovalori di A. Per determinare un sistema di coordinate (, ỹ) nel quale la conica è raresentata dall equazione canonica, è su ciente modificare l origine del sistema di coordinate, che deve essere osta nel centro di. Per determinare il cambio di coordinate, è ossibile rocedere come segue, utilizzando il metodo detto metodo del comletamento dei quadrati : la trasformazione cercata è della forma +c, ỹ +c, grazie alla quale si annullino i termini lineari nell equazione di : ( + c ) +4(ỹ + c ) +( + c )+(ỹ + c ) +4ỹ +(+4c ) +(+8c )ỹ +(c +4c +c +c ) L annullarsi del coe ciente del termine in fornisce l equazione + 4c, dalla quale si ricava c (/). L annullarsi del coe ciente del termine in ỹ fornisce l equazione + 8c, dalla quale si ricava c (/4). Il cambiamento di coordinate tramite il quale è raresentata dall equazione canonica è dunque dato da: ỹ ỹ 4

12 44 8 Classificazione delle coniche Problema 8.. Equazione canonica metrica di una ierbole. Sia la conica di equazione: Determina l equazione canonica metrica di ed il cambiamento di coordinate necessario a nché assuma tale equazione. Soluzione. La conica è non degenere erchè la sua matrice A ha rango, ed è una ierbole erchè det A 6 < (e in articolare è una conica a centro). Possiamo quindi cercare i coe cienti della forma canonica metrica seguendo l Esemio 8.6., iii). In un sistema di riferimento ortonormale in cui gli assi cartesiani siano assi di simmetria ortogonale er la conica, l equazione assume la forma a + bỹ + c,ovea e b sono gli autovalori di A, mentre abc deta. Dunque ab det A 6, a + b tra, c deta/ab /( 6) /6. Svolgendo i conti, si osserva che è ossibile scegliere a, b. L equazione di diventa ỹ +/6 : si conclude che l equazione canonica metrica è +8ỹ, o, iù recisamente /8 / ỹ, (scambiando eỹ in modo che il coe ciente negativo comaia nel termine in ỹ e l asse sia l asse trasverso). Cerchiamo ora il cambio di riferimento. L autosazio di autovalore relativo alla matrice A è generato dall autovettore, che ha norma e fornisce i numeri direttori di un asse di simmetria ortogonale er la conica; i numeri direttori dell altro asse di simmetria ortogonale sono, che ha norma e che uò essere ricavato come generatore dell autosazio di autovalore o, iù semlicemente, come ortogonale del recedente (e orientato in modo tale che l orientazione indotta dai due autovettori sia ositiva). La rotazione di centro l origine di equazione definisce un sistema di coordinate (, ) nel quale gli assi cartesiani e sono sono aralleli agli assi di simmetria ortogonale er. Oerando la sostituzione, si verifica che, in tali coordinate, la conica è raresentata dall equazione , nella quale non comare il termine in, i coe cienti dei termini in e sono gli autovalori di A, il termine noto è rimasto invariato.

13 8 Esercizi svolti 4 Per determinare un sistema di coordinate (, ỹ) nel quale la conica è raresentata dall equazione canonica, è su ciente modificare l origine del sistema di coordinate, che deve essere osta nel centro di. Per determinare il cambio di coordinate, è ossibile rocedere come segue, utilizzando il metodo detto metodo del comletamento dei quadrati : la trasformazione cercata è della forma +c, ỹ +c, grazie alla quale si annullino i termini lineari nell equazione di : ( + c ) +(ỹ + c ) + ( + c ) (ỹ + c )+ +ỹ +( 6c ) +( +4c )ỹ c +c + (c c )+ L annullarsi del coe ciente del termine in fornisce l equazione 6c, dalla quale si ricava c. L annullarsi del coe ciente del termine in ỹ fornisce l equazione +4c, dalla quale si ricava c. Il cambiamento di coordinate tramite il quale è raresentata dall equazione canonica è dunque dato da: + 7 ỹ ỹ Problema 8.. Equazione canonica metrica di una arabola. Sia la arabola di equazione: a) Determina l equazione canonica metrica di ed il cambiamento di coordinate necessario a nché assuma tale equazione. b) Determina l asse e il vertice di. 4 Soluzione. a) La conica è non degenere erchè la sua matrice A ha rango, ed è una arabola erchè det A. Possiamo quindi cercare i coe cienti della forma canonica metrica seguendo l Esemio In un sistema di riferimento ortonormale in cui gli assi cartesiani siano l asse di simmetria ortogonale er la conica e la retta tangente nel vertice, l equazione assume la forma aỹ,ovea è l autovalore non nullo di A, mentre a deta. Dunque a tra deta/a 6/. Svolgendo i conti, si osserva che è ossibile scegliere 4/. L equazione di diventa ỹ 8 : si conclude che l equazione canonica metrica è ỹ 8. L autosazio di autovalore relativo alla matrice A è generato dall autovettore, che ha norma e fornisce i numeri direttori dell asse di simmetria ortogonale er la conica; i numeri direttori della tangente nel vertice sono dati dal vettore, che ha norma e che uò essere ricavato come generatore dell autosazio di autovalore o, iù semlicemente, come ortogonale del recedente (e orientato in modo tale che l orientazione indotta dai due autovettori sia ositiva). La rotazione di centro l origine di equazione

14 46 8 Classificazione delle coniche definisce un sistema di coordinate (, ) nel quale l asse è arallelo all asse di simmetria ortogonale er e è arallelo alla tangente nel vertice. Oerando la sostituzione, si verifica che, in tali coordinate, la conica è raresentata dall equazione , nella quale non comaiono i termini in ein, il coe ciente del termine in è l autovalore non nullo di A, il termine noto è rimasto invariato. Osserviamo che il coe ciente del termine in è ositivo: oeriamo dunque un ribaltamento, : la conica è raresentata dall equazione Per determinare un sistema di coordinate (, ỹ) nel quale la conica è raresentata dall equazione canonica, è su ciente modificare l origine del sistema di coordinate, che deve essere osta nel vertice di. Per determinare il cambio di coordinate, è ossibile rocedere come segue, utilizzando il metodo detto metodo del comletamento dei quadrati : la trasformazione cercata è della forma +c, ỹ+c, grazie alla quale si annullino il termine lineare in ỹ e il termine noto nell equazione di : (ỹ + c ) 8 ( + c )+ 4 (ỹ + c ) ỹ 8 +( 4 +c )ỹ +c 8 c + 4 c L annullarsi del coe ciente del termine lineare in ỹ fornisce l equazione 4 +c, dalla quale si ricava c. L annullarsi del coe ciente del termine noto fornisce l equazione c 8 c + 4 c ; sostituendo il valore ottenuto er c, l equazione 4 diventa: 8 8 c, dalla quale si ricava c. Il cambiamento di coordinate tramite il quale è raresentata dall equazione canonica è dunque dato da: + 9 ỹ + ỹ. (8.) b) Il vertice di è l origine del sistema di coordinate che nel quale è raresentata dall equazione canonica metrica. Le equazioni (8.) del cambio di coordinate forniscono (er ỹ) le coordinate del vertice ( 9, ). L asse di simmetria è, er quanto osservato, arallelo alla retta ; imonendi il assaggio er il vertice, si trova che l asse di simmetria ha equazione /. Si veda il Problema Guida 8. er un esemio di calcolo diretto di vertice e asse, senza utilizzare il cambio di coordinate che one in forma canonica.

15 8 Esercizi svolti 47 Problema 8.. Sia la conica di equazione: a) Verifica che è una circonferenza, determinandone il centro e il raggio. b) Verifica che è u n a c o n i c a a c e n t r o e c h e i l c e n t r o d i s i m m e t r i a s e c o n d o l a definizione coincide con il centro della circonferenza. c) Verifica che il unto P (, ) è interno alla circonferenza e disegnarne la olare. d) Determina una coia di assi di simmetria er tra loro ortogonali. Soluzione. a) Ricordando quanto illustrato nel aragrafo. o controllando il assaggio er i unti ciclici, si riconosce facilmente che la conica assegnata è una circonferenza di centro C(, ) e raggio. b) La conica è non degenere (erchè la sua matrice ha rango ) e a centro (erchè ha due distinti unti imrori). Le coordinate del centro si ottengono intersecando le olari di una qualsiasi coia di unti imrori tra loro distinti; intersecando le olari dei unti imrori fondamentali, si ottengono le equazioni:,+, dalle quali si ricavano le coordinate (, ) del centro della conica, che coincidono con quelle del centro C della circonferenza, determinate nel unto recedente. c) Le rette er il unto P hanno equazione arametrica della forma +tl, +tm con t R, (l, m) R,(l, m) 6 (, ). Intersecando una tale retta con, si ottiene l equazione ( + tl) +( +tm) ( + tl)+6( +tm)+(l + m )t +(m)t 4, che è semre di secondo grado in t e ha discriminante strettamente ositivo 4m +6(l + m ) >. L intersezione è dunque semre data da due unti reali, e il unto P è dunque interno. d) È su ciente determinare due rette ortogonali assanti er il centro: ad esemio, e. Problema 8.4. Assi di simmetria di una conica a centro Sia la conica di equazione: Verificache è u n a c o n i c a a c e n t r o e determinarne gli assi di simmetria. Soluzione. La conica ha matrice A : la conica è dunque non degenere ed è una ellisse erchè det A >. Poichè non è una circonferenza, ha una coia di assi di simmetria, le cui direzioni, in base al lemma 8..4, sono date dagli autovettori di A. PoichètrA, gli autovalori di A sono e +. Primo modo Per quanto osservato, gli assi sono aralleli, risettivamente, alle rette + + e +. Le coordinate del centro della conica si trovano intersecando le olari delle direzioni degli assi cartesiani: dalle equazioni +, + + si deduce che il centro ha coordinate (/, /). Poichè gli assi devono assare er il centro della conica, si ricava che gli assi sono e Secondo modo L autosazio di autovalore risetto a A è generato + da (, + ), corrisondente al unto imrorio [,, ] che ha, come retta olare, la retta di equazione +.

16 48 8 Classificazione delle coniche L autosazio di autovalore + risetto a A è generato da (, ), corrisondente al unto imrorio [,, ] che ha, come retta olare, la retta di equazione Le coordinate (/, /) del centro si determinano intersecando gli assi, o intersecando le olari delle direzioni degli assi cartesiani. Problema 8.. Asse di simmetria e vertice di una arabola Sia la conica di equazione: Mostrache è u n a a r a b o l a, e d e t e r m i n a r n e il vertice e l equazione cartesiana dell asse di simmetria. Soluzione. La conica è non degenere erchè la sua matrice A 9 ha rango, ed è una arabola erchè det A. In base al Lemma 8.., l asse di simmetria ha er direzione il unto imrorio del comletamento roiettivo di ed è arallelo alla retta di equazione +. La retta tangente a nel suo vertice, essendo ortogonale all asse, ha equazione della forma + k. Il valore di k uò essere determinato imonendo che la retta sia tangente: l intersezione tra la retta e deve essere costituita da un unico unto, con moltelicità. L intersezione è data da + k Sostituendo la relazione + k nell equazione della conica, si ricava l equazione +9( + k) +6( + k)+ + +(6k +) +9k + ; la retta è tangente se tale equazione, nell incognita, ammette una unica soluzione, cioè ha discriminante nullo: 4k 96. Il valore di k er il quale la retta è tangente è dunque k 99/6: 99/6. Il vertice è il unto di intersezione con : calcolando l intersezione er il valore ottenuto di k si ottengono le coordinate del vertice: (97/, 89/). L asse di simmetria ha equazione della forma + + t : imonendo il assaggio er il vertice, si ricava che l equazione dell asse di simmetria è: + 4/. Problema 8.6. Sia la arabola di equazione: Determina le coordinate del suo fuoco. Soluzione. Il fuoco è l intersezione tra le rette isotroe che sono tangenti a. Problema 8.7. Sia l ellissi di equazione: Determina le coordinate dei suoi fuochi reali. Esercizi 8.. Determina la matrice e il rango delle coniche raresentate da una delle seguenti equazioni: a) ;

17 8 Esercizi 49 b) ; c) ; d) Al variare del arametro reale t, determina il rango della conica di equazione t + + +t Considera la conica di equazione X X +4X X + X. i) Determina il rango di e i suoi unti doi. ii) Osserva che i unti P [,, ] e P [,, ] sono semlici er la risettiva retta tangente a. iii) è riducibile? e determinare 8.4. Determina l equazione della conica costituita dalla retta er i unti [,, ] e [,, ] contata con moltelicità. Coniche a ni 8.. Controlla se le seguenti coniche sono arabole o coniche a centro; in quest ultimo caso, determina eslicitamente il centro. i) ii) Coniche del iano euclideo 8.6. Determina l equazione canonica a ne e metrica della conica definita da una delle equazioni seguenti: a) ; b) ; c) Determina l equazione della retta tangente la conica + + di A nell origine Determina gli assi di simmetria e il centro della conica Q di equazione Determinare inoltre il cambio di coordinate che muta l equazione di Q nella sua forma canonica metrica Determina l asse di simmetria ed il vertice della arabola di equazione Determina la forma canonica metrica e a ne delle coniche di equazione, risettivamente: i) 9 + ; ii) + +; iii) iv) ierbole +ỹ Determina inoltre un cambiamento di coordinate che ermette di ottenere la forma canonica metrica. 8.. Trasforma la conica a ne di equazione mediante l a nità di equazioni +, ỹ 4 +.

18 8 Classificazione delle coniche 8.. Controlla se esiste una a nità che muta le seguenti coie di coniche l una nell altra: a), + ; b) + +, + ; c) + 4, +.