Prova scritta di Statistica per Biotecnologie. 29 Aprile Programma Cristallo 1

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1 Prova scritta di Statistica per Biotecologie 9 Aprile Programma Cristallo. Uo dei processi di purificazioe impiegati i ua certa sostaza chimica prevede di metterla i soluzioe e di filtrarla co ua resia che e fissi le impurità. U igegere chimico vuole provare l efficieza di 3 tipi di resie. Divide allora ua piccola quatità della soluzioe i 5 campioi che filtra co 3 resie, 5 per tipo. Le cocetrazioi di impurità dopo il filtraggio soo risultate le segueti: Resia I 0,046 0,05 0,04 0,07 0,043 Resia II 0,038 0,035 0,03 0,0 0,0 Resia III 0,03 0,04 0,00 0,08 0,039 Verifica le ipotesi che o vi siao differeze tra le efficieze delle tre resie.. Gli alberi di ua foresta hao u altezza media di,4 m co ua deviazioe stadard di,3m. Suppoedo che la distribuzioe degli alberi secodo l altezza sia approssimativamete ormale, co riferimeto a u campioe casuale di 0 uità si calcoli: (a) la probabilità che la media campioaria sia compresa tra 9,7 e ; (b) gli estremi dell itervallo cetrato ella media della popolazioe etro cui è compresa la media campioaria co probabilità 0, Si rappreseti graficamete la distribuzioe di frequeza che si riferisce al umero di esami sosteuti el primo ao di corso da laureati i ecoomia di ua certa uiversità: N. esami Totale frequeza Determiare media, moda e mediaa e commetare opportuamete i risultati. 4. E stato codotto uo studio per compredere come la sommiistrazioe di u ormoe della crescita ifluisca sul peso dei ratti i stato di gravidaza, osservado l aumeto di peso durate la gestazioe su 0 ratti trattati co l ormoe e su altrettati ratti o trattati. Per il primo campioe la media campioaria è risultata 63,4 e la deviazioe 5,9; metre per il secodo campioe la media è risultata 43,8 e la deviazioe stadard,. Quali soo le ipotesi da formulare sulle popolazioi affiché si possa procedere al test sulla differeza tra le medie? Si stabilisca se l accrescimeto poderale medio dei ratti trattati co l ormoe è sigificativamete superiore a quello dei ratti o trattati. Correzioe ed evetuale registrazioe Luedì 6 Maggio ore 6.30 Aula 39 Pagia

2 Soluzioi prova scritta (CRISTALLO ). Si tratta di ua ANOVA ad u fattore. La statistica test è il rapporto tra la somma dei quadrati relativi ai livelli del fattore (le resie) rapportata ai gradi di libertà diviso la somma dei quadrati relativi all errore rapportata ai gradi di libertà. Ricordado che 3 i 5 dove i i= SS = 5 ( y y) =,45 0 LIVELLI y rappresetao le medie dei livelli (ossia per resia I si ha 0.09, per resia II si ha e per resia III si ha 0.03) e y rappreseta la media totale ossia 0,08 e 5 3 ERRORE = ( ij i ) = 0,00789 j= i= SS y y dove yijrappresetao i 5 dati, il valore della statistica test risulta ( ) ( ),45 0 / / 0,00789 / = 0,048. Il quatile di riferimeto è pertato l ipotesi che le resie abbiao la stessa resia o si rigetta.. La media campioaria è ua variabile aleatoria gaussiaa di media,4 e deviazioe stadard,3 / 0. Pertato 9,7,4 X,4,4 P( 9, 7 < X < ) = P < < = P( 5,84 < Z <,37 ) = 0, 084,3 / 0,3 / 0,3 / 0 usado le tavole statistiche. Per rispodere al quesito (b), ricordiamo che l itervallo di cofideza (o stima itervallare) per la media della popolazioe risulta essere Per α = 0.0dalle tavole il valore 0.0 σ σ P µ zα / < X < µ + zα / = α z tale che ( ) Pertato gli estremi cercati soo σ.3 µ zα / =.4.8 =.0 0 σ.3 µ + zα / = = La distribuzioe di frequeza è P Z > z 0.0 = 0.0risulta essere z 0.0 =.8. Correzioe ed evetuale registrazioe Luedì 6 Maggio ore 6.30 Aula 39 Pagia

3 La moda è 3 (freq. assoluta 6). La media è,55. La mediaa è il valore cetrale tra 57 e 58. Poiché le frequeze cumulate soo Modalità Freq.Assolute Freq. Cumulate la mediaa è pari a 3. Ache dal grafico delle frequeze assolute, la distribuzioe appare simmetrica. 4. Poiché le iformazioi sui due gruppi soo campioarie e le taglie soo basse, per applicare il T-test e verificare se c è differeza tra le medie, è ecessario che le popolazioi da cui provegao etrambi i campioi siao ormali. Idicado co x la media campioaria e co s la deviazioe campioaria, i dati a disposizioe possoo essere così riassuti: x = 63, 4; s = 5,9; = 0 La variaza pesata risulta essere Pertato la statistica test osservata è S x = 43,8; s =, ; = 0 S ( ) + S ( ) = = 00,8 p + Correzioe ed evetuale registrazioe Luedì 6 Maggio ore 6.30 Aula 39 Pagia 3

4 T = = S p x x + Siccome il quatile di riferimeto è t 0,05;8 =,miore di 3,09 allora si rigetta l ipotesi che le medie soo uguali. La decisioe presa è ua decisioe cosiddetta forte, perché l errore che si commette è di I tipo ed ha probabilità di occorreza del 5%. 3,09 Correzioe ed evetuale registrazioe Luedì 6 Maggio ore 6.30 Aula 39 Pagia 4

5 Prova scritta di Statistica per Biotecologie 9 Aprile Programma Cristallo. I dati che seguoo si riferiscoo all età dei partecipati a u cocorso itero badito da u ete pubblico irladese per il passaggio ad ua qualifica superiore. Alcui dei cadidati o vicitori fecero ricorso sosteedo che i risultati del cocorso erao ificiati da ua discrimiazioe verso i cadidati meo giovai. Quali soo le ipotesi da formulare sulle popolazioi affiché si possa procedere al test sulla differeza tra le medie? Si stabilisca se la differeza tra l età media del primo gruppo e quella del secodo gruppo è sigificativamete maggiore di 0.. I ua classe di 50 studeti, i voti riportati all esame di Matematica soo riportati i tabella. Si rappreseti graficamete la relativa distribuzioe di frequeza e si calcolio moda, media e mediaa, effettuado poi u commeto sui risultati otteuti: voti Totale Studeti Il peso medio (i grammi) delle uova prodotte da u azieda avicola segue ua distribuzioe ormale. Si costruisca ua stima itervallare per la variaza della popolazioe sapedo che i u campioe di uova soo stati rilevati i segueti pesi: 7, 67, 68, 75, 64, 73, 66, 78, 77, 63, 74, Si cosideri u campioe casuale di ampiezza 5 proveiete da ua popolazioe ormale co media 0 e variaza 6. Si calcoli la probabilità (a) che la media campioaria assuma u valore maggiore di ; (b) che la media campioaria sia compresa tra e 9; (c) il valore superato dal 63% delle medie campioarie. Correzioe ed evetuale registrazioe Luedì 6 Maggio ore 6.30 Aula 39 Pagia 5

6 Soluzioi prova scritta (CRISTALLO ). Poiché le iformazioi sui due gruppi soo campioarie bisogerebbe applicare il T-test per verificare se c è differeza tra le medie. I tal caso è ecessario che le popolazioi da cui provegao etrambi i campioi siao ormali. Tuttavia poiché etrambi i campioi hao taglie sigificative (3 per il primo campioe e 30 per il secodo campioe) è possibile applicare u test Z. Per comodità si riportao etrambi gli svolgimeti: (a) T-test: Idicado co x la media campioaria e co s la deviazioe campioaria, i dati a disposizioe possoo essere così riassuti: x = 46,9; s = 7, ; = 3 La variaza pesata risulta essere Pertato la statistica test osservata è S x = 43,93; s = 5,88; = 30 S ( ) + S ( ) = = 4,4 p + T = = S p x x + Siccome il quatile di riferimeto è t 0,05;5 =, 007maggiore di,65 allora o si rigetta l ipotesi che le medie soo uguali. (b) Z-test: La statistica test osservata è Z x x = = S S + Siccome il quatile di riferimeto è z 0,05 =,96maggiore di,65 allora o si rigetta l ipotesi che le medie soo uguali.,65,60. La distribuzioe di frequeza dei dati assegati risulta essere Freq.osservate Correzioe ed evetuale registrazioe Luedì 6 Maggio ore 6.30 Aula 39 Pagia 6

7 La moda è 3 corrispodete al valore co frequeza assoluta maggiore. La media è 4,4. La mediaa si trova tra il 5 e il 6-esimo posto, ossia vale 4 poiché Modalità Freq.osservate Freq. Cumulate La distribuzioe quidi risulta piuttosto simmetrica, come si evice ache dal grafico. 3. La stima itervallare per la variaza di u campioe casuale proveiete da ua popolazioe gaussiaa risulta essere: assegare soo ( ) S ( ) S P < σ < = α. I valori da χα /, χ α /, = ; S = 7, 45; α =,9; α = 3,8 per α = 0, 05. Pertato χ /, χ /, l itervallo di cofideza risulta essere (3,77;79,4). 4. La media campioaria è ua variabile aleatoria gaussiaa di media 0 e deviazioe stadard 4 / 5. Pertato X 0 0 P( X > ) = P > = P( Z >,5) = 0, / 5 4 / 5 usado le tavole statistiche. Per rispodere al quesito (b), si ha 0 X P( < X < 9) = P < < = P( 0 < Z <, 5) = 0,0 4 / 5 4 / 5 4 / 5 Ifie per rispodere all ultimo quesito, bisoga determiare quel valore di x tale che x 0 P ( X > x) = 0,63. Effettuado la stadardizzazioe si ottiee P Z > = 0,63. 4 / 5 x 0 Posto z =, dalle tavole statistiche il valore di zrisulta essere -0,33. Essedo 4 / 5 x 0 0,33 = segue che x = 9, / 5 Correzioe ed evetuale registrazioe Luedì 6 Maggio ore 6.30 Aula 39 Pagia 7

8 Prova scritta di Statistica per Biotecologie 9 Aprile Programma Gallo. I uo studio sul processo di ossidazioe della aftalia i fase di vapore, la percetuale molare di aftalia covertita i aidride maleica è la seguete: 4., 4.7, 5.0, 3.8, 3.6, 3.0, 5., 3., 3.8, 4.8, 4.0, 5., 4.3,.8,.0,.8, 3.3, 4.8, 5.0 Calcolare il rage del campioe e la deviazioe stadard. Calcolare sempre il rage del campioe e la deviazioe stadard sottraedo a ciascu valore il valore.0: cofrotare i risultati otteuti ei due casi. C è qualcosa di speciale ella costate.0 o qualsiasi altro valore scelto arbitrariamete avrebbe prodotto i medesimi risultati?. L esperimeto di Salk del vaccio per la poliomelite si focalizzò sull efficacia del vaccio ella lotta alla poliomelite paralitica. Il vaccio fu sommiistrato a u primo gruppo di bambii e vi furoo 33 casi di polio osservati. Ad u secodo gruppo di bambii di umerosità 099 fu sommiistrato u placebo e di questi 0 casi svilupparoo la polio. L esperimeto fu codotto i doppio cieco. Usare ua procedura di verifica di ipotesi per stabilire se la proporzioe dei bambii ei due gruppi che cotrassero la poliomelite è statisticamete differete. Usare prima il livello di sigificatività del 5% e poi dell %. Cofrotare i risultati otteuti. 3. Vegoo registrate e ordiate 8 misure del flusso di prodotto i u impiato chimico: 6.5, 6.77, 6.9, 7.38, 7.64, 7.74, 7.90, 7.9, 8., 8.6, 8.30, 8.3, 8.4, 8.53, 8.55, 9.04, 9.33, 9.36 Stabilire co u test di adattameto se seguoo ua legge gaussiaa. 4. Nella realizzazioe di memorie ottiche, la cotamiazioe costituisce u serio problema. Il umero di particelle cotamiati che si presetao i u disco ottico ha legge di Poisso e il umero medio di particelle per cetimetro quadrato di superficie del supporto è 0.. L area di u disco sotto esame è 00 cm^. Calcoliamo la probabilità di trovare particelle ell area del disco esamiato. Correzioe ed evetuale registrazioe Luedì 6 Maggio ore 6.30 Aula 39 Pagia 8

9 Soluzioi prova scritta (GALLO ). Il rage risulta essere 5,-=3, metre la deviazioe stadard è,03. Sottraedo a ciascu umero il valore il risultato o cambia. Ifatti il rage è { x } { x } { x } { x } max mi + = max mi metre la deviazioe stadard è i= i i i i 9 i. 8 ( ) x x +. Si tratta di u test sulla differeza di proporzioi co taglie dei campioi elevate. La statistica test risulta essere: p p Z = pˆ ( pˆ ) + dove p 0 = = 0, 0006; p = = 0, 00054; p = = 0, 00035e = e = 099. Pertato la statistica osservata è -6,4 che cade al di fuori della regioe di accettazioe ( z /, z /) = (,96;,96). Quidi la risposta dei due gruppi è da α α riteersi diversa. 3. E ecessario ripartire il campioe i classi. Poiché la taglia è 8, possiamo scegliere 4 classi (circa 8), ad esempio (,7);[7,8);[8,9);[9, ). La distribuzioe di frequeze osservate Oi elle classi risulta 3; 5; 7; 3. Poiché la media campioaria risulta essere 8,05 e la deviazioe campioaria 0,8, la distribuzioe di frequeze attese E ielle classi può essere calcolata come segue: 7 8,05 7 8,05 8 8,05 8* P Z <, 75;8* P Z 6,8; 0,8 = < < = 0,8 0,8 8 8,05 9 8,05 9 8,05 8* P < Z < = 7, 7;8* P Z > =,6 0,8 0,8 0,8 ( ) 4 Oi Ei La statistica test osservata è χ = =,69. Il quatile vale E i= i χ 0,05; = 3,84 ed essedo maggiore della statistica osservata cosete di o rigettare l ipotesi che il campioe provega da ua distribuzioe gaussiaa. 4. Si tratta di usare ua distribuzioe di Poisso, di parametro 00*0,=0. Il risultato richiesto è P( X = ) = exp( 0) 0 /! = 0, 095. Correzioe ed evetuale registrazioe Luedì 6 Maggio ore 6.30 Aula 39 Pagia 9

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