Soluzione del prof. Paolo Guidi

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1 Soluzione del prof. Paolo Guidi Lo schema elettrico del sistema formato dalla dinamo e dal motore asincrono trifase viene proposto in Fig. 1; Il motore asincrono trifase preleva la tensione di alimentazione dalla linea trifase a 380 V. La dinamo è mantenuta in rotazione dal motore asincrono trifase e alimenta a sua volta un carico puramente resistivo. Fig. 1 Si risponde di seguito ai quesiti proposti specificando nell ordine le grandezze calcolate. - corrente a vuoto Per la corrente a vuoto I o, con i valori della prova a vuoto effettuata a 380 V, risulta: P o 590 I o = = = 4,7 A 3 V o cosϕ o ,1 - corrente nelle fasi statoriche Si ipotizzi un fattore di potenza nominale cosϕ n di 0,85; consegue un senϕ n di 0,53. Inoltre con un cosϕ o di 0,1 si ha un senϕ o di 0,98. E quindi possibile calcolare la corrente nelle fasi statoriche I 1 che, come evidenziato in Fig., risulta dalla differenza (vettoriale) tra corrente nominale e corrente a vuoto. Fig. Risulta quindi: I 1 = I n (cosϕ n + j senϕ n ) - I o (cosϕ o + j senϕ o ) = (0,85 + j 0,53) 4,7 (0,1 + j 0,98) = = 18,7 + j 11,66 (0,9 + j 4,) = 17,8 + j 7,46 [A]

2 In modulo si ha: I 1 = 17,8 +7,56 = 19,3 A - corrente nelle fasi rotoriche Noto il rapporto di trasformazione n per la corrente nelle fasi rotoriche I risulta: I = I 1 n = 19,3 1,3 = 5,1 A - velocità del campo magnetico rotante Alla frequenza di 50 Hz, la velocità del campo magnetico rotante n o, risulta dalla relazione: 60 f n o = = = 1500 giri/min p essendo p il numero delle coppie polari. - potenza assorbita Per effettuare il bilancio energetico della macchina è utile il quadro riassuntivo riprodotto in Fig. 3. Fig. 3 Per la potenza assorbita P a risulta: P a = 3 V n I n cosϕ n = ,85 = 1308 W - perdite nel ferro e perdite per attrito e ventilazione Si ricavano utilizzando i risultati delle due prove a vuoto sfruttando il fatto che le perdite nel ferro P fe e nel rame statorico a vuoto P jso sono variabili con la tensione di alimentazione mentre le perdite meccaniche per attrito e ventilazione P av rimangono invece costanti.

3 Essendo le perdite nel ferro proporzionali al quadrato della tensione di alimentazione risulta: e quindi: P fe340 : P fe380 = 340 : P fe340 = P fe = P fe380 0,8 380 Per le perdite nel rame statorico a vuoto si ha invece: P jso380 = 1,5 R s I 0380 = 1,5 0,8 4,7 = 7,66 W P jso340 = 1,5 R s I 0340 = 1,5 0,8 3,88 = 6,3 W Si può quindi impostare il seguente sistema di equazioni: a) P o380 = P fe380 + P av + P jso380 b) P o340 = P fe380 0,8 + P av + P jso340 Sostituendo i valori numerici si ha dunque: a) 590 7,66 = P fe380 + P av b) 55 6,3 = P fe380 0,8 + P av Risolvendo il sistema si ottengono i seguenti valori: P fe = 318 W P av = 64 W - perdite nel rame degli avvolgimenti di statore Le perdite nel rame degli avvolgimenti di statore P js si ricavano utilizzando la relazione: P js = 1,5 R s I 1 = 1,5 0,8 = 03 W - potenza trasmessa Per la potenza trasmessa dallo statore al rotore P tr si ha di conseguenza: P tr = P a - P fe - P js = = W - potenza resa all albero Per la potenza resa all albero P r, noto il rendimento η e la potenza assorbita, risulta: P r = P a η = ,89 = W

4 - perdite addizionali Le perdite addizionali P add, come da Norma CEI, rappresentano lo 0,5% della potenza assorbita e valgono quindi: 0,5 P add = P a = ,005 = 6 W potenza meccanica Per la potenza meccanica P m si ha: P m = P r + P av + P add = = 1180 W - perdite nel rame rotorico Le perdite nel rame rotorico P jr si ricavano utilizzando la relazione: P jr = P tr P m = = 507 W - scorrimento Per lo scorrimento s risulta: P jr 507 s = = = 0,043 P tr velocità di rotazione del motore Per la velocità di rotazione del motore n n si ha: n n = n o (1 - s) = 1500 (1-0,043) = 1435 giri/min - resistenza delle fasi rotoriche La resistenza R r delle fasi rotoriche risulta dalla relazione: P jr 507 R r = = = 0,7 Ω 3 I 3 5,1 - velocità angolare Per la velocità angolare ω o si ha: π n o π 1500 ω o = = = 157 rad/s Per la velocità angolare ω n si ha: π n n π 1435 ω n = = = 150,3 rad/s 60 60

5 - coppia meccanica Il calcolo della coppia meccanica C m è equivalente a quello della coppia trasmessa C t (la coppia che lo statore esercita sul rotore per mezzo del campo rotante) risulta: P tr C m = = = 75 Nm ω o coppia di attrito Le perdite per attrito e ventilazione sono responsabili della coppia di attrito C av che risulta dalla relazione: P av 64 C av = = = 1,8 Nm ω n 150,3 - potenza erogata dalla dinamo Si ipotizza ancora un rendimento η pari a 0,85. Quindi per la potenza elettrica erogata si ha: P e = P r η = ,85 = 9311 W - tensione e corrente della dinamo L equazione caratteristica della dinamo risulta del tipo: V = E o - R i I Il circuito equivalente corrispondente è riprodotto in Fig. 4. Fig. 4 Utilizzando pertanto la caratteristica V / I fornita dal testo si ricavano la f.e.m. a vuoto E o e la resistenza interna R i : - E o = 40 V che si ottiene in corrispondenza di una corrente nulla; - R i che si ottiene in corrispondenza di una tensione nulla. Per la resistenza risulta infatti: E o 40 R i = = = 0,87 Ω I 76 Sostituendo l espressione:

6 P e 8917 I = = V V nell equazione caratteristica si ottiene: 9311 V = 40-0, V V - 40 V = 0 Risolvendo l equazione di secondo grado si ottiene la seguente coppia di valori di tensione V d e corrente I d : V con una corrente erogata di 47 A; - 41 V con una corrente erogata di 7 A. Entrambe le soluzioni sono accettabili perché le correnti erogate risultano inferiori alla corrente di corto circuito; si trascura però la seconda soluzione in quanto lontana dalle condizioni di normale funzionamento della dinamo stessa. - potenza fornita al carico dalla dinamo Per la potenza fornita al carico P c risulta: P c = V d I d = = 9353 W - conseguenze della diminuzione della corrente erogata dalla dinamo Se la corrente si riduce del 0% assume un valore pari a 37,6 A. Pertanto per la tensione risulta: V = E o - R i I = 40 0,87 37,6 = 07,9 V con un incremento del 4,16 %.

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