Disequazioni Intervalli sulla retta reale

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1 Disequazioni 1 11 Intevalli sulla etta eale Definizione 11 Dati due numei eali a e b, con a < b, si chiamano intevalli, i seguenti sottoinsiemi di R: a, b) = {x R/a < x < b} intevallo limitato apeto, a e b sono esclusi b ) [a, b] = {x R/a x b} intevallo limitato chiuso, a e b sono inclusi c ) [a, b) = {x R/a x < b} intevallo limitato chiuso a sinista e apeto a desta, a è incluso, b è escluso d ) a, b] = {x R/a < x b} intevallo limitato apeto a sinista e chiuso a desta, a è escluso, b è incluso e ) a, ) = {x R/x > a} intevallo supeiomente illimitato apeto, a è escluso f ) [a, ) = {x R/x a} intevallo supeiomente illimitato chiuso, a è incluso g ), a) = {x R/x < a} intevallo infeiomente illimitato apeto, a è escluso h ), a] = {x R/x a} intevallo infeiomente illimitato chiuso, a è escluso I numei a e b si chiamano estemi dell intevallo I numei eali possono essee messi in coispondenza biunivoca con i punti di una etta: ogni numeo eale ha pe immagine un punto della etta e vicevesa ogni punto della etta è immagine di un numeo eale Di conseguenza ognuno degli intevalli sopa definiti ha pe immagine una semietta o un segmento, pecisamente gli intevalli limitati coispondono a segmenti e quelli illimitati a semiette Vediamo con degli esempi come si appesentano i divesi tipi di intevalli Esempio 11 H = {x R/x < } intevallo illimitato infeiomente H =, ) L insieme H è appesentato da tutti i punti della semietta che pecedono il punto immagine del numeo, esclusa l oigine della semietta Nella figua, la semietta dei punti che appatengono ad H è stata disegnata con una linea più spessa pe mettee in evidenza che il punto immagine di non appatiene alla semietta abbiamo messo un pallino vuoto sul punto Esempio 1 P = {x R/x 5} intevallo illimitato supeiomente chiuso a sinista P = [5, ) Segniamo sulla etta il punto immagine di 5 l insieme P è appesentato dalla semietta di tutti i punti che seguono 5, compeso lo stesso 5 Nel disegno, la semietta dei punti 65

2 66 Capitolo 1 Disequazioni che appatengono a P è stata disegnata con una linea più spessa, pe indicae che il punto 5 appatiene all intevallo abbiamo messo un pallino pieno sul punto 5 Esempio 1 D = {x R/ < x < 6} intevallo limitato apeto D =, 6) Segniamo sulla etta eale i punti immagine degli estemi del segmento, e 6 L insieme D è appesentato dal segmento che ha pe estemi questi due punti Nel disegno il segmento è stato disegnato con una linea più spessa, i due estemi del segmento sono esclusi, petanto su ciascuno di essi abbiamo messo un pallino vuoto 6 Esempio 14 T = {x R/ < x 6} intevallo limitato chiuso a desta T =, 6] Rispetto al caso pecedente, il segmento che appesenta l insieme T è chiuso a desta, ossia è incluso nell intevallo anche il 6, è escluso invece il punto 6 Esempio 15 S = {x R/ x 6} intevallo chiuso e limitato S = [, 6] Il segmento che appesenta l insieme S contiene tutti e due i suoi estemi: 6 Esempio 16 Alti paticolai sottoinsiemi dei numei eali sono: R = {x R/x > 0} Semietta di oigine 0 costituita da tutti i numei positi: 0 R = {x R/x < 0} Semietta di oigine 0 costituita da tutti i numei eali negativi: 0 Il punto 0 non appatiene a nessuna delle due semiette il numeo zeo non appatiene né a R né a R : R = R R {0} R 0 R 0 = {x R/x 0} = {x R/x 0} Esecizi poposti: 11, 1, 1, 14, 15, 16, 17

3 Sezione 1 Disequazioni numeiche 67 1 Disequazioni numeiche Consideiamo le seguenti poposizioni: 5 è minoe di 1 b ) è maggioe di 0 c ) il quadato di un numeo eale è maggioe o uguale a zeo d ) sommando ad un numeo la sua metà si ottiene un numeo minoe o uguale a 1 Esse possono essee tadotte in linguaggio matematico usando i simboli > maggioe), < minoe), maggioe o uguale), minoe o uguale) e pecisamente: 5 < 1 b ) > 0 c ) x 0 d ) x 1 x 1 Le fomule che contengono vaiabili si dicono apete quelle che contengono solo numei si dicono chiuse Quindi a) e b) sono fomule chiuse c) e d) sono fomule apete Definizione 1 Chiamiamo disuguaglianza una fomula chiusa costuita con uno dei pedicati < essee minoe) > essee maggioe) essee minoe o uguale) essee maggioe o uguale) Di essa sappiamo subito stabilie il valoe di veità, quando è stabilito l ambiente in cui vengono enunciate Definizione 1 Chiamiamo disequazione una fomula apeta, definita in R e costuita con uno dei seguenti pedicati: < essee minoe) > essee maggioe) essee minoe o uguale) essee maggioe o uguale) Analogamente a quanto detto pe le equazioni, chiamiamo incognite le vaiabili che compaiono nella disequazione, pimo membo e secondo membo le due espessioni che compaiono a sinista e a desta del segno di disuguaglianza Esempio 17 Disuguaglianze vee e false in N, la fomula 5 > 0 è una disuguaglianza: vea b ) in Z, la fomula 6 > 4 è una disuguaglianza: falsa c ) la fomula 5x > 0 è una disequazione quando all incognita sostituiamo un numeo essa si tasfoma in una disuguaglianza e solo alloa possiamo stabiline il valoe di veità Nel caso poposto è vea se sostituiamo alla vaiabile un qualunque numeo positivo, falsa se sostituiamo zeo o un numeo negativo Esecizio poposto: 18 Definizione 14 L insieme dei valoi che sostituiti all incognita tasfomano la disequazione in una disuguaglianza vea, è l insieme soluzione I S) della disequazione

4 68 Capitolo 1 Disequazioni 11 Riceca dell insieme soluzione di una disequazione Alcune volte l I S si può tovae agionando sulla foma della disequazione Esempio 18 Analizziamo le seguenti disequazioni in R: x 0 si cecano quei valoi da attibuie all incognita che moltiplicati pe diano un podotto positivo o nullo Pe le egole dei segni e pe la legge di annullamento del podotto, il numeo x deve essee maggioe o uguale a 0: I S = {x R/x 0} = R {0} x 1 < 0 si cecano i valoi che endono la somma del loo quadato con 1 un numeo negativo Poiché il quadato di un numeo è sempe positivo, al più nullo se il numeo è zeo, aggiungendo ad esso 1, non toveemo mai un isultato negativo: I S = x 0 il pimo membo è l opposto del quadato di un numeo poiché il quadato è sempe positivo o nullo, la disequazione è veificata pe qualunque numeo eale: I S = R 1 x < 0 il pimo membo è l inveso di un numeo eale tale opeazione ha significato pe qualunque numeo tanne che pe 0, 1 0 infatti è piva di significato La fazione x 1 è negativa pe qualunque valoe negativo attibuito alla incognita: I S = {x R/x < 0} = R In questo paagafo affonteemo disequazioni in una sola incognita, che, dopo ave svolto eventuali calcoli nei due membi, avà l incognita al pimo gado e i cui coefficienti sono numei eali La foma più semplice o foma canonica di una disequazione di pimo gado in una sola incognita a coefficienti eali è una delle seguenti ax > b ax < b ax b ax b con a e b numei eali Pe condue una disequazione alla foma canonica e quindi pe deteminae il suo I S si pocede applicando dei pincipi analoghi a quelli delle equazioni Pemettiamo la seguente definizione: Definizione 15 Due disequazioni si dicono equivalenti se hanno lo stesso insieme delle soluzioni Pincipio 11 I Pincipio) Addizionando o sottaendo a ciascuno dei due membi di una disequazione uno stesso numeo o una stessa espessione definita pe qualunque valoe attibuito all incognita), si ottiene una disequazione equivalente alla data Regola patica: questo pincipio ci pemette di spostae un addendo da un membo all alto cambiandogli segno o di eliminae da entambi i membi gli addendi uguali Pincipio 1 II Pincipio) Moltiplicando o dividendo ciascuno dei due membi di una disequazione pe uno stesso numeo positivo o pe una stessa espessione definita e positiva pe qualunque valoe attibuito alla vaiabile), si ottiene una disequazione equivalente alla data

5 Sezione 1 Disequazioni numeiche 69 Pincipio 1 III Pincipio) Moltiplicando o dividendo ciascuno dei due membi di una disequazione pe uno stesso numeo negativo o pe una stessa espessione definita e negativa pe qualunque valoe attibuito alla vaiabile), si ottiene una disequazione equivalente alla data ma con il veso cambiato Esempio 19 4 x 1) 5 > 1 x 6) Passo I Eseguiamo i podotti: 8x 4 5 > 1 6x 1 Passo II Spostiamo tutti temini con l incognita nel pimo membo e i temini noti nel secondo membo, cambiamo i segni quando passiamo da un membo all alto: 8x 6x > Passo III Sommando i temini simili si ottiene la foma canonica x > 1 Passo IV Applichiamo il secondo pincipio dividendo ambo i membi pe il coefficiente della x È fondamentale a questo punto ossevae che il coefficiente è, che è un numeo positivo, petanto non cambia il veso della disequazione x > 1 x > 6 Se vicevesa il coefficiente dell incognita fosse stato un numeo negativo si saebbe dovuto cambiae il veso della disequazione Passo V Sciviamo l insieme delle soluzioni I S = {x R/x > 6} = 6, ) e appesentiamo gaficamente l intevallo: Esempio 110 x 1) 4 x > 6 x 1) 4 Il mcm è 4 numeo positivo, moltiplicando pe 4 si ha [ x 1) 4 x ] 4 x 1) > 4 4 Semplificando: x 1) x) > x 1) Eseguiamo i podotti: x x 1 4 6x > x x 1 Eliminiamo dai due membi i temini uguali x e 1, taspotiamo a sinista i monomi con l incognita e a desta i temini noti infine sommiamo i monomi simili: x x 1 4 6x > x x 1 x x 6x > 4 x > 4 Il coefficiente dell incognita è negativo, applicando il tezo pincipio dividiamo ambo i membi pe e cambiamo il veso della disuguaglianza: x < 4 x <

6 70 Capitolo 1 Disequazioni I S = {x R/x < } =, ) Giunti alla foma x > 4 potevano taspotae a desta del segno di disuguaglianza il monomio con l incognita e a sinista mettee il temine noto ovviamente pe il pimo pincipio spostando questi temini cambiano segno e otteniamo 4 > x Il coefficiente dell incognita è positivo dunque applichiamo il secondo pincipio dividendo pe, abbiamo 4 > x > x, che letta da desta a sinista dice che i valoi da attibuie ad x pe soddisfae la disequazione assegnata sono tutti i numei eali minoi di Vediamo qualche esempio in cui scompae l incognita Esempio x 5) x > 1 x) Il mcm è, positivo moltiplichiamo ambo i membi pe svolgiamo i calcoli: [ ] [ ] 1 1 x 5) x > x) x 5 x > x x 5 > x La foma canonica è 0 x > che si iduce alla disuguaglianza 0 > vea pe qualunque x eale: I S = R Esempio 11 x ) 4x 1) < x 1 Svolgiamo i calcoli ed eliminiamo i monomi simili: x 4x 4 4x 4 < x 1 0 x < 1, che è la disuguaglianza 0 < 1 falsa pe qualunque x eale: I S = Esecizi poposti: 19, 110, 111, 11, 11, 114, Poblemi con le disequazioni Poblema 11 Taiffe telefoniche) Sto analizzando due poposte di compagnie telefoniche pe poi stipulae il contatto più conveniente pe le mie esigenze La compagnia T 1 pevede una spesa fissa di 5 centesimi di scatto alla isposta da sommae alla spesa di 1 centesimo pe ogni minuto di telefonata La compagnia T non pevede spesa pe lo scatto alla isposta, ma pe ogni minuto di telefonata la spesa è di centesimi Dopo quanti minuti di telefonata la seconda taiffa è più conveniente della pima? Soluzione Indichiamo con x la duata in minuti di una telefonata e con t 1 e t ispettivamente la spesa con la pima e la seconda compagnia: t 1 = 5 1 x) centesimi t = x) centesimi La t saà più conveniente di t 1 se x < 5 x Il poblema è fomalizzato con una disequazione nell incognita x, di pimo gado Dobbiamo tovae l I S

7 Sezione 1 Sistemi di disequazioni 71 Risolvendo la disequazione si ottiene: x x < 5 x < 5 min Conclusione: se le mie telefonate duano meno di 5 minuti alloa mi conviene il contatto con T, altimenti se faccio telefonate più lunghe di 5 minuti mi conviene T 1 Le due taiffe sono uguali se la telefonata dua esattamente 5 minuti Poblema 114 L abbonamento) Su un tagitto feoviaio, il biglietto costa 8,5 euo L abbonamento mensile costa 67,0 euo Qual è il numeo minimo di viaggi che occoe effettuae in un mese peché l abbonamento sia più conveniente? Soluzione Indichiamo con x il numeo di viaggi Il costo del biglietto di x viaggi è 8, 5 x L abbonamento è più conveniente quando 8, 5 x > 67, 0 da cui x > 67,0 8,5 e quindi x > 8, 16 In conclusione se si fanno 8 viaggi in un mese conviene acquistae i biglietti singoli, da 9 viaggi in poi conviene l abbonamento Esecizi poposti: 116, 117, 118, 119, 10, 11, 1, 1, 14, 15, 16 17, 18, 19, 10, 11, 1 1 Sistemi di disequazioni In alcune situazioni occoe isolvee contempoaneamente più disequazioni Vediamo alcuni poblemi Poblema 115 Il doppio di un numeo eale positivo diminuito di 1 non supea la sua metà aumentata di Qual è il numeo? Soluzione Incognita del poblema è il numeo eale che indichiamo con x Di esso sappiamo che deve essee positivo, quindi x > 0 e che deve veificae la condizione x 1 1 x Le due disequazioni devono veificasi contempoaneamente Il poblema può essee fomalizzato con un sistema di disequazioni: { x > 0 x 1 1 x Risolvee un sistema di disequazioni significa tovae l insieme dei numei eali che sono soluzioni comuni alle due disequazioni, cioè che le veificano entambe Se indichiamo con I S 1 e I S ispettivamente gli insiemi soluzione della pima e della seconda disequazione, l insieme soluzione del sistema è dato dall intesezione I S = I S 1 I S Risolviamo sepaatamente le due disequazioni e deteminiamo gli insiemi delle soluzioni d 1 : x > 0 I S 1 = {x R/x > 0}, d : 4x x 4 x 6 I S = {x R/x }

8 7 Capitolo 1 Disequazioni Dobbiamo oa deteminae I S = I S 1 I S Questa iceca può essee facilitata appesentando gaficamente i due intevalli in uno stesso schema Disegniamo l asse dei numei eali e su esso indichiamo i numei che entano in gioco, lo 0 e il Disegniamo una pima linea dove appesentiamo con una linea spessa I S 1, disegniamo una seconda linea dove appesentiamo con una linea più spessa I S Su una teza linea appesentiamo l insieme degli elementi comuni a I S 1 e I S, che è appunto l insieme delle soluzioni del sistema di disequazioni 0 I S Non ci imane che descivee l intevallo delle soluzioni in foma insiemistica: I S = {x R/0 < x } = 0, ] Poblema 116 In un tiangolo il lato maggioe misua 1 m, gli alti due lati diffeiscono ta di loo di m Come si deve scegliee il lato minoe affinché il peimeto non supei i 100 m? Dati: AB = 1 m, BC AC = m Rifeendoci alla figua, AC è il lato minoe indichiamo con x la sua misua C A B Obiettivo: deteminae x in modo che p 100 Soluzione AC = x BC = x AB = 1 con x > 0 L obiettivo in linguaggio matematico si scive: x x) Pe la disuguaglianza tiangolae si deve avee 1 < x x) Il poblema è fomalizzato dal sistema: x > 0 x x ) < x x ),

9 Sezione 1 Sistemi di disequazioni 7 Risolvendo ciascuna disequazione si ottiene x > 0 x 85 x > 11 Deteminiamo l insieme soluzione aiutandoci con una appesentazione gafica I S Affinché il peimeto non supei 100 m la misua in meti del lato minoe deve essee un numeo dell insieme: { I S = x R/ 11 < x 85 } Risolviamo delle disequazioni più aticolate nel calcolo algebico Esempio 117 Risolvee il seguente sistema di disequazioni x > x x x 1) > x 15 x 9 Risolviamo sepaatamente le due disequazioni: d 1 : 8x > x x 10x > 7 x > 7 { 10 I S 1 = x R/x > 7 }, 10 d : 9x 9 > 15x 75 10x 4x > 84 x > 1 I S = {x R/x > 1} Rappesentiamo gaficamente le soluzioni e deteminiamo I S = I S 1 I S : I S

10 74 Capitolo 1 Disequazioni I S = { x R/x > 7 } 10 Esempio 118 Risolvee il seguente sistema di disequazioni x 1) ) x > x ) x ) 4 x 1) 16 < 5 16 Risolviamo sepaatamente le due disequazioni: D 1 : x 4x > 6x 9 0x > 11 I S 1 = R, D : 4x 6 4x 4x 1 4x 5 < 0 0x < 0 x > 0 I S = {x R/x > 0} Deteminiamo I S = I S 1 I S 0 IS I S = {x R/x > 0} Esempio 119 Risolvee il seguente sistema di disequazioni x ) x ) x x 1) x 1) x 1) x x ) 1 ) x 1 Risolviamo sepaatamente le disequazioni: D 1 : x x x 6 > x x 1 0x 5 I S 1 = Poiché la pima equazione non ha soluzioni non avà soluzioni nemmeno il sistema È supefluo quindi isolvee la seconda disequazione La isolviamo pe esecizio D : x x x 1 x x x 4x x 4 I S = { x R/x } 4 I S = I S 1 I S = I S = Esempio 10 Risolvee il seguente sistema di disequazioni 1 x 1 ) 1 x 1 ) 1 6 x 1 x 1 1 x 4

11 Sezione 14 Disequazioni polinomiali di gado supeioe al pimo 75 Risolviamo sepaatamente le due disequazioni: D 1 : 1 x 1 x 1 6 x x 1 x 1 I S 1 = {x R/x 1}, D : 1x 1 8x 4 6x 10x 1 x 1 10 I S = Rappesentiamo le soluzioni e deteminiamo I S = I S 1 I S { x R/x 1 10 } Il gafico mette in evidenza che i due insiemi soluzione non hanno elementi in comune, petanto I S = 1, 14, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 140, Disequazioni polinomiali di gado supeioe al pimo Poblema 11 Deteminae i valoi di x che endono il polinomio p = x 7) x) positivo Il poblema chiede di deteminae l insieme delle soluzione della disequazione di secondo gado x 7) x) > 0 La disequazione si pesenta nella foma di podotto di due fattoi di pimo gado e popio la sua foma di podotto ci faciliteà la isposta al quesito Sappiamo che nell insieme dei numei elativi il segno del podotto di due fattoi segue la egola dei segni visualizzata dalla tabella a lato: il segno di un podotto è positivo se i due fattoi sono concodi Questo fatto si taduce nei due metodi isolutivi del poblema poposto Soluzione Metodo I: impostiamo due sistemi di disequazioni, fomalizzando l ossevazione pecedente: { x 7 > 0 x > 0 { x 7 < 0 x < 0 Risolvendo i due sistemi e unendo le loo soluzioni otteniamo l insieme delle soluzioni della disequazione oiginaia: I S = I S 1 I S { x 7 > 0 x > 7 I S 1 : x > 0 I S 1 =, x < I S : { x 7 < 0 x < 0 x < 7 x > I S = { x R/ < x < 7 }

12 76 Capitolo 1 Disequazioni { Quindi I S = I S 1 I S = x R/ < x < 7 } Metodo II: Toniamo alla disequazione iniziale x 7) x) > 0 e applichiamo un alto metodo Osseviamo che quando isolviamo la disequazione x 7 > 0 deteminiamo l insieme dei valoi che attibuiti alla vaiabile endono il polinomio p = x 7 positivo, pecisamente sono i valoi x > 7 Rappesentiamo l I S con una semietta in gassetto come in figua: 7 In ealtà, nel gafico sono contenute tutte le infomazioni sul segno del polinomio: la semietta in gassetto appesenta i valoi che endono il polinomio positivo il valoe x = 7 è quello che annulla il polinomio la semietta non in gassetto appesenta i valoi che endono il polinomio negativo 7 Esecizi poposti: 14, 14 Esempio 1 x 7) x) > 0 La disequazione equivale a deteminae i valoi che attibuiti alla vaiabile x endono positivo il polinomio p = x 7) x) Studiamo sepaatamente il segno dei due fattoi: F 1 : x 7 > 0 x > 7, F : x > 0 x < Pe isolvee la disequazione iniziale ci è di paticolae aiuto un gafico che sintetizzi la situazione segno di F 1 : segno di F : segno di p: 7 Applicando poi la egola dei segni otteniamo il segno del polinomio p = x 7) x) Ricodiamo che la disequazione che stiamo isolvendo x 7) x) > 0 è veificata quando il polinomio p = x 7) x) è positivo, cioè nell intevallo in cui abbiamo ottenuto il segno Possiamo concludee I S = { x R/ < x < 7 } Esempio 1 x ) x 9) 4 5x) > 0 Deteminiamo il segno di ciascuno dei suoi te fattoi: F 1 : x > 0 x > F : x 9 > 0 x > 9 F : 4 5x > 0 x < 4 5 Costuiamo la tabella dei segni:

13 Sezione 14 Disequazioni polinomiali di gado supeioe al pimo 77 segno di F 1 : segno di F : segno di F : segno di p: La disequazione è veificata negli intevalli dove è pesente il segno { I S = x R/x < 4 5 < x < 9 } Esempio 14 4x 4x 1 x La disequazione è di tezo gado taspotiamo al pimo membo tutti i monomi: 4x 4x 1 x 0 Possiamo isolvela se iusciamo a scompoe in fattoi di pimo gado il polinomio al pimo membo: 4x 4x 1 x = 4x x 1) x 1) = x 1)4x 1) x 1)x 1)x 1) 0 Studiamo oa il segno di ciascun fattoe, tenendo conto che sono ichiesti anche i valoi che annullano ogni singolo fattoe legge di annullamento del podotto): F 1 : x 1 0 x 1 F : x 1 0 x 1, F : x 1 0 x 1 Possiamo oa costuie la tabella dei segni Ricodiamo che la disequazione di patenza 4x 4x 1 x è veificata dove compae il segno : segno di F 1 : segno di F : segno di F : segno di p: I S = { x R/x 1 oppue 1 x 1 } Pocedua 14 Deteminae l I S Di una disequazione polinomiale di gado supeioe al pimo: scivee la disequazione nella foma p 0, p 0, p < 0, p > 0 b ) scompoe in fattoi iiducibili il polinomio c ) deteminae il segno di ciascun fattoe, ponendolo sempe maggioe di zeo, o maggioe uguale a zeo a seconda della ichiesta del poblema d ) costuie la tabella dei segni, segnando con un punto ingossato gli zei del polinomio e ) deteminae gli intevalli in cui il polinomio assume il segno ichiesto Esecizi poposti: 144, 145, 146, 147, 148, 149, 150, 151, 15, 15

14 78 Capitolo 1 Disequazioni 15 Disequazioni fazionaie Un espessione contenente opeazioni ta fazioni algebiche ha come isultato una fazione algebica Con la condizione di esistenza che il denominatoe della fazione sia diveso da zeo la iceca del segno di una fazione algebica viene effettuata con la stessa pocedua seguita pe il podotto di due o più fattoi Esempio 15 p = x 7 x 0 Poniamo innanzi tutto la C E : x 0 cioè x e pocediamo studiando il segno del numeatoe e del denominatoe Teemo conto della C E ponendo il denominatoe semplicemente maggioe di zeo e non maggioe uguale N 0 x 7 0 x 7, D > 0 x > 0 x < segno di N: segno di D: segno di p: 7 Analogamente a quanto fatto pe il podotto, dalla tabella dei segni otteniamo { I S = x R/ < x 7 } in cui vediamo già compesa la C E che inizialmente avevamo posto Pocedua 15 Pocedua pe deteminae I S di una disequazione fazionaia: applicae il pimo pincipio e taspotae tutti i temini al pimo membo b ) eseguie i calcoli dell espessione al pimo membo pe aivae a una disequazione nella foma: Nx) Nx) Nx) Nx) > 0 oppue 0 oppue < 0 oppue Dx) Dx) Dx) Dx) 0 c ) studiae il segno del numeatoe e del denominatoe, ponendo Nx) > 0 oppue Nx) 0 a secondo della ichiesta) e Dx) > 0 d ) costuie la tabella dei segni, segnando con un punto in gassetto gli zei del numeatoe e ) deteminae gli intevalli in cui il polinomio assume il segno ichiesto Esempio 16 x 1 x x 1 4x > 4x x 1) 1 8x 8x x Taspotiamo tutti i temini al pimo membo x 1 x x 1 4x 4x x 1) 1 8x 8x x > 0 Scomponiamo in fattoi i denominatoi, deteminiamo il minimo comune multiplo e sommiamo le fazioni pe aivae alla foma Nx) Dx) > 0:

15 Sezione 15 Disequazioni fazionaie 79 x 1 x 1) x 1 x 1) 4x x 1) 1 x 1)x 1)x 1) > 0 x 1)x 1)x 1) x 1)x 1)x 1) 4x x 1) 1 > 0 x 1)x 1)x 1) 4x 1 > 0 11) x 1)x 1)x 1) Studiamo sepaatamente il segno di tutti i fattoi che compaiono nella fazione, sia quelli al numeatoe sia quelli al denominatoe e costuiamo la tabella dei segni: N > 0 4x 1 > 0 x > 1 4, x 1 > 0 x > 1 D > 0 x 1 > 0 x > 1 x 1 > 0 x > 1 D : segno di N: segno di d 1 : segno di d : segno di d : segno di f: Non abbiamo posto le C E in quanto già ispettate dalle disequazioni del denominatoe Pendiamo gli intevalli in cui il segno della fazione è positivo come ichiesto dalla disequazione 11: { I S = x R/x < 1 1 < x < 1 4 x > 1 } x Esempio 17 x x 1 10x 6x 6 x x 1 x 1)x ) Taspotiamo tutti i temini al pimo membo: x x x 1 10x 6x 6 x x 1 x 1)x ) 0 Eseguiamo le opeazioni pe semplificae la fazione e idula alla foma Nx) Dx) 0: x 4x 6 x 1) 10x 6x 1) x 6 x ) 1 x 1)x ) 0 xx 1)x ) 4x 6)x ) 10x )x ) x 6)x 1) 0 6x 1)x ) 11x 0 1) 6x 1)x )

16 80 Capitolo 1 Disequazioni Studiamo il segno del numeatoe e dei fattoi del denominatoe: N 0 11x 0 x 11, d 1 > 0 x 1 > 0 x > 1 D > 0 d > 0 x > 0 x > D : segno di N: segno di d 1 : segno di d : segno di f: 11 1 Non abbiamo posto le C E in quanto già ispettate dalle disequazioni del denominatoe Pendiamo gli intevalli in cui il segno della fazione è positivo o nullo come dalla disequazione 1: I S = {x R/x 11 } < x < 1 Esecizi poposti: 154, 155, 156, 157, 158, 159, 160, 161, 16, , 165, 166, 167, 168, 169

17 Sezione 16 Esecizi Esecizi 161 Esecizi dei singoli paagafi 11 - Intevalli sulla etta eale 11 Detemina la scittua coetta pe il seguente gafico A x < B x > C x D x 1 Detemina la scittua coetta pe il seguente gafico A x < B x > C x D x 1 Detemina la scittua coetta pe il seguente gafico A x < B x > C x D < x < 14 Detemina la scittua coetta pe il seguente gafico 5 A x < 5 x > B > x 5 C x < 5 D < x 5 15 Detemina la scittua coetta pe il seguente gafico 1 0 A R {1} B 1 x 0 C 1 x 0 D 0 < x < 1 16 Detemina la scittua coetta pe il seguente gafico 0 A x > 0 B x > C x 0 D 0 < x 0 17 Detemina la scittua coetta pe il seguente gafico 1 A x 1 x < B 1 x < C x 1 e x > D 1

18 8 Capitolo 1 Disequazioni 1 - Disequazioni numeiche 18 Completa la seguente tabella indicando con una cocetta il tipo di disuguaglianza o disequazione: Poposizione Disuguaglianza Disequazione Vea Falsa Il doppio di un numeo eale è minoe del suo tiplo aumentato di 1: La somma del quadato di 4 con è maggioe della somma del quadato di con 4: Il quadato della somma di 4 con è minoe o uguale a 49: In Z : 5 8) ) 4 > 0: x > 0: x 6) 1 9) x 9) < 0: 19 Rappesenta gaficamente l insieme delle soluzioni delle seguenti disequazioni x > 0 b ) x 5 > 0 c ) x 4 > 0 d ) x 5 0 e ) x 0 f ) x > 0 g ) x 0 h ) 1 x i ) > x 110 ) Tova l Insieme Soluzione delle seguenti disequazioni x > x b ) x > c ) x 4 d ) 5x 4 e ) x x 4 10 > 0 f ) x x < 0 g ) x > 0 h ) x ) Tova l Insieme Soluzione delle seguenti disequazioni x x b ) 5x 4 6x 4 c ) x x 8 d ) 4x 4 x 8) e ) 4x 4 x 1) f ) 4x 4 x ) g ) 4x 4 < x ) h ) 4x 4 > x ) 11 ) Tova l Insieme Soluzione delle seguenti disequazioni 4x 4 < x ) b ) x 4 > c ) x < 1 d ) x 8 e ) x > 0 f ) x 0 g ) x 5 0 h ) x 8 0

19 Sezione 16 Esecizi 8 11 ) Tova l Insieme Soluzione delle seguenti disequazioni 4x 4 x 4 ) b ) 4 x 1 c ) 4 x 0 d ) 4 x e ) x 1 9 f ) x 9 g ) x 5 > 1 5 h ) x 1 x 4x 1 x 114 ) Tova l Insieme Soluzione delle seguenti disequazioni x 1 x ) < 1 x 5) x 1) b ) x 4 c ) x ) x )x ) d ) x 1 4 < 5 x 1 ) e ) 1 x 4) > x 4x 1) f ) x 1) x 1) g ) x 1) 1 1 x) < x x 0, 5 h ) < 1, 75 0, 5x 115 ) Tova l Insieme Soluzione delle seguenti disequazioni x 1 ) 1 ) 1 1 x)1 x) x x 1) b ) c ) d ) 1 x 1 ) 1 x x > 5x 1 ) x 1 1) > xx 4 x 1 ) 1 x 1 ) x 1 > 5x 6 4 x ) Sommando un numeo con il doppio del suo successivo si deve ottenee un numeo maggioe di 17 Quali numei veificano questa condizione? ogni kg di mece Sapendo che la mece viene venduta a e 4,00 al kg, deteminae la quantità minima da podue alla settimana peché l impesa non sia in pedita 117 ) Sommando due numei pai consecutivi si deve ottenee un numeo che non supea la metà del numeo più gande Quali valoi può assumee il pimo numeo pai? 118 ) Il noleggio di una automobile costa e 55,00 al giono, più e 0,085 pe ogni chilometo pecoso Qual è il massimo di chilometi da pecoee gionalmente, pe spendee non più di e 80,00 al giono? 119 In una fabbica, pe podue una ceta mece, si ha una spesa fissa settimanale di e 41, ed un costo di poduzione di e,00 pe 10 ) Pe telefonae in alcuni paesi estei, una compagnia telefonica popone due altenative di contatto: e 1,0 pe il pimo minuto di convesazione, e 0,90 pe ogni minuto successivo b ) e 1,00 pe ogni minuto di convesazione Quanti minuti deve duae una telefonata peché convenga la seconda altenativa?

20 84 Capitolo 1 Disequazioni 11 ) Il pezzo di un abbonamento mensile feoviaio è di e 15,00 Sapendo che il pezzo di un singolo biglietto sulla stessa tatta è di e 9,50, tovae il numeo minimo di viaggi pe cui l abbonamento mensile isulta conveniente, e appesentae gafica-mente la soluzione 1 Al cicolo tennis i soci pagano e 1 a oa di gioco, i non soci pagano e 15 Sapendo che la tessea annuale costa e 150, dopo quante patite all anno conviene fae la tessea di socio? 1 ) In montagna l abbonamento pe due settimane allo skipass costa e 0 mente il biglietto gionalieo costa e 0 Andando a sciae ogni giono, dopo quanti gioni conviene fae l abbonamento? 14 ) Maco ha peso alle pime te pove di matematica i seguenti voti: 5 5,5 4,5 Quanto deve pendee alla quata e ultima pova pe avee almeno 6 di media? 15 Pe podue un tipo di fullatoe un azienda ha dei costi fissi pe e a settimana e iesce a podue 850 fullatoi a settimana, ognuno dei quali ha un costo di poduzione pai a e 4 L azienda concoente iesce a vendee un fullatoe analogo a e 79 A quanto devono essee venduti i fullatoi in modo che l azienda abbia un utile e che il pezzo di vendita non sia supeioe a quello del podotto concoente? 16 ) Pe noleggiae un auto una compagnia popone un auto di tipo cityca al costo di e 0,0 pe km pecoso e una quota fissa gionaliea di e 15,00, un auto di tipo economy al costo di e 0,15 pe km e una quota 1 - Sistemi di disequazioni fissa gionaliea di e 0,00 Dovendo noleggiae l auto pe gioni quanti km occoe fae peché sia più conveniente l auto di tipo economy? 17 Alle 900 di mattina sono in autostada e devo aggiungee una città che dista 740 km ento le 1700 poiché ho un appuntamento di lavoo Pevedendo una sosta di mezzoa pe mangiae un panino, a quale velocità devo viaggiae pe aivae in oaio? 18 ) Quanto deve essee lungo il lato di un tiangolo equilateo il cui peimeto deve supeae di 900 cm il peimeto di un tiangolo equilateo che ha il lato di 10 cm? 19 ) I lati di un tiangolo sono tali che il secondo è doppio del pimo e il tezo è più lungo del secondo di cm Se il peimeto deve essee compeso ta 10 cm e 0 cm, ta quali valoi può vaiae il lato più piccolo? 10 ) In un tiangolo isoscele l angolo alla base deve essee minoe della metà dell angolo al vetice Ta quali valoi deve essee compesa la misua dell angolo alla base? 11 ) Un tapezio ettangolo l altezza che è il tiplo della base minoe, mente la base maggioe è 5 volte la base minoe Se il peimeto del tapezio non deve supeae i 100 m, quali valoi può assumee la lunghezza dell altezza del tapezio? 1 ) Un ettangolo ha le dimensioni una doppia dell alta Si sa che il peimeto non deve supeae 600 m e che l aea non deve essee infeioe a 00 m Ta quali valoi possono vaiae le dimensioni del ettangolo? 1 Sulla etta eale appesenta l insieme soluzione S 1 dell equazione: x ) = x 1)

21 Sezione 16 Esecizi 85 e l insieme soluzione S della disequazione: ) 1 1 x 6 x 4 È veo che S 1 S? x { x 14 ) Detemina i numei eali che veificano il sistema: 0 x 0 x ) x ) 9x ) > x 7 15 L insieme soluzione del sistema: x 5 x 1) < x 1 è: A {x R/x > } B {x R/x > } C {x R/x < } D I S = E {x R/x < } 16 Attibuie il valoe di veità alle seguenti poposizioni: il quadato di un numeo eale è sempe positivo b ) l insieme complementae di A = {x R/x > 8} è B = {x R/x < 8} c ) il monomio 6x y assume valoe positivo pe { tutte le coppie dell insieme R R x 1 > 0 d ) nell insieme Z degli intei elativi il sistema non ha soluzione [ e ) l intevallo 1, 1 ) appesenta l I S del sistema 17 ) Risolvi i seguenti sistemi di disequazioni 8x < 0 { 1 x < 0 x x 1 b ) { x > x x > { x 4 5x 4 c ) d ) { x > x 4 { x 5 < x 7 < x 18 ) Risolvi i seguenti sistemi di disequazioni b ) { x x x 0 { x x x c ) d ) { x 1 > x x { x < x x ) > x 5 19 ) Risolvi i seguenti sistemi di disequazioni x > 0 x 5 0 x x b ) 4 x x 1 9

22 86 Capitolo 1 Disequazioni c ) x > x 5x 4 6x 4 x x 8 d ) 4x 4 x 4 ) 4x 4 x ) 140 ) Risolvi i seguenti sistemi di disequazioni b ) { x 1) < x 1) x 1 x 1 > 0 16x 1) x ) x 5) x 5 x 1 x 4 c ) d ) x 1 < 1 x ) 1 x ) x )x ) x > x 1 x 4 < x ) Risolvi i seguenti sistemi di disequazioni x 1 ) x > x x 1 x 4 x 6 b ) x 1 4 < 5 x 1 ) x x 1 0 x 4 ) x x x 1 > 0 c ) [1 16 ] x 1) x 1 ) < x 1) 1 x 1 ) x 1 ) > x 1 ) d ) ) < x 1 ) x 1 ) x 1 1 x) x 1 ) 14 - Disequazioni polinomiali di gado supeioe al pimo 14 Mediante il metodo 1 del poblema 11 isolvi le seguenti disequazioni x ) 1 5 x ) < 0 e 6 11 x ) x 9 ) b ) x ) 5x 1 5 ) < 0 e 1 10 x ) x 9) 0 14 Il metodo 1 del poblema 11 si complica se il podotto ha più di due fattoi Pova infatti ad applicalo alla seguente disequazione: x ) x 9) 4 5x) > ) Tovae l Insieme Soluzione delle seguenti disequazioni x ) x) 0 b ) xx ) > 0 c ) x ) x) < 0 d ) x x) x) 0

23 Sezione 16 Esecizi ) Tovae l Insieme Soluzione delle seguenti disequazioni x 1)1 x) 1 x ) 0 b ) x 1)x )x )x 4) < 0 c ) x 16 0 d ) 4x x < ) Tovae l Insieme Soluzione delle seguenti disequazioni x b ) x 17x 16 0 c ) 16 x 4 0 d ) x x 1 < ) Tovae l Insieme Soluzione delle seguenti disequazioni x 6x 9 0 b ) x 5x 6 < 0 c ) x x 4 0 d ) x > x 148 ) Tovae l Insieme Soluzione delle seguenti disequazioni x x x) x x) < 0 b ) x x 1 xx x 1) < 0 c ) x x x 0 d ) x 4 4x x > ) Tovae l Insieme Soluzione delle seguenti disequazioni 6x 4x)x 6x 9) < 0 b ) x 8)x ) < x)x 8) c ) a 1)a 4 a 1) < 0 d ) x 6x 11 > 1 x e ) x 6 x x 5 6x 4 x 6 < ) Deteminae i valoi che attibuiti alla vaiabile y endono positivi entambi i polinomi seguenti: p 1 = y 4 1y 6 p = y y 4y ) Deteminae i valoi di a che endono p = a 1 minoe di 5 15 ) Detemina I S dei seguenti sistemi di disequazioni { x 9 0 x 7x 10 < 0 b ) { x x x 1x > 0 c ) { 16x 4 1 < 0 16x 8x 0 15 ) Detemina I S dei seguenti sistemi di disequazioni 49a 1 0 9a < 1 1 a > 0 b ) x 1x 6 < 0 x 5x )1 x) > 0 x 7 > Studia il segno della fazione f = x 11x 5x 5 x 5 Taccia di svolgimento Scomponi in fattoi numeatoe e denominatoe, otteai f = x 5) x 1) x 5)x 5)

24 88 Capitolo 1 Disequazioni Poniamo le C E e semplifica la fazione: Studia sepaatamente il segno di tutti i fattoi che vi compaiono Veifica che la tabella dei segni sia: N : segno di n 1 : segno di n : segno di D: segno di f: La fazione assegnata, con la C E : x 5 e x 5, si annulla se x = 1 è positiva nell insieme A = {x R/ 5 < x < 1 x > 5}, è negativa in A = {x R/x < 5 1 < x < 5} 155 ) Deteminate I S delle seguenti disequazioni fatte b ) x x 9 > 0 x 1 x 4)6 x) 0 c ) x x 1 < d ) 4 x 6 5x 156 ) Deteminate I S delle seguenti disequazioni fatte x 8 x 0 b ) x 4 x 1 c ) d ) 4 x 4 x 0 7 x 6 x ) Deteminate I S delle seguenti disequazioni fatte b ) x 1 x 4 4x 16 < 6x x 8x 16 c ) d ) x x 4x 4 1 < x 6 x x > x x )x ) 158 ) Deteminate I S delle seguenti disequazioni fatte b ) 5 x 6 5x 4 x 6x 9 x x 1 1 x 1 0 x )10x 5) c ) < 0 x d ) 4 x x < x 1 x 159 ) Deteminate I S delle seguenti disequazioni fatte b ) 5x 4 x 1 x 4 4 x x 5x 15 5x 1 x 6 c ) d ) x 1)6 x) 4 8x)6 18x) 0 x )5 x) 5x 15)4 6x) 0

25 Sezione 16 Esecizi ) Deteminate I S delle seguenti disequazioni fatte b ) x )x 4)x 1) x 1)x 9)10 x) 0 5 x)x 6)x ) 4 x)x 6)x 0 c ) d ) x 5)x 6)x ) 4 x)x 6)x x )x )15 5x) x 5x ) Deteminate I S delle seguenti disequazioni fatte x 4) x ) x 0 5x 6 x b ) 1 x > 1 x 4x 4 c ) x x < x 1 x x x 6 d ) x 1 x 1 x 16 ) Deteminate I S delle seguenti disequazioni fatte b ) x 1 x x x x 1 x x x x > 1 c ) d ) x x 1 x x 1 > x 5x 6 x 7x ) Deteminate I S delle seguenti disequazioni fatte b ) x 1 x 1 < 0 x x 1 4 x x x 1 x x c ) d ) x 4x 6 x x < x 1 x 6 1 xx ) x x 1 ) > 1 x 164 ) Deteminate I S delle seguenti disequazioni fatte 7 x x 1 x 6 x 6x 18 < x 9 4 x 18 x b ) x x x x < x 1 x 1 1 x x x 4x 4 x )x 4)x 5x 6) c ) x 9)4 7x )x 6x 8)x 4) < Dopo ave idotto ai minimi temini la fazione f = x4 x x x 6x, completa x 7 f > 0 pe x < 1 oppue b ) f = 0 pe c ) f < 0 pe 166 Deteminate il segno delle fazioni, dopo avele idotte ai minimi temini f 1 = 1 a a f = a 5a 7a 11m m 6a 9 6a a f = 9 m)m 4m 4)

26 90 Capitolo 1 Disequazioni 167 ) Deteminate I S delle seguenti disequazioni fatte x x x 0 x x 6 0 x 4 0 x 4x 4 b ) 9 x > 0 x x 0 1 c ) x x < 0 x 5x 15 5x 1 x 6 4 d ) 8 4x 6 x 4 < 0 x x 6 x 8 > 1 1 ) 1 ) x x e ) x x 6x 9 x x 9 < x 4 x ) x 7 > 0 x 168 ) Deteminate I S delle seguenti disequazioni fatte b ) 1 1 ) x x 1 7 x x > x 1 x x x x x 1 0 4x 1 x x 4 0 ) > 1 c ) d ) x x 0 6 x x x > x 1 x x 1 < x 4 x x 1 ) 169 Motivae la veità o la falsità delle seguenti poposizioni ifeite alle fazioni f = f 1 = a 81a 81 a, 7a 7 a 4 6a, f = 0a 50a 4a 0a, f 4 = a 4 a 4 a, f 5 = 1 4a 8a 8a, f 6 = a a a a a a f 1 pe qualunque valoe positivo della vaiabile è negativa V F b ) f è definita pe qualunque valoe attibuito alla vaiabile V F c ) f è positiva nell insieme I S = { a R/a < 0 a > 1 } 5 V F d ) f 4 è positiva pe qualunque valoe eale attibuito alla vaiabile V F

27 Sezione 16 Esecizi 91 e ) nell intevallo [ 1, 1[, f 5 non si annulla V F f ) f 6 è negativa pe qualunque valoe dell insieme K = R {1, 0, 1} V F 16 Risposte 110 a) x <, b) x >, c) x 4, d) x 4 5, e) R, f), g) x <, h) x 111 a) x 1, b) x 0, c) x 5, d), e) R, f) R, g) R, h) 11 a), b) R, c), d) x 10, e) x < 0, f) x 0, g) x 5, h) x 8 11 a) x 0, b) x 4, c) x 0, d) x 1, e) x 6 1, f) x 7, g) x > 7 5, h) R 114 a) x < 4, b) R, c) x 1 6, d) x >, e) x > 1, f) x 0, g) {x R/x < 1} =, 1), h) x < a) R, b) x > , c), d) R 116 x > x / 118 Massimo 94 km 10 Meno di minuti x > Almeno 9 16 Più di 00 km 18 x > 10 cm cm < x < 17 5 cm 10 0 < α < h m 1 Il lato minoe ta 10 m e 100 m, il lato maggioe ta 0 m e 00 m 14 x = 0 17 a), b) 5 4 x 4, c), d) x < 7 18 a) x, b) 6 x 1, c), d) R 19 a) x < 0, b), c) 0 x < 1, d) x a) 0 < x < 5, b) R, c) 1 6 x < 17 4, d) 7 < x < a) x, b) x >, c) x > 9 10, d) x > a) x x, b) x < 0 x >, c) x < x >, d) x 0 x 145 a) x 1 1 x 4, b) 1 < x < < x < 4, c) 4 x 4, d) 0 < x < a) x x, b) 16 x 1, c) x x, d) 147 a) R, b) < x <, c) 4 x 1, d) x > a) 1 < x < 0 1 < x < 1, b) x < 1, c) 1 x 1 x, d) x < x > 1 x 0

28 9 Capitolo 1 Disequazioni 149 a) 0 < x < 4 x, b) < x <, c) a < 1 a 1, d) 1 < x < x > 5, e) < x < 1 1 < x < 150 < y < 1 y > 151 < a < 15 a) x < 5, b) x 6 x, c) 1 < x < 1 15 a) 1 < a a < 1, b) 1 < x < 155 a) x < x >, b) x 4 < x < 4, c) x < 1 x > 4, d) x < 6 5 x a) x 8 x >, b) 1 x, c) x < 4 x <, d) 45 x < 9 x > 157 a) < x 7 8 x > 4, b) x < c) x < < x < 5, d) x < x > 158 a) x 5 7 x, b) 1 < x 1, c) x < 1 < x <, d) x < 1 x > 1, 159 a) x x > 4, b) x 1 x >, c) x < < x 4 x 6, d) x 5 x < x > a) x 4 1 x < 1 x < x > 5, b) x 0 < x < 5 x < 6, c) x < 6 0 < x x 5 con x, d) x 1 < x x > a) x >, b) x < 1, c) x < 1 < x < x > 5, d) x 6 < x < 1 16 a) x < x < 1, b) x < 1 x 0, c) 1 < x < 10 1 x > 1, d) x < 4 x 16 a) x < 1 1 < x < 1, b) x < x 5, c) x < 1 0 < x < x >, d) R {1} 164 a) x < x >, b) x < 0 1 < x < 1 7 x >, c) x < 4 < x < x > 4 con x 167 a) {x R/x = }, b) {x R/0 x < con x }, c),x < d) x >, e) 1 < x < x 168 a) 0 < x < < x <, b) x < 1 x < 1 x, c) 1 x <, d)