La media campionaria. MEDIA CAMPIONARIA Date n v.a. X 1,..., X n indipendenti e identicamente distribuite (in breve i.i.d.), la v.a.

Transcript

1 La media MEDIA CAMPIONARIA Date n v.a. X 1,..., X n indipendenti e identicamente distribuite (in breve i.i.d.), la v.a. X n = 1 n è detta media. n X i, i=1 In altre parole, se le X 1,...,X n sono il risultato di n misurazioni (indipendenti) di una stessa quantità (aleatoria), la media è la media aritmetica di queste misurazioni.

2 La media È naturale chiedersi alcune cose su X n : posso dire che legge ha? c entra qualcosa con E(X)? Alla prima domanda rispondiamo che in generale non si è semplice conoscere la legge di X n, ma se n è grande e ci si accontenta di un approssimazione, il Limite Centrale dà una risposta. Alla seconda domanda risponderà la legge dei grandi numeri.

3 Su E(X 1 ) X n Notiamo fin d ora: se i valori che ognuna delle v.a. può assumere sono, ad esempio, v 1, v 2, v 3, v 4 e f X1 (v 1 ) = p 1, f X1 (v 2 ) = p 2, f X1 (v 3 ) = p 3, f X1 (v 4 ) = p 4, allora X n = 1 n (v 1 num. di volte che v 1 è presente nei dati + v 2 num. di volte che v 2 è presente nei dati + v 3 num. di volte che v 3 è presente nei dati + v 4 num. di volte che v 4 è presente nei dati) =v 1 freq.rel. di v 1 + v 2 freq.rel. di v 2 + v 3 freq.rel. di v 3 + v 4 freq.rel. di v 4 ) v 1 p 1 + v 2 p 2 + v 3 p 3 + v 4 p 4 = E(X 1 ). Quindi X n E(X 1 ) se pensiamo che le frequenze relative probabilità.

4 Su E(X 1 ) X n È dunque piuttosto naturale dire che, SE frequenze relative probabilità ALLORA ANCHE X n E(X 1 ). L idea di fondo è che frequenze relative probabilità sia un fatto improbabile se n è grande. L affermazione precisa è la legge dei che vedremo a breve.

5 Il teorema del Teorema Sia {X i } i 1 una successione di v.a. i.i.d. tutte con valore atteso E(X i ) = µ e varianza finita Var(X i ) = σ 2 > 0. Sia Allora per ogni t R vale S n = X n µ σ/ n. P(S n t) n + Φ(t).

6 S n = X n µ σ/ n. Significato è la standardizzata della media, infatti E(X n ) = E = 1 n Var(X n ) = Var ( 1 n ) n X i = 1 n i=1 n µ = µ. i=1 ( 1 n = 1 n 2 n i=1 n E(X i ) i=1 ) n X i = 1 n n 2 Var(X i ) i=1 σ 2 = σ2 n. i=1

7 Significato P(S n t) n + Φ(t) = P(N(0, 1) t). ci dice la legge di Sn si approssima, per n grande, con quella di una N(0, 1). In altre parole, se vogliamo calcolare probabilità relative a S n possiamo utilizzare quelle relative a N(0, 1) come approssimazione.

8 Approssimazione normale qui con indichiamo l approssimazione delle probabilità di cui abbiamo appena discusso: Pro S n N(0, 1) X n N(µ,σ 2 /n) X X n N(nµ, nσ 2 ) Questa approssimazione vale qualsiasi sia la legge delle X 1,..., X n. Contro È un approssimazione e vale solo se n è sufficientemente grande, ma quanto grande dipende dalla legge delle X 1,..., X n.

9 Quando vale l approssimazione In generale, se la legge delle X 1,...,X n non è troppo asimmetrica, a livello empirico si considera che n = 30 sia abbastanza grande. Se invece la legge di ciascuna X i è B(p), l approssimazione normale si considera valida se sia np che n(1 p) sono 5.

10 Grafici di approssimazione Prendiamo come esempio una successione di v.a. X i di tipo esponenziale (non è importante qui sapere come sono definite) e confrontiamo il grafico della densità della standardizzata di X n con quello di N(0, 1): 0,4 0,3 0,2 0, x S_10^* S_5^* N(0,1) 3

11 Grafici di approssimazione In realtà il teorema confronta le aree e non le curve, ma poiché siamo abituati a vedere la campana della densità N(0, 1) guardiamo questi grafici: 0,4 0,3 0,2 0, N(0,1) S_50^* S_20^*

12 Grafici di approssimazione Vediamo infine tutte le densità: quella di N(0, 1) e quelle di S 5, S 10, S 20, S 50. 0,4 0,3 0,2 0, x S_5^* N(0,1) S_10^* S_50^* S_20^*

13 Grafici di approssimazione Invece della densità, guardiamo ora il grafico della funzione x P(N(0, 1) x) = 1 0,8 0,6 0,4 0, P(N(0,1)<x)

14 Grafici di approssimazione Confrontiamo con gli analoghi grafici per le medie campionarie standardizzate di prima (S 5 e S 10 ): 1 0,8 0,6 0,4 0, x P(S_5^*<x) P(N(0,1)<x) P(S_10^*<x)

15 Grafici di approssimazione Consideriamo ora X 1, X 2, X 3, X 4, X 5 indipendenti e ciascuna con legge B(0.5). Sia S 5 = X 1 + X 2 + X 3 + X 4 + X 5 e guardiamo il grafico della funzione 1 0,8 0,6 x P(S 5 x) 0,4 0,

16 Grafici di approssimazione Standardizziamo S 5 e guardiamo il grafico di P(S 5 x) 1 0,8 0,6 0,4 0,

17 Grafici di approssimazione Confrontiamo il grafico di P(S5 x) e quello di P(N(0, 1) x): 1 0,8 0,6 0,4 0,

20 Grafici di approssimazione Prendiamo ora delle B(0.2): confrontiamo il grafico di P(S5 x) e quello di P(N(0, 1) x): 1 0,8 0,6 0,4 0,

23 La binomiale Una delle approssimazioni normali viste è X X n N(nµ, nσ 2 ) poiché una B(n, p) può essere vista come somma di n B(p) indipendenti ne ricaviamo B(n, p) N(np, np(1 p)).

24 La moneta Se lancio 1000 volte una moneta equilibrata, qual è la probabilità che escano meno di 490 teste? e più di 530? E che la differenza con 500 superi 5? P(B(1000, 0.5) < 490) P(N(500, 250) < 490) P(B(1000, 0.5) > 530) P(N(500, 250)) > 530) P( B(1000, 0.5) 500 > 5) P( N(500, 250) 500 > 5)

25 Calcoliamo P(B(1000, 0.5) < 490) P(N(500, 250) < 490) = P(N(0, 1) < = = ) = Φ( 0.63) 250 P(B(1000, 0.5) > 530) P(N(500, 250)) > 530) = P(N(0, 1) > = = ) = 1 Φ(1.90) 250 P( B(1000, 0.5) 500 > 5) P( N(500, 250) 500 > 5) = P( N(0, 1) > 5 ) = 2(1 Φ(0.32)) 250 = 2 ( ) =

26 10000 lanci Se lancio volte una moneta equilibrata, qual è la probabilità che escano meno di 4900 teste? e più di 5300? E che la differenza con 5000 superi 50? P(B(10000, 0.5) < 4900) P(N(5000, 2500) < 4900) P(B(10000, 0.5) > 5300) P(N(5000, 2500)) > 5300) P( B(10000, 0.5) 500 > 50) P( N(5000, 2500) 5000 > 50)

27 Calcoliamo P(B(10000, 0.5) < 4900) P(N(5000, 2500) < 4900) = P(N(0, 1) < = = ) = Φ( 2) 2500 P(B(1000, 0.5) > 5300) P(N(5000, 2500)) > 5300) = P(N(0, 1) > ) = 1 Φ(6) 0 P( B(10000, 0.5) 5000 > 5) P( N(5000, 2500) 5000 > 50) = P( N(0, 1) > ) = 2(1 Φ(1)) = 2 ( ) =

28 e varianza cosa dicono? Ricordiamo: se X è una v.a. E(X) è un indice di posizione, Var(X) un indice di dispersione. Vogliamo ora quantificare il significato di varianza = misura della dispersione : la disuguaglianza di è quello che ci serve. Pafnuty Lvovich ( )

29 Disuguaglianza di Disuguaglianza di Sia X una v.a. con E(X)=µ e Var(X)=σ 2. Sia δ un numero reale positivo prefissato. Vale la seguente disuguaglianza: o equivalentemente P( X µ δσ) 1 δ 2 P( X µ < δσ) 1 1 δ 2.

30 La prima versione Sciogliendo il modulo in P( X µ δσ) 1 δ 2 e il fatto che (X µ + δσ) e (X µ δσ) sono eventi incompatibili otteniamo che P(X µ + δσ) + P(X µ δσ) 1 δ 2

31 La prima versione Significa che la probabilità che la v.a. X assuma valori X µ δσ µ µ+δσ oppure X µ δσ µ µ+δσ è minore di 1 δ 2.

32 La seconda versione Sciogliendo il modulo in P( X µ < δσ) 1 1 δ 2 otteniamo che P(µ δσ < X < µ + δσ) 1 1 δ 2

33 La seconda versione Significa che la probabilità che la v.a. X assuma valori X µ δσ µ µ+δσ è maggiore o uguale a 1 1 δ 2.

34 con alcuni δ Riscriviamo la seconda versione di con δ = 2, 3, 5, 10: P(µ 2σ < X < µ + 2σ) = 0.75 P(µ 3σ < X < µ + 3σ) = 0.88 P(µ 5σ < X < µ + 5σ) = 0.96 P(µ 10σ < X < µ + 10σ) = 0.99

35 Significato Ad esempio con δ = 5 abbiamo che con una probabilità almeno del 96% X assume valori nell intervallo [µ 5σ,µ + 5σ]; con una probabilità al massimo del 4% X assume valori fuori da quell intervallo. Cosa mi dice Non so prevedere esattamente il valore di X (perché è una v.a.), MA ho un intervallo di valori in cui è molto probabile che si trovi il valore che X assumerà.

36 Varianza=dispersione P(µ δσ < X < µ + δσ) 1 1 δ 2 Come influisce la varianza σ 2 La probabilità (almeno 1 1 δ 2 ) è fissata se scelgo δ, ma quanto è largo l intervallo dipende da σ 2. µ δσ µ µ+δσ

37 con varianze diverse Sia X v.a. con E(X) = 2 e Var(X) = 1 e sia Y v.a. con E(Y) = 2 e Var(Y) = 4. Cerchiamo un intervallo in cui X assuma valori con probabilità 0.96 e idem per Y. Per X: Per Y : µ =2 2 5= 3 2+5=7 2 5*2= 8 µ =2 2+5*2=12

38 Differenze Il centro dell intervallo è lo stesso, ma fissata la probabilità l intervallo è più ampio per la v.a. con varianza maggiore. Varianza come misura dell incertezza Una varianza maggiore mi dà maggiore incertezza sull esito dell esperimento qual è il valore assunto da X. L idea è resa quantitativa da.

39 La legge dei Siano X 1, X 2,..., X n v.a. indipendenti e identicamente distribuite. Sia E(X i ) = µ e Var(X i ) = σ 2 per ogni i. Allora per ogni ε > 0 vale Ricordiamo P( X n µ > ε) 0 per n. Che tutti i valori attesi e tutte le varianze siano uguali è implicito nella richiesta identicamente distribuite. Quello che specifichiamo nelle ipotesi è che chiamiamo µ e σ 2 rispettivamente il valore atteso e la varianza. X n è la media cioè 1 n P n i=1 X i.

40 Dimostrazione Applichiamo la disuguaglianza di alla v.a. X n: q «P X n E(X n) δ Var(X n) 1 per ogni δ > 0. δ 2 Ci serve il calcolo di E(X n) e di Var(X n), si fa utilizzando le proprietà di valore atteso e varianza:!! E(X n) = E 1 nx X i = 1 nx n n E X i = 1 n Var(X n) = Var i=1 nx E(X i ) = 1 n i=1 1 n i=1 nx µ = µ. i=1! nx X i = 1 nx n Var( X 2 i ) i=1 = 1 nx Var(X n 2 i ) = 1 n 2 i=1 nx i=1 i=1 σ 2 = σ2 n.

41 Dimostrazione Applichiamo la disuguaglianza di alla v.a. X n: q «P X n E(X n) δ Var(X n) 1 per ogni δ > 0. δ 2 Ora abbiamo E(X n) = µ e Var(X n) = σ2 n. P X n µ) δ n σ «1 per ogni δ > 0. δ 2 Scegliamo δ = ε n/σ (in modo che δ σ n = ε): P X n µ ε σ2 ε 2 n Per n si ottiene la tesi. per ogni ε > 0

42 Significato P( X n µ > ε) 0 per n. Scelgo ε. Confronto la media X n con µ (che è il valore atteso di ciascuna X i ). La probabilità che la distanza fra le due superi ε è trascurabile ( 0) se n è abbastanza grande. = La probabilità che X n cada fuori dall intervallo colorato in figura è trascurabile ( 0) se n è abbastanza grande. = La probabilità che X n cada dentro l intervallo colorato in figura è 1 se n è abbastanza grande. µ ε µ µ+ε

43 Supponiamo di avere un tipo di v.a. (ovvero una legge) con valore atteso µ, e facciamo n osservazioni indipendenti di quel tipo. Significa che consideriamo n v.a. i.i.d. X 1,...,X n. La legge dei dice che il valore osservato per X n con grande probabilità è vicino a µ. Se non conosco µ, posso stimarla con X n. Se n è grande, la probabilità che i due valori siano molto diversi è quasi zero.

44 teorica media osservata In pratica confrontiamo µ, media teorica di ciascuna osservazione, con X n media osservata. La legge dei rende precisa l affermazione µ X n. Nella pratica µ non si conosce, ma si stima con la media di (molti) esperimenti.

45 Caso B(p) Sia A un evento di cui non conosco la probabilità. Posso fare n esperimenti e porre X i = 1 se nell esperimento i-esimo si è verificato A (=il caso ha pescato un caso da A), X i = 0 altrimenti. Le v.a. X i sono B(p) dove p = P(A). La legge dei grandi numeri dice che (nel senso dell enunciato rigoroso...) X n = 1 n n i=1 X i n E(X1 ). Ma la somma delle X i è il numero di volte che ho osservato A nei miei esperimenti, dunque X n è la frequenza relativa di A, mentre E(X 1 ) = p. In altre parole, ecco che la casalinga di Voghera aveva ragione: frequenza con cui osservo A in n esperimenti n P(A).

46 Quanto grande n? Dalla dimostrazione della legge dei ricaviamo un altra informazione: P ( X n µ ε ) σ2 ε 2 n per ogni ε > 0 quindi se fisso ε e η e voglio che la probabilità che X n disti più di ε da µ sia η basta scegliere n in modo che ovvero σ 2 ε 2 n = η n = σ2 ε 2 η. Notate che n è direttamente proporzionale a σ 2 e inversamente proporzionale a ε 2 e η.