Universita degli Studi di Roma Tor Vergata Facolta di Ingegneria - CCS Edilizia ed Edile/Architettura

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1 Universita degli Studi di Roma Tor Vergata Facolta di Ingegneria - CCS Edilizia ed Edile/Architettura I Appello corso di Geometria a.a. 0/3 Docente F. Flamini NORME SVOLGIMENTO Negli appositi spazi scrivere la MATRICOLA (NON SCRIVERE NE NOME NE COGNOME) In TIPOLOGIA scrivere Geometria (indifferentemente 8, 9 o 0 CFU), Geometria (5 CFU) oppure Geometria (5 CFU) Geometria = svolgere gli Esercizi ), ), 4) e 5) in ore e 40 min Geometria = svolgere gli Esercizi ), ) e 3) in ore Geometria = svolgere gli Esercizi 4), 5) e 6) in ore AVVISI IMPORTANTI: () GIUSTIFICARE CHIARAMENTE passaggi ed affermazioni. Motivare le strategie di risoluzione. Senza giustificazioni precise, anche formule giuste NON POSSONO essere considerate a punteggio pieno. () Consegnare ESCLUSIVAMENTE i seguenti fogli. Non verranno presi fogli di brutta copia ne tantomeno aggiuntivi personali. (3) Una volta iniziato l esame scritto, E SEVERAMENTE VIETATO USCIRE DALL AULA, salvo consegna definitiva dell elaborato o ritiro dalla prova scritta. (4) Non lasciare nessuna parte dell elaborato scritto ne a MATITA (per motivi di sicurezza di conformita all originale consegnato) ne ad INCHIOSTRO ROSSO (utilizzato dal docente per la correzione). MATRICOLA: TIPOLOGIA:

2 SOLUZIONI COMPITO Esercizio. [0 punti] Sia V uno spazio vettoriale reale di dimensione 4. Sia e = e, e, e 3, e 4 una base di V. Poniamo e Consideriamo i due sottospazi u = e + e + e 3, u = e + e e 3 w = e, w = e + e 3, w 3 = e + 3e 4. U := Lin (u, u ) e W := Lin (w, w, w 3 ). (i) Trovare la dimensione di U e di W. (ii) Verificare che V = U + W. (iii) Dimostrare che la somma al punto (ii) non e diretta. (iv) Determinare una base di U W. Svolgimento. (i) Notiamo che dim(u) = perche i suoi due generatori non sono proporzionali. Invece dim(w ) = 3perche i primi due generatori w, w non sono proporzionali ed il terzo w 3 non puo essere loro combinazione lineare, dato che la sua componente secondo e 4 e non nulla. (ii) Per vedere che V = U + W si osservi ad esempio che: e = u w, e = w, e 3 = u u, 3e 4 = w 3 w. (iii) Per la formula di Grassmann, dim(u W ) = e quindi la somma non puo essere diretta. (iv) Si ha: pertanto e 3 e una base di U W. e 3 = (u u ) = w w U W, Esercizio. [0 punti] Nello spazio vettoriale euclideo R 3, munito di base canonica e e prodotto scalare standard,, si consideri W R 3 il sottospazio vettoriale generato dai vettori w = (,, ), e w = (0,, ). (i) Utilizzando il procedimento di ortonormalizzazione di Gram-Schmidt, determinare una base ortonormale di W. (ii) Estendere la base trovata al punto (i) ad una base ortonormale per R 3 che sia orientata positivamente. (iii) Determinare equazioni cartesiane ed una base ortonormale per W, il complemento ortogonale di W. Svolgimento: (i) I vettori dati sono linearmente indipendenti. Quindi W e un piano vettoriale di R 3 ed i due vettori costituiscono una sua base. Tale base non e ortonormale, dato che w, w = 0. Come primo versore della base ortonormale prendiamo f := w / w = (/ 3, / 3, / 3). Ora, utilizzando il procedimento di Gram-Schmidt, consideriamo u = w π f (w ) = w (f w )f = ( /3, /3, /3). Percio, poiche u = 6/3,

3 3 allora il secondo vettore della base cercata per W sara f := w / w = ( / 6, / 6, / 6). (ii) Per estendere la base di W data da {f, f } ad una base ortonormale di R 3 orientata positivamente, basta considerare allora f 3 = f f = (0, /, / ). (iii) Una equazione cartesiana per W e per definizione x + x + x 3 = 0 = x x x 3. Ovviamente una base ortonormale per W e proprio il vettore f 3 trovato precedentemente. Esercizio 3. [0 punti] Considerato lo spazio vettoriale R 3, dotato della base canonica e, sia F l operatore lineare su R 3 definito da F (e + e 3 ) = e + e + e 3, F (e ) = e, F (e + 3e 3 ) = 3e + 5e + 6e 3. (i) Determinare la matrice A := M e (F ), che rappresenta l operatore F in base canonica e, e la dimensione dei sottospazi Ker(F ) e Im(F ). (ii) Determinare gli autovalori di F, specificando per ogni autovalore la molteplicità geometrica ed algebrica. (iii) Dedurre se f è diagonalizzabile. In caso affermativo, trovare una base v per R 3 di autovettori di F, la matrice M v (F ) che rappresenta l operatore in base v e scrivere la relazione che lega M e (F ) e M v (F ). Svolgimento. (i) Sfruttando la linearita di F, troviamo che A = Poiche le prime righe di A sono indipendenti, ma la I e la III riga sono proporzionali, deduciamo che rg(a) =, quindi dim(im(f )) =. Dal Teorema di Nullita + Rango, si ottiene che dim(ker(f )) = 3 =. (ii) Dalla teoria generale, sappiamo che il polinomio caratteristico di un operatore lineare è invariante rispetto ai cambiamenti di base. Pertanto, per calcolare P F (T ) basta calcolare P A (T ). Questo polinomio è. P A (T ) = T (T )( 7 T ). L operatore F ha quindi tre autovalori semplici. Pertanto per ogni autovalore λ di F si ha necessariamente a(λ) = g(λ) =. (iii) Poiche ogni autovalore e semplice, F e sicuramente diagonalizzabile. Determinare l autospazio relativo all autovalore λ = 0 equivale a trovare una base del Ker(F ); pertanto il sistema omogeneo Ax = 0 ha spazio di soluzioni generato dal vettore v = (7,, 0).

4 4 Procedendo in modo analogo, si vanno a risolvere i sistemi lineari Ax = x e Ax = 7 x che forniscono come generatori dei rispettivi spazi di soluzioni i vettori v = (,, ) e v 3 = (0,, 0). In tale base, la matrice M v (F ) e la matrice diagonale D = Esercizio 4. [0 punti] Si consideri R 3 come spazio affine, con riferimento affine standard (O, x, x, x 3 ). Sia a R un parametro. (i) Determinare gli eventuali valori di a per cui le due rette e r : X + X + X 3 = 0 = ax + X + X 3 0 s : 3X X + 5 = 0 = X + X 3 siano incidenti. (ii) Per ciascun valore trovato al punto (i), determinare le coordinate del punto di intersezione e l equazione cartesiana del piano contenente r e s. (iii) Per ciascun valore trovato al punto (i), descrivere almeno un affinita che fissi punto per punto le rette incidenti r e s. Svolgimento: (i) a = 3. (ii) L equazione del piano e 3X + 6X + X 3 = 5 e r s = (3, 7, 6). (iii) E sufficiente considerare ad esempio la riflessione rispetto al piano trovato al punto (ii). Esercizio 5. [0 punti] Nel piano cartesiano R, con riferimento cartesiano standard RC(O, x, x ), sia data la conica C di equazione cartesiana P (X, X ) = 4X + 4X X + 4X 3 = 0. (i) Classificare C. (ii) Ridurre C nella sua forma canonica metrica Q(Z, Z ) = 0, trovando esplicitamente l isometria x = Mz + c tra i due riferimenti. (iii) Scrivere le equazioni cartesiane degli eventuali assi di simmetria, dell eventuale centro di simmetria e degli eventuali asintoti della conica C nel riferimento originario RC(O, x, x ). (iv) Dedurre l equazione della retta tangente a C nel suo punto P = (, ). Svolgimento: (i) La matrice simmetrica completa à associata a C ha determinante diverso da zero. Pertanto C è una conica generale. La matrice simmetrica della forma quadratica associata alla conica è la sottomatrice Ã(, 3;, 3) che è di determinante 4. C è sicuramente un ellisse. Poiche P (0, X ) = 0 e un polinomio quadratico in X con discriminante positivo, deduciamo che la retta X = 0 e una secante dell ellisse e cuindi C e necessariamente ellisse generale a punti reali.

5 5 (ii) Gli autovalori di Ã(, 3;, 3)sono λ = 6 λ =. Utilizzando il Teorema Spettrale degli operatori autoaggiunti, la base ortonormale di R costituita da autovettori di Ã(, 3;, 3) è ad esempio la base ( ) ( / ) / f =, f =. / / La matrice cambiamento di base è quindi ( ) / / M =. / / che è ovviamente ortogonale. La trasformazione di coordinate è quindi x = My, cioè x = /y /y, x = /y + /y. Come conseguenza del Teorema Spettrale degli operatori autoggiunti, sappiamo che le coordinate (y, y ) sono quelle diagonalizzanti la forma quadratica Q(X, X ) associata a C. In altri termini, senza alcuna sostituzione necessaria, ottienamo che l equazione della conica C in tali coordinate diventa 6Y + Y 3 = 0. In altri termini l equazione di C nel riferimento (y, y ) è Y / + Y 3/ =. Poiche / e minore di 3/, la precedente non e la forma canonica metrica di C e dobbiamo operare una riflessione rispetto alla bisettrice Y = Y. Prendiamo quindi coordinate che forniscono la forma cannica metrica Y = Z Y = Z Z 3/ + Z / =. (iii) L isometria lineare che porta C nella sua forma canonica metrica e x = /z + /z, x = /z + /z. (iv) La conica non ha asintoti. Il centro di simmetria e sempre l origine, visto che l isometria e priva di temine traslatorio. Gli assi di simmetria sono le bisettrici del riferimento RC(O, x, x ). (iv) Con le trasformazioni inverse, notiamo che il punto P ha coordinate (0, ) nel riferimento RC(O, z, z ). In altri termini e un vertice dell ellisse C. La retta tangente in tale riferimento e z =. Con le formule inverse, facilmente troviamo l equazione della tangente a P nel riferimento RC(O, x, x ), i.e. X + X =.

6 6 Esercizio 6. [0 punti] Sia RC(O; x, x, x 3 ) il riferimento cartesiano ortonormale standard per R 3. Sia data Σ la quadrica di equazione cartesiana X X 3X X + X 3 = 3. (i) Classificare Σ. (ii) Stabilire se Σ e doppiamente rigata. (iii) Dato il piano π di equazione cartesiana 3X +X X 3 +3 = 0, classificare la sezione piana C := π Σ e giustificare la presenza di C su Σ. Svolgimento: (i) La matrice completa associata a Σ ha manifestamente rango massimo, mentre la matrice associata alla forma quadratica di Σ ha rango. Quindi Σ e un paraboloide generale. Prendendo ad esempio la retta di equazioni parametriche X = t, X = t, X 3 = 3 4t, t R notiamo che essa e interamente contenuta in Σ, pertanto Σ e necessariamente un paraboloide iperbolico o a sella. (ii) Il paraboloide a sella e doppiamente rigato. (iii) La conica C ha equazioni cartesiane X X = 0 = 3X + X X 3 3, pertanto C e chiaramente un iperbole degenere, dato che e costituita dalle due rette incidenti X X = 0 = 3X + X X 3 3 e X + X = 0 = 3X + X X 3 3. Essa e presente su Σ proprio perche Σ e doppiamente rigata. Da questo si capisce anche che π e un piano tangente a Σ in un suo punto opportuno.