INTRODUZIONE AL RUMORE NEI CIRCUITI ELETTRONICI RAPPRESENTAZIONE DEL RUMORE

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1 INTODUZIONE A UMOE NEI CICUITI EETTONICI Se prendiao n qalsiasi circito elettronico ed andiao ad analizzare il valore di na grandezza elettrica (tensione o corrente in n pnto, vediao che non è stabile e plito nel tepo a ltta attorno al valore aspettato s(t. a lttazione casale attorno al segnale è chiaata UMOE e la indichiao con n(t. Nel caso ad esepio della tensione V(t all scita di n circito, possiao considerarlo coe la soa: V(t = s(t + n(t + d(t Nel segito non considerereo i distrbi d(t, intesi coe lttazioni del segnale certaente indesiderate a ricondcibili a case precise (indzioni, intererenze e qindi in linea di principio eliinabili con na attenta realizzazione o scheratra del sistea elettronico. Il rore, rendendo l identiicazione del segnale eno nitida, ci porta a coettere n errore più o eno grande nella isra di s(t ad esepio, ed in alcni casi pò addirittra rendere ipossibile il riconosciento di n segnale. Per capire il rore ed i soi eetti nei sistei elettronici, andiao ad analizzare qindi: - qali sono le odalità di rappresentazione del rore e qali sono i paraetri che ne qantiicano l entità; - qali sono, in n circito elettronico,le sorgenti isiche di rore; - coe il rore, generato localente da n coponente, si propaga verso l scita del circito aggingendosi al segnale; - coe poterne ridrre l entità. APPESENTAZIONE DE UMOE CAATTEIZZAZIONE DE UMOE Il rore NON è caratterizzato dal so andaento nel tepo n(t, perché per sa natra n(t è diverso da na osservazione all altra e perché non è predicibile, cioè non possiao predire qale ne sarà il valore n(t+dt all istante sccessivo all osservazione. Essendo na grandezza casale, il rore potrà essere nicaente caratterizzato da grandezze che ne sintetizzano la sa distribzione statistica. In particolare, acendo la distribzione delle apiezze delle lttazioni, si potrà ricavarne il valore edio ed il valore qadratico edio. V(t [V(t] Distribzione delle apiezze delle lttazioni v(t (ascia di rore Valore aspettato s(t σ oppre MS

2 Distribzione gassiana del rore Nella grande aggioranza dei casi, la distribzione delle lttazioni (rore ha na ora ben approssiabile ad na gassiana centrata proprio sl livello di segnale idealente presente in qel pnto se non ci osse rore. Qesto è ivalente a dire che il valore edio del rore è nllo. entità delle lttazioni (in gergo, l apiezza della barba di rore viene caratterizzata dalla deviazione standard (σ della distribzione, la ci diensione è il Volt [V] se si stà isrando n segnale di tensione o l Apère [A] se si sta isrando n segnale di corrente. Essa è calcolata acendo il qadrato degli scostaenti introdotti dal rore rispetto alla linea di segnale s(t, ediandoli ttti (si ottiene così il valore qadratico edio, n ( t, del rore, che è na grandezza che ha le diensioni di V oppre di A e poi estraendone la radice. Il risltato è n nero che ha proprio le stesse diensioni del segnale (V oppre A, coe già detto grazie al qale è seplice ed iediato are n conronto diretto della apiezza del rore con l apiezza del segnale. Per coe è ottento, la deviazione standard σ è anche indicata coe valore MS del rore, dove MS signiica oot Mean Sqare, cioè appnto adice qadrata del valore Qadratico Medio. Si ricordi che in na distribzione Gassiana circa il 63% delle lttazioni totali è contento in ±σ. Potenza di rore Il valore qadratico edio del rore, che ricordiaoci ha le diensioni di [V ] o [A ], ci da la potenza trasportata dal rore stesso. SPETTO DE UMOE Coe ogni segnale elettrico, anche il rore n(t pò essere pensato coe soa di onde sinsoidali generatrici. Per estrarre ognna di qeste coponenti aroniche del rore, in particolare qella alla renza, si pò pensare di prendere il rore n(t e di arlo passare in n circito passa banda centrato proprio alla renza ed avente na piccola larghezza di banda. All scita avrò solo sinsoidi n (t di renza copresa tra (- / e (+ /. Poiché il rore n(t all ingresso, coe più volte sottolineato, ha n andaento teporale casale in apiezza, così sarà per le singole sinsoidi n (t in scita dal iltro. Esse qindi potranno essere caratterizzate dal loro valore edio (che sarà ovviaente zero e dal loro valore qadratico edio, n ( t.

3 n(t Filtro passa-banda n (t T apiezza (e la ase variano casalente nel tepo Se isro il valore qadratico edio dell insiee delle sinsoidi che escono dal iltro passabanda e lo divido per la larghezza del iltro, ottengo il valore qadratico edio del pacchetto di sinsoidi che dieriscono al più di Hz in renza. Coerenteente con ciò, qesta grandezza è chiaata densità spettrale di potenza del rore alla renza, ha le diensioni di [V /Hz] o [A /Hz] e la indichiao con S( = n ( t. ipetendo il procediento variando la renza centrale del iltro, si pò ottenere la densità spettrale di potenza del rore a ttte le renze. Esso costitisce lo spettro di potenza del rore. Spettro di potenza o spettro di potenza del rore pò avere n andaento in linea di principio qalsivoglia. S( Se lo spettro è piatto, cioè se il valore qadratico edio di ogni coponente in renza del rore è gale alle altre, si dice che lo spettro è bianco. Se lo spettro non è bianco, in gergo si dice che è colorato. Ad esepio, se sono più apie le renze basse si dice che il rore è rosa, in analogia con l eetto che si avrebbe in lce visibile. S( S( E intitivo pensare che la potenza del rore totale n(t (cioè il so valore qadratico edio, n ( t sia la soa delle potenze trasportate dalle singole coponenti sinsoidali, cioè che n ( t = S( d ( 0

4 Veriica analitica: Si considerino de sinsoidi : U(t = A sin ω t + B sin ω t Il valore qadratico edio della soa è : A B ( t = ( Asinω t + ( B sinωt + AB(sinωt sinωt = Il risltato è appnto la soa dei valori qadratici edi delle singole sinsoidi. Se si estrae la radice qadrata dell espressione (, si ottiene il valore MS del rore. SOGENTI DI UMOE IN UN CICUITO Per qantiicare l entità del rore presente in n pnto di n circito bisogna innanzittto conoscere il rore prodotto da ogni dispositivo che lo copone. inorazione di interesse che descrive copletaente n dispositivo dal pnto di vista del rore è il so spettro di potenza. ore di n resistore a casa isica del rore elettronico in n resistore é il oto statistico dei portatori di carica (elettroni e/o lacne nel dispositivo (oto browniano. Di consegenza, la dierenza di potenziale tra i orsetti di n resistore a voto (cioè non collegato non é sepre rigorosaente nlla a ltta attorno al valore V=0V. Ad n certo istante pò accadere che nel loro oto casale, gli elettroni si trovino più nerosi in prossiità di n orsetto pittosto che dell'altro, deterinando in qell istante na dierenza di potenziale non nlla tra i orsetti. Qeste lttazioni della tensione tra i orsetti di n resistore scollegato la chiaiao rore. Poiché la tensione ai orsetti di n resistere a voto ltta, é natrale pensare di rappresentare il resistore reale coe n resistere ideale privo di rore con in serie n generatore di tensione variabile. a tensione erogata da qesto generatore avrà valore edio nllo a valore qadratico edio NON nllo. Se si israsse lo spettro del rore di tensione di na resistenza di valore, si troverebbe che esso è in bona approssiazione no spettro bianco con densità spettrale S V ( = 4 kt Qesto risltato ci dice che il rore di tensione di n resistore è tanto aggiore qanto aggiore è la teperatra T di nzionaento e qanto aggiore è il so valore. Il attore di proporzionalità k è la costante di Boltzann. Il rore di na resistenza è anche chiaato rore terico o anche rore Johnson dal noe dello scienziato che per prio lo ha israto negli anni 0.

5 CICUITO EQUIVAENTE DI UN ESISTOE UMOOSO Se resistore è in n circito aperto: A S V (= 4kT Flttazione di corrente : NUA B Flttazione di tensione tra A e B : S V (= 4kT Se resistore è cortocircitato: A 4kT Flttazione di corrente : 4 kt 4 kt S I ( = = Flttazione di tensione tra A e B : NUA B Di ci si pò are l ivalente NOTON : 4kT/ A ore di canale di n MOSFET Anche il canale di n MOSFET è n resistore, avente na resistenza pari a /g. Esso eettivaente genera n rore terico che, per coe viene noralente sato n transistore, è coodo espriere con la densità spettrale di corrente. Il valore della densità spettrale contiene n piccolo attore correttivo pari a /3 che deriva dal atto che il canale è n resistore con resistenza non oogenea lngo ttto il canale a variabile dal sorce al pnto di pinch-o. Essa è pari a : 4kT S I ( = g 3

6 UMOE IN UN CICUITO - Calcolo del rore in scita E' natrale in n circito seplice o coplesso che sia, chiedersi qale sia l'entità del rore coplessivo generato dai singoli coponenti del circito e presente, ad esepio, al orsetto di scita del circito stesso. 'iportanza di qesto calcolo risiede nella considerazione che qando applichiao n segnale al circito, ainché esso sia rilevabile all'scita, è necessario che esso sia riconoscibile rispetto alle lttazioni statistiche presenti nello stesso pnto e dovte al rore. Qesta aerazione pò essere tradotta in terini qantitativi acendo rieriento al rapporto (S/N tra l'apiezza del segnale, S, ed il valore MS (oot Mean Sqare, cioè la radice qadrata del valore qadratico edio della ascia di rore ad esso sovrapposto, N. Il inio segnale israbile pò essere deinito coe il segnale la ci apiezza egaglia il valore eicace delle lttazioni (S/N=. Vediao pertanto innanzittto coe calcolare il valore MS delle lttazioni di rore in n circito. Prendiao il seplice circito qi accanto e poniaoci l'obiettivo di calcolare l'entità del rore in scita [v (t] in terini sia di densità spettrale, S (, che di valore qadratico edio, v, delle lttazioni della tensione v (t. +5V Si spponga inizialente, per seplicità, che solo la resistenza generi rore. v Ci sono possibili odalità di calcolo, alternative tra di loro, che condcono allo stesso risltato: MODAITA'. - Associo al coponente il so generatore di rore (tensione o corrente a seconda della casa isica o della coodità di calcolo, identiicandolo coe generatore che prodce n segnale nel tepo. - Calcolo il traseriento del generatore sll'scita, in odo del ttto analogo a qello che arei se osse n seplice generatore di segnale. v n (t +5V + - i n (t v vn Nel nostro esepio avrei che la corrente nella aglia è in (t = + Nota: Il segno di vn (t è arbitrario, a il verso della corrente gli deve essere congrente. a tensione in scita è v (t = in (t = vn (t +

7 oppre, indierenteente, v (t = v n (t in (t = vn (t vn (t = vn (t Converto il "segnale" in densità spettrale, acendo il valore qadratico edio dell'espressione. In pratica, noi non conosciao l andaento nel tepo del rore a solo le se caratteristiche edie. In particolare, l inorazione noralente disponibile è la sa potenza edia al variare della renza espressa ediante la densità spettrale di potenza. Siccoe la potenza edia è legata al valore qadratico edio del segnale, il legae tra la d.s.p. della resistenza ( Sn ( e la d.s.p. della tensione di scita (S è data dal qadrato dell espressione precedenteente calcolata: S ( = Sn ( = 4kT ( + ( + - Calcolo il valore qadratico edio, v, delle lttazioni nel tepo dell'scita. Conoscendo la distribzione in renza della potenza in scita, S, per ottenere la potenza coplessiva basta soare (cioè integrare i singoli contribti alle diverse renze: v = Banda 0 S ( d dove si è integrato slla banda del circito, o dello strento che i perette di visalizzare l'andaento nel tepo della tensione di scita (tipicaente l'oscilloscopio. - Faccio la radice qadrata del valore trovato (MS signiica oot Mean Sqare, cioè radice del valore qadratico edio, così da avere l'apiezza della ascia di rore da conrontarsi con il possibile segnale sovrapposto: MS rore = v. MODAITA'. - Associo al coponente il so generatore di rore (tensione o corrente a seconda della casa isica o della coodità di calcolo, identiicandolo coe generatore che prodce na densità spettrale di potenza. +5V I n ( - Calcolo il traseriento del generatore sll'scita, ricordando che devo considerare il qadrato della nzione di traseriento. S ( = S n ( ( + = 4kT ( + S n (=4kT v - Coe pria, se voglio calcolare il valore qadratico edio, dell'scita, accio: v = Banda 0 S ( d v, delle lttazioni nel tepo

8 dove si è integrato slla banda del circito, o dello strento che i perette di visalizzare l'andaento nel tepo della tensione di scita (tipicaente l'oscilloscopio. a strada proposta con qesta seconda odalità sebra più seplice ed iediata, a va segita con catela perché ha i segenti "svantaggi": - Non perette di considerare le correlazioni tra i segnali. Per esepio, nel caso in esae si perde la correlazione tra il generatore di tensione Sn ( e la corrente di rore attivata nella aglia. Per ci, rislta ipossibile calcolare S ( coe "soa" di Sn ( e della cadta di tensione ai capi di. Inatti - Se nel circito sono presenti degli eleenti conservativi (capacità ed indttanze, il calcolo pò essere più coplicato e generare dbbi. Esercizio: Calcolare il rore in scita all'apliicatore della igra accanto, dovto a ttti i coponenti che lo costitiscono. Conrontare i vari contribti ed evidenziare la sorgente di rore più iportante. e +5 V v Indicare le precazioni da prendere in ase di progetto dell'apliicatore in odo da avere il rore più piccolo possibile. v in - Innanzittto si associa ad ogni coponente n proprio generatore ivalente di rore. I generatori rappresentano lttazioni aventi case isiche dierenti e indipendenti. - Si valta il traseriento di ciascn generatore verso il orsetto di scita, tilizzando na delle odalità introdotte pria. Si ottiene così : S ( = 4kT + 4kT ( ( ( ( ( + + g g + + 4kT 4kT / g 3 ( + + 4kT g + - Conrontiao i prii 3 addendi, che si rieriscono alle resistenze in ingresso, e. Coe ben sappiao (in base a otivi di ottiizzazione del traseriento di segnale da v in a v gs, di iniizzazione della potenza dissipata stazionaria e altro, siao portati a volere piccola e ed grandi. Così acendo eettivaente anche il rore viene ridotto al inio! Inatti, i prii 3 terini, qando << e, diventano: 4kT + + g 4kT g

9 dove si vede chiaraente che se le resistenze di polarizzazione sono di valore elevato, il loro rore si scarica slla bassa ipedenza dello stadio di pilotaggio e non danno contribti signiicativi all'scita: più piccola è la resistenza di scita dello stadio di pilotaggio eglio è! Qindi il rore totale in scita è sostanzialente pari a : 4kT S ( 4kT g + + 4kT / g 3 - Conrontando di novo gli addendi, ed in particolare i prii de, si vede che è prevalente il prio od il secondo terine a secondo che sia più grande o. Coe più volte visto in varie altre 3 g occasioni e per altri otivi, polarizzare il transistore con transcondttanze elevate (qindi alte correnti è vantaggioso anche dal pnto di vista del rore! - 'ltio terine diicilente introdce n contribto di rore prevalente; basta inatti che il gadagno sia aggiore di ( >/g perché esso sia na razione del secondo addendo. Esercizio Si consideri il generatore di corrente qi accanto. Valtare l'entità del rore presente nella corrente prodotta al drain, identiicando i singoli contribti dati da ogni coponente. Indicare n intervento circitale che peretta di iniizzare il valore MS del rore di corrente di scita. +5 V circito alientato i Il circito è olto siile a qello dell'esercizio precedente e l'espressione della densità spettrale della corrente di scita è ricavata in aniera analoga, ottenendo S ( = 4kT ( + g + 4kT ( + g + 4kT / g 3 e consegenze della ancanza di sono pero' enori. Ora le de resistenze ed prodcono n gran rore che non trova più odo di scaricarsi in e viene pertanto riproposto in scita, diventando la onte di rore prevalente! Una solzione a qesto problea potrebbe essere qella di scegliere ed olto piccole ed avere così na bassa densità spettrale di rore; qesta scelta è brtta perché a consare olta potenza elettrica statica al circito. Meglio è ettere tra Gate e assa na capacità. Qesta seconda solzione perette di ridrre il valore MS del rore in scita liitando la banda (da 0Hz ino a /(πc Hz s ci la densità spettrale di rore deve C +5 V i

10 venire integrata! In pratica è ora la capacità C che scarica il rore verso assa coe pria aceva. Esercizio Coe cabia il rore qando si agginge al generatore di corrente appena visto na resistenza di degenerazione tra il Sorce e assa? Aenta o diinisce e perché? Esepio di traseriento in presenza di eleenti capacitivi Si consideri il circito C della igra accanto e si valti coe si rilette il rore di tensione del resistore ai orsetti del condensatore. a nzione di traseriento tra la tensione ai capi del condensatore ed il segnale di tensione erogato dal generatore di rore é: T(jω = + jωc Qindi, acendo il odlo al qadrato di T(jω, posso ottenere la densità spettrale in scita coe S ( = Sv ( + ω C Posto S v (=4kT lo spettro di potenza del resistore (costante nell'intervallo di renze di nostro interesse, l'andaento dello spettro di potenza di rore che si rileverebbe ai orsetti del condensatore è qello riportato scheaticaente a lato. Il valore in contina é ancora pari a 4kT, entre per il iltraggio passa-basso deterinato dal condensatore, le coponenti aroniche del rore a più alta renza sono attenate. Il valore qadratico edio del rore di tensione ai capi del condensatore è: 4kT S n (t dω V = S ( d = 4kT = 4kT C π 4C ω Per n resistere da kω, il valore 4kT é (nv /Hz e, se la costante di tepo del polo osse 00µs, il valore qadratico sarebbe (0µV. Ciò signiica che anche in assenza di qalnqe generatore di segnale orzante, il rore del resistore a lttare la tensione ai orsetti del condensatore attorno al valore nllo di ilibrio e con na apiezza che, se capionata ad istanti diversi, nel 63% delle volte si troverebbe copresa tra ±0µV. Se si applicasse alla rete n segnale, per esepio a gradino, esso caserebbe ai orsetti del condensatore il solito transitorio esponenziale. Tttavia andando a valtare con cra l'andaento S ( C 4C v

11 del segnale si troverebbe ancora che al so andaento deterinistico é sovrapposta la lttazione statistica di ±0µV. Da ltio si noti che il attore /4C ha le diensioni di na banda. Essa è detta banda ivalente ai ini del rore della rete a singolo polo. 'espressione precedente pò essere interpretata dicendo che il valore qadratico edio del rore di tensione è pari al valore in contina (4kT per la banda ivalente /4C della rete del prio ordine. Si noti coe qesta banda ivalente dierisca dalla banda /πc per il segnale. Ciò è dovto alla dierente deinizione della banda. a banda per il segnale è letta in corrispondenza del pnto a -3dB del traseriento rispetto al valore in contina. Invece, qando si ha a che are con il rore, ciò che iporta è il so valore qadratico edio. Il valore /4C è la banda s ci si deve considerare lo spettro costante e pari al valore in contina per avere il valore qadratico edio esatto del rore. Il valore /4C è la banda ivalente ai ini del rore per n sistea a singolo polo orzato da generatori di rore a spettro costante. Se i generatori non sono bianchi o se la nzione di traseriento non è a singolo polo, il risltato precedente non si applica. Il valore qadratico edio deve essere ottento procedendo all'integrazione dei diversi contribti allo spettro di potenza.

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