UNIVERSITA DEGLI STUDI LA SAPIENZA DI ROMA POLO DI RIETI FACOLTA DI INGEGNERIA CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA DELL AMBIENTE E DEL TERRITORIO
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1 UNIVERSITA DEGLI STUDI LA SAPIENZA DI ROMA POLO DI RIETI FACOLTA DI INGEGNERIA CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA DELL AMBIENTE E DEL TERRITORIO Geometria 9 5 A.A. 5 Cognome Nome Matricola Codice Scrivere in stampatello. Verificare se, al variare del parametro reale, i vettori u (,, ) v (-,, ) z (,, ) sono L.I. o L.D. (punti ). Determinare l insieme dei vettori ortogonali ai vettori u (-,, ) v (,, ) z (,, ) (punti ). Dati i vettori u (,, ) e v (,, ) calcolare il vettore w = u v verificare che i vettori u, v, w costituiscono una base di R. (punti ). Data la matrice A = h Discutere, al variare del parametro reale h, l esistenza della matrice inversa e calcolarla, quando possibile. (punti 5) 5. Enunciare il teorema di Kronecer e determinare per mezzo di esso il rango della matrice 5 A = (punti ) 7
2 . Discutere al variare del parametro reale il rango della matrice A = (punti 5) 7. Date le seguenti matrici stabilire se sono conformabili e, in caso affermativo calcolare C = AB: A = B = (punti ) Quesiti. Dati vettori distinti di R stabilire quali delle seguenti affermazioni sono vere e quali false: a. sono sempre linearmente dipendenti b. vettori dei quattro sono linearmente indipendenti c. almeno uno è linearmente indipendente d. almeno uno dipende linearmente dagli altri Motivare la risposta. (punti ). Cosa significa se il prodotto u v è nullo? (punti ). Mettere in relazione, se è possibile, il rango di una matrice e la dipendenza o indipendenza lineare dei vettori. (punti )
3 SOLUZIONI. Consideriamo l equazione au bv cz = che nel caso specifico è a(,, ) b(-,, ) c(,, ) = (,, ) ed essa equivale al sistema: a b c = b = a c b = a c a b c = a a c c = ( )a c = a c = a c = a = - c b = a c b = a c - c c c = ( )c = a = - c a = - c da cui = = - ± = - ± Pertanto per = - ± sistema indeterminato infinite soluzioni vettori L. I. per - ± il sistema ammette la sola soluzione banale (,, ) vettori L. D.. Deve risultare, considerato il generico vettore t(x, y, z) t u = t v = t z = cioè t u = (x, y, z) (-,, ) = x y = t v = (x, y, z) (,, ) = x z = t z = (x, y, z) (,, ) = x y z = Le condizioni precedenti equivalgono al sistema x y = x = y x z = z = - y soddisfatto x R x y z = y y y = Pertanto ogni vettore del tipo t(x, x, -x) è ortogonale ai vettori dati.. Calcoliamo le componenti del vettore w = u v. esse sono date dai minori del ordine della matrice costituita dalle componenti di u e di v ottenute cancellando rispettivamente la prima, la seconda, la terza colonna e presi con i segni alternati.
4 Quindi e pertanto w x = = - w y = - = - w z = w = u v (-, -, ) = Per essere i vettori u, v, w una base di R essi devono essere L. I. cioè l equazione a(,, ) b(,, ) c(-, -, ) = (,, ) deve essere verificata dalla sola soluzione banale. Traducendo in sistema si ha a c = c = a c = b c = b = a b = a b c = a = a = Quindi ammettendo il sistema la sola soluzione nulla (,, ) i vettori sono L. I. e costituiscono una base di R.. Per l esistenza della matrice inversa deve essere Det(A). Pertanto Det(A) = = h ( 8 ) = h 9 Det(A) = h 9 h 9. Calcoliamo A - per h 9. h La matrice inversa è data da A - = (A*) T Det( A) complementi algebrici. Calcoliamo i complementi algebrici di A c = = h 8; c = - = ; c = h h c = h = h ; c = - = -( ) = -; c = con (A*) T matrice trasposta dei = ; c = - h = = ; = -h ; c = - = -; c = = Pertanto h 8 A* = h h e h 8 h (A*) T = h dove la matrice trasposta si ottiene scambiando le righe con le colonne di A*.
5 In definitiva quindi la matrice inversa di A è: h 8 h A - = h h 9 5. Il teorema di Kronecer afferma che: Condizione necessaria e sufficiente affinché il rango di una matrice A(m, n) sia p min{m, n} è che siano nulli tutti i minori orlati di un minore di A di ordine p diverso da zero. Pertanto consideriamo il minore di A di ordine 5 M = = = Il rango di A è r(a). Calcoliamo gli orlati di M di ordine : M = 5 5 = ( ) = = -9 7 poiché M è diverso da zero il rango di A è.. Calcoliamo il determinante della matrice data Det(A) = = - (- ) = = - = = ( ) = = [ ( ) ( )] = ( ) ( ) Det(A) = = ±. Il rango di A è r(a). Quindi per ± Det(A) e r(a) = ; per = - Det(A) = = - ( ) = Pertanto r(a), poiché il minore M = = = è diverso da r(a) = ; 5
6 per = Det(A) = = essendo seconda e terza riga proporzionali alla prima, quindi non esiste alcun minore del secondo ordine diverso da zero e quindi r(a) =. 8. Due matrici A(m, n) e B( h, ) sono conformabili o moltiplicabili se e solo se m = oppure n = h. Nel caso specifico A(, ) e B(, ) pertanto le due matrici sono conformabili essendo il numero delle colonne di A eguale al numero delle righe di B e la matrice prodotto AB è del tipo (, ). Calcoliamola, ricordando che gli elementi della matrice prodotto si ottengono sommando i prodotti degli elementi di stesso posto di righe e colonne con lo stesso numero di elementi AB = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = = = QUESITI. a) vero; b) falso; c) vero; d) vero.. Il modulo di un prodotto vettoriale è mod (u v) = u v sin α con α angolo formato da due qualsiasi segmenti rappresentanti dei vettori dati; pertanto se il prodotto vettoriale è nullo e i due vettori sono diversi da, allora deve essere sin α = e quindi l angolo formato da essi è di, cioè i due vettori sono paralleli.. Per definizione si dice rango di una matrice A(m, n) la dimensione dello spazio delle righe (colonne) di A; poiché la dimensione dello spazio eguaglia il numero di vettori L. I. che generano lo spazio il rango di una matrice A è eguale al massimo numero di vettori riga o di vettori colonna L.I.
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