MODELLIZZAZIONE DI UNA LINEA ELETTRICA

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1 MODEIZZAZIONE DI UNA INEA EETTRICA Appunti a cura dell Ing. Emanuela Pazzola Tutore del corso di Elettrotecnica per meccanici, chimici e biomedici A.A. 005/006 Facoltà d Ingegneria dell Università degli Studi di Cagliari

2 CAPITOO 5. MODEIZZAZIONE DI UNA INEA EETTRICA 5.1 Circuito equivalente di una linea elettrica pag. 5. Calcolo della caduta di tensione di linee elettriche corte pag Caduta di tensione in una linea che alimenta un carico Ohmico-Induttivo pag Caduta di tensione in una linea che alimenta un carico puramente ohmico pag. 10 pag Caduta di tensione in una linea che alimenta un carico ohmico-capacitivo pag Calcolo della Caduta di Tensione % pag. 13 1

3 CAPITOO 5 MODEIZZAZIONE DI UNA INEA EETTRICA 5.1 Circuito equivalente di una linea elettrica In questo capitolo verrà esaminato il comportamento elettrico delle linee elettriche e la loro modellizzazione, intesa come rappresentazione del circuito equivalente. Una linea elettrica può essere considerata come un doppio bipolo con differenti valori di tensione e corrente tra i morsetti 1-1 a monte e - a valle della linea. Fig. 1 Rappresentazione di una linea elettrica come doppio bipolo Per simulare la variazione di tensione e corrente fra i morsetti a monte ed a valle di una linea elettrica, si introducono le seguenti grandezze: impedenza longitudinale Z = R+ jx ammettenza trasversale Y = G+ jb Il quadripolo può dunque essere quindi rappresentato nel modo seguente:

4 Fig. Circuito equivalente di una linea elettrica Dove: R rappresenta la resistenza ohmica dei conduttori di linea; X rappresenta la reattanza dovuta alla f.e.m. di autoinduzione che si genera nel circuito elettrico quando questo è attraversato da una corrente di valore unitario; G rappresenta la conduttanza della linea, dovuta al fatto che lungo il percorso del conduttore di linea la corrente si irradia lungo lo spazio circostante, attraverso gli isolatori o mediante una ionizzazione dell aria, fenomeno meglio conosciuto come effetto Corona. B rappresenta la suscettanza della linea, dovuta alla capacità del conduttore verso terra e verso gli altri conduttori. Tali grandezze sono generalmente riferite all unità di lunghezza (1 km), in tal caso si parla di costanti fondamentali della linea: Resistenza (r) e reattanza chilometrica(x) della linea Ω km ; S Conduttanza (g) e suscettanza (b) chilometrica della linea. km o studio delle linee trifasi è riconducibile a quello delle linee monofasi, utilizzando lo stesso quadripolo. Poiché la variazione della tensione e della corrente si verificano in ciascun tratto elementare dλ di linea (fig. 3), la valutazione rigorosa di queste grandezze richiede un circuito a parametri distribuiti, caratterizzato dalle seguenti equazioni: 3

5 i di = gudλ c dλ t i du = ridλ I dλ t (1) Fig. 3 Tratto elementare di linea Dividendo le espressioni precedenti per dλ, derivando rispetto a λ e sostituendo opportunamente le variabili, si ricavano le note equazioni dei telegrafisti: u u u = rgu + ( rc + Ig) + Ic dλ λ t t i i i = rgi + ( rc + Ig) + Ic t t t () Si tratta di equazioni differenziali del II ordine a derivate parziali perfettamente analoghe. Ciò è indice del fatto che la propagazione della tensione e corrente lungo la linea avviene allo stesso modo. a modellizzazione di un tratto di linea infinitesimo simmetrico dλ si ottiene dimezzando l impedenza longitudinale in due parti: 4

6 Fig. 4 Circuito equivalente di un tratto di linea di lunghezza infinitesima dλ Nel caso di regime permanente sinusoidale si definisce lunghezza d onda λ della linea, la distanza che intercorre lungo la linea tra due massimi successivi della tensione e della corrente. espressione approssimata di λ è la seguente: π 1 v 1 λ = == = essendo v = (3) ω µε f µε f µε In cui 1 v = corrisponde alla velocità di propagazione nel mezzo caratterizzato µε dai relativi valori di µ e di ε. Si analizzino i seguenti due casi: 7 H 1 F inea in aria ( µ 0 = 4π 10 ; ε 0 = ), interessata da m m tensione e corrente di frequenza pari a 50 Hz. a lunghezza d onda in questa situazione assumerà il valore λ=6000 km, come risulta applicando la (3). Nell istante t in cui il valore di tensione u(t) risulta pari a 0, la distribuzione della tensione sarà la seguente: 5

7 Fig. 5 Distribuzione della tensione per linee in aria nell istante t in cui u(t) = 0 inea in cavo con costante dielettrica relativa ε r =,3 interessata da tensione e corrente di frequenza pari a 50 Hz. a corrispondente lunghezza d onda assumerà il valore λ=4000 km. Nell istante t in cui il valore di tensione u(t) risulta pari a 0, pertanto la distribuzione della tensione assumerà la forma seguente: Fig. 6 Distribuzione della tensione per linee in cavo nell istante t in cui u(t)=0 Il confronto fra i diagrammi dell figg. 5 e 6 mostra dunque come la tensione lungo un tratto di linea sia variabile da punto a punto. Inoltre, in uno stesso tratto di linea λ, la caduta di tensione aumenta al crescere della tensione di alimentazione della linea, come mostra il diagramma seguente, ottenuto per tensioni pari a 0 kv e 130 kv: 6

8 Fig. 7 Confronto fra la distribuzione della tensione nelle linee in aria ed in quelle in cavo Per tali ragioni, in regime sinusoidale permanente (f=50 Hz), le linee aventi lunghezza inferiore a 150 km e tensione inferiore a 130 kv possono approssimarsi mediante quadripoli equivalenti a T (fig. 8) o a π (fig. 9), a parametri concentrati. Fig. 8 Quadripolo equivalente a T Fig. 9 Quadripolo equivalente a π Per linee cosiddette corte (lunghezza < 60 km), il modello circuitale può ulteriormente semplificarsi; infatti, essendo l entità dell assorbimento di corrente 7

9 molto piccola, sono trascurabili i parametri trasversali, così come illustrato dalla fig. 10. Fig. 10 Circuito equivalente per linee corte 5. Calcolo della caduta di tensione di linee elettriche corte Data la linea elettrica corta, schematizzata in fig. 10, noti i fasori della tensione ( U ) e della corrente ( I ), ci si propone di determinare le grandezze di ingresso ( U 1, φ 1 ). Il corrispondente diagramma è rappresentato in fig. 11. Fig. 11 Diagramma fasoriale relativo al circuito di fig. 8 U 1 = OF = OH + HF (4) OH HF = OG + GH = U cosϕ + R I (5) = HE + EF = U senϕ + X I (6) 8

10 e espressioni esatte di U1e φ 1 saranno: U 1 = ( U cos + R I) + ( U senϕ + X I) ϕ (7) HF U senϕ + X I ϕ = = 1 arctg arctg (8) OH U cosϕ + RI Si definisce caduta di tensione in linea, la differenza fra il valore efficace della tensione in ingresso e di quella in uscita dalla linea: U = U1 U = OF OA = OD OA = AD (9) Poiché l angolo φ è piccolo può ritenersi valida la seguente approssimazione: U = AD AC = AB + BC = R I cosϕ + X Isenϕ = ( R cosϕ + X senϕ ) I (10) 5.3 Caduta di tensione in una linea che alimenta un carico Ohmico-Induttivo Nell ipotesi che una linea alimenti un carico ohmico induttivo (R+jX), il circuito diviene come indicato in figura: Fig. 1 Circuito equivalente di una linea corta che alimenta un carico ohmico-induttivo Il relativo diagramma fasoriale è indicato in fig. 13, in cui: I rappresenta la corrente che attraversa il carico; φ rappresenta la fase della corrente (nonché lo sfasamento fra tensione e corrente). 9

11 Fig. 13 Diagramma fasoriale relativo al circuito di fig. 1 Essendo la fase φ <0, la (10) diventa: U = R I cosϕ + X Isenϕ > Caduta di tensione in una linea che alimenta un carico puramente ohmico Nell ipotesi che la linea alimenti un carico puramente ohmico (R-jX), il circuito diviene come indicato in figura: Fig. 14 Circuito equivalente di una linea corta che alimenta un carico puramente ohmico Il corrispondente diagramma fasoriale è rappresentato in fig

12 Fig. 15 Diagramma fasoriale relativo al circuito di fig. 14 In questo caso, essendo la fase φ =0, la (10) diventa: U = R I cosϕ 5.5 Caduta di tensione in una linea che alimenta un carico ohmico-capacitivo Nell ipotesi che la linea alimenti un carico ohmico capacitivo (R j X ), il circuito diviene il seguente: Fig. 16 Circuito equivalente di una linea corta che alimenta un carico ohmico-capacitivo In cui: I rappresenta la corrente che attraversa il carico; φ rappresenta la fase della corrente (nonché lo sfasamento fra tensione e corrente). 11

13 Essendo la fase φ >0, possono verificarsi le seguenti situazioni: φ =φ * Sostituendo nella (10) si ottiene: U = R I cosϕ * + X Isenϕ Il valore della tensione in arrivo è uguale al valore della tensione in partenza. φ <φ * Sostituendo nella (10) si ottiene: U = R I cosϕ * + X Isenϕ Il valore della tensione in arrivo è minore rispetto al valore della tensione in partenza. * = * > 0 0 Fig. 17 Diagramma fasoriale relativo al circuito di fig. 16 φ >φ * Sostituendo nella (10) si ottiene: U = R I cosϕ + X Isenϕ < Il valore della tensione in arrivo è maggiore rispetto al valore della tensione in partenza. 0 1

14 5.6 Calcolo della Caduta di Tensione % Moltiplicando e dividendo l espressione della caduta di tensione per la tensione all arrivo della linea (U ), si ottiene la seguente: U = R ( IU cosϕ) + X ( IU senϕ) R P + U = U X Q (11) In cui: R ed X rappresentano la resistenza e reattanza della linea, rispettivamente; P e Q rappresentano la potenza attiva e reattiva assorbite dal carico (Si ricorda: P=UIcosφ e Q=UIsenφ). Definiamo caduta di tensione percentuale la seguente: U R P + X Q U % = 100 = 100 (1) U U 13

X = Z sinj Q = VI sinj

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