0 1, x = A N = 0, ȳ = [ ], h = 5, B(h) = 2,

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1 o Appello //8 RICERCA OPERATIVA (a.a. 7/8) Nome: Cognome: Matriola: ) Si risolva il problema di PL dato appliando l algoritmo del Simplesso Primale, per via algebria, a partire dalla base B = {, }. Per ogni iterazione si indihino: la base, la matrie di base e la sua inversa, la oppia di soluzioni di base, l indie usente, la direzione di resita, il passo di spostamento e l indie entrante. In aso di ottimo finito, si disuta l uniità delle soluzioni ottime primale e duale determinate. Giustifiare tutte le risposte. it.) B = {, }, A B = [, A B = ȳ B = A B = [ [ ξ = A B u B(h) = it.) B = {, }, A B = max x x x x x x x x x [, x = A B b B = =, = [, ȳ N =, ȳ = [, h = min{i B : ȳ i < } =, B(h) =, [, A N ξ = =, J = {i N : A i ξ > } = {,, }, λ i = (b i A i x)/a i ξ, λ =, λ =, λ =, λ = min{λi : i J} =, [ ȳ B = [ it.) B = {, }, A B = k = min{i J : λ i = λ} = [ambio di base degenere, A B = ξ =, x = = = [, ȳ N =, ȳ = [, h =, B(h) =, [, A N ξ = =, [ J = {, }, λ = λ = λ =, k = min{, } = [regola antiilo di Bland [, A B =, x = = ȳ B = [ = [, ȳ N =, ȳ = [, h =, B(h) =, [ [ ξ =, A N ξ = =, it.) B = {, }, A B = [ J = {}, λ = λ =, k = [ambio di base degenere, A B = ȳ B = [,, x = =, = [, ȳ N =, ȳ = [, STOP. Poihé ȳ B, la soluzione x = [, è ottima per il problema dato, mentre ȳ = [,,,, è una soluzione ottima per il suo problema duale. Poihé la soluzione ottima duale determinata è non degenere, la soluzione x = [, è l unia soluzione ottima del primale. Siome peró x è primale degenere, in quanto I( x) = {,, } (ome hiaramente evidenziato dal fatto he la penultima iterazione del simplesso primale è degenere), la soluzione duale determinata non è neessariamente unia. Ed in effetti esistono altre soluzioni duali ammissibili he rispettano le ondizioni degli sarti omplementari on x, quali ad esempio ȳ = [,, /,, /. Pertanto, ȳ non è l unia soluzione ottima del duale.,

2 o Appello //8 ) Si risolva geometriamente, per mezzo dell algoritmo del Simplesso Primale, il problema di PL in figura a partire dalla base B = {, }; si noti he è ollineare ad A e perpendiolare ad A, mentre A ed A e A ed A sono ollineari. Per ogni iterazione si fornisano la base, la soluzione primale di base x e la direzione di spostamento ξ (riportandoli direttamente sulla figura), il segno delle variabili duali in base, e gli indii usente ed entrante, giustifiando le risposte. Al termine, se il problema ammette ottimo finito, si disuta l uniità della soluzione ottima sia del primale he del duale. A ξ x ξ x = x A A A x ξ A A it. ) B = {, }. y < e y < poihé appartiene al ono generato da A e A, ome mostrato in a): quindi, h = min{ i B : y i < } = min{, } = [regola antiilo di Bland. La direzione ξ è quindi quella he rimane interna alla frontiera del vinolo (he resta in base) allontanandosi, dal lato ammissibile, dalla frontiera del vinolo (he ese di base). Il massimo passo lungo la direzione ξ si ottiene in orrispondenza del solo vinolo : quindi, k =. it. ) B = {, }, y < e y > poihé appartiene (è interno) al ono generato da A ed A, ome mostrato in b); quindi, h =. Il massimo passo lungo la direzione ξ si ottiene in orrispondenza dei due vinoli e : quindi k = min{, } = per la regola antiilo di Bland. it. ) B = {, }, y < e y > poihé è interno al ono generato da A e A, ome mostrato in ); quindi, h =. Il massimo passo lungo la direzione ξ si ottiene in orrispondenza al solo vinolo, attivo ma non in base: quindi k = e si esegue un iterazione degenere. it. ) B = {, }, y = e y > poihé è ollineare ad A, ome mostrato in d). La base è quindi sia primale he duale ammissibile, e l algoritmo termina avendo determinato una soluzione ottima per entrambi i problemi. a) b) ) d) A -A A -A -A A A -A A A A A Per disutere l uniità delle soluzioni onsideriamo la degenerazione della base ottima ed utilizziamo il teorema degli sarti omplementari. Poihé la base è duale degenere (y = anhe se B), la soluzione ottima del primale può essere non unia. È faile vedere he in effetti questo è il aso: tutti i punti della faetta del poliedro orrispondente al vinolo A (il segmento di ui x è un estremo) sono soluzioni primali ottime, avendo tutti lo stesso valore della funzione obiettivo di x ( è ollineare ad A ). Per disutere l uniità della soluzione duale notiamo he la base ottima è anhe primale degenere, e pertanto la soluzione duale ottima potrebbe non essere unia. È però possibile vedere he questo non è il aso selezionando adeguatamente una soluzione ottima del primale, in partiolare una qualsiasi all interno della faia ottima (e quindi non di base). In tale soluzione, l unio vinolo attivo è A ; pertanto, per il teorema degli sarti omplementari in iasuna soluzione ottima del duale deve risultare y i = per ogni i. È quindi immediato verifiare he la soluzione duale di base determinata dall algoritmo è l unia soluzione ottima del duale.

3 o Appello //8 ) Si individui un albero dei ammini minimi di radie, sul grafo in figura, utilizzando l algoritmo più appropriato dal punto di vista della omplessità omputazionale in tempo, e giustifiando la selta effettuata. Per ogni iterazione si fornisano il nodo selezionato u, i vettori dei predeessori e delle etihette, e l insieme dei nodi andidati Q. Si esaminino gli arhi di ogni stella usente in ordine resente dei rispettivi nodi testa. Al termine si disegni l albero dei ammini minimi individuato. La soluzione ottima ottenuta è unia? Giustifiare la risposta. 7 Il grafo ontiene ili orientati, ad esempio (,, ), e arhi di osto negativo. Pertanto l algoritmo più onveniente dal punto di vista della omplessità omputazionale in tempo è SPT.L in ui Q è implementato ome una oda, ovvero l algoritmo di Bellman, he ha omplessità in tempo O(mn). M = (n ) max + = + =. L albero trovato è mostrato in figura: p[ d[ it. u 7 7 Q {} {,, } 8 {,, 7} 8 {, 7,, } 8 {7,,, } 7 8 {,, } {,, 7} 7 {, 7} 8 {7,, } 9 7 {, } {, 7} {7} L albero individuato non è l unio albero dei ammini minimi di radie. Infatti, poihé d() + = + = = d(), le ondizioni di Bellman relative all aro (, ) valgono in forma di uguaglianza. Inserendo (, ) al posto di (, ) nell albero si ottiene un albero dei ammini minimi di radie alternativo a quello individuato.

4 o Appello //8 ) Si individui un flusso massimo dal nodo al nodo sulla rete in figura, utilizzando l algoritmo di Edmonds e Karp a partire dal flusso indiato, di valore v = 7. Nella visita degli arhi di una stella usente si utilizzi l ordinamento resente dei rispettivi nodi testa (ad esempio, (,) è visitato prima di (,)). Ad ogni iterazione si fornisa l albero della visita, il ammino aumentante individuato on la relativa apaità, ed il flusso ottenuto on il relativo valore. Al termine, si indihi il taglio (N s, N t ) restituito dall algoritmo e la sua apaità, giustifiando la risposta. Si disuta infine ome ambierebbero le risposte se l aro (, ) avesse apaità u =. 9,,,, 7, i u ij, x ij, 9,, 9, Le iterazioni sono rappresentate di seguito, dall alto in basso. Per ogni iterazione, a sinistra è mostrato l albero della visita ed il ammino aumentante P individuato (arhi evidenziati); a destra viene invee indiato il flusso ottenuto in seguito all invio, lungo P, di una quantità di flusso pari alla apaità θ(p, x), on il relativo valore v. Al termine è riportato il taglio (N s, N t ) = ({,,, }, {, }) determinato dall algoritmo. I nodi in N s sono quelli esplorati durante l ultima visita del grafo residuo (ovvero, la visita in ui si dimostra la non esistenza di un ammino aumentante). Il relativo albero della visita è illustrato nell ultima figura in basso a sinistra. Il taglio è di apaità minima: infatti u(n s, N t ) = u + u + u = = = v., j, it. ) θ(p, x) = v = 9 it. ) θ(p, x) = 7 v = it. ) θ(p, x) = 9 v = it. ) Se l aro (, ) avesse apaità u =, il flusso non sarebbe più ottimo. Infatti, poihé l aro (, ) appartiene al taglio individuato, la apaità del taglio aumenterebbe al valore u(n s, N t ) = 7, e sarebbe possibile inviare un ulteriore unità di flusso da a lungo il ammino {(, ), (, ), (, )}, ottenendo un nuovo flusso di valore v = 7 (e quindi massimo). Il taglio (N s, N t ) preedentemente individuato rimarrebbe quindi un taglio di apaità minima, ma l algoritmo ora troverebbe il taglio ({, }, {,,, }), anh esso di apaità 7.

5 o Appello //8 ) Nel regno Spigoloso del mondo bidimensionale di Flatlandia, il famoso geometra EuliD già pratiamente una star per via dei suoi risultati sugli angoli, l argomento favorito del regno intende ementare definitivamente la sua fama risolvendo il problema dell impaamento ottimo di sfere: dato il numero naturale n, determinare il massimo valore r per ui sia possibile impaare n sfere di raggio r nel quadrato unitario senza he si sovrappongano, tranne al più sulla frontiera. Trattandosi di Spigoloso le sfere possono essere soltanto in norma L, e trattandosi di Flatlandia il problema può essere pensato solamente in D ( x = x + x per x R ). Si aiuti EuliD ad ottenere fama imperitura in tutto il regno di Spigoloso formulando ome PLI il problema orrispondente. Per ostruire il modello oorre innanzitutto introdurre le n variabili ontinue x i ed y i per i =,..., n he indiano le oordinate del entro dell i-esima sfera (in norma L ). Sia C l insieme di tutte le oppie { i, j} non ordinate di sfere (la relazione è simmetria): imporre he i e j non si intersehino equivale ad imporre he nessuno dei punti della sfera i appartenga alla sfera j, ossia he la distanza (in norma L ) tra i due entri sia almeno pari a r. Dalla definizione, questo vuol dire x i x j + y i y j r. Utilizzando il fatto he z = max{ z, z }, la relazione preedente si risrive max { x i x j + y i y j, x i x j y i + y j, x i + x j + y i y j, x i + x j y i + y j } r. Affinhé il massimo tra quattro funzioni lineari sia maggiore od uguale a r, almeno una di esse deve essere tale. Si tratta quindi di appliare la lassia tenia dei vinoli disgiuntivi. Ciò rihiede di introdurre, per iasuna oppia { i, j} C, quattro variabili y ++ ij, y + ij, y + ij e y ij. Introduendo anhe l ovvia variabile r he denota il raggio delle sfere, una formulazione PLI del problema è: max r r x i r i =,... n () r y i r i =,... n () x i x j + y i y j r y ++ ij { i, j} C () x i x j y i + y j r y + ij { i, j} C () x i + x j + y i y j r y + ij { i, j} C () x i + x j y i + y j r y ij { i, j} C (7) y ++ ij + y + ij + y ++ ij + y ij { i, j} C (8) y ++ ij {, }, y + ij {, }, y ++ ij {, }, y ij {, } { i, j} C (9) La funzione obiettivo () massimizza r. I vinoli () e () assiurano he il entro di ogni sfera sia a distanza (in norma L, ma in questo aso la osa è ininfluente) almeno r dalla frontiera del quadrato unitario. Ciasuno dei quattro vinoli () (7) impone he la orrispondente versione linearizzata del vinolo di distanza sia rispettata se la orrispondente variabile binaria vale, mentre è ridondante (dati i vinoli () e ()) se la orrispondente variabile binaria vale. Per la stima della ostante M dei vinoli si noti he, poihé x i [, ed y i [, per ogni i, la norma L della differenza tra due entri non può essere superiore a ; in altri termini, il lato sinistro dei vinoli è. Siome ovviamente r / per ogni n (altrimenti () e () sono inonsistenti), lato sinistro r, da ui la selta della ostante. Si noti he la ostante sarebbe migliorabile utilizzando qualhe argomento teorio he permetta di riavare un upper bound valido sul valore di r. Ad esempio, poihé una palla in norma L di raggio r ha area r, deve risultare nr = r /(n). Il vinolo (8) impone he almeno una delle quattro variabili sia, e quindi he almeno uno dei quattro vinoli sia rispettato, e quindi he il massimo tra le quattro orrispondenti forme lineari sia r. Gli ultimi vinoli sono quelli di integralità (e valutazioni inferiori e superiori) sulle variabili. ()

6 o Appello //8 ) Si applihi all istanza di TSP in figura un algoritmo di B&B he usa MST ome rilassamento, nessuna euristia, ed effettua il branhing selezionando il nodo ol più piolo valore r > di lati dell MST in esso inidenti (a parità di tale valore, quello on indie minimo) e reando r(r )/ figli orrispondenti a tutti i modi possibili per fissare a zero la variabile orrispondente a r di tali lati. Per ogni nodo dell albero si riportino la soluzione ottenuta dal rilassamento on la orrispondente valutazione inferiore; si indihi poi se, e ome, viene effettuato branhing o se il nodo viene hiuso 8 7 e perhé. Si visiti depth-first l albero delle deisioni, ossia si implementi Q ome una pila, e si inserisano in oda i figli di ogni nodo in ordine lessiografio deresente dell insieme di lati fissati a zero (si noti he, essendo Q una pila, i nodi ne esono in ordine inverso a quello on ui vi entrano). Si visitino solamente i primi 7 nodi dell albero delle deisioni, ompresa la radie; al termine si indihino la miglior valutazione superiore ed inferiore determinata sul valore ottimo del problema, giustifiando tutte le risposte. Indihiamo on z la valutazione inferiore ottenuta ad ogni nodo e on z la migliore delle valutazioni superiori determinate (inizialmente z = + ). La oda Q viene inizializzata inserendovi il solo nodo radie dell albero delle deisioni, orrispondente a non aver fissato aluna variabile. Nodo radie L MST, on z =, è mostrato in (a). Poihè non è un ilo Hamiltoniano, non si è determinata aluna soluzione ammissibile; pertanto z = < z = + ed oorre proedere ol branhing. Ciò orrisponde a selezionare il nodo, he ha tre lati inidenti e reare i ( )/ = figli, inseriti in Q in quest ordine, in ui si fissano a zero rispettivamente i lati {, }, {, } e {, }. x = L MST, on z =, è mostrato in (b). Poihè z = < z = +, oorre proedere ol branhing. Ciò orrisponde a selezionare il nodo, he ha tre lati inidenti, e reare i tre figli, inseriti in Q in quest ordine, in ui si fissano a zero rispettivamente i lati {, }, {, } e {, }. x = x = L MST, on z =, è mostrato in (). Poihè z = < z = +, oorre proedere ol branhing. Ciò orrisponde a selezionare il nodo, he ha tre lati inidenti, e reare i tre figli, inseriti in Q in quest ordine, in ui si fissano a zero rispettivamente i lati {, }, {, } e {, }. x = x = x = Poihé il nodo ha solamente un aro inidente non può esistere alun ilo Hamiltoniano nel sottografo, e quindi il nodo viene hiuso per inammissibilità. x = x = x = Poihé il nodo ha solamente un aro inidente non può esistere alun ilo Hamiltoniano nel sottografo, e quindi il nodo viene hiuso per inammissibilità. x = x = x = L MST, on z =, è mostrato in (d). Poihé si tratta di un ilo Hamiltoniano, e < z = +, si pone z = ; inoltre il nodo viene hiuso per ottimalità. In altri termini, poihé z = z =, il nodo viene hiuso dalla valutazione inferiore. x = x = Poihé il nodo ha solamente un aro inidente non può esistere alun ilo Hamiltoniano nel sottografo, e quindi il nodo viene hiuso per inammissibilità. Poihé è stato esplorato il massimo numero di nodi, l algoritmo termina. L analisi dell algoritmo B&B assiura he la valutazione inferiore globale è pari a min{ z, min { z(p ) : P Q } }, dove Q è l insieme dei predeessori immediati dei nodi in Q. Poihé Q ontiene anora due figli della radie, Q ontiene la radie he ha hiaramente la valutazione inferiore più bassa di tutti; pertanto, la valutazione inferiore globale a terminazione è anora la stessa della radie, ossia z =. Con la miglior valutazione superiore disponibile z =, iò orrisponde ad un gap pari a (z z)/z = / =. %. a) b) ) d)