GEOMETRIA 28 Giugno minuti

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1 GEOMETRIA 28 Giugno minuti A Istruzioni: Scrivere cognome, nome, matricola in STAMPATELLO negli appositi spazi. Per ogni quiz nella prima parte, indicare l affermazione giudicata corretta nella tabella in questa pagina. Trascrivere la risposta alle singole domande degli esercizi della seconda parte nelle pagine bianche alla fine di ogni esercizio. COGNOME, NOME: MATRICOLA: DOCENTE: Q1 a b c d Q5 a b c d Q2 a b c d Q6 a b c d Q3 a b c d Q7 a b c d Q4 a b c d Q8 a b c d Non scrivere in questo spazio QUIZ ESERCIZIO TOTALE

2 A QUIZ Q1. Sia A R 3 3 una arbitraria matrice reale quadrata con 3 autovalori coincidenti. (a) Esiste una base di R 3 formata da autovettori di A; (b) A non è simmetrica; (c) L autospazio relativo dell autovalore doppio è almeno 1; (d) A non è invertibile, Q2. Sia dato un endomorfismo f di R 4 tale che e sia id 4 : R 4 R 4 l endomorfismo identico. Si indichi l affermazione corretta. 5 5 (a) il vettore è un autovettore di f ; 5 5 (b) f è suriettivo; (c) L immagine di f id 4 ha dimensione 3; (d) f è invertibile f = f Q3. Sia (e 1, e 2, e 3 ) la base canonica di R 3 e si considerino i seguenti sottospazi: Quale delle seguenti affermazioni è corretta? (a) U V è l insieme vuoto; (b) dim(u V ) = 0; (c) dim(u + V ) = 3; (d) La somma di U e V è diretta. U = [e 1 + e 2, e 1 e 2 ] e V = [e 1 + e 3, e 2 + 2e 3 ] Q4. Sia (e 1, e 2, e 3 ) la base canonica di R 3 e A R 4 3. Si supponga A di rango 2. Indicare l alternativa corretta. (a) L insieme delle controimmagini A 1 (b) per tutti i b R 4 ; (b) il sistema lineare omogeneo AX = Ae 1 possiede una sola soluzione; (c) il sistema lineare AX = Ae 3 possiede 2 soluzioni; (d) il sistema lineare AX = B ha infinite soluzioni, qualunque sia B. Q5. Sia data la retta r : 2x + y z = 0; 2x + y + 2z 1 = 0. Quale delle seguenti affermazioni è vera?. (a) r passa per l origine; (b) r è contenuta in un piano parallelo al piano xy; (c) r è parallela alla retta r(t) = (1 + 3t, 1 5t, t); (d) r è contenuta nel piano 2x + z = 0.

3 A Q6. Nello spazio tridimensionale sia data la quadrica Q e il piano π rispettivamente di equazioni Quale delle seguenti affermazioni è vera? (a) La conica Q π ha un solo punto reale; (b) L ellisse Q π ha centro sul piano y 1 = 0; (c) Il piano z = 0 è tangente a Q; (d) La quadrica Q è un iperboloide a una falda. 2x 2 y 2 + z 2 4y = 0, y = 0 Q7. Sia data la forma quadratica q(x, y) = x 2 + 2xy + 10y 2. Quale delle seguenti affermazioni è vera? (a) q( 3, 5) < 0; (b) Se q(x, y) = 0 allora (x, y) = (0, 0); (c) q(x, y) non è definita; (d) esiste una coppia di numeri reali (a, b) (0, 0) tale che q(a, b) = 0. Q8. Data la funzione f(x, y) = e x2 cos y y sin x+2, si indichi l affermazione corretta. (a) f non possiede punti critici; (b) L origine è un punto critico per f ; (c) Il piano tangente al grafico nell origine è x y + z = 0; (d) Il piano tangente al grafico di f nel punto (0, π/2) è z 1 = 0. Q9. Sia data la curva γ(t) = (t 2 + e t, 3t 2 2e t + 5, 3e t 1), t R. Quale delle seguenti affermazioni è vera? (a) esistono punti di γ in cui il vettore tangente è nullo; (b) la curva γ è contenuta in un piano; (c) La curva possiede punti non regolari; (d) La curva è contenuta nel piano z = 0;

4 A ESERCIZI Esercizio 1. Sia data la matrice A = (i) Trovare autovalori e autospazi di A; (ii) Verificare che il vettore appartiene all immagine di A e trovare l insieme delle sue controimmagini; (iii) Dire se esiste una matrice P invertibile tale che P T AP sia diagonale; dove P T indica la trasposta di P. Svolgimento dell esercizio 1:

5 Svolgimento dell esercizio 1: A

6 A Esercizio 2. Sia data la funzione f(u, v) = ( sin u (2 + cos v), cos u (2 + cos v), sin v) In R 3 si consideri la superficie parametrizzata S definita dalla funzione f, cioè S = Im(f) (i) Mostrare che il differenziale di f ha rango 2 per ogni (u, v) R 2. (ii) Determinare la retta normale al piano tangente a S nel punto P ( 2, 2, 1). (iii) Determinare un equazione cartesiana per il piano tangente a S nel punto P ( 2, 2, 1). Svolgimento dell esercizio 2:

7 Svolgimento dell esercizio 2: A

8 A

9 GEOMETRIA 28 Giugno minuti B Istruzioni: Scrivere cognome, nome, matricola in STAMPATELLO negli appositi spazi. Per ogni quiz nella prima parte, indicare l affermazione giudicata corretta nella tabella in questa pagina. Trascrivere la risposta alle singole domande degli esercizi della seconda parte nelle pagine bianche alla fine di ogni esercizio. COGNOME, NOME: MATRICOLA: DOCENTE: Q1 a b c d Q5 a b c d Q2 a b c d Q6 a b c d Q3 a b c d Q7 a b c d Q4 a b c d Q8 a b c d Non scrivere in questo spazio QUIZ ESERCIZIO TOTALE

10 B QUIZ Q1. Sia data la curva γ(t) = (t + e t + t 2, t e t t 2, 3e t 1), t R. Quale delle seguenti affermazioni è vera? (a) esistono punti di γ in cui il vettore tangente è nullo; (b) la curva γ è contenuta in un piano; (c) La curva possiede punti non regolari; (d) La curva è contenuta nel piano y = 0; Q2. Data la funzione f(x, y) = e y2 cos x x sin y+2, si indichi l affermazione corretta. (a) f non possiede punti critici; (b) Il gradiente di f nell origine non è nullo; (c) Il differenziale di f nell origine è nullo; (d) f(0, 0) = 2. Q3. Sia data la forma quadratica q(x, y) = 4x 2 8xy + 5y 2. Quale delle seguenti affermazioni è vera? (a) q(1, 3) < 0; (b) q(x, y) 0 per tutti gli (x, y) R 2 ; (c) q(x, y) è definita positiva; (d) esiste una coppia di numeri reali (a, b) (0, 0) tale che q(a, b) = 0. Q4. Sia data la funzione f(x, y) = 3x 2 + 2y 2. Quale delle seguenti affermazioni è vera? (a) il punto (1, 1, 1) appartiene al grafico di f(x, y); (b) il grafico di f(x, y) è un paraboloide; (c) f(x, y) non è differenziabile nel punto (0, 0); (d) Nessun piano tangente al grafico è parallelo al piano xy. Q5. Nello spazio tridimensionale sia data la quadrica Q e il piano π rispettivamente di equazioni Quale delle seguenti affermazioni è vera? 2x 2 y 2 + z 2 4x = 0, x = 0 (a) La conica Q π è degenere; (b) L iperbole Q π ha centro sul piano y 1 = 0; (c) Il piano z = 0 è tangente a Q; (d) La quadrica è un ellissoide.

11 B Q6. Sia data la retta r : 2x y z = 0; 2x + y + 2z 1 = 0. Quale delle seguenti affermazioni è vera?. (a) r passa per l origine; (b) r è contenuta nel piano 4x + z 2 = 0 ; (c) r è parallela alla retta r(t) = (10 t, 1 6t, 4t); (d) r è contenuta nel piano yz. Q7. Sia (e 1, e 2, e 3 ) la base canonica di R 3 e si considerino i seguenti sottospazi: Quale delle seguenti affermazioni è corretta? (a) U V è l insieme vuoto; (b) dim(u V ) = 0; (c) dim(u + V ) = 3; (d) La somma di U e V è diretta. U = [e 1 + e 2, e 1 e 2 ] e V = [e 1 + e 3, e 2 + 2e 3 ] Q8. Sia dato un endomorfismo f di R 4 tale che e sia id 4 : R 4 R 4 l endomorfismo identico. Si indichi l affermazione corretta. 5 5 (a) il vettore è un autovettore di f ; 5 5 (b) f è suriettivo; (c) L immagine di f id 4 ha dimensione 3; (d) f è invertibile f = f Q9. Sia A R 3 3 una matrice quadrata simmetrica con polinomio caratteristico t 3 + t. Quale delle seguenti affermazioni è necessariamente vera? (a) A è diagonalizzabile; (b) A è invertibile; (c) A è ortogonale; (d) il rango di A è 1.

12 B ESERCIZI Esercizio 1. Sia data la matrice A = (i) Provare che 2 è un autovalore di A e trovare gli autovettori; (ii) Verificare che il vettore appartiene all immagine di A e trovare l insieme delle sue controimmagini; (iii) Dire se esiste una matrice P R 3 3 tale che P T AP sia diagonale; dove P T indica la trasposta di P. Svolgimento dell esercizio 1:

13 Svolgimento dell esercizio 1: B

14 B Esercizio 2. Sia data la funzione f(u, v) = (cos u (2 + cos v), sin u (2 + cos v), sin v) In R 3 si consideri la superficie parametrizzata S definita dalla funzione f, cioè S = Im(f) (i) Mostrare che il differenziale di f ha rango 2 per ogni (u, v) R 2. (ii) Determinare la retta normale al piano tangente a S nel punto P ( 2, 2, 1). (iii) Determinare un equazione cartesiana per il piano tangente a f nel punto P ( 2, 2, 1). Svolgimento dell esercizio 2:

15 Svolgimento dell esercizio 2: B

16 B

17 GEOMETRIA 28 Giugno minuti C Istruzioni: Scrivere cognome, nome, matricola in STAMPATELLO negli appositi spazi. Per ogni quiz nella prima parte, indicare l affermazione giudicata corretta nella tabella in questa pagina. Trascrivere la risposta alle singole domande degli esercizi della seconda parte nelle pagine bianche alla fine di ogni esercizio. COGNOME, NOME: MATRICOLA: DOCENTE: Q1 a b c d Q5 a b c d Q2 a b c d Q6 a b c d Q3 a b c d Q7 a b c d Q4 a b c d Q8 a b c d Non scrivere in questo spazio QUIZ ESERCIZIO TOTALE

18 C QUIZ Q1. Nello spazio tridimensionale sia data la quadrica Q e il piano π rispettivamente di equazioni Quale delle seguenti affermazioni è vera? (a) La conica Q π è una iperbole; (b) L iperbole Q π è degenere; (c) Il piano y = 0 è tangente a Q; (d) La quadrica è un ellissoide. 2x 2 y 2 + z 2 4x y = 0, x = 0 Q2. Sia data la funzione f(x, y) = 3x 2 + 2y 2. Quale delle seguenti affermazioni è vera? (a) il punto (1, 1, 1) appartiene al grafico di f(x, y); (b) Il grafico di f(x, y) è un cono con vertice l origine; (c) f(x, y) non è differenziabile nel punto (0, 0); (d) Esiste un piano tangente al grafico parallelo al piano xy. Q3. Sia data la forma quadratica q(x, y) = 3x 2 10xy + 8y 2. Quale delle seguenti affermazioni è vera? (a) q(1, 3) < 0; (b) q(x, y) 0 per tutti gli (x, y) R 2 ; (c) q(x, y) è definita positiva; (d) esiste una coppia di numeri reali (a, b) (0, 0) tale che q(a, b) = 0. Q4. Data la funzione f(x, y) = e y2 cos x x sin y+2, si indichi l affermazione corretta. (a) f non possiede punti critici; (b) Il gradiente di f nell origine è nullo; (c) Il differenziale di f nell origine non è nullo; (d) f(0, 0) = 3. Q5. Sia data la curva γ(t) = (t + e t + t 2, t e t t 2, 3e t 1), t R. Quale delle seguenti affermazioni è vera? (a) Il vettore tangente a γ nel punto t = 0 è (2 i + 3 k); (b) la curva γ è piana; (c) La curva possiede punti non regolari; (d) La curva è contenuta nel piano x + y + z = 0;

19 C Q6. Sia A R 3,3 una arbitraria matrice quadrata simmetrica reale con polinomio caratteristico t(t 2 9). Quale delle seguenti affermazioni è necessariamente vera? (a) A è diagonalizzabile; (b) A è ortogonale; (c) A è invertibile; (d) det(a) 0. Q7. Sia (e 1, e 2, e 3 ) la base canonica di R 3 e si considerino i seguenti sottospazi: Quale delle seguenti affermazioni è corretta? (a) V U è l insieme vuoto; (b) dim(u V ) = 0; (c) dim(u + V ) < 3; (d) La somma di U e V non è diretta. U = [e 1, e 1 + e 2 ] e V = [e 1 + e 2 + e 3 ] Q8. Sia (e 1, e 2, e 3 ) la base canonica di R 3 e A R 4 3. Si supponga A di rango 2. Indicare l alternativa corretta. (a) L insieme delle controimmagini A 1 (b) per tutti i b R 4 ; (b) il sistema lineare omogeneo AX = Ae 1 possiede una sola soluzione; (c) il sistema lineare AX = Ae 3 possiede 2 soluzioni; (d) il sistema lineare AX = B ha infinite soluzioni, qualunque sia B. Q9. Sia data la retta r : x + y z = 0; 2x + y + 2z 1 = 0. Quale delle seguenti affermazioni è vera?. (a) r passa per l origine; (b) r è contenuta in un piano parallelo al piano xy; (c) r(t) = (3 + 3t, 1 4t, t) sono equazioni parametriche di una retta parallela a r; (d) r è contenuta nel piano 2x + z = 0.

20 C ESERCIZI Esercizio 1. Data la matrice A = (i) Trovare autovalori e autospazi di A; (ii) Verificare che il vettore appartiene all immagine di A e trovare l insieme delle sue controimmagini; (iii) Dire se esiste una matrice Q R 3 3 tale che Q T AQ sia diagonale. Svolgimento dell esercizio 1:

21 Svolgimento dell esercizio 1: C

22 C Esercizio 2. Sia data la funzione f(u, v) = ( sin u (2 + cos v), cos u (2 + cos v), sin v) In R 3 si consideri la superficie parametrizzata S definita dalla funzione f, cioè S = Im(f) (i) Mostrare che il differenziale di f ha rango 2 per ogni (u, v) R 2. (ii) Determinare la retta normale al piano tangente a S nel punto P ( 2, 2, 1). (iii) Determinare un equazione cartesiana per il piano tangente a S nel punto P ( 2, 2, 1). Svolgimento dell esercizio 2:

23 Svolgimento dell esercizio 2: C

24 C

25 GEOMETRIA 28 Giugno minuti D Istruzioni: Scrivere cognome, nome, matricola in STAMPATELLO negli appositi spazi. Per ogni quiz nella prima parte, indicare l affermazione giudicata corretta nella tabella in questa pagina. Trascrivere la risposta alle singole domande degli esercizi della seconda parte nelle pagine bianche alla fine di ogni esercizio. COGNOME, NOME: MATRICOLA: DOCENTE: Q1 a b c d Q5 a b c d Q2 a b c d Q6 a b c d Q3 a b c d Q7 a b c d Q4 a b c d Q8 a b c d Non scrivere in questo spazio QUIZ ESERCIZIO TOTALE

26 D QUIZ Q1. Sia data la retta r : 2x y z = 0; 2x + y + 2z 1 = 0. Quale delle seguenti affermazioni è vera?. (a) r passa per l origine; (b) r è contenuta nel piano 4x + z 1 = 0 ; (c) r è parallela alla retta r(t) = (10 t, 1 3t, 4t); (d) r è contenuta nel piano yz. Q2. Siano A R 5,3 e (e 1, e 2, e 3 ) la base canonica di R 3. Si supponga A di rango 2. Quale delle seguenti affermazioni è necessariamente vera? (a) Il sistema lineare AX = b possiede soluzioni per tutti i b R 5 ; (b) il sistema lineare omogeneo AX = 0 non possiede soluzioni; (c) il sistema lineare AX = Ae 3 possiede 1 soluzioni; (d) il sistema lineare AX = b ha infinite soluzioni, qualunque sia b. Q3. Sia (e 1, e 2, e 3 ) la base canonica di R 3 e si considerino i seguenti sottospazi: Quale delle seguenti affermazioni è corretta? (a) U V ; (b) dim(u V ) = 1; (c) dim(u + V ) = 3; (d) La somma di U e V è diretta. U = [e 1, e 2 + e 3 ] V = [e 1 + e 2 + e 3 ] Q4. Sia dato un endomorfismo f di R 4 tale che Si indichi l affermazione corretta f = f (a) f è iniettivo; 2 1 (b) il vettore non appartiene al nucleo di f ; 2 4 (c) Il nucleo di f contiene vettori non nulli; (d) f non ha autovettori. Q5. Sia A R 3 3 una arbitraria matrice reale quadrata con polinomio caratteristico t(t 2 + 1). Quale delle seguenti affermazioni è necessariamente vera? (a) A è simmetrica; (b) A ha rango 3; (c) A non è diagonalizzabile sui reali; (d) Ogni autospazio di A ha dimensione almeno 2.

27 D Q6. Sia data la curva γ(t) = (t + e t + t 2, 2t e t t 2, 3e t 1), t R. Quale delle seguenti affermazioni è vera? (a) Il vettore tangente a γ nel punto t = 0 è (2 i + j + 3 k); (b) la curva γ è piana; (c) La curva possiede punti non regolari; (d) La curva è contenuta nel piano x y + z = 0; Q7. Sia data la forma quadratica q(x, y) = 3x 2 10xy + 8y 2. Quale delle seguenti affermazioni è vera? (a) q(1, 1) < 0; (b) q(x, y) 0 per tutti gli (x, y) R 2 ; (c) q(x, y) è definita positiva; (d) esiste una coppia di numeri reali (a, b) (0, 0) tale che q(a, b) = 0. Q8. Sia data la funzione f(x, y) = 3x 2 + 2y 2 1. Quale delle seguenti affermazioni è vera? (a) il grafico di f(x, y) è un ellisse con centro l origine; (b) Il piano z = 1 è tangente al grafico di f ; (c) f(x, y) non è ovunque differenziabile; (d) Non ci sono piani tangenti al grafico paralleli al piano xy. Q9. Nello spazio tridimensionale sia data la quadrica Q e il piano π rispettivamente di equazioni Quale delle seguenti affermazioni è vera? (a) Il punto (1, 0, 0) appartiene a Q; (b) L iperbole S π è non degenere; (c) il piano y = 0 è tangente a Q; (d) La quadrica è un iperboloide non degenere. 2x 2 y 2 + z 2 4x = 0, x = 0

28 D ESERCIZI Esercizio 1. Data la matrice A = (i) Trovare autovalori e autospazi di A; (ii) Verificare che il vettore appartiene all immagine di A e trovare l insieme delle sue controimmagini; (iii) Dire se esiste una matrice Q R 3 3 tale che Q T AQ sia diagonale. Svolgimento dell esercizio 1:

29 Svolgimento dell esercizio 1: D

30 D Esercizio 2. Sia data la funzione f(u, v) = (cos u (2 + cos v), sin u (2 + cos v), sin v) In R 3 si consideri la superficie parametrizzata S definita dalla funzione f, cioè S = Im(f) (i) Mostrare che il differenziale di f ha rango 2 per ogni (u, v) R 2. (ii) Determinare la retta normale al piano tangente a S nel punto P ( 2, 2, 1). (iii) Determinare un equazione cartesiana per il piano tangente a f nel punto P ( 2, 2, 1). Svolgimento dell esercizio 2:

31 Svolgimento dell esercizio 2: D

32 D