6.1. Moody s KMV Credit Portfolio Manager
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- Cosima Santi
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1 6.. Moody s MV Credt Portfolo Manager 6... La struttura del modello L mpanto d Moody s MV (MMV) è costtuto dal modello d Merton e da un approcco d tpo fattorale per la stma delle correlazon. Attualmente, l modello multfattorale d MMV è l pù utlzzato: [[BerndtDouglasDuffeFergusonSchranz04]] hanno appurato che quaranta delle cnquanta maggor sttuzon fnanzare del mondo lo utlzzano. Il successo d MMV, nonostante le dfferenze metodologche rspetto a CredtMetrcs non sano rlevant, è prncpalmente determnato da due element: n prmo luogo, l enorme database che ha permesso d basare la procedura d stma su solde fondamenta emprche; n secondo luogo l utlzzo, tramte metodologa propretara, d dat d mercato per la stma della PD, con rsultat molto mglor rspetto al modello d Merton. In questa sezone s fornrà una descrzone puttosto dettaglata d tale approcco; per maggor approfondment s rmanda a [[ealhoferbohn0]]; trattandos d un modello propretaro, è comunque l caso d sottolneare che non tutte le nformazon sono dsponbl pubblcamente. L orgne del modello è da rcondurre a nom d ealhofer, McQuown e Vascek, da cu l acronmo MV; la socetà s è sempre occupata, fn dalla fondazone avvenuta nel 989, d anals del rscho d credto. Ovvamente, la metodologa rcalca le tecnche svluppate da Vascek; la successva acquszone da parte d Moody s ha ulterormente amplato le dmenson del database su cu l modello vene calbrato. La varable crucale del modello è l Expected Default Frequency (EDF), che costtusce una stma della PD ottenuta tramte metodologa svluppata nternamente. Infatt MMV utlzza una tecnca del tutto dversa rspetto all approcco standard d Merton. MMV fonda l anals su una msura detta dstanza dal default (Dstance to Default - DtD), che quantfca, n untà d devazon standard, la dfferenza fra l valore atteso dell attvo e la sogla d default: ( C ) E AT DtD =. (0.) A Nella formula precedente l numeratore è la dfferenza fra l valore atteso dell attvo a scadenza e la sogla d default. Tale sogla d default è stata per semplctà dentfcata con C come nel modello d Merton, ma MMV n realtà la calcola n modo pù approfondto sulla base d tutte le passvtà dell azenda ; l modello nfatt prevede una struttura d blanco pù complessa d quella orgnale d Merton. Il valore atteso dell attvo che compare al numeratore nella (0.) è calcolato potzzando che l attvo a scadenza sa T E A = A e µ, dove µ è legato al ROI atteso dell azenda. S consdera lognormale, coscché s ha ( T ) 0 pertanto la vera dstrbuzone d A, non quella rsk-neutral n cu T µ = r. MMV dspone, per le mprese quotate, d un grande database d sere storche d DtD che vengono utlzzate per determnare probabltà d transzone: a tale scopo le DtD vengono dscretzzate, coè raggruppate n class, e la probabltà d transzone relatva ad un certo ntervallo temporale da una classe d DtD (dcamo DtD 0 ) ad un altra (dcamo DtD ) è data dal rapporto fra l numero d azende che sono S tratta della somma delle passvtà a breve termne e del 50 per cento delle passvtà a lungo termne, n quanto s potzza, ed è stato verfcato emprcamente, che un mpresa spesso sopravvve se l valore dell attvo è nferore a quello delle passvtà che non devono essere rmborsate nel breve perodo.
2 passate, n quel lasso d tempo, da DtD 0 a DtD e l numero totale d azende nella classe DtD 0 all nzo del perodo. Per ncso, s not che dscretzzando n tal modo la DtD s ottene a tutt gl effett un sstema d ratng. La DtD è dunque una msura standardzzata della stuazone fnanzara d un azenda. Una volta calcolata la DtD, l approcco d MMV s dscosta dal modello d Merton. Infatt a questo punto MMV rtene opportuno abbandonare l potes d lognormaltà dell attvo, che pure vene utlzzata per calcolare la DtD (0.), e stmare la PD tramte l EDF, anzché tramte la funzone d rpartzone della normale standardzzata (s veda la.4 del captolo 5). Come s calcola, allora, l EDF n funzone della DtD? Essa è una msura emprca data dalla frequenza storca d default delle mprese d una certa fasca d DtD; l EDF rappresenta dunque, nel modello MMV, la stma della PD sull orzzonte temporale prescelto 2. La DtD s confgura qund alla stregua d un superndce d blanco dotato d capactà predttve dell nsolvenza. Essa rflette nfatt: (a) la valutazone corrente (d mercato) dell attvo azendale, costtuta da A 0 ; (b) l lvello stmato C del debto esgble entro l orzzonte d valutazone; (c) l lvello atteso µ e la volatltà E A C e del rendmento dell attvo. La DtD tene conto del surplus patrmonale atteso ( ) A della sua adeguatezza rspetto alla veloctà con cu la perdta d valore dell attvo può eroderla n caso d ROI negatvo. In questo passaggo crucale emerge ancora una volta la rlevanza d dsporre d un database d grand dmenson, poché le msure emprche sono affdabl solo n presenza d campon molto amp. S sottolnea peraltro che nel calcolo della DtD l potes d lognormaltà è necessara; dunque, essa contnua a svolgere un ruolo d prmo pano. La pratca quotdana degl operator e numerose verfche emprche hanno evdenzato come l EDF sa una varable che s adegua rapdamente alle mutevol condzon economco-fnanzare della controparte. In partcolare, essa reagsce molto pù velocemente de ratng, n quanto è prncpalmente basata su dat del mercato azonaro: captalzzazone d mercato e volatltà del captale d rscho. S not per ncso che l utlzzo dretto d altre varabl d mercato qual gl spread su bond o su dervat d credto (n partcolare Credt Default Swap) emess dalla controparte può talora costture un eccellente strumento per verfcare un eventuale deteroramento del merto d credto, ma solo se esste un mercato lqudo per tal strument. Pur essendo charo che, se l equty della controparte n questone è poco lqudo, anche l EDF reagrà meno rapdamente a varazon della stuazone economco-fnanzara della controparte, è tuttava mportante notare che l captale d rscho è medamente assa pù lqudo rspetto al debto o a dervat d credto. In questa sede, comunque, non approfondamo ulterormente l approcco d MMV alla stma della PD, essendo nteressat alla metodologa d stma del rscho a lvello d portafoglo. Come vene applcata l anals fattorale n MMV? S mplementa un modello multfattorale, n cu a rendment d ogn controparte è assocato un fattore composto F % : 2 ( ) r% = β F% + Z %, Z% N 0,, =,,N, (0.2) T o, n notazone matrcale: r % =βf % + Z%, 2 MMV calcola una struttura a termne d DtD, da cu s ottene dunque una struttura a termne d EDF (s veda [[Arora05]], pag. 47).
3 dove r% ( N ) è l vettore de rendment logartmc, β ( N N ) è una matrce dagonale, F % ( N ) è l vettore de fattor compost e Z % ( N ) contene fattor dosncratc. La costruzone del fattore composto è puttosto complessa, n quanto F % è la somma ponderata d fattor elementar Ψ%,, Ψ% : = F% w Ψ%., = Pù precsamente, MMV è basato su una gerarcha d fattor su due lvell: al prmo lvello l fattore F % vene decomposto n 0 fattor relatv al settore ndustrale e 0 fattor relatv all area geografca: 0 Ψ = = 0 + F % = w % + w Ψ %, =,, N, (0.3), k k, k k dove Ψ%,, Ψ% 0 sono ndc d settore ndustrale e w,, w, sono relatv pes (not come pes d 0 settore) mentre Ψ%,, Ψ 0 + % sono ndc d area geografca e w, 0 +, w, sono pes geografc. La notazone matrcale è d auto n questa sede: pes possono nfatt essere raggruppat n una matrce W, d dmensone N, l cu elemento (, ) -esmo w, quantfca l peso che lega l -esma controparte al - esmo fattore. Tanto pes d settore quanto quell geografc sono normalzzat n modo da avere somma uguale ad uno: 0 w = w =., k, k k = k = 0 + Ponendo Ψ % = ( Ψ % Ψ % ),, ', n termn matrcal l modello dventa: r % = RF % + Z % = RWΨ % + Z%. Il secondo lvello d scomposzone prevede che ogn fattore d settore e d Paese sa rappresentato da una combnazone lneare d fattor global ndpendent: M Ψ % = b Γ % + % δ, k =,,. (0.4) k k, m m k m= Quest ultmo passaggo, n cu fattor global Γ%,, Γ% M sono ncorrelat n quanto ottenut tramte l metodo delle component prncpal 3 applcato a Ψ %, è prncpalmente utle a fn computazonal: l nterpretazone de fattor global non è nfatt agevole. 3 Il metodo delle component prncpal s prefgge lo scopo d rdurre la dmensonaltà d dat multvarat fortemente correlat ndvduando un pccolo numero d combnazon lnear ncorrelate delle varabl orgnare che speghno la maggor parte della varabltà de dat d partenza. S tratta sostanzalmente d una tecnca d anals de dat, ed l suo collegamento con l anals fattorale derva dal fatto che è talvolta utlzzata per ndvduare fattor approprat per un modello fattorale. S veda [[McNelFreyEmbrechts05]], sezone 3.4.4) per un esposzone orentata a problem d rsk management e [[MardaentBbby79]], cap. 8) per una trattazone statstca pù approfondta.
4 Per quanto rguarda la stma, una volta calcolato l fattore composto per una specfca azenda, s può stmare la senstvtà β dell azenda -esma rspetto al fattore composto sulla base del modello (0.2). Le senstvtà β ed fattor compost F %, nfne, sono tutto cò che è necessaro per stmare le correlazon fra rendment degl attv. S consder nfatt la versone standardzzata del modello (0.2): r r% µ β Z = = F +, = %, F = F % µ e Z = Z % µ. Il coeffcente d determnazone d questo modello è 2 con var ( r ) R ( β / ) var ( Y ) *2 2 2 = e quantfca l rscho sstematco, mentre la correlazone degl attv è data da β β corr ( rr ) = E ( rr ) = E ( F F ), n quanto resdu Z sono per potes ncorrelat fra loro e rspetto a fattor compost. Utlzzando 2 l espressone trovata n precedenza per l ndce R, l espressone d tale correlazone può essere ulterormente semplfcata. S ha nfatt: R R corr ( r, r ) E ( F F ) E F F var F var F var F var F * * * * R R = = ( ) ( ) ( % ) ( % ) ( ) (0.5) poché per costruzone var ( F ) var ( F ) = %. A questo punto, applcando a rendment standardzzat la rappresentazone basata su fattor global (0.4), s dmostra che l valore atteso E ( FF' ) è dato da: ( ) = ( ) + ( ) E FF' W B E ΓΓ ' B ' E δδ ' W ', dove B è la matrce ( M ) de pes settoral e geografc e Γ è l vettore ( ) deduce dunque che, per una generca coppa d contropart, l valore atteso ( ) forma: N N E F F w b b E E w s= k= k = ( ) =, s k k ( Γ Γ ) + δkδk s,,,,, M de fattor global. S E F F assume la seguente = N. Rmandando a [[BluhmOverbeckWagner02]], pag. 49) per dettagl della dmostrazone, n questa sede E FF ', e dunque la asset correlaton, dpende solo dalla matrce mporta sottolneare che l valore atteso ( ) de pes de fattor W, dalle senstvtà β ( =,, N ), da fattor global Γ ( =,, M ) calcolat sulla
5 base delle varabl standardzzate e da resdu standardzzat. δ ( =,, M ) de fattor geografc e settoral Dal punto d vsta computazonale quest ultma formulazone è pù convenente n quanto sa ' E δδ ' sono matrc dagonal cu element non null sono rspettvamente le varanze de E ( ΓΓ ) che ( ) fattor global Γ e de resdu δ (,,M ) = de fattor geografc e settoral standardzzat La procedura d stma I fattor utlzzat n MMV sono osservabl, coscché la stma può essere effettuata sulla base de dat storc d cascun fattore utlzzando tecnche d regressone. Concretamente, la procedura d mplementazone può essere suddvsa n se pass.. S costruscono, tramte una regressone cross-secton a cadenza settmanale n cu la varable dpendente è l rendmento degl asset delle sngole contropart e le varabl ndpendent sono 45 dummy su Paes e 6 dummy su settor ndustral, gl ndc d settore e d Paese. 2. S calcolano pes w k dell equazone (0.3) per mezzo d una meda de pes percentual d cascun settore sul valore delle attvtà e de rcav ([[Crouhy00]], pag. 06); pes geografc sono calcolat n modo analogo. Avendo determnato pes, s possono costrure fattor F %. 3. S applca l metodo delle component prncpal per calcolare, a partre da fattor osservat F %, 4 fattor ortogonal Γ % m ; d quest, 2 sono global, 5 regonal e 7 settoral. La rato d questo step è fondamentalmente legata alle caratterstche computazonal del modello; nfatt, come s vedrà nella prossma sezone, l punto d partenza della smulazone Monte Carlo che determna la dstrbuzone d perdta è la generazone de fattor d rscho sstematco, e la smulazone d varabl casual ncorrelate è meno dspendosa. 4. S stmano, sempre tramte regressone lneare applcata alla (0.4), beta specfc d Paese e settore b. k, m 5. Sulla base de fattor osservat e de pes w k s costrusce l fattore composto, che è dverso per cascuna controparte. 6. Una volta calcolato l fattore composto è possble, d nuovo tramte tecnche d regressone standard, stmare l coeffcente β che msura la senstvtà d cascuna controparte al fattore F % che msura l rscho sstematco. Dsponendo delle stme, è fnalmente possble mettere all opera l modello per determnare la dstrbuzone d perdta del portafoglo. La partcolare combnazone lneare de fattor ndvduata da valor numerc de parametr stmat determna rendment d cascuna controparte n funzone de fattor d rscho sstematco. S può così quantfcare l mpatto de fattor, coè del rscho sstematco, sul portafoglo; da questa constatazone segue che la dstrbuzone de rendment delle contropart può essere ottenuta tramte smulazone Monte Carlo La smulazone della dstrbuzone d perdta
6 La dstrbuzone d perdta vene determnata medante smulazone Monte Carlo. Identfcando con l smbolo * valor smulat delle varabl casual, pass da svolgere sono seguent:. s smulano fattor global (ncorrelat) Γ%,, Γ% M, ottenendo così M valor smulat Γ% * *,, Γ% M ; 2. percorrendo a rtroso l percorso descrtto poc anz, s smulano gl error della (0.4), vale a dre % δ,, % δ, s nserscono nella medesma equazone fattor global smulat Γ% * *,, Γ% M e s * * rcavano valor smulat de fattor osservat Ψ%,, Ψ% ; * * 3. s nserscono nella (0.3) valor Ψ%,, Ψ% smulat al passo precedente, determnando così l valore smulato del fattore composto F % ; 4. tramte la versone stmata della (0.2) s smula l vettore de rendment delle contropart, la cu struttura d correlazone è determnata da fattor comun; nel concreto, l mplementazone consste E r = βf % e nella smulazone d un vettore aleatoro r normale N varato con valore atteso ( ) matrce d covaranza cov ( r ) = R, l cu generco elemento R è dato dalla (0.5). S not che l passo 4 costtusce la smulazone de rendment delle contropart condzonatamente alla realzzazone de fattor F %, =,,N : s tratta dunque della smulazone dalla dstrbuzone r % Ψ%,, Ψ%. Se c s lmtasse ad effettuare una sola volta pass e 2 e successvamente a rpetere un numero B d volte (dove B è un numero grande ) l passo 3, s smulerebbe la dstrbuzone de rendment * * delle contropart condzonata alla realzzazone Ψ%,, Ψ% de fattor ottenuta al passo 2. L analsta è tuttava nteressato, n ultma anals, alla dstrbuzone non condzonata de rendment delle contropart; per questa ragone è necessaro rpetere B volte tutt pass precedent. I rendment smulat possono po essere utlzzat per calcolare nuov valor d DtD e nuove EDF, da cu nfne s ottene l tasso atteso d perdta del portafoglo. Il rsultato fnale della procedura or ora esposta è dunque un tasso d perdta; tuttava, l anals precedente può anche essere effettuata sulla base del valore d mercato del portafoglo, n modo da ottenere una dstrbuzone d probabltà delle perdte monetare, che consenta d valutare la probabltà d eccedere l captale accantonato a fronte d un portafoglo credt. A tale scopo, la strada maestra conssterebbe nell utlzzare prezz d mercato delle sngole poszon, ma, come è noto, mercat relatv alle attvtà contenute n un portafoglo credt sono fortemente llqud, ed è dunque ndspensable rcorrere a prezz teorc, coè calcolat sulla base d modell, per le attvtà n portafoglo. Le soluzon mplementate n MMV sono essenzalmente due. La prma possbltà consste nel valutare cascuna poszone utlzzando le formule d prcng approprate per lo strumento n questone. S supponga per esempo che la poszone sa costtuta da un bond zero-coupon soggetto a rscho d default; l prezzo al tempo t = 0 sarà dato dalla (.3) del captolo 3: dove v ( 0 ) rf ( 0 ) = ( 0 ) ( ) + ( ) v,t v rf,t LGD LGD PD,,T è l prezzo d uno zero-coupon rsk-free con la stessa scadenza e PD è la probabltà d default rsk-neutral relatva al perodo [ 0,T ] che è uno degl output fornt dal modello. Dalla PD rskneutral s rcava po l credt spread necessaro per determnare l tasso al quale scontare fluss d cassa futur dervant dalla poszone (nel caso dello zero-coupon, s tratta ovvamente solo del nomnale a
7 scadenza). Una volta prezzate n questo modo tutte le poszon, è possble smulare la dstrbuzone d probabltà del valore d mercato del portafoglo. La seconda soluzone prevede nvece d assocare un credt spread omogeneo a tutte le contropart contenute nella medesma classe d EDF. In questo caso, gl step sono seguent: n prmo luogo, l modello suddvde l EDF, che è una varable contnua, n un numero fnto d class; s assoca po ad ogn controparte l etchetta della classe n cu è contenuto l valore numerco dell EDF della controparte n questone; nfne, s utlzza l medesmo credt spread per scontare fluss d cassa futur d tutte le contropart con la medesma etchetta; tale credt spread può essere nterpretato come credt spread medo delle contropart avent la rschostà rspecchata da quella classe d EDF.
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