Liceo Scientifico Sperimentale anno Problema 1 Bernardo Pedone. ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO SPERIMENTALE PNI anno

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1 Liceo Scientifico Sperimentle nno - Problem Bernrdo Pedone ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO SPERIMENTALE PNI nno - PROBLEMA Nel pino sono dti: il cerchio γ di dimetro OA =, l rett t tngente γ in A, un rett r pssnte per O, il punto B, ulteriore intersezione di r con γ, il punto C intersezione di r con t. L prllel per B t e l perpendicolre per C t s intersecno in P. Al vrire di r, P descrive il luogo geometrico Γ noto con il nome di versier di Agnesi [d Mri Getn Agnesi, mtemtic milnese, (78-799)]. Punto Si provi che vlgono le seguenti proporzioni: OD : DB = OA : DP OC : DP = DP : BC ove D è l proiezione ortogonle di B su OA; y t A D C B P t t γ r O H Per il teorem dell tngente e dell secnte, pplicto ll tngente t e ll secnte t, condotte dl punto esterno C ll circonferenz si h: OC : AC = AC : BC Essendo AC = DP si ottiene OC : DP = DP : BC Punto Si verifichi che, con un opportun scelt del sistem di coordinte crtesine ortogonli e monometriche Oy, l equzione crtesin di Γ è: y = +. Scelto il sistem di riferimento crtesino come nell figur precedente, il fscio di rette pssnte per l origine degli ssi O(;) h equzione

2 Liceo Scientifico Sperimentle nno - Problem Bernrdo Pedone r: y = m; L equzione crtesin del luogo Γ si ottiene eliminndo il prmetro m tr le equzioni prmetriche del luogo geometrico, cioè: m = = m y = m + y = y = + m + Punto Si trcci il grfico di Γ e si provi che l re compres fr Γ e il suo sintoto è quttro volte quell del cerchio γ. Γ : y = + Grfico dell funzione y = per =, = e = + Clcolo dell re compres fr Γ e il suo sintoto y= Per determinre l re tr l curv Γ e il suo sintoto orizzontle y= bisogn clcolre il seguente integrle improprio:. Questo vlore è il qudruplo dell re del cerchio γ di dimetro Acerchio = π. 4

3 Liceo Scientifico Sperimentle nno - Problem Bernrdo Pedone PROBLEMA Si f ( ) = + b + c con,b,c numeri reli. Si determinino,b,c in modo che:. l funzione f si pri;. f()=;. f ( ) d =. log Si studi l funzione g ottenut sostituendo d,b,c i vlori così determinti e se ne disegni il grfico G. Si consideri l rett r di equzione y=4 e si determinino, pprossimtivmente, le scisse dei punti in cui ess intersec G, mettendo in tto un procedimento itertivo scelt. Si clcoli l re dell regione finit del pino rcchius tr r e G. Si clcoli d. g ( ) Si determini l funzione g il cui grfico è simmetrico di G rispetto ll rett r. Punto L funzione è pri se f(-)=f(), d ciò risult: f ( ) = f( ) + b + c= + b + c = b = b.. f()=. ( ) ( ) Siccome f () = + b+ c, si h f() = + b+ c=. f ( ) d = log ( + b + c) d= b + c = log log b b b + c + = + + c log log log log log log b + + c= + b+ c log= log log log Per trovre il vlore dei tre prmetri, b, c si deve risolvere il sistem formto dlle tre relzioni trovte: L funzione g() ottenut sostituendo i vlori trovti h equzione: + g ( ) = + = + =. Punto Si studi l funzione g ottenut sostituendo d,b,c i vlori così determinti e se ne disegni il grfico G.

4 Liceo Scientifico Sperimentle nno - Problem Bernrdo Pedone Studio dell funzione g ( ) = + DOMINIO: R cioè l sse rele. INTERSEZIONE CON GLI ASSI: A(,) è l unico punto di intersezione con l sse delle ordinte e non ci sono intersezioni con l sse delle scisse. SIMMETRIE: L funzione è pri [f()=f(-)], cioè è simmetric rispetto ll sse delle y. SEGNO: f()> R, cioè l funzione è sempre positiv. COMPORTAMENTO AGLI ESTREMI DEL DOMINIO: + lim = lim ± + =+ ± quindi il grfico dell funzione non present sintoti orizzontli. ASINTOTI OBLIQUI: Teorem di ( ) De l ' Hospitl g ( ) + log lim = lim = lim = pertnto il grfico dell funzione non present sintoti obliqui. ASINTOTI VERTICALI L funzione non h sintoti verticli perché è continu in tutto R. g'( ) = log g'( ) = log = = = DERIVATA PRIMA: MONOTONIA, MASSIMI E MINIMI: g'( ) > > g'( ) = = g'( ) < < Il punto di sciss = è punto di minimo reltivo proprio, nonché di minimo ssoluto e si h f()=. Cioè il grfico dell funzione present un minimo ssoluto nel punto N(;). DERIVATA SECONDA : L derivt second dell funzione è + g''( ) = log CONCAVITÀ E FLESSI: + g''( ) > log > R Il grfico dell funzione non present flessi e volge l concvità verso l lto. + Grfico dell funzione g ( ) =

5 Liceo Scientifico Sperimentle nno - Problem Bernrdo Pedone Punto Si consideri l rett r di equzione y=4 e si determinino, pprossimtivmente, le scisse dei punti in cui ess intersec G, mettendo in tto un procedimento itertivo scelt. Come si vede dll figur, l curv e l rett hnno due punti in comune disposti simmetricmente rispetto ll sse delle ordinte. Per determinre le intersezioni si deve risolvere il sistem: + + y = 4 4 = + = y = 4 y = 4 y = 4 Centro intervllo Estr. Inf. Intervllo Estr. Sup. Intervllo Vlore di f() nel centro -,5 / -,7,75 7/4 -,46,875 5/8 -,77

6 Liceo Scientifico Sperimentle nno - Problem Bernrdo Pedone,975..,54,965..,56676, ,888, ,7,944 4/8 487/56,9 Punto 4 Si clcoli l re dell regione finit del pino rcchius tr r e G + g ( ) = + = + = r: y=4, i punti di intersezione sono già stti clcolti e hnno sciss = log( ), log( ) = +. Tenendo conto dell simmetri dell regione pin, il vlore dell re richiest è dto dl seguente integrle definito Punto 5 Si clcoli d g g ( ) d d log = = = d = rctg( ) + c ( ) ( ) log ( ) log Punto 6 Si determini l funzione g il cui grfico è simmetrico di G rispetto ll rett r. Per determinre l funzione g si devono usre le equzioni dell simmetri ssile, vente per sse l rett r : y=4: ' = y' = 8 y Quesito QUESTIONARIO. Qunte prtite di clcio dell serie A vengono disputte complessivmente (ndt e ritorno) nel cmpionto itlino 8 squdre? Le prtite di clcio disputte nei due gironi (ndt e ritorno) sono tnte qunte sono le disposizioni di oggetti distinti scelti tr 8 (le singole squdre); ovvero le disposizioni semplici di 8 elementi distinti di clsse, cioè: D 8, = 8 7 = 6. Si potev giungere llo stesso risultto rgionndo nel seguente modo: siccome ogni squdr deve incontrre tutte le ltre e le squdre sono 8, nel girone d ndt srnno necessrie 7 giornte. Tenendo conto che in ogni giornt si disputno 9 prtite, le prtite disputte nel girone d ndt srnno 9 7= 5. Anche le prtite del girono di ritorno srnno 5, per cui in totle le prtite sono 6.

7 Liceo Scientifico Sperimentle nno - Problem Bernrdo Pedone Quesito. Tre sctole A, B e C contengono lmpde prodotte d un cert fbbric di cui lcune difettose. A contiene lmpde con il 5% di esse difettose, B ne contiene 5 con il % difettose e C ne contiene con il % difettose. Si sceglie un sctol cso e si estre cso un lmpd. Qule è l probbilità che ess si difettos? Considerndo gli eventi A, B, C, E A = è estrtt un lmpd difettos dll sctol A, B = è estrtt un lmpd difettos dll sctol B, C = è estrtt un lmpd difettos dll sctol C, E = è estrtt un lmpd difettos. In bse l teorem delle probbilità totli, l probbilità che l lmpd si difettos è : P( E) = P( E ) P( A) + P( E ) P( B) + P( E ) P( C A B C ) quindi 7 P( E ) = + + = Osserv che il numero delle lmpde contenute nelle singole sctole è irrilevnte per l risoluzione del problem. Quesito. Qule è l cpcità mssim, espress in centilitri, di un cono di potem dm? Si VA = dm l potem del cono (vedi figur) V O r A Indict con l misur dell ltezz VO e con r l misur del rggio di bse OA, si h: Tenendo conto dei vincoli geometrici del problem ( ) si h:

8 Liceo Scientifico Sperimentle nno - Problem Bernrdo Pedone L funzione V(), definit nell intervllo [,] present due punti di minimo ssoluto M(;) e N(;). Il volume mssimo corrispondente ll ltezz mssim VO = dm risult 6π V M = dm 7 Siccome dm equivle litro, cioè cento centilitri (cl), il vlore dell cpcità mssim del cono espresso in centilitri è 6 6 V π π M = dm = cl cl 7 7 Quesito 4 4. Dre un esempio di polinomio P() il cui grfico tgli l rett y= quttro volte. Vedimo lcuni esempi: Quesito 5 5. Dimostrre, usndo il teorem di Rolle [d Michel Rolle, mtemtico frncese, (65-79)], che se l equzione: n n = n mmette rdici reli, llor fr due di esse gice lmeno un rdice dell equzione: ( ) n n n + n = n Teorem di Rolle Dt un funzione rele di vribile rele y = f(), definit nell intervllo chiuso e limitto [, b], se l funzione soddisf le ipotesi :. è continu in [, b]. è derivbile in (, b). f()=f(b) segue l tesi: esiste un numero rele c pprtenente ll intervllo(,b) tle che f (c)=. L funzione polinomile l primo membro dell uguglinz è definit sull sse rele, è continu ed mmette derivt di qulsisi ordine. n n f ( ) = L funzione n definit sull sse rele, continu e derivbile, h come derivt ( ) f '( ) = n + n n n n che è ugule l primo membro dell second equzione ssegnt nel testo del quesito. Se, sono due rdici dell funzione n f ( ) = cioè se n n

9 Liceo Scientifico Sperimentle nno - Problem Bernrdo Pedone n n n f ( ) = = ; n n n f ( ) = = l funzione nell intervllo [, ] verific le ipotesi del teorem di Rolle e quindi esiste lmeno un punto c interno ll intervllo in cui si nnull l derivt prim, f (c)=; quindi n n f '( c) = c + n c c + = con c ;. Quesito 6 6. Si vuole che l equzione + b 7 = bbi tre rdici reli. Qul è un possibile vlore di b? quindi Quesito 7 7. Verificre l uguglinz π = 4 d + e utilizzrl per clcolre un pprossimzione di π, pplicndo un metodo di integrzione numeric. π d = [ rctg ] = rctg-rctg = + 4 d. + 4 = π Per clcolre un pprossimzione di π, pplichimo lcuni dei metodi di integrzione numeric ll funzione f( ) =. + Metodo dei rettngoli. b b f( ) d f f f... f n ( ) + ( ) + ( ) + + ( ) n Si divid l intervllo [;] in 4 prti uguli, si ottiene un pprossimzione per eccesso.

10 Liceo Scientifico Sperimentle nno - Problem Bernrdo Pedone Con l formul dei rettngoli si ottiene: Aumentndo il numero degli intervlli si ottiene un pprossimzione migliore (vedi tbell seguente). Metodo dei trpezi. b b f( ) d f ( ) + f ( n) + f ( ) f ( n ) n Dividendo [;] in 4 prti uguli si ottiene un pprossimzione per difetto. ( ) π = 4 d 4 = , Quesito 8 8. Dre un esempio di solido il cui volume è dto d π d. Quesito 9 9. Di un funzione f() si s che h derivt second ugule sen e che f ( ) =. π Qunto vle f f ()? Possimo scrivere le prime due condizioni dte dl testo nel seguente modo:

11 Liceo Scientifico Sperimentle nno - Problem Bernrdo Pedone si deve risolvere l equzione differenzile y = sen. y" = sen y '() = Integrndo si ottiene: y' = sen d+ c y' = cos + c Imponendo l condizione f ()= si determin il vlore dell costnte c. Quesito. Verificre che l equzione + = mmette tre rdici reli. Di un di esse, quell compres tr e, se ne clcoli un pprossimzione pplicndo uno dei metodi numerici studiti. Per verificre che l equzione + = mmette tre rdici reli, si può procedere in modo nlogo qunto si è ftto nel quesito 6 cioè : Metodo lgebrico con l formul di Crdno Affinché un equzione del tipo + p+ q= mmett tre soluzioni reli e distinte il suo q p discriminnte deve essere negtivo, cioè = + <. 4 7 Per l equzione + = si h: () ( ) = + = = < e quindi l equzione ssegnt mmette tre rdici reli. Metodo Grfico Affinché l equzione + = bbi tre rdici reli, l funzione f ( ) = +, deve vere tre intersezioni con l sse delle scisse, ciò ccde se l funzione (cubic) h un mssimo e un minimo reltivo e se tli punti di estremo sono di segno discorde. L funzione è continu e derivbile su tutto l sse rele, l su derivt prim è f '( ) =. Studimo il segno dell derivt prim: f '( ) > < > ( l funzione è strettmente crescente) = ( l funzione present un punto di mssimo reltivo proprio) f '( ) = =+ ( l funzione present un punto di minimo reltivo proprio) f '( ) < < < ( l funzione è strettmente decrescente) L funzione h le ordinte dei punti di estremo reltivo di segno opposto inftti present un punto di mssimo in M(-;) e un punto di minimo reltivo in N(;-). In virtù del teorem di esistenz degli zeri, si può ffermre che mmette lmeno uno zero interno ll intervllo [-;]. Siccome f()= > e f()=-< esisterà lmeno uno zero internmente ll intervllo [;]. Usimo il Metodo di bisezione per determinre itertivmente il vlore pprossimto dello zero dell equzione + = internmente ll intervllo [;].

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