1. (6 pt) Si consideri l applicazione lineare L : R 4 R 3 tale che = 1 = 2 0, L
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- Mauro Lillo
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1 CORSO DI GEOMETRIA E ALGEBRA Cognome e Nome: Corso di Laurea: 4 febbraio 6 Matricola: Anno di corso:. (6 pt Si consideri l applicazione lineare L : R 4 R 3 tale che L =, L =, L =, L =. (a Calcolare le immagini degli elementi della base canonica di R 4 tramite L: (b Determinare la dimensione di ImL e di KerL: (c Determinare le equazioni cartesiane di Ker L rispetto alle coordinate canoniche:. (6 pt Fissato un sistema di riferimento cartesiano ortogonale R(O,î,ĵ,ˆk nello ( ( ( spazio, si considerino i punti, B =, C = e la retta r di { x z = equazioni. Determinare: y x = (a L equazione cartesiana del piano π passante per A, B e C: (b Le equazioni cartesiane della retta s passante per A con direzione ( (c il punto P di intersezione della retta r e della retta s: : (d la distanza d del punto P dal piano π:
2 ( x 3. (6 pt Si consideri il sistema lineare AX = B, dove X = y è il vettore delle z incognite, A e B sono le seguenti matrici dipendenti dal parametro reale h: ( +h h h, B = h h (. h (a Determinare il rango di A e di à = (A B al variare di h: (b Determinare per quali valori di h il sistema ammette soluzioni: (c Determinare per quali valori di h la varietà lineare delle soluzioni del sistema ha dimensione : (d Posto h =, determinare una rappresentazione parametrica per la varietà lineare delle soluzioni: 4. (6 pt Si consideri la matrice ( Sia Q: R 3 R la forma quadratica Q(X = X T AX. (a Determinare gli autovalori di A e le relative molteplicità algebriche e geometriche. (b Determinare le equazioni cartesiane degli autospazi di A. (c Determinare una base ortogonale di R 3 formata da autovettori di A. (d Si stabilisca il segno di q (cioè se q è definita/semidefinita positiva/negativa o indefinita.
3 CORSO DI GEOMETRIA E ALGEBRA Cognome e Nome: Corso di Laurea: 4 febbraio 6 Matricola: Anno di corso:. (6 pt Si consideri l applicazione lineare L : R 3 R 4 tale che L =, L =, L 3 =. (a Calcolare le immagini degli elementi della base canonica di R 3 tramite L: (b Determinare la dimensione di ImL e di KerL: (c Determinare l equazione cartesiana di Im L:. (6 pt Fissato un sistema di riferimento cartesiano ortogonale R(O,î,ĵ,ˆk nello spazio, si considerino i punti (, B = (, C = ( (a Le equazioni cartesiane della retta r passante per A e B:. Determinare: (b Le equazioni cartesiane della retta s parallela a r e passante per C: (c L equazione cartesiana del piano π contenente la retta r e il punto C (d La distanza d tra il punto P = ( e il piano π:
4 ( x 3. (6 pt Si consideri il sistema lineare AX = B, dove X = y è il vettore delle z incognite, A e B sono le seguenti matrici dipendenti dal parametro reale h: ( +h +h +h h, B = h ( +h. h (a Determinare il rango di A e di à = (A B al variare di h: (b Determinare per quali valori di h il sistema ammette soluzioni: (c Determinare per quali valori di h la soluzione del sistema è unica (d Posto h =, determinare una rappresentazione parametrica per la varietà lineare delle soluzioni: 4. (6 pt Si consideri la matrice ( 3. 3 Sia Q: R 3 R la forma quadratica Q(X = X T AX. (a Determinare gli autovalori di A e le relative molteplicità algebriche e geometriche. (b Determinare le equazioni cartesiane degli autospazi di A. (c Determinare una base ortogonale di R 3 formata da autovettori di A. (d Si stabilisca il segno di q (cioè se q è definita/semidefinita positiva/negativa o indefinita.
5 CORSO DI GEOMETRIA E ALGEBRA Cognome e Nome: Corso di Laurea: 4 febbraio 6 Matricola: Anno di corso:. (6 pt Si consideri l applicazione lineare L : R 4 R 3 tale che L =, L =, L =, L =. (a Calcolare le immagini degli elementi della base canonica di R 4 tramite L: (b Determinare la dimensione di ImL e di KerL: (c Determinare le equazioni cartesiane di Im L rispetto alle coordinate canoniche:. (6 pt Fissato un sistema di riferimento cartesiano ortogonale R(O,î,ĵ,ˆk nello ( ( ( spazio, si considerino i punti, B =, C = e la retta r di { y z = equazioni. Determinare: x y = 3 (a L equazione cartesiana del piano π passante per A, B e C: (b Le equazioni cartesiane della retta s passante per C con direzione (c il punto P di intersezione della retta r e della retta s: ( 4 : (d la distanza d del punto P dal piano π:
6 ( x 3. (6 pt Si consideri il sistema lineare AX = B, dove X = y è il vettore delle z incognite, A e B sono le seguenti matrici dipendenti dal parametro reale h: ( h h h, B = h h ( h. (a Determinare il rango di A e di à = (A B al variare di h: (b Determinare per quali valori di h il sistema ammette soluzioni: (c Determinare per quali valori di h la varietà lineare delle soluzioni del sistema ha dimensione : (d Posto h =, determinare una rappresentazione parametrica per la varietà lineare delle soluzioni: 4. (6 pt Si consideri la matrice (. Sia Q: R 3 R la forma quadratica Q(X = X T AX. (a Determinare gli autovalori di A e le relative molteplicità algebriche e geometriche. (b Determinare le equazioni cartesiane degli autospazi di A. (c Determinare una base ortogonale di R 3 formata da autovettori di A. (d Si stabilisca il segno di q (cioè se q è definita/semidefinita positiva/negativa o indefinita.
7 CORSO DI GEOMETRIA E ALGEBRA Cognome e Nome: Corso di Laurea: 4 febbraio 6 Matricola: Anno di corso:. (6 pt Si consideri l applicazione lineare L : R 3 R 4 tale che L =, L =, L 4 =. (a Calcolare le immagini degli elementi della base canonica di R 3 tramite L: (b Determinare la dimensione di ImL e di KerL: (c Determinare una base di Ker L:. (6 pt Fissato un sistema di riferimento cartesiano ortogonale R(O,î,ĵ,ˆk nello ( ( ( spazio, si considerino i punti, B =, C =. Determinare: (a Le equazioni cartesiane della retta r passante per A e B: (b Le equazioni cartesiane della retta s parallela a r e passante per C: (c L equazione cartesiana del piano π contenente la retta r e il punto C (d La distanza d tra il punto P = ( 3 e il piano π:
8 ( x 3. (6 pt Si consideri il sistema lineare AX = B, dove X = y è il vettore delle z incognite, A e B sono le seguenti matrici dipendenti dal parametro reale h: ( h h h, B = h 4h ( h 4h. 4h (a Determinare il rango di A e di à = (A B al variare di h: (b Determinare per quali valori di h il sistema ammette soluzioni: (c Determinare per quali valori di h la soluzione del sistema è unica (d Posto h =, determinare una rappresentazione parametrica per la varietà lineare delle soluzioni: 4. (6 pt Si consideri la matrice (. 3 Sia Q: R 3 R la forma quadratica Q(X = X T AX. (a Determinare gli autovalori di A e le relative molteplicità algebriche e geometriche. (b Determinare le equazioni cartesiane degli autospazi di A. (c Determinare una base ortogonale di R 3 formata da autovettori di A. (d Si stabilisca il segno di q (cioè se q è definita/semidefinita positiva/negativa o indefinita.
(c) Determinare per quali valori di k lo spazio delle soluzioni ha dimensione 2:
CORSO DI GEOMETRIA E ALGEBRA Cognome e Nome: Corso di Laurea: 7 luglio 2017 Matricola: Anno di corso: x y 1. (8 pt Si consideri il sistema lineare AX = B, dove X = z è il vettore delle t incognite, A e
(a) Dire quale/i fra i seguenti vettori assegnati sono autovettori di A, precisando il relativo autovalore:
CORSO DI GEOMETRIA E ALGEBRA Cognome e Nome: Corso di Laurea: 6 gennaio 27 Matricola: Anno di corso: (8 pt Si consideri la matrice A = 4 4 4 4 4 4 (a Dire quale/i fra i seguenti vettori assegnati sono
Sia Q: R 3 R la forma quadratica Q(X) = X T AX. (a) Determinare gli autovalori di A e le relative molteplicità algebriche e geometriche;
CORSO DI GEOMETRIA E ALGEBRA 26 febbraio 219 Cognome e Nome: Matricola: = = = = Scrivere in modo LEGGIBILE nome e cognome! = = = = 1. (8 pt) Si consideri la matrice 1 1 A = 1 1 ; sia inoltre X = y R 3.
(d) Sia h = 0. Determinare la dimensione della varietà delle soluzioni e una sua rappresentazione parametrica:
CORSO DI GEOMETRIA E ALGEBRA 20 settembre 2018 Cognome e Nome: Matricola: = = = = Scrivere in modo LEGGIBILE nome e cognome! = = = = x y 1. (8 pt) Si consideri il sistema lineare AX = B, dove X = z è il
incognite, A e B sono le seguenti matrici dipendenti dal parametro reale h:
CORSO DI GEOMETRIA E ALGEBRA Cognome e Nome: Corso di Laurea: settembre 07 Matricola: Anno di corso: ( x. (8 pt Si consideri il sistema lineare AX = B, dove X = y è il vettore delle z incognite, A e B
1. (6 pt) Si considerino le matrici A = e B = (a) Determinare gli autovalori di A con le relative molteplicità algebriche e geometriche:
CORSO DI GEOMETRIA E ALGEBRA Cognome e Nome: Corso di Laurea: 22 settembre 26 Matricola: Anno di corso: (6 pt Si considerino le matrici A = ( ( 2 2 3 e B = 4 (a Determinare gli autovalori di A con le relative
(d) Determinare il segno di q e fornire, se esistono, un vettore non nullo su cui q è nulla e uno su cui q è negativa, giustificando la risposta.
CORSO DI GEOMETRIA E ALGEBRA Cognome e Nome: Corso di Laurea: 9 febbraio 2017 Matricola: Anno di corso: ( ) ( ) 2 0 0 1. (8 pt) Si consideri la matrice A = 0 1 1 e X = y ; sia L A : R 3 R 3 0 1 1 l applicaione
(b) Determinare gli autovalori di A specificandone molteplicità algebriche e geometriche.
CORSO DI GEOMETRIA E ALGEBRA Cognome e Nome: Corso di Laurea: 9 febbraio 27 Matricola: Anno di corso: ( ( 2. (8 pt Si consideri la matrice A = e X = y ; sia L A : R 3 R 3 l applicaione lineare definita
2x + y 2 = 0 2x z 1 = 0 π : x 2y + 2z 1 = 0
SCRIVERE IN MODO LEGGIBILE NOME E COGNOME! CORSO DI GEOMETRIA E ALGEBRA Cognome: Nome: luglio 8 Matricola: Corso di Laurea:. (8 pt Si consideri la matrice A = ( 3 3 6 4 9 4 5 (a Determinare il polinomio
(c) Determinare per quali valori di k lo spazio delle soluzioni ha dimensione 2:
CORSO DI GEOMETRIA E ALGEBRA 2 luglio 29 Cognome e Nome: Matricola: = = = = Scrivere in modo LEGGIBILE nome e cognome! = = = = x. (8 pt Si consideri il sistema lineare AX = B, dove X = è il vettore delle
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1 se h = 4. (b) Determinare per quali valori di h il sistema ammette soluzioni:
CORSO DI GEOMETRIA E ALGEBRA 2 settembre 28 Cognome e Nome: Matricola: = = = = Scrivere in modo LEGGIBILE nome e cognome! = = = =. (8 pt Si consideri il sistema lineare AX = B, dove X = è il vettore delle
(c) Stabilire per quali valori di h is sistema ammette un unica soluzione:
ognome e Nome: orso di Laurea: 4 settembre 3. Sia L: R 3! R 3 l applicazione lineare x x y + z L @ ya = @ x + y +za. z x y z (a) Scrivere la matrice A che rappresenta L nella base canonica di R 3 : (b)
1. Sia L: R 3 R 3 l applicazione lineare definita dalla matrice. (a) Calcolare: dimkerl = dimiml = (b) Scrivere una base per KerL e una per ImL:
. Sia L: R 3 R 3 l applicazione lineare definita dalla matrice 3 A =. (a) Calcolare: dimkerl = dimiml = (b) Scrivere una base per KerL e una per ImL: (c) Trovare le equazioni cartesiane per KerL e ImL:
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