E := 2. a k := 2(2n 1) (2n 1) + 1 ( 1)n+1 = ( 1) n+1( 2 1 ) 1 2m 1 ;

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1 Ingegneria Elettronica e Informatica Analisi Matematica a Foschi) Compito dell Determina tutti i punti di accumulazione dell insieme { k E := k + k sin π ) } : k N. Soluzione: L insieme E è formato dai valori della successione a k := k k + k sin π ), con k N. Siccome il seno di multipli interi di π è zero abbiamo che a n = 0 per ogni n N. Invece per multipli dispari di π/ abbiamo sin n ) π ) = ) n+ e dunque a n = n ) n ) + )n+ = ) n+ ). n Quando n = m è dispari otteniamo la successione b m := a 4m 3 = mentre quando n = m è pari otteniamo la successione m ; c m := a 4m = + m. L insieme E è dunque l insieme che contiene 0 e i valori delle successioni b m e c m al variare di m N. La successione b m è una successione strettamente crescente e ha come limite. La successione c m è una successione strettamente decrescente e ha come limite. Tutti i punti dell insieme E sono quindi punti isolati e gli unici punti di accumulazione per E sono e. c c c 65 c 43 c c 0 b b b 3 b 4 b Calcola i limiti per 0, e + della funzione Q) := sin π cosπ) ) arctan ). Soluzione: Vediamo il caso del limite per 0. Usando l approssimazione di McLaurin del secondo ordine per il coseno abbiamo π cosπ) = π ) π) + o ) = π π 3 + o ). L argomento del seno tende dunque a π e siccome sinπ t) = sint) otteniamo il comportamento del numeratore sin π cosπ) ) = sin π + o ) ) π.

2 Siccome arctan) al denominatore abbiamo arctan ). Il limite per 0 risulta quindi essere uguale a π. Vediamo il caso del limite per. La funzione Q è continua in essendo ottenuta come composizione di funzioni continue e il limite quindi coincide con il valore Q) = sin π cosπ) ) arctan ) = 0. Vediamo il caso del limite per +. Il numeratore è una funzione limitata mentre il denominatore tende a + dunque il limite è Considera la funzione f: R R definita da f) := 3 + ) ). Disegna il grafico delle funzioni f), f ) e f) evidenziandone gli aspetti più peculiari. Soluzione: Possiamo considerare f come la funzione composta f) = RS)), dove S è il polinomio S) := + ) ) = , ed R è la funzione radice cubica, Rt) = 3 t. La funzione R è la funzione inversa di 3, è definita su tutto R ed è strettamente crescente. È derivabile in tutti i punti tranne l origine e la sua derivata è R t) = 3 3, nell origine il suo t grafico possiede un punto a tangenza verticale. La derivata seconda è R t) = 9t 3 t. = t 3 = 3 t t Il polinomio S) si annulla nei punti e ; negli altri punti ha lo stesso segno di +. Tende a ± quando ±. Le sue derivate sono S ) = 3 6 = 3 ), S ) = 6 6 = 6 ). Page

3 Quindi S) è crescente per < 0 e per >, decrescente per 0 < <, concava per < e convessa per >. = S) 0 La funzione f è continua in quanto composizione di funzioni continue e il segno di f) coincide con il segno di S). Per le regole di derivazione delle funzioni composte abbiamo f ) = R S) ) S 3 ) ) = ) ) = ) 3. In particolare osserviamo che f) ha gli stessi intervalli di monotonia di S): ovvero f) è crescente per < 0 e per >, decrescente per 0 < < ; e abbiamo un punto di massimo locale per = 0 e un punto di minimo locale per =. Osserviamo inoltre che f) non è derivabile per = e per = e abbiamo lim f ) = +, lim f ) =, lim f ) = +. + Dunque il grafico di f presenta un punto a tangenza verticale in, 0) e un punto di cuspide in, 0). Calcoliamo i limiti di f)/ per ± per verificare la presenza di eventuali asintoti obliqui; presentandosi in forma indeterminata / proviamo ad utilizzare la regola di De L Hopital: m := f) lim ± = lim f ) = ± lim ± + ) ) = Calcoliamo anche i limiti di f) per ±, ) q := lim f) = lim 3 S) ± ± 3 3 = lim ± lim ± 3 ) + ) =. ) = lim 3 ) ) ) + o =. ± 3 Troviamo così che la retta = è un asintoto obliquo per il grafico di f) sia per + che per. = Page 3

4 Calcoliamo la derivata seconda di f: f ) = R S) ) S ) ) + R S) ) S ) = 9 3 )) S) 3 S) ) = 3 S) = + ) 3 S). La derivata seconda esiste finita per e ed ha lo stesso segno di +. Quindi il grafico di f) presenta concavità verso il basso nell intervallo ], [, e concavità verso l alto sugli intervalli ], [ e ], + [. Abbiamo raccolto abbastanza informazioni per poter tracciare il grafico di f): 3 4 = = f) La funzione f ) è una funzione pari che coincide con f) per 0; dunque il suo grafico si ottiene tramite una simmetria rispetto all asse dalla porzione del grafico di f) corrispondente a 0: Page 4

5 = = 3 4 = f ) La funzione f) coincide con f) quando f) 0, ovvero per, mentre è uguale a f) quando f) 0, ovvero per ; dunque il suo grafico si ottiene dal grafico di f ribaltando tramite una simmetria rispetto all asse la porzione del grafico di f) corrispondente a : = + = 3 4 = f) 4. Considera la funzione g: [0, ] R definita da { a, se [0, ], g) := + b + c, se ], ]. Determina per quali valori dei parametri reali a, b, c la funzione g soddisfa tutte le ipotesi per poter applicare, sul suo intervallo di definizione, il teorema di Rolle. Soluzione: Per poter applicare il teorema di Rolle la funzione g deve soddisfare le seguenti condizioni: deve essere continua su [0, ], deve essere derivabile su ]0, [, e deve assumere gli stessi valori agli estremi dell intervallo g0) = g). Page 5

6 Entrambi i polinomi a e + b + c sono funzioni continue; per avere continuità di g basterà imporre che lim + g) = g), ovvero che + b + c = a. ) Entrambi i polinomi a e + b + c sono funzioni derivabili; per avere derivabilità di g basterà imporre che lim + g ) = g ), ovvero che + b = a. ) La condizione g0) = g) si traduce in 0 = 4 + b + c. 3) Le tre equazioni ), ), 3) formano un sistema lineare di tre equazioni con tre incognite la cui unica soluzione è: a =, b = 5, c =. 5. Cosidera la funzione h) := log cosh) ). Calcola il polinomio di McLaurin di ordine 6 per la funzione h). Calcola il valore delle derivate h k) 0) per k = 0,,, 3, 4, 5, 6. Soluzione: L approssimazione di McLaurin di e t di ordine 6 è: e t = + t + t + 6 t3 + 4 t4 + 0 t t6 + ot 6 ), per t 0. Sostituendo t = otteniamo e = o 6 ), per 0. Se mettiamo al posto di otteniamo e = o 6 ), per 0. Se facciamo la media aritmetica delle ultime due espressioni si cancellano i termini di grado dispari e troviamo che cosh) = o 6 ), per 0. 4) Abbiamo che cosh) tende a per 0 ed inoltre osserviamo che dalla formula 4) si ricava che cosh) per 0. La nostra funzione h è h) = log cosh) ) = log + cosh) )) = log + t) ), dove abbiamo posto t) := cosh) e sappiamo che t) 0 per 0. L approssimazione di McLaurin di log + t) di ordine 3 è: log + t) = t t + 3 t3 + ot 3 ), per t 0. 5) Page 6

7 Vogliamo effettuare la sostituzione t = t). cosh) troviamo che Usando l approssimazione del sesto ordine di t = o 6 ), t = + ) o 4 ) = o 6 ), t 3 = + o ) ) 3 = o 6 ) 8 6, per 0. Dunque sostituendo in 5) otteniamo log cosh) ) = log + t) ) = = ) = o 6 ), per 0. Il polinomio di McLaurin di ordine 6 per la funzione h) è dunque dove = ) + 8 6) + o 6 ) = 3 6 a k k, a 0 = 0, a = 0, a =, a 3 = 0, a 4 = 4 3, a 5 = 0, a 6 = Sappiamo che h k) 0) = k! a k e dunque h0) = 0, h 0) = 0, h 0) = 4, h 3) 0) = 0, h 4) 0) = 3, h 5) 0) = 0, h 6) = 04. k=0 Page 7