Analisi di curve di eclisse di sistemi extra-solari

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1 Universitá del Salento FACOLTÀ DI SCIENZE MATEMATICHE, FISICHE E NATURALI CORSO DI LAUREA TRIENNALE IN FISICA Tesi di Laurea Analisi di curve di eclisse di sistemi extra-solari Candidato: Domenico Gerardi Relatore: Dott. A.A. Nucita Anno Accademico

2 ii

3 Grande Giove! Emmett Brown Dedico questo mio lavoro a mamma e papà, le persone più importanti della mia vita.

4 iv

5 Indice 1 Problema dei due corpi Le leggi di Keplero Equazione polare dell orbita Legge di Gravitazione Universale ed equazione del moto Metodo di Eulero Soluzione in serie dell equazione di Keplero Energia Gravitazionale del sistema Applicazioni della III legge di Keplero Determinazione delle distanze dei pianeti nel sistema solare Determinazione della massa: binarie visuali e binarie spettroscopiche Sistemi planetari in astrofisica Velocità radiali Transiti Altri metodi di rilevamento Caratteristiche dei sistemi planetari osservati Applicazioni astrofisiche Simulazione transiti Limb Darkening Parametri orbitali di Wasp-10b con TAP A Listati per la simulazione dei transiti 31 Riferimenti bibliografici 37 Ringraziamenti 39 v

6 vi Indice

7 Elenco delle figure 1.1 Rappresentazione di un ellisse e significato geometrico dei parametri orbitali Definizione degli angoli anomalia vera ed anomalia eccentrica Posizione di un pianeta a distanza a dal fuoco Classificazione energetica delle orbite La Terra (T) e un pianeta (Q) in opposizione nell approssimazione di orbite circolari Vettori di posizione delle componenti di un sistema binario rispetto al centro di massa e rispetto ad uno dei due oggetti Decomposizione della velocità orbitale nelle componenti radiale e trasversale alla direzione di vista Sistema binario al variare del tempo Velocità radiale in funzione del tempo Variazione di radiazione luminosa osservata al passaggio di un pianeta davanti una stella Istogramma relativo alla massa dei pianeti scoperti Istogramma relativo alla massa delle stelle Istogramma relativo al semiasse maggiore dei pianeti Istogramma relativo all eccentricità delle orbite planetarie Istogramma relativo al periodo di rivoluzione dei pianeti Istogramma relativo all angolo d inclinazione i Angolo minimo per l osservazione di un transito Diagramma di correlazione dell eccentricità in funzione del periodo di rivoluzione planetario Diagramma di correlazione del semiasse maggiore in funzione del periodo di rivoluzione planetario Diagramma di correlazione del raggio in funzione della massa dei pianeti Parametri utilizzati nella simulazione dei transiti Superficie occultata al variare di θ 1 e θ 2 durante un transito Effetto di limb darkening osservato sul disco luminoso della stella Simulazione dell eclissi prodotta da un pianeta transitante davanti alla stella Simulazione dell eclissi prodotta da un pianeta di tipo gioviano su di una stella di tipo Sole Transito di WASP-10b sulla stella WASP Transito di HAT-P-32b sulla stella HAT-P vii

8 viii Elenco delle figure 3.8 Transito di Kepler-22b sulla stella Kepler Transito di Wasp-10b ottenuta per mezzo del programma TAP

9 Capitolo 1 Problema dei due corpi In questo capitolo analizzeremo il problema dei due corpi nel caso in cui uno dei due oggetti interagenti ha una massa molto maggiore rispetto a quella del secondo. Si approfondirà in particolare la meccanica che caratterizza i sistemi binari attraverso una discussione qualitativa e quantitativa delle leggi di Keplero che governano il moto dei corpi soggetti a forze centrali. Inoltre affronteremo il problema dal punto di vista dell energia osservando come la classificazione energetica delle orbite permette di ottenere informazioni sulla geometria di un sistema binario. 1.1 Le leggi di Keplero Giovanni Keplero fu il primo astronomo a verificare la validità del modello copernicano sulla base dell osservazione sistematica di alcuni oggetti del sistema solare. I risultati delle sue osservazioni furono pubblicati, tra il 1609 ed il 1619, su due trattati dal titolo Astronomia Nova e Harmonices Mundi nei quali sono enunciate le tre famose Leggi di Keplero (si veda ad esempio Koyré 1966) I Legge di Keplero La traiettoria percorsa da un pianeta attorno al Sole è un ellisse giacente in un piano con il Sole in uno dei due fuochi. II Legge di Keplero Il moto di un pianeta sulla sua orbita non è uniforme. Il moto è tale che il raggio vettore che unisce il pianeta al Sole spazza aree uguali in tempi uguali. III Legge di Keplero Il quadrato del periodo impiegato da un pianeta a completare la sua orbita è proporzionale al cubo del semiasse maggiore dell orbita stessa. In seguito mostreremo come le Leggi di Keplero discendano direttamente dalla meccanica newtoniana. 1

10 2 Capitolo 1. Problema dei due corpi 1.2 Equazione polare dell orbita Ricaviamo ora l espressione dell ellisse in coordinate polari relativamente ad un sistema di riferimento con origine nel fuoco e con un asse diretto lungo il semiasse maggiore. Relativamente ad un sistema cartesiano con origine nel suo centro di simmetria (Figura 1.1), un ellisse ha equazione Figura 1.1: In figura è mostrato il significato delle variabili definite ed utilizzate nel testo. x 2 a 2 + y2 = 1, (1.1) b2 dove a e b rappresentano rispettivamente il semiasse maggiore e minore dell orbita. Detti F 1 = ( c, 0), F 2 = (c, 0) e P = (x, y) (con c 2 = a 2 b 2 ed a > b) i due fuochi ed un punto generico dell ellisse, per definizione di luogo geometrico abbiamo che PF 1 + PF 2 = 2a. (1.2) Segue quindi che la distanza del punto P dal fuoco F 1 (si veda la Figura 1.1) è dato da PF 1 2 = (x + c) 2 + y 2 = x 2 + 2xc + c 2 + y 2 = = (1 b2 a 2 )x2 + 2xc + a 2, (1.3) dove y 2 = b 2 (1 x2 ) è stato ricavato dalla (1.1). a2 Introducendo il parametro di eccentricità e = c/a, l equazione precedente si riscrive come PF 1 2 = ( a 2 b 2 a 2 )x 2 + 2xc + a 2 = = e 2 x 2 + 2eax + a 2 = = (a + ex) 2, da cui (Leo, 2008; Goldstein, 2005) (1.4) PF 1 = (a + ex). (1.5)

11 1.3. Legge di Gravitazione Universale ed equazione del moto 3 Analogamente si ottiene che PF 2 = (a ex). (1.6) Riferendosi al sistema accentato di Figura 1.1 e indicato con r il modulo di PF 2 e con θ l angolo polare tra PF 2 e l asse x si ha che le coordinate del punto P sono { x = ea + r cos θ, y (1.7) = r sin θ, dunque (Leo, 2008; Goldstein, 2005) PF 2 = r = a e(ea + r cos θ) = r(1 + e cos θ) = a(1 e 2 ) = r(θ) = a(1 e2 ) 1 + e cos θ. (1.8) Osserviamo inoltre che, per θ = 0, la minima distanza dal polo è r min = a(1 e), e per θ = π, la massima distanza dal polo r max = a(1 + e). Nel caso di un oggetto celeste, quale un pianeta in orbita attorno ad una stella, r min ed r max sono detti rispettivamente raggio di periastro e raggio di afastro. 1.3 Legge di Gravitazione Universale ed equazione del moto Le leggi di Keplero possono essere spiegate naturalmente nell ambito della meccanica newtoniana in termini di una forza centrale proporzionale al prodotto delle masse interagenti (ad esempio il Sole ed un pianeta) ed inversamente proporzionale al quadrato della loro distanza, cioè F G = GMm r 3 r, (1.9) dove G = dyn cm 2 g 2 è la costante di gravitazione universale. Il vettore forza gravitazionale F G non presenta alcuna componente azimutale ma solo radiale e di conseguenza il momento torcente N sarà sempre nullo. Segue dunque la conservazione del momento angolare L poichè N = dl dt = 0. (1.10) Il moto è quindi confinato su di un piano e, dalla seconda legge della dinamica, si può ottenere l equazione del moto di una particella di massa m nel potenziale gravitazionale generato da una particella di massa M (con M m) cioè GMm r 3 r = m d2 r dt 2. (1.11) La soluzione r(t) dell equazione precedente permette di determinare la traiettoria della particella (come ad esempio un pianeta nel sistema solare) in funzione del tempo (Bradt, 2010).

12 4 Capitolo 1. Problema dei due corpi L equazione (1.11) può essere riscritta come due equazioni scalari, una per ogni coordinata polare (r, θ). Iniziamo con lo scomporre il vettore velocità nelle sue componenti polari v = ṙ = ṙˆr + r θˆθ, (1.12) e derivando rispetto al tempo, si ottiene l accelerazione a = r = rˆr + ṙ ˆr + ṙ θˆθ + r θˆθ + r θ ˆθ = ( r r θ 2 )ˆr + (r θ + 2ṙ θ)ˆθ. (1.13) Si hanno quindi le due equazioni scalari (Bradt, 2010) G Mm r 2 = m( r r θ 2 ) = m d2 r dt 2 mrω2, (1.14) 0 = m(r θ + 2ṙ θ) = mr d2 θ dr + 2mω dt2 dt, (1.15) dove la velocità angolare ω è definita ω = dθ/dt. Dimostriamo ora come l equazione del moto azimutale (1.15) implichi la conservazione del momento angolare L e quindi la II Legge di Keplero. Partendo dall equazione (1.15) si ottiene mr d2 θ dr + 2mω dt2 dt = 0 = 1 dω dr (mr2 + 2mωr r dt dt ) = 0, (1.16) 1 r d dt (mr2 ω) = 0, (1.17) dunque mr 2 ω è una costante del moto. Ricordiamo inoltre che il modulo del momento angolare L = r p può essere scritto come L = mrv θ = L = mr 2 ω, (1.18) dove v θ = ωr è la componente azimutale della velocità. Avremo così dalla (1.17) 1 dl r dt = L = mr 2 ω = costante, (1.19) cioè il momento angolare è una costante del moto (Bradt, 2010). L aria differenziale da spazzata dal vettore posizione durante il moto della massa m in un angolo dθ è approssimabile all area di un triangolo, di base r ed altezza rdθ, cioè da = rdθr 2 = 1 2 r2 dθ, (1.20) corrispondente ad una velocità areolare da dt = 1 dθ r2 2 dt = 1 2 r2 ω. (1.21)

13 1.3. Legge di Gravitazione Universale ed equazione del moto 5 Confrontando la (1.19) con la (1.21) si ottiene la costanza della velocità aereolare da dt = L = costante, (1.22) 2m verificando così la II Legge di Keplero (Bradt, 2010). Utilizziamo l equazione radiale del moto (1.14) per dimostrare la correttezza della III legge di Keplero. Per far ciò verifichiamo che l equazione polare di un ellisse del tipo (1.8) è soluzione dell equazione radiale del moto. Riscriviamo quindi l espressione dell ellisse r(θ) in termini del rapporto b/a = 1 e2, ottenendo r(θ) = b2 a Posto u = 1/r, si ottiene e cos θ. (1.23) u(θ) = 1 r = a (1 + e cos θ). (1.24) b2 Riscrivendo l equazione in termini di u, otterremo per il primo membro della (1.14) GMm r 2 GMmu 2, (1.25) e per il secondo membro m d2 r dt 2 mω2 r L2 m u2 d2 u dθ 2 L2 m u3, (1.26) dove abbiamo sostituito ω = Lu 2 /m dalla relazione (1.19). Sostituendo quindi tutti i termini trovati nell equazione radiale del moto otterremo (Bradt, 2010) ( ) GMmu 2 = L2 m u2 u + d2 u dθ 2. (1.27) Inserendo nell equazione precedente l espressione di u(θ) e sviluppando i termini si ottiene infine GMmu 2 = L2 a m b 2 u2, (1.28) che riscritta in termini di r(θ) diventa GMm r 2 = L2 a 1 m b 2 r 2. (1.29) Osserviamo quindi dalla relazione precedente come il membro di destra vari proporzionalmente ad 1/r 2 così come la forza gravitazionale Newtoniana. Dunque avremo che l equazione polare dell ellisse soddisfa la (1.27) solo se l uguaglianza (1.29) risulta essere verificata. In particolare si osserva che b 2 a = L2 GMm 2, (1.30)

14 6 Capitolo 1. Problema dei due corpi che sostituita nella equazione polare dell ellisse permette di ottenere l equazione dell orbita in funzione delle grandezze fisiche del sistema quali le masse degli oggetti ed il momento angolare associato, cioè r(θ) = L2 1 GMm e cos θ. (1.31) Sempre dalla (1.30) abbiamo GM L = mb, (1.32) a che rappresenta il momento angolare della massa m in un orbita ellitica di semiassi a e b attorno alla massa M per M m. Come si dimostrerà successivamente, l energia di un orbita è funzione del semiasse maggiore a, dunque orbite con la medesima energia possono essere caratterizzate da valori differenti di b ed L. I valori limite di L sono quindi L 0 (per b 0; e=1; moto rettilineo), (1.33) L = m GMr (per b = a = r; e=0; moto circolare). (1.34) Dai risultati ottenuti precedentemente è possibile ricavare la III legge di Keplero (P 2 a 3 ). Definendo P il tempo impiegato dalla massa m a completare la sua orbita e sapendo che l area di un ellisse è πab, si ottiene A t = da dt = πab P, (1.35) dove per la conservazione del momento angolare visto nella (1.19) e per la II legge di Keplero il primo membro risulterà costante. Dalla (1.22) e (1.32) otteniamo quindi (Bradt, 2010) GMP 2 = 4π 2 a 3. (1.36) Notiamo infine che la dimensione dell orbita risulta indipendente dalla massa del pianeta e, come già osservato nella (1.10), il momento angolare L presenta un valore costante in modulo e sarà perpendicolare ogni istante al piano dell orbita. 1.4 Metodo di Eulero Illustriamo ora un metodo geometrico che permette di ricavare in maniera più semplice la posizione di un pianeta sulla sua orbita istante per istante. Per questa ragione, è conveniente studiare il moto di una particella ricorrendo ad un cerchio ausiliario di raggio pari al semiasse maggiore a e centro nell origine del sistema di riferimento utilizzato, (si veda Figura 1.2). Si consideri una posizione generica (Q) della particella sulla sua orbita. Il raggio vettore r di Q rispetto al fuoco F forma con l asse positivo delle ascisse un angolo θ detto anomalia vera. Si proietta ora il punto Q sulla circonferenza ausiliaria. Detto R il punto proiettato, sia a il vettore di posizione rispetto all origine del sistema ed E (detto anomalia eccentrica) l angolo che esso forma con l asse delle ascisse. Da note proprietà geometriche dell ellisse si ha

15 Metodo di Eulero Figura 1.2: In figura sono illustrati i parametri utilizzati per ricavare la posizione di un pianeta sulla sua orbita attraverso il metodo di Eulero. QS : RS = b : a. (1.37) Poichè QS = r sin θ, (1.38) RS = OR sin E = a sin E, (1.39) e si ha che r sin θ = b sin E. (1.40) Inoltre F S = OS OF = r cos θ = a cos E ae, (1.41) da cui r cos θ = a(cos E e). (1.42) Elevando al quadrato la (1.40) e (1.42) e sommandole membro a membro otteniamo (Smart, 1976) r = a(1 e cos E). Ricordando inoltre dalla trigonometria che sin(θ/2) = 2rsin2 θ = r(1 cos θ), 2 (1.43) p (1 cos θ)/2, avremo (1.44)

16 8 Capitolo 1. Problema dei due corpi e sostituendo la (1.43) nella (1.44) 2rsin 2 θ = a(1 e cos E) a cos θ(1 e cos E). (1.45) 2 D altra parte QF cos θ = F S e tenenendo conto della (1.44) si ha 2rsin 2 θ = a(1 + e)(1 cos E). (1.46) 2 Analogamente, considerando l ugluaglianza da cos(θ/2) = (1 + cos θ)/2 si ottiene 2rcos 2 θ = a(1 e)(1 + cos E). (1.47) 2 Il rapporto delle due relazioni precedenti permette di determinare l angolo polare θ in funzione dell anomalia eccentrica E (Smart, 1976) [ ] 1 + e θ = 2 tan 1 1 e tan E. (1.48) 2 Indicato con t 0 l istante di tempo in cui il pianeta passa nel perielio (il punto B di Figura 1.2) e con t l istante di tempo in cui il pianeta è in un generico punto dell orbita (Q della stessa figura) si ha che t t 0 P = area F BQ. (1.49) πab É possibile dimostrare (Smart, 1976) che area F BQ = 1 e 2 area F BR, (1.50) e che valgono le seguenti relazioni e area F BR = area OBR area OSR + area F SR, (1.51) area OBR = 1 2 Ea2, (1.52) area OSR = 1 2 a2 cos E sin E, (1.53) area F SR = 1 (a cos E ae)(a sin E) 2 = 1 2 a2 cos E sin E 1 2 a2 e sin E, (1.54) quindi l equazione (1.49) diventa E(t) e sin E(t) = 2π(t t 0). (1.55) P Inserendo infine in tale espressione il periodo kepleriano P si ha (Tan, 2008) GM E(t) e sin E(t) = a 3 (t t 0). (1.56)

17 1.5. Energia Gravitazionale del sistema 9 La grandezza a secondo membro si definisce anomalia media M(t), cioè GM M(t) = a 3 (t t 0), (1.57) e quindi l equazione (1.56) (detta equazione di Keplero) si riscrive nella forma E(t) e sin E(t) = M(t). (1.58) Si nota che per e = 0, E(t) = M(t) ed il moto orbitale si riduce ad un moto circolare GM uniforme con frequenza ω = a Soluzione in serie dell equazione di Keplero Osserviamo come la (1.58), essendo un equazione trascendente, non può essere risolta analiticamente ma è possibile ricavare un valore aprossimativo di E attraverso uno sviluppo in serie di questa. Fissato il tempo t (e quindi noto il valore dell anomalia media M(t)), per e = 0 avremo la soluzione di ordine zero E 0 = M(t), (1.59) ed inserendo tale risultato nella (1.58) si otterrà la soluzione al primo ordine E 1 = M(t) + e sin E 0 = M(t) + e sin M(t). (1.60) Iterando questo procedimento, sarà possibile ottenere gradi di approssimazione maggiore. Ad esempio per una soluzione al secondo ordine si ha E 2 = M(t) + e sin(e 1 ) = M(t) + e sin(m(t) + e sin M(t)), (1.61) da cui attraververso lo sviluppo in serie si ottiene (Tan, 2008) E 2 = M(t) + e sin M(t) e2 sin 2M(t) + o(ε 3 ). (1.62) 1.5 Energia Gravitazionale del sistema L energia associata ad un corpo di massa m sulla propria orbita attorno ad un corpo di massa M può essere espressa in termini dei parametri geometrici dell orbita e delle masse in gioco. Dunque abbiamo che per il principio di conservazione dell energia meccanica, nel caso di un potenziale gravitazionale, l energia totale E t del sistema di una massa m è E t = 1 2 mv2 GMm, (1.63) r dove r è la posizione di m rispetto ad M e v la sua velocità, mentre il punto zero dell energia potenziale è posto ad r. Poichè l energia totale è una costante del moto, può essere valutata in qualunque punto dell orbita, dunque è conveniente considerare l energia nel punto Q in Figura 1.3. In questa posizione, il raggio vettore r ha modulo uguale al semiasse maggiore per la definizione stessa di ellisse nella (1.2). Dunque possiamo ottenere l espressione E t = 1 2 mv a 2 GMm, (1.64) a

18 10 Capitolo 1. Problema dei due corpi Figura 1.3: In figura è data la posizione di un pianeta alla distanza a (semiasse maggiore dell orbita ellittica) dal fuoco. dove la velocità in Q è definita da v a. Inoltre, dalla geometria sui triangoli simili, otteniamo in questo caso la seguente relazione tra la grandezza v a e la sua componente azimutale v θ v θ v a = b a. (1.65) Scrivendo poi v θ in termini di momento angolare L = mr 2 ω abbiamo e quindi v θ = ωr = L mr L ma, (1.66) v a = v θ a b = L a ma b = L GM mb = a, (1.67) dove abbiamo fatto uso della (1.32). Sostituendo infine v a nell espressione (1.64), abbiamo (Bradt, 2010) E t = 1 2 mv a 2 GMm a E t = GMm 2a. (1.68) Dunque l energia totale del sistema orbitante è completamente determinata dalla grandezza del semiasse maggiore a. Dalla Figura 1.4 osserviamo la dipendenza di E t da a, infatti per lo stesso valore di a è possibile avere, al variare di b, differenti orbite con uguale valore di energia, mentre la variazione del semiasse maggiore porta a valori di energia differenti. Infine facendo uso della (1.30) e dalle caratteristiche geometriche dell ellisse si osserva che (Bradt, 2010) e = 1 + 2E tl 2 (GM) 2 m 3, (1.69) cioè la grandezza e la forma dell orbita dipendono esclusivamente dai valori di E t ed L per valori di m ed M fissati.

19 1.6. Applicazioni della III legge di Keplero 11 Figura 1.4: Classificazione energetica delle orbite a secondo dei parametri orbitali a e L. 1.6 Applicazioni della III legge di Keplero Determinazione delle distanze dei pianeti nel sistema solare Illustriamo di seguito un semplice esempio di applicazione delle leggi di Keplero per la stima della distanza di un pianeta dal Sole. Con riferimento alla Figura 1.5, si consideri un pianeta su di un orbita circolare di raggio ap attorno al Sole. Sia a il raggio dell orbita della Terra e X la distanza tra la Terra ed il pianeta in opposizione. Indicando con P e Pp il periodo di rivoluzione della Terra e del pianeta, dalla III legge di Keplero si ha Figura 1.5: La Terra (T) e un pianeta (Q) in opposizione nell approssimazione di orbite circolari. q ap = 3 Pp2 /P 2, a poichè ap = a + X si ha infine q q a+x = 3 Pp2 /P 2 = X = a 3 Pp2 /P 2 1. a (1.70) (1.71) Nel caso di Saturno, conoscendo il semiasse maggiore medio terrestre (a = Km = 1UA), ed il periodo di rivoluzione di Saturno (Pp = anni) abbiamo X Km = ap = a + X Km 9.5 UA. (1.72)

20 12 Capitolo 1. Problema dei due corpi Nel caso di Plutone, ultimo pianeta del sistema Solare, abbiamo Pp = anni ottenendo X Km. Dunque si ha ap Km 39.5 UA Determinazione della massa: binarie visuali e binarie spettroscopiche I sistemi binari costituiscono una grande risorsa dell astrofisica in quanto è solo grazie ad essi che è possibile stimare la massa delle stelle. I sistemi binari si dividono in sistemi visuali, in cui è possibile distinguere le componenti come separate, e sistemi spettroscopici per i quali i corpi non possono essere distinti l uno dall altro. Nei sistemi binari visuali il periodo di rivoluzione e la separazione orbitale possono essere misurati direttamente, permettendo quindi di stimare la massa totale del sistema attraverso la terza legge di Keplero1 cioè G(m1 + m2 )P 2 = 4π 2 as 3, (1.73) dove as è il semiasse maggiore dell ellisse relativa spazzata dal vettore di posizione tra i corpi (Bradt, 2010). In Figura, s rappresenta il vettore di posizione relativo Figura 1.6: Vettori di posizione delle componenti di un sistema binario rispetto al centro di massa e rispetto ad uno dei due oggetti. della massa m2 rispetto alla massa m1, ciascuna delle quali in moto intorno al comune centro di massa su ellissi di semiassi maggiori a2 e a1. In particolare, per la massa m1 si ha m2 as. (1.74) a1 = m1 + m2 Il periodo kepleriano della massa m1 attorno al centro di massa è quindi ottenuto dalla definizione stessa di baricentro (m1 r1 = m2 r2 ) e da s = r1 r2. Sostituendo la (1.74) nella (1.73) (Bradt, 2010) GP 2 m32 = 4π 2 a1 3. (m1 + m2 )2 (1.75) 1 Una curiosità: negli anni 70 la sonda spaziale Mariner 10, entrando in orbita attorno a Venere e successivamente attorno a Mercurio, ha permesso di stabilirne le rispettive masse conoscendo la massa del satellite Mariner e attraverso una misura diretta del periodo di rivoluzione attorno ai due pianeti (Silvestro, 1989).

21 1.6. Applicazioni della III legge di Keplero 13 Quello che si osserva in realtà non è il semiasse maggiore a1 ma la sua proiezione sulla sfera celeste, in quanto il sistema binario risulta avere un inclinazione di un angolo i rispetto al piano di vista (Figura 1.7). Per questo motivo moltiplichiamo ambo i membri per sin3 i, ottenendo così al secondo membro esattamente la proiezione sulla sfera celeste di a1 4π 2 m2 3 sin3 i = (a1 sin i)3. 2 (m1 + m2 ) GP 2 (1.76) Il membro a sinistra prende il nome di funzione di massa (Bradt, 2010) f1 = m2 3 sin3 i, (m1 + m2 )2 (1.77) ma questa relazione in realtà è data da grandezze incognite e, per poter determinare un valore di f1, basterà ricavarla dagli elementi conosciuti in un sistema visuale, presenti al secondo membro della (1.76). Binario spettroscopico: anche in questo caso utilizziamo la funzione di massa. Questa volta tale funzione può essere espressa secondo un altra grandezza poichè, in un sistema simile non siamo in grado di risolvere le due masse e determinare quindi il semiasse maggiore (a1 sin i). Per la determinazione della massa viene fatta un analisi degli spettri di emissione di tale sistema e identificata una riga di emissione ad una certa lunghezza d onda λ. A causa del moto orbitale, la posizione della riga di emissione varia a causa dell effetto Doppler e presenta un oscillazione complessiva di 2 λ. La velocità associata è quindi pari a v= λ c. λ (1.78) Tuttavia, come mostrato in figura, la velocità ricavata non è la velocità effettiva della Figura 1.7: In figura, è data la decomposizione della velocità orbitale nelle componenti radiale e trasversale alla direzione di vista. massa m1, ma solo la sua componente lungo la direzione di vista (vx ), mentre non si hanno informazioni riguardo la componente vy (velocità trasversa). Per cui otteniamo vx = 2πa sin i, P (1.79)

22 14 Capitolo 1. Problema dei due corpi dove i è l inclinazione tra la normale al piano orbitale ed il piano di vista. L equazione (1.76) può quindi essere riscritta come (Melia, 2009) 3 P f 1 = m 2 3 sin 3 i (m 1 + m 2 ) 2 = v x 1 2πG, (1.80) dove le grandezze misurabili sono v x1 e P, le quali permettono di stimare la funzione di massa f 1. Analogamente per la funzione di massa f 2 si ha 3 P f 2 = m 1 3 sin 3 i (m 1 + m 2 ) 2 = v x 2 2πG. (1.81) Una volta noti i valori delle funzioni di massa f 1 ed f 2 si può ottenere il rapporto tra le due masse interagenti f 1 3 = m 1 f 2 m 3. (1.82) 2

23 Capitolo 2 Sistemi planetari in astrofisica In questo capitolo illustreremo le varie tecniche utilizzate per la ricerca e l osservazione di sistemi binari, soffermandoci in particolare su quelli planetari ed analizzando le caratteristiche principali delle stelle e dei pianeti che orbitano attorno ad esse. 2.1 Velocità radiali Nei sistemi planetari extrasolari è molto complicato poter osservare direttamente un pianeta in quanto la sua luce riflessa è spesso diluita nella luce diretta della stella. La presenza di un pianeta può essere invece confermata dagli effetti gravitazionali che esso esercita sulla stella. Stella e pianeta, infatti, sono costretti ad un moto di rivoluzione attorno al centro di massa comune. Le orbite descritte dalla stella e dal pianeta presentano la medesima eccentricità, mentre la lunghezza orbitale (definita come la distanza del pianeta - o della stella - dal centro di massa) e la velocità dei due corpi celesti risultano inversamente proporzionali alla massa di ciascuno. Nel sistema Figura 2.1: In un tale sistema, come quello di stella e pianeta, i due corpi giacciono sempre ai lati opposti del centro di massa ad ogni generico istante di tempo. solare infatti, l influenza gravitazionale dei pianeti provoca un moto orbitale del Sole che, assieme ad essi, ruota attorno al centro di massa comune. Infatti, come si può osservare dalla Figura 2.1 il Sole ed uno dei pianeti giacciono sempre ai lati opposti del centro di massa ad ogni generico istante di tempo. Segue quindi che il moto del Sole è il risultato netto dei moti causati dall interazione gravitazionale della stella con ogni singolo pianeta del sistema solare anche se, ai fini pratici, solo l interazione gravitazionale con Giove è importante (Cole, 2006). 15

24 16 Capitolo 2. Sistemi planetari in astrofisica Ovviamente, a causa di effetti di proiezione, solo la componente radiale della velocità (cioè la componente della velocità nella direzione di vista) può essere osservata da Terra. Nell approssimazione di moto circolare uniforme, la velocità radiale di un pianeta è una funzione sinusoidale del tempo (si veda ad esempio la linea tratteggiata in Figura 2.2) e diventa una funzione più complicata nel caso in cui l eccentricità dell orbita sia diversa da zero (linea continua). Inoltre è bene notare che se il centro di massa del sistema è in quiete rispetto all osservatore, la curva delle velocità radiali è centrata in zero. Al contrario un moto di traslazione del centro di massa rispetto all osservatore implica una curva di velocità radiale centrata in un valore prossimo alla velocità del centro di massa. Per maggiori dettagli si veda il testo Smart (1976). Figura 2.2: Si osservano in figura i valori assunti dalla componente radiale della velocità di un corpo che si muove su di un orbita circolare (linea trattegiata) e su di un orbita ellittica (linea continua). 2.2 Transiti Vi sono circostanze in cui è possibile osservare direttamente un transito di un pianeta davanti alla propria stella, ottenendo così un occultazione parziale o totale a seconda delle distanze relative degli oggetti. L importanza del transito è che la radiazione della stella, in prima approssimazione, è ridotta di una quantità proporzionale all area del disco del pianeta, e tale riduzione può essere misurata supponendo che il pianeta risulti sferico e completamente opaco. Lo studio dei transiti permette di ottenere informazioni sulla massa del pianeta se è nota quella della stella e, a differenza del metodo delle velocità radiali, permette di stimare l angolo di inclinazione i. Inoltre conoscendo il raggio del pianeta (attraverso lo studio dell eclisse) sarà possibile determinarne la densità e dedurne la probabile composizione (Cole, 2006). Dalla Figura 2.3 è possibile osservare l esempio di un transito planetario in cui nella regione di flusso minimo di radiazione il disco del pianeta risulta essere completamente interno al disco stellare, osservando dunque una riduzione della radiazione al suo passaggio. Nel nostro sistema solare ad esempio il transito di Giove sul Sole provoca una riduzione di radiazione di circa l 1%, mentre la Terra solo dello 0.01% (Cole, 2006).

25 2.3. Altri metodi di rilevamento 17 Figura 2.3: Variazione di radiazione luminosa osservata al passaggio di un pianeta davanti una stella. 2.3 Altri metodi di rilevamento Vi sono inoltre altri metodi che permettono di determinare la presenza o meno di un pianeta orbitante attorno una stella, ognuno dei quali è utilizzato in base al tipo di sistema analizzato (Cole, 2006). Polarimetria: la luce riflessa da una superficie rigida è polarizzata in modo che il vettore elettrico risulti parallelo alla superficie nel punto di riflessione. Tale luce riflessa viene polarizzata dal pianeta in base alla natura della propria superficie. Poichè la luce emessa da una stella non è polarizzata (in quanto essa emette come un corpo nero) l effetto permette facilmente di identificare o meno la presenza di un pianeta. Azzeramento interferometrico: disponendo i massimi di un onda emessa dalla stella sui minimi di un altra onda emessa dalla stessa, otterremo come risultato complessivo di tutte le onde un valore nullo della radiazione emessa. La luce riflessa dal pianeta invece segue un percorso diverso e in questa sottrazione non sparisce, rendendo così visibile l oggetto. Astrometria: studia le posizioni dei corpi celesti sulla volta del cielo, evidenziando dunque la presenza di pianeti extrasolari attraverso l analisi della traiettoria della stella soggetta ad un moto orbitale dall interazione gravitazionale con il pianeta, fornendo dunque risultati ottimali per sistemi planetari vicini all osservatore, con pianeti massicci orbitanti lontano dalla stella principale e con orbite di lungo periodo. Microlenti gravitazionali: l effetto consiste nella distorsione e nell incremento della luce proveniente da una stella distante grazie all azione della gravità di un corpo massiccio interposto (una stella o un pianeta di tipo gioviano). Dalla durata del fenomeno è possibile dedurre la massa dell oggetto lente. 2.4 Caratteristiche dei sistemi planetari osservati La ricerca di pianeti extrasolari ha avuto inizio nel 1995, anno in cui fù confermata l esistenza del pianeta 51 Pegasi b orbitante attorno ad una stella simile al nostro Sole. Ad oggi, il numero di pianeti extrasolari individuati ammonta a più di 700 (Cole, 2006). Inoltre è bene far notare che spesso la ricerca di questi pianeti coincide con la ricerca di mondi in grado di ospitare forme di vita, focalizzando dunque l attenzione prevalentemente a sistemi simili al nostro. Qui di seguito sono riportati diversi isto-

26 18 Capitolo 2. Sistemi planetari in astrofisica grammi e diagrammi di correlazione nei quali è possibile osservare le caratteristiche principali relative sia alla stella osservata che ai pianeti orbitanti attorno ad essa 1. Figura 2.4: Istogramma relativo alla massa dei pianeti scoperti. Le masse dei pianeti sono date in unità di massa di Giove M J. In Figura 2.4 si osserva che oltre il 70% dei pianeti extrasolari presenta massa entro 3 M J, quindi pianeti molto simili a Giove. Probabilmente i pianeti più massivi sono stati individuati attraverso l osservazione del moto della stella attorno al centro di massa comune. In Figura 2.5 si vede come oltre il 90% dei pianeti orbita attorno a stelle di massa simile a quelle del Sole che sono quindi influenzate gravitazionalmente da pianeti tanto grandi quanto Giove. D altra parte, come poc anzi accennato, la ricerca di pianeti extra-solari è incentrata sull identificazione di sistemi planetari simili a quello solare. Figura 2.5: Istogramma relativo alla massa delle stelle espressa in unità di masse solari M. In Figura 2.6 si nota come il 90% dei pianeti presenta un semiasse maggiore entro l unità astronomica ed oltre il 50% minore di 1/5 UA. Da ciò si potrebbe dedurre che le temperature su questi pianeti risultino essere elevate. Inoltre essendo più vicini al Sole le oscillazioni della stella saranno più evidenti, favorendo così l osservazione con il metodo delle velocità radiali o astrometriche. 1 Per la costruzione di questi istogrammi e diagrammi abbiamo utlizzato i dati disponibili nell Enciclopedia dei pianeti extrasolari:

27 2.4. Caratteristiche dei sistemi planetari osservati 19 Figura 2.6: Istogramma relativo al semiasse maggiore dei pianeti espresso in unità astronomiche UA. Figura 2.7: Istogramma relativo all eccentricità delle orbite planetarie. Si osserva inoltre che il 60% dei pianeti presenta un eccentricità < 0.1 (orbite circolari), simili alle orbite del nostro sistema solare (Figura 2.7), mentre il periodo di rivoluzione risulta essere per l 80% inferiore a quello terrestre e solo il 14% T J (Figura 2.8). Figura 2.8: Istogramma relativo al periodo di rivoluzione dei pianeti espresso in giorni.

28 20 Capitolo 2. Sistemi planetari in astrofisica Figura 2.9: Istogramma relativo all angolo d inclinazione i, espresso in gradi. Per quanto riguarda l angolo d inclinazione (Figura 2.9) notiamo che il numero di pianeti catalogati è inferiore, poichè l angolo i è ricavabile solo nel caso dei transiti i quali risultano difficili da osservare. L 80% presentano un angolo 70 i 90 mentre circa il 20% presenta angoli minori di 50 nel caso di pianeti di dimensioni maggiori. Infatti è possibile mostrare come l angolo di inclinazione del piano orbitale rispetto all osservatore dipenda dalle dimensioni del pianeta occultante. Consideriamo quindi il caso limite in cui il disco del pianeta risulti tangente al disco stellare e ricaviamo l angolo i min per il quale avviene il transito. Definendo con d la distanza osservata tra i centri geometrici della stella e del pianeta e con a il semiasse maggiore, abbiamo dalla Figura 2.10 { d = R 1 + R 2, (2.1) d = a cos i min, ottenendo così R 1 + R 2 = a cos i min = i min = cos 1 ( R1 + R 2 a ), (2.2) da cui si nota che all aumentare del raggio R 2 del pianeta (a parità del raggio stellare - R 1 - e del semiasse maggiore a) avremo angoli d inclinazione minori. É possibile ottenere dei risultati importanti anche dai diagrammi di correlazione che permettono di osservare da quali relazioni sono legate le grandezze fisiche osservate. In Figura 2.11 si osserva una distribuzione uniforme dei dati, dimostrando dunque come il periodo orbitale risulta indipendente dall eccentricità dell orbita. Inoltre la minor presenza dei pianeti con eccentricità maggiori è dovuta alle limitazioni osservative sia attraverso i transiti, per i quali ad e grandi l occultamento risulta molto breve ed il periodo di rivoluzione è molto grande per essere verificata la periodicità, che per le velocità radiali, poichè in tali orbite il pianeta trascorre molto più tempo lontano dalla stella, dunque i suoi effetti perturbativi risulteranno evidenti solo per un breve periodo. In Figura 2.12 invece è possibile osservare una relazione lineare tra periodo e semiasse maggiore, confermando così la validità della III legge di Keplero negli altri sistemi stellari. Infine possiamo osservare in Figura 2.13 la relazione esistente tra massa ed il raggio dei pianeti scoperti. Gran parte dei dati si distribuiscono in prossimità del valore di massa M J e raggio del pianeta R J, presupponendo quindi che la densità di tali pianeti è simile a quella gioviana e dunque si tratta di pianeti gassosi.

29 2.4. Caratteristiche dei sistemi planetari osservati 21 Figura 2.10: Si vede in figura che l angolo minimo per il quale è possibile osservare un transito corrisponde al caso in cui il disco del pianeta e della stella risultano all osservatore tangenti tra loro. Ad angoli prossimi ai 90 sarà più facile osservare il transito ed individuare così la presenza di un pianeta. Figura 2.11: Diagramma di correlazione dell eccentricità in funzione del periodo di rivoluzione planetario.

30 22 Capitolo 2. Sistemi planetari in astrofisica Figura 2.12: Diagramma di correlazione del semiasse maggiore (in UA) in funzione del periodo di rivoluzione planetario (in giorni). Figura 2.13: Diagramma di correlazione del raggio (in R J) in funzione della massa dei pianeti (in M J).

31 Capitolo 3 Applicazioni astrofisiche Nel seguente capitolo verranno illustrate alcune simulazioni di transito ottenute attraverso la scrittura di un codice che tiene conto della meccanica celeste finora discussa e di alcune proprietà intrinseche alla stella considerata quali il limb darkening. Infine sarà presentato un esempio di stima dei parametri orbitali (attraverso il programma TAP - Transit Analysis Package) per una curva di luce osservata (Wasp-10b). 3.1 Simulazione transiti Partendo dalle conoscenze acquisite sulla fisica dei sistemi binari è possibile ottenere una simulazione del transito di un generico pianeta davanti alla propria stella. Tale simulazione è stata ottenuta attraverso la scrittura di un codice nel linguaggio di programmazione IDL (Interactive Data Language). Figura 3.1: Parametri utilizzati nella simulazione dei transiti. Come illustrato in Figura 3.1, il sistema considerato per lo studio di un transito planetario è caratterizzato da un angolo d inclinazione i i min (eq.(2.2)) ed un valore del parametro d impatto y 0 = a cos i dove a è il semiasse maggiore dell orbita del pianeta. In un sistema di riferimento centrato nella stella, l ascissa x(t) del pianeta (che si muove con velocità v p ) è x(t) = v p t = 2πaϕ, (3.1) 23

32 24 Capitolo 3. Applicazioni astrofisiche dove con ϕ = t/p (0 < t < P ) è stata definita la fase del moto di rivoluzione del pianeta. Segue quindi che la distanza tra il centro della stella e quello del pianeta durante il suo moto orbitale è data da d p 2 = x(t) 2 + y 0 2. (3.2) Figura 3.2: Superficie occultata al variare di θ 1 e θ 2 durante un transito. Per poter descrivere il flusso elettromagnetico osservabile al variare del tempo, si sono ricavati i valori degli angoli θ 1 e θ 2 con l uso del teorema del coseno applicato al triangolo ABC (si veda la Figura 3.2) ed ottenendo e θ 1 = 2 arccos R2 1 R d p 2 2R 1 d p, (3.3) θ 2 = 2 arccos R2 2 R d p 2 2R 2 d p. (3.4) Il flusso della stella (normalizzato ad 1) è quindi F = 1 δa A 1, (3.5) dove A 1 è l area del disco della stella e δa è la superficie del disco stellare occultata dal pianeta data da 0 se d p > R 1 + R 2, R δa = (θ 1 sin θ 1 ) + R2 2 2 (θ 2 sin θ 2 ) se R 1 R 2 d p R 1 + R 2, (3.6) πr2 2 se d p < R 1 R 2, dove gli angoli θ 1 e θ 2 sono stati calcolati tramite le relazioni (3.3) e (3.4). Per maggiori dettagli si veda l appendice A in cui è data la funzione flux_uniform.pro. All interno del programma transito_pianeta.pro, una volta definite le unità di misura utilizzate, sono stati fissati i parametri della simulazione quali il raggio della stella R 1, il raggio del pianeta R 2, le rispettive masse M 1 ed M 2, il semiasse maggiore a

33 3.1. Simulazione transiti 25 e l angolo d inclinazione i ricordando che, come abbiamo visto nel paragrafo 2.4, per quest ultimo sono stati scelti sempre valori vicini ai 90. I codici descritti in precedenza permettono quindi di ottenere la curva di luce di un transito mostrando come il passaggio del pianeta provoca un abbassamento repentino del flusso della stella (per maggiori dettagli si vedano le Figure ) Limb Darkening Figura 3.3: Effetto di limb darkening osservato sul disco luminoso della stella. L effetto di limb darkening è legato al fenomeno di assorbimento della radiazione luminosa da parte della materia. La struttura interna di una stella può essere studiata una volta compreso l andamento di densità, pressione e temperatura del gas con la distanza dal centro. Nell approssimazione di simmetria sferica, tutti gli elementi di gas che si trovano alla stessa distanza dal centro della stella (o equivalentemente alla stessa profondità dalla sua superficie) emettono radiazione elettromagnetica in egual misura (Strafella, 2011) - (Claret, 2000). Facendo riferimento alla Figura 3.3 la radiazione osservata che è emessa da elementi di uguale volume (ed alla stessa profondità) è assorbita in maniera diversa a seconda dello spessore di materia stellare attraversata. Ad esempio, i fotoni provenienti dalla regione 3 attraverseranno uno spessore di stella minore di quello attraversato dai fotoni emessi nei punti 1 e 2. Si comprende quindi intuitivamente come il profilo di intensità di una stella tenda a diminuire ai bordi. Questo effetto, noto come limb darkening, produce durante un transito una diminuzione di radiazione più attenuata di quanto non avviene nel caso di un disco stellare uniformemente illuminato. Al contrario l eclisse totale di una stella caratterizzata da un oscuramento al bordo è più accentuata rispetto al caso di una stella con disco uniforme. Abbiamo così considerato l effetto di limb darkening richiamando all interno del programma il codice occultquad_vec.pro (Mandel & Agol, 2008) che tiene conto dell oscuramento al bordo nell approssimazione quadratica I(r) = 1 γ 1 (1 µ) γ 2 (1 µ) 2, (3.7) dove γ 1 e γ 2 sono i coefficienti di oscuramento al bordo lineari e quadratici e µ = 1 (r/r1 ) 2, con r la distanza generica dal centro della stella. In Figura 3.4 mostriamo qualitativamente le differenze tra un eclisse su di una stella con disco uniforme (linea continua) ed eclissi su stelle con diversi parametri di

34 26 Capitolo 3. Applicazioni astrofisiche Figura 3.4: Simulazione dell eclissi prodotta da un pianeta transitante davanti alla stella. γ 1 γ 2 Verde Celeste Rosso Blu Tabella 3.1: Coefficienti di limb darkening utilizzati per la simulazione dei tansiti definiti dalle linee tratteggiate. oscuramento (γ 1 e γ 2 in Tabella 3.1) per un sistema planetario con parametri orbitali fissi. La Figura 3.5 è stata invece ottenuta considerando il transito di un pianeta di tipo gioviano intorno ad una stella simile al Sole (i parametri orbitali ed i coefficienti di limb darkening sono dati in Tabella ). Figura 3.5: Simulazione dell eclissi prodotta da un pianeta di tipo gioviano su di una stella di tipo Sole.

35 3.2. Parametri orbitali di Wasp-10b con TAP 27 Giove Sole Raggio 0.05R 1.0R Massa 0.001M 1.0M a 5.2UA i Periodo anni Tabella 3.2: Dati utilizzati per il transito di un pianeta di tipo gioviano su una stella di tipo Sole ed il periodo di rivoluzione ottenuto dalla simulazione. γ 1 γ 2 Verde Celeste Rosso Blu Tabella 3.3: Coefficienti di limb darkening utilizzati per la simulazione del tansito di un pianeta di tipo gioviano su una stella di tipo Sole. Con lo stesso codice sono stati simulati i transiti di altri tre pianeti impostando i differenti parametri orbitali ed utilizzando i coefficienti di limb darkening ottenuti in Gazak & Tonry & Johnson 2011b. I pianeti scelti per la simulazione sono WASP-10b (nella costellazione di Pegaso ed orbitante attorno ad una stella variabile), HAT- P-32b (nella costellazione di Andromeda) e Kepler-22b (che orbita attorno ad una nana gialla nella costellazione del Cigno e che presenta caratteristiche molto simili al pianeta Terra). Quest ultimo caso è importante in quanto lascia supporre la possibile abitabilità e quindi condizioni ottimali per lo sviluppo di organismi viventi. I dati adoperati ed i risultati ottenuti dalla simulazione sono raffigurati di seguito. WASP-10b WASP-10 Raggio 1.08R J 0.71R Massa 3.06M J 0.783M a UA i 86.8 Periodo 3.08 giorni γ γ Tabella 3.4: Dati utilizzati per il transito di WASP-10b su WASP-10 ed il periodo di rivoluzione ottenuto dalla simulazione. 3.2 Parametri orbitali di Wasp-10b con TAP Come accennato in precedenza, i parametri orbitali di un sistema planetario di cui è stata osservata una eclisse possono essere stimati tramite il programma di analisi TAP (Transit Analysis Package, Gazak & Tonry & Johnson 2011b).

36 28 Capitolo 3. Applicazioni astrofisiche Figura 3.6: Transito di WASP-10b sulla stella WASP-10. HAT-P-32b HAT-P-32 Raggio 2.037R J 1.387R Massa 0.941M J 1.176M a UA i 88.7 Periodo 2.14 giorni γ γ Tabella 3.5: Dati utilizzati per il transito di HAT-P-32b su HAT-P-32 ed il periodo di rivoluzione ottenuto dalla simulazione. Figura 3.7: Transito di HAT-P-32b sulla stella HAT-P-32. A titolo di esempio, ci riferiamo ai dati osservati relativi al pianeta extra-solare Wasp-10b (Enciclopedia dei pianeti extra-solari, 2012). I dati consistono nel flusso (normalizzato ad 1) della stella occultata in funzione della fase ϕ. Ad ogni punto

37 3.2. Parametri orbitali di Wasp-10b con TAP 29 Kepler-22b Kepler-22 Raggio 0.21R J 0.979R Massa 0.11M J 0.97M a 0.849UA i Periodo giorni γ γ Tabella 3.6: Dati utilizzati per il transito di Kepler-22b su Kepler-22 ed il periodo di rivoluzione ottenuto dalla simulazione. Figura 3.8: Transito di Kepler-22b sulla stella Kepler-22. osservato è associato un errore (normalizzato) sul flusso. I dati sono stati quindi importati nel programma TAP tramite il quale si è cercato di determinare i parametri orbitali ed i coefficienti di limb darkening. A tale scopo, abbiamo utilizzato un modello semplificato di eclisse per un sistema extra-solare consistente in una stella occultata da un pianeta in orbita circolare ed assumendo un profilo di limb darkening quadratico. I risultati della ricerca dei parametri del modello sono dati nella Tabella 3.6 (per maggiori dettagli sull algoritmo di minimizzazione dei parametri utilizzato dal programma TAP si veda Gazak & Tonry & Johnson 2011a, Gazak & Tonry & Johnson 2011b). In Figura 3.9 (pannello superiore), riportiamo i dati osservati (rappresentati dai punti) per il transito del pianeta extra-solare Wasp-10b ed il modello che meglio approssima le osservazioni come ottenuto dal codice TAP (linea continua). Il transito del pianeta produrrà una diminuzione del flusso elettromagnetico del 3% e l effetto di limb darkening fa sì che la diminuzione di flusso risulti meno accentuata in prossimità del bordo del disco stellare e maggiormente rilevante quando è la regione centrale della stella ad essere occultata rispetto al caso di una stella illuminata uniformemente. Nel pannello inferiore della stessa figura, riportiamo invece i residui ossia la differenza tra i punti osservati e il modello teorico adottato.

38 30 Capitolo 3. Applicazioni astrofisiche Parametri Valori Periodo i a/r Rp/R γ γ Tabella 3.7: In tabella sono riportati i parametri orbitali di Wasp-10b ed i coefficienti di limb darkening lineare e quadratico Relative Flux Hours from Mid Transit Figura 3.9: In figura è possibile osservare la curva relativa al transito di Wasp-10b ottenuta analizzando i dati raccolti.

39 Appendice A Listati per la simulazione dei transiti Flusso uniforme 1 ;+ 2 ; ROUTINE : flux_ uniform. pro 3 ; 4 ; USAGE : 5 ; Codice A.1: File flux_uniform.pro. 6 ; PURPOSE : Questo programma contiene la funzione che descrive 7 ; l emissione di radiazione di una stella ( illuminata 8 ; uniformemente ) occultata da un pianeta. 9 ; 10 ; INPUT : R1 = raggio della stella 11 ; R2 = raggio del pianeta 12 ; Dp = distanza proiettata tra il centro della stella 13 ; e quello del pianeta 14 ; 15 ; NOTA : Alla distanza di minimo approccio, Dp = a* cos ( i) 16 ; 17 ; OUTPUT 18 ; 19 ; KEYWORD OUTPUT : 20 ; SIDE EFFECTS : 21 ; PROCEDURE : 22 ; 23 ; RESTRICTIONS : 24 ; DEPENDENCIES : usa le astrolib ed occultquad_ vec. pro 25 ; 26 ; EXAMPLES : Funzione del flusso uniforme emesso da una stella 27 ; 28 ; NOTE : 29 ; AUTHOR : Domenico Gerardi, ; 31 ; REVISIONS : 21 Dicembre 2011, ore

40 32 Appendice A. Listati per la simulazione dei transiti 33 function flux_uniform, R1, R2, Dp 34 if(dp gt r1+r2) then begin 35 DeltaA =0.0 D0 36 endif 37 if(dp le (r1+r2) and Dp ge r1 -r2) then begin 38 theta1 =2.0* acos (( r1*r1 -r2*r2+dp*dp )/(2.* r1*dp )); 39 theta2 =2.0* acos (( r2*r2 -r1*r1+dp*dp )/(2.* r2*dp )); 40 DeltaA =R1 ^2/2.0*( theta1 - sin ( theta1 ))+ R2 ^2/2.0*( theta2 - sin ( theta2 )) 41 endif 42 if(dp lt r1 -r2) then begin 43 DeltaA =! Pi*R2 ^2 44 endif 45 DeltaA = DeltaA /(! Pi*R1 ^2) 46 Flux =1.0 D0 - DeltaA 47 return, flux 48 end Codice transito di un pianeta 1 ;+ Codice A.2: File transito_pianeta.pro. 2 ; ROUTINE : transito_ pianeta. pro 3 ; 4 ; USAGE : 5 ; 6 ; 7 ; PURPOSE : Questo programma simula il transito di un pianeta 8 ; ed il conseguente occultamento della stella 9 ; sia nel caso in cui il flusso emesso dalla stella 10 ; risulti uniforme che in presenza di limb darkening. 11 ; 12 ; INPUT : M1 = massa della stella 13 ; M2 = massa del pianeta 14 ; R1 = raggio della stella 15 ; R2 = raggio del pianeta 16 ; a= semiasse maggiore 17 ; i= angolo d inclinazione 18 ; 19 ; NOTA : Parametro d impatto Dp =a* cos ( i) 20 ; 21 ; OUTPUT : Periodo = periodo orbitale del pianeta 22 ; Omega = velocità angolare del pianeta 23 ; Vp = velocità orbitale del pianeta 24 ; 25 ; KEYWORD OUTPUT : 26 ; SIDE EFFECTS : 27 ; PROCEDURE : 28 ; 29 ; RESTRICTIONS : 30 ; DEPENDENCIES : usa le astrolib ed occultquad_ vec. pro 31 ; 32 ; EXAMPLES : Transito di un pianeta 33 ; 34 ; NOTE :

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